Regressie, correlatie en modelvorming

Transcriptie

1 Hoofdstuk 9 Regresse, correlate e modelvormg 9. Leare regresse 9.. Ileded voorbeeld De pute (,3), (,) e (3,5) lgge et op éé rechte. Hoe kue we de rechte vde de het best aaslut bj de pute? Plaats de coördate de ljste L e L zoals heroder aagegeve e druk STAT<CALC> 4:LReg(ax+b). Op het bassscherm verschjt er het commado LReg(ax+b). Vul dt aa met d[l], d[l], VARS<Y-VARS> :Fucto :Y. Door het toevoege va Y wordt de vergeljkg va de beste rechte weggeschreve Y. Het drukke op ENTER levert de beste rechte y = x +. De extra gegeves r e r verkrjg je de je eerst d[catalog] DagostcO hebt utgevoerd vaut het bassscherm. 35

2 Defeer Plot zoals heroder e cotroleer eve de fuctes (Y=) de geteked zulle worde. ZOOM 9:ZoomStat geeft de grafeke va de putewolk e de beste rechte. Va TRACE kue we de rechte doorlope om evetueel waarde va y horede bj x te voorspelle. 9.. Hoe wordt de beste rechte bereked? Gegeve ee putewolk va pute, ( x, y), ( x, y),..., ( x, y ) de m of meer ee leare tred vertoe (ze fguur). y Beschouw ee rechte y = ax+ b door deze pute waarmee we de groothed y wese te voorspelle bj gegeve x. e y yˆ x We defëre voor elk put het resdu e (ze fguur), met yˆ = ax + b, als volgt : e = observate voorspellg = y yˆ = y ( ax + b) Merk op dat ee resdu postef s waeer het put bove de rechte gelege s e egatef waeer het oder de rechte gelege s. Om de beste rechte door de putewolk te zoeke gebruke we het kleste kwadrate crterum l. bepaal a e b zodag dat e = mmaal s. Deze beste rechte oemt me de kleste kwadrate rechte of de leare regresse va y op x (met y als afhakeljke e x als oafhakeljke veraderljke). Om de beste a e b te bepale gebruke we de afwjkge u = x x e v = y y t.o.v. de rekekudge gemddelde x = x = e y = y. = 36

3 Voor de resdu s geldt : e = y ax b = ( y y) a( x x) ( b y+ ax) = v au ( b y+ ax) De kwadratesom der resdu s wordt : e = (( v au) ( b y + ax)) = = = ( v au ) + ( b y+ ax) = = = ( v au ) + ( b y+ ax) = (aageze u = = 0 e v = 0 ) = Nu s e = geschreve als ee som va twee posteve utdrukkge, deze som s mmaal als bede utdrukkge mmaal zj. We bepale eerst a zodat de = = = = eerste utdrukkg, ( v au ) = u. a uv. a+ v, mmaal wordt. Dt s ee kwadratsche utdrukkg a de mmaal s als a = = = uv u. Als we b= y ax stelle, s mmaal. ( ) 0 b y+ ax = e de tweede utdrukkg Samevatted Voor de beste rechte y = ax+ b door de pute ( x, y),..., ( x, y ) geldt : a = = ( x x)( y y) = ( x x) e b= y ax. 37

4 We berekee maueel de beste rechte door de pute (,3), (,) e (3,5) va het ledede voorbeeld met de oderstaade tabel. x y x x y y ( x x)( y y) ( x x) x = y = 3 a = & b = Klaarbljkeljk s y 3 e = = x + de beste rechte. De som va de kwadrate der resdu s, = 6, s mmaal voor deze rechte. Dt s te terpretere als ee som va oppervlakte va verkate de mmaal s (ze heraast). De TI-83 maakt a ee regresseberekeg (ze 9..) automatsch de ljst va de resdu s aa. Deze ljst vd je met d[list] RESID. Voor het berekee va de som va de kwadrate der resdu s gebruk je d[list]<math> 5:sum(. y (,3) - (,) 4 (3,5) x 9. Correlate De legte l va ee metale staaf wordt gemete bj verschllede temperature. t ( C) l (mm)

5 I de fysca gebrukt me als model het lear verbad l = at. + b. We zoeke de beste rechte utgaade va de data (reke maueel a met ee tabel zoals de vorge paragraaf. Vervag hertoe t door x e l door y. Wat s de betekes va de correlatecoëffcët r? Hertoe tekee we eerst de rechte y = y (met y = 08 ) e x = x (met x = 40 ). Teke de vertcale rechte met de volgede opdracht het bassscherm : d[draw] 4:Vertcal 40. Vervolges tekee we de vertcale afwjkg v = y y e de horzotale afwjkg u = x x va ee put ( x, y ) t.o.v. het zwaarteput ( x, y) va de putewolk met d[draw] :Le(. u v Voor bovestaade putewolk spreke we over ee posteve correlate tusse de groothede x e y aageze de meeste pute ( u, v ) het eerste of derde kwadrat gelege zj t.o.v. het assestelsel met oorsprog ( x, y ). De beste rechte heeft ee posteve rchtgscoëffcët. Merk op dat de beste rechte y = ax+ b steeds door het zwaarteput ( x, y ) gaat aageze y = a. x + b. Cotroleer dt door met je reketoestel het sjput te zoeke va de beste rechte met de rechte y = y. Ide de meeste pute gelege zj het tweede of verde kwadrat s er sprake va ee egateve correlate. De beste rechte heeft ee egateve rchtgscoëffcët. Ide de pute lukraak verdeeld zj over de ver kwadrate, bestaat er gee lear verbad tusse de groothede x e y. Ee beste rechte berekee e tekee s og steeds mogeljk, maar weg zvol. I oze fguur s het dudeljk dat = uv postef s, aageze de bjdrage va de pute het eerste e derde kwadrat tot de som steeds postef zj. 39

6 De som = uv s echter afhakeljk va de gekoze eehede voor x e y, zodat we tot de volgede defte kome va de correlatecoëffcët, oafhakeljk va de gekoze eehede voor x e y : r = F H G = uv u. = = Bovestaade formule s symmetrsch x e y e maakt gee odersched tusse de oafhakeljke e afhakeljke veraderljke. 40 We berekee r = 0.95 voor de gegeve data m.b.v. oderstaade tabel. Vergeljk het resultaat met dat va het reketoestel: I KJ F H G x y u = x 40 v = y 08 u. v u v I K J. v Stelle we u = ( u, u,..., u ) e v = ( v, v,..., v ), da volgt ut de ogeljkhed uv. u. v va Cauchy-Schwartz dat r. Herbj ka geljkhed ekel optrede als v = ku of v = ku voor elke. De pute lgge op éé rechte door het zwaarteput ( x, y ) met vergeljkg v= ku t.o.v. het ( uv, )-assestelsel met dt zwaarteput als oorsprog. De correlatecoëfcët r s ee maat voor het leare verbad tusse de groothede x e y. Hoe dchter de absolute waarde va r bj gelege s, hoe beter het leare verbad. Voor posteve r s er ee posteve correlate e voor egateve r ee egateve correlate. Voor waarde va r dcht bj 0 s er ageoeg gee lear verbad. Er ka echter wel ee ader fuctoeel verbad zj tusse x e y! 40

7 Beschouw hertoe volgede data, gelege op de parabool y = x. De beste rechte s y =, maar deze beaderg heeft uteraard gee z. Er bestaat ee verbad tusse de rchtgcoëffcët a va de vergeljkg va de beste rechte y = ax+ b e de correlatecoëffcët r met : a = = ( x x)( y y) = ( x x) = Er geldt mmers : = = uv u e r = uv = u v = =. v uv uv v = = = = u u. v u u = = = = = s a= = = r = r s de gestadaard- Er geldt ook dat r = seerde waarde va x. = F HG x x s x I F KJ HG y y s y I KJ met x x s x y x Teslotte geve we og ee uttge formule voor r de het overbodg maakt de afwjkge x x e y y t.o.v. de gemddelde te berekee. Door gebruk te make va de output va het -Var Stats-commado ka je hermee r berekee. r = xy xy = x x y y = =. 4

8 9.3 Modelvormg 9.3. De determatecoëffcët De determatecoëffcët R s ee maat voor de kwaltet va ee regressemodel dat et oodzakeljk lear s. Als troducte eme we de data (,3), (,) e (3,5) de we reeds vroeger hebbe gebrukt, met als beste rechte door deze dre pute de rechte y = x +. Beschouw de oderstaade tabel met y y m.b.v. het regressemodel. = x +. Dt s de voorspelde waarde va x y ( ) y b g y y y Als we ekel de data y zoude kee, s y de beste voorspellg voor elke y. b g = Voor de totale varate va de data y t.o.v. y eme we y y als maat. Deze waarde geeft aa welke mate de putewolk vertcaal afwjkt va de horzotale rechte y = y. Met het regressemodel kue we y beter voorspelle daar de som va de kwadrate der resdu s (of de varate va de data y t.o.v. het regressemodel) ( y ˆ ) y kleer da of geljk s aa ( y ) y = (waarom?). Er geldt dat : ( ) ( ) ( ) y ˆ ( ˆ ) y = y y y y + y y = = = = = totale varate = verklaarde varate + overklaarde varate 4

9 De determatecoëffcët R s de fracte va de varate va de data y t.o.v. y de verklaard wordt door het regressemodel : R I het vorge voorbeeld s ( y y) ( y yˆ) ( y yˆ) = = = = = ( y y) ( y y) = = 6 R = =. 8 4 M.a.w. er wordt slechts 5% va de varate va de data y t.o.v. y verklaard door het regressemodel. Voor de correlatecoëffcët r = 05. geldt dat r = R. Het s algebraïsch algemee te bewjze dat voor ee lear regressemodel geldt dat r = R. Derhalve oemt me r ook de leare determatecoëffcët. Vermeld steeds r bj ee leare regresse als maat voor hoe succesvol het leare model s om y te voorspelle De resduplot Als voorbeeld beschouwe we de legte x cm e de massa y kg va 0 lukraak gekoze studete : x y We brege deze data de ljste L e L e tekee de putewolk. Zo te ze s ee lear model ee goede beaderg. Bj leare regresse s de som va de resdu s steeds ul (Bewjs!) : ( ) y yˆ = e = 0 = = 43

10 Voor ee goed model moet de resduplot, d.. ee grafek va de resdu s utgezet tege de data x, ee lukrake verdelg toe t.o.v. de x -as de her de regresselj voorstelt. De determatecoëffcët r s 0.9. Er wordt 90% va de varate va de data y t.o.v. y verklaard door het leare regressemodel. Reke a, met sum(lresid ), dat de som va de kwadrate der resdu s, geljk s aa We oderzoeke of het kwadratsch model beter s. 0 e =, We make og ee resduplot e berekee de som va de kwadrate der resdu s. Teves rekee we a dat de determatecoëffcët R = Het kwadratsch model s ets beter da het lear model. Oderzoek va de adere modelle de de TI-83 bereket, geeft : Model R r r LReg(ax+b) QuadReg ( ax + bx + c ) CubcReg ( ax + bx + cx + d ) QuartReg ( ax + bx + cx + dx + e ) LReg ( a+ b. l( x ) ) ExpReg ( ab. x ) PwrReg ( a. x b )

11 De logartmsche regresse LReg wordt bereked met leare regresse va de data ( l( x), y ), de expoetële regresse ExpReg met leare regresse va de x,l( y ) e de machtsregresse PwrReg met leare regresse va de data data ( ) ( l( x ),l( y )). Dat er leare regresse werd gebrukt ze je aa het verschje va ee correlatecoëffcët e de otate va de determatecoëffcët. Verklaar de trasformates va de data. Als laatste voorbeeld beschouwe we ee aatal geljkmatge veelhoeke met zjde geljk aa de legte-eehed e de correspoderede straal va de omgeschreve crkel. # zjde straal We brege deze data de ljste L e L e tekee de putewolk. Ee lear model bljkt utsteked te zj (ze r ). De resduplot werpt echter ee adere blk op de zaak. De resdu s vorme ee dudeljk patroo. Dt wjst op het bestaa va ee beter model. We late het aa de lezer over om dt model te bepale. 45

12 9.4 Opdrachte. We beschouwe opeuw de data (,3), (,) e (3,5). Leare regresse va y op x leverde de rechte y = x +. Reke a dat leare regresse va x op 5 y ee adere rechte x = y+ 4 4 oplevert. y I bede gevalle s r = 05. e r = 05.. De determatecoëffcët terpreteert de kwaltet va bede rechte. 5% va de varate de data va ee veraderljke t.o.v. hu gemddelde wordt verklaard door het leare verbad met de adere veraderljke. Naarmate r dchter bj komt te lgge zal het verschl tusse de twee rechte kleer worde.. Oderstaade tabel geeft de selhed e het verbruk va ee wage. Hoe veradert het verbruk y va de wage fucte va de selhed x? (,3) (,) (3,5) x km/h l /00 km km/h l /00 km Teke de putewolk e bepaal de beste rechte door de pute. Zou jj deze rechte gebruke om het verbruk bj ee bepaalde selhed te voorspelle? Observeer de determatecoëffcët e de resduplot. Suggereer ee beter model. 3. De oderstaade tabel bevat de volgede formate over ekele covexe veelhoeke. x s het aatal zjde va de veelhoek e y het aatal verschllede dagoale de de veelhoek kue geteked worde. Aatal zjde Aatal dagoale Gebruk expoetële regresse y = ab. als model voor deze data. Bepaal de determatecoëffcët e de resduplot. x 46

13 Ee expoeteel model s goed als de tabel va de verhoudge y y ageoeg costat s (bj equdsdate x ). Ga a dat dt her et het geval s. We vde ee beter model door gebruk te make va de techek der voorwaartse dfferetes : y = y+ y, y = y+ y, + x y y y De tweede voorwaartse dfferetes zj costat. Dt wjst op ee model va de tweede graad. Zoek dt model e stel vast dat het door alle pute gaat. Bereke de som va de kwadrate der resdu s. Vd hetzelfde resultaat seller met behulp va de combateleer! Me ka aatoe dat, utgaade va equdstate pute x, de -de voorwaartse dfferetes va ee -de graadsveelterm costat zj. Omgekeerd geldt ook dat als de -de voorwaartse dfferetes costat zj er just éé -de graadsveelterm bestaat door de pute bx, yg. Me ka de voorwaartse dfferetes berekee met de TI-83 met het commado : d[list]<ops> 7: Lst(. 4. Zoek ee formule voor de som va de eerste kwadrate utgaade va ee tabel voor ekele waarde va. Oderzoek de voorwaartse dfferetes. f ( ) = k k =

14 Met de TI-83 ku je deze tabel als volgt geerere : De derde dfferetes zj costat. Vd de derdegraadsveelterm door deze data e bewjs door ducte dat deze formule geldg s voor elke. 5. Teke de volgede data e vd ee geschkt model. x y Teke de volgede data e vd ee geschkt model. Tp : bekjk de tabel va de verhoudge y y +. x y a) Ee leare regresse levert ee correlatecoëffcët r = 0. Wat s de vergeljkg va de beste rechte? Geef ee voorbeeld va data met r = 0. b) Wat s de waarde va de correlatecoëffcët va data gelege op ee rechte evewjdg met de x-as of y-as? 8. Zoek ee formule voor de coëffcët a het regressemodel y = ax (rechte door de oorsprog) voor gegeve data ( x, y ) met =,,,. a) Waeer we met ee kracht F trekke aa ee veer met veercostate k, rekt de veer ut over ee afstad x met F = k x. Bepaal de veercostate ( N/m) va ee veer waaraa de volgede massa s y ( gram) werde gehage e de utrekkge x ( cm) werde gemete. x y

15 b) Vergeljk het resultaat va a) met het regressemodel y = ax+ b. c) Zj de correlatecoëffcëte voor a) e b) dezelfde? E de determatecoëffcëte? 9. Het verbad tusse spag U e stroom I bj ee et-ohmse weerstad wordt gegeve door U = C I β (U gemete volt e I ampère), met C e β materaalcostate. Cocrete metge va U ( V) e I ( ma) levert de volgede resultate : I U I U Bepaal de beste waarde voor C e β aa de had va deze meetwaarde. Ga a dat de TI-83 deze waarde bereket met ee logartmsche trasformate va de data e leare regresse. 0. Gegeve de legte x cm e de massa y kg va 0 lukraak gekoze studete. x y Vd de exacte determatecoëffcët R voor de oderstaade et leare modelle e vergeljk deze met de leare determatecoëffcët r va de getrasformeerde data. Model R r LReg ( a+ b. l( x ) ) 0.89 ExpReg ( ab. x ) 0.95 PwrReg ( a. x b )

16 50