Antwoorden. Een beker water

Transcriptie

1 Atwoorde 1 Ee beker water We ormere massa zodaig dat 1 volume-eeheid water, massa 1 heeft. We gebruike de formule voor het volume va ee cilider. De massa va de rad is Mr = π(1/36 + 1/ )36/5 = π5/36 36/5 = 10π. De verticale co ordiaat va massamiddelput va wad va de beker is, weges symmetrie, zr = 18/5. De massa va de bodem (zoder rad) is Mb = π 4 = 8π e de verticale co ordiaat va het massamiddelput is zb = 1/. De massa va de hele beker is dus MB = 18π e het massamiddelput va de lege beker is zb = Mb z b + Mr z r 4π + 36π = = 40/18 = 0/9. MB 18π Als het water i de beker h > 0 legteeehede hoog staat, da kee we dat de massa va dit water: Mw = 4πh e de verticale coordiaat va het massamiddelput va het water is zw = 1 + h/. We hebbe dat Mw zw = (4h + h )π. Voor het massamiddelput va het geheel vide we dus de volgede uitdrukkig zt = MB z B + M w z w h + h 0 + h + h = =. MB + Mw h 9 + h Als we deze uitdrukkig afleide aar h vide we zt0 = (9 + h)( + h) (0 + h + h ). (9 + h) We zie zt dus dat ekel extrema ka bereike i ulpute va h + h. E dus voor h = 1/( 9 ± 5 5). Gezie h = 1/( ) ee ekelvoudig ulput is va zh0 e zh0 egatief is liks is va dit ulput (bijvoorbeeld i 0) zie we dat dit ee miimum is. 1

2 Ee delicate som We zulle de klassieke formule m = P φ(d) tweemaal toepasse. Als we deze formule d m toepasse op ggd(k, ) vide we k 1 ( 1) ggd(k, ) = ( 1)k 1 φ(d). d ggd(k,) We kue i het rechterlid gelijke terme same eme e vide ( 1)k 1 ggd(k, ) = φ(d) /d ( 1)jd 1. j=1 d Daar u oeve is, is teves ook elke deler /d va oeve e heeft de som /d /d P P ( 1)jd 1 = 1. We besluite dat ( 1)jd 1 dus ee oeve aatal terme, i.e., j=1 j=1 ( 1)k 1 ggd(k, ) = 3 φ(d) =. d Lissajousfigure Stel a = p/q e b = r/s met p, q, r, s Z. Na ee herschalig va t we f : t 7 (si(πmt), cos(πt)) qs ggd(ps,rq) t krijge rq ps Z e = ggd(ps,rq) Z. Merk op dat m e copriem zij waarbij m = ggd(ps,rq) e si e cos periode π hebbe. f doorloopt dus 1 periode als t over ee iterval met legte 1 loopt, bijvoorbeeld [0, 1[. De beschouwde Lissajousfiguur sijdt zichzelf als e slechts als voor zekere, verschillede t, u R geldt f (t) = f (u) e t u < 1. We kue de gelijkheid herschrijve als ( si(πmt) = si(πmu) cos(πt) = cos(πu) of als ( t = u + j/m of t = u + j/m met j {0,..., m 1} t = u + k/ of t = 1/ u + k/ met k {0,..., 1}

3 waarbij we og steeds de bijkomede eis t 6= u hebbe. We oderzoeke de vier mogelijkhede. Als de twee eerste gelijkhede gelde, da krijge we km = j, wat, gezie m e copriem zij, iet ka tezij j = k = 0, maar da hebbe we u = t. Als de tweede e de eerste gelijkheid gelde da krijge we weges t = u + k/ automatisch dat t u < 1 e geldt t = u als e slechts als k = 0. Voor alle adere m ( 1) keuzes va j e k vide we pute waarop de Lissajousfiguur zichzelf sijdt. Als de eerste e de tweede gelijkheid gelde da krijge we weges t = u + j/m automatisch dat t u < 1 e geldt t = u als e slechts als j = 0. Voor alle adere ( m 1) keuzes va j e k vide we pute waarop de Lissajousfiguur zichzelf sijdt. Als de twee laatste gelijkhede gelijktijdig gelde da vide we dat j = m/ + km. Als m oeve is da is dit ee strijdigheid e als m of eve is da krijge we gezie e m copriem zij dat j = k = 0. I dit geval vide we dus gee pute waar de Lissajousfiguur zichzelf sijdt. Dit toot ook aa dat de vorige twee gevalle zich iet gelijktijdig kue voordoe, we hebbe dus gee pute dubbel geteld. We besluite dat de Lissajousfiguur zichzelf m ( 1) + ( m 1) keer sijdt. 4 Twee kegels, twee bolle We kieze ee assestelsel zo, dat het gegeve vlak samevalt met het xy-vlak, de gezamelijke top va de kegels i de oorsprog ligt, e de y-as de bissectrice is va de raaklije va de kegels aa het vlak. Bolle e kegels ligge i het deel va de ruimte waar z > 0. Uit symmetrie-overwegige zie we dat het middelput A va ee bol die aa beide kegels raakt, i het yz-vlak moet ligge, e ook dat als zo bol aa e e va beide kegels raakt, hij ook aa de adere raakt. We beschouwe vaaf u dus ekel og de rechtse kegel (i.e. die aa de x > 0 kat). Gezie oze bol straal 1 heeft e aa het xy-vlak raakt, heeft het middelput A coo rdiate (0, a, 1) voor ee zekere a. De vraag is u om de waarde a1 e a te zoeke die a ka aaeme, e hu verschil a1 a te bepale. Figuur 1 stelt het vlak opgespae door A e de as va de kegel voor. De bol raakt aa de kegel i het put C, e de rechte AB sijdt de as va de kegel i C. Omdat A coo rdiate (0, a, 1) heeft, geldt OA = a + 1. Aderzijds volgt uit de Stellig va Pythagoras i de driehoek ABO dat OA = OB + 1. Er volgt dat OB = a. We vide ook dat BC = OB ta (30 ) = 33 a. De projectie va A op het xy-vlak oeme we A0 ; de projectie va C op het xy-vlak oeme we C 0. Figuur toot de vierhoek (rechthoekig trapezium) ACC 0 A0. CB = CC 0 volgt uit symmetrie va de kegel (B e C 0 zij beide projecties va C op de kegelmatel). 3

4 p 0C 0 = Door de Stellig va Pythagoras vide we dat A AC ( AA0 CC 0 ) = q 33 a. Figure 3 e 4 stelle het xy-vlak voor; figuur 3 i het geval a > 0 e figuur 4 i het geval a < 0. Opieuw weges B e C 0 beide projecties va C op de kegelmatel volgt dat OC 0 = OB = a. I het geval a > 0 merke we op dat de driehoek OA0 C 0 gelijkzijdig is (wat gelijkbeig metqtophoek 60 ), e dus is A0 C 0 = a. Maar we hadde hierbove al dat A0 C 0 = 33 a. Gelijkstelle e uitwerke geeft os a = I het geval a < 0 vide we, bijvoorbeeld door de cosiusregel i driehoek OA0 C 0, dat q A0 C 0 = 3 a. Deze keer levert gelijkstelle met A0 C 0 = 33 a dat a = 4 9 3, dus a = 493. We hebbe dus de mogelijke waarde voor a gevode, amelijk a1 = a = PUMA-tupels Hu verschil e is da de gezochte afstad. Noteer p = 53. Zij ~t = (t1,..., t ) ee -tupel met t t = p. We otere zij periodieke rij als t1,..., t, t+1, t+,..., waarbij dus, voor alle i, ti = ti+. We bewijze eerst de volgede bewerig. Ee odige e voldoede voorwaarde opdat ~t ee PUMA-tupel zou zij, is dat er voor elke k > 0 ee ik bestaat zodat t tik = k. Bewijs. Merk op dat rije a1, a,..., a,... e b1, b,..., b,... gelijk zij als e slechts als hu rije va partieelsomme a1, a1 + a,..., a a,... e b1, b1 + b,..., b b,... gelijk zij. ~t is ee PUMA-tupel als e slechts als de rij 1, 3, 5,... gelijk is aa de rij t ti1, ti ti,..., tik tik+1,... voor zekere ki. Weges bovestaade opmerkig, e de bekede idetiteit ( 1) = is dit gelijkwaardig met zegge dat de rij 1, 4, 9,... gelijk is aa de rij t ti1, t ti,..., t tik+1 voor zeker ki. Door elke ik te schrijve als mk + rk met rk < (dit ka op uieke wijze) e op te merke dat t t = t t =... = p 4

5 wordt de odige e voldoede voorwaarde dat er voor elke k > 0 ee mk e rk < bestaa zodat mk p + t trk = k of og, dat er voor elke k > 0 ee rk < bestaat zodat t trk k (mod p). (Merk op dat voor k 0(mod p) hieraa voldaa is door rk = 0 te kieze.) Merk u op dat oze ~t uiek vastligt als we de verzamelig va partieelsomme {t1, t1 + t,..., t1 + t t 1 } {1,,..., p 1} vastlegge. De voorwaarde opdat ~t ee PUMA-tupel zou zij, is precies dat deze verzamelig va partieelsomme alle iet-ul kwadraatreste modulo p bevat. M.a.w. het aatal PUMA-tupels met som p is het aatal deelverzamelige va {1,,..., p 1} die alle iet-ul kwadraatreste modulo p bevatte. Nu is p ee priemgetal, e dus zij er p 1 iet-ul kwadraatreste modulo p. Om ee deelverzamelig va {1,,..., p 1} te make die al deze kwadraatreste bevat, moete we ekel og beslisse welke va de p 1 iet-kwadraatreste modulo p we i oze verzamelig gaa stoppe. Dit ka op verzamelige. We vide dus als atwoord 6. 6 p 1 maiere, e dus zij er p 1 zulke Ee familie lieaire afbeeldige Zij = dim(v ). We werke met iductie op. Voor {0, 1} is de stellig triviaal. Merk op dat weges de distributiviteit voor ee verzamelig commuterede lieaire afbeeldige geldt dat ook hu lieaire combiaties commutere. We eme aa dat de idetieke afbeeldig I i L bevat is. Deze commuteert amelijk met alle afbeeldige e we kue dus L vervage door hl {I}i. Zij A, B L willekeurig. Zij W ee veralgemeede eigeruimte va A i.e., voor zekere λ C geldt w W (Iλ A) w = 0. Gezie B(Iλ A) = (Iλ A) B vide dus dat w W Bw W. Zij V1,..., Vj de veralgemeede eigeruimte va A. Gezie V1 Vj = V stelle dus vast dat voor alle k = 1,..., j geldt Bv Vk v Vk. Zij A1,..., Am ee basis voor L. Zij W1 ee veralgemeede eigeruimte va A1. Voor alle k = 1,..., m is weges het voorgaade Ak W1 ee afbeeldig va W1 aar W1. Zij W W1 ee veralgemeede eigeruimte va A W1. Weges het voorgaade is voor alle k = 1,..., m Ak W1 W = Ak W ee afbeeldig va W aar W. Herhale 5

6 we dit m keer da vide we W1 W Wm deelruimte va veralgemeede eigeruimte va respectievelijk A1,..., Am. We hebbe ook dat voor alle k = 1,..., m geldt Ak Wm Wm. We kue dus V schrijve als V = V 0 Wm met voor alle A L AV 0 V 0 e AWm Wm. Zij voor alle k λk de eigewaarde va Ak Wm e stel Bk = Ak λk I, da is hi, B1,..., Bm i = L. Merk op dat iet ekel B1,..., Bm ilpotet zij maar ook hu lieaire combiaties. Zij l N maximaal zodaig dat er ee B hb1,..., Bm i e ee b Wm bestaa zodaig dat B l b 6= 0 e B l+1 b = 0. Zij W 0 = hb, Bb,... B l bi. Weges de maximaliteit va l hebbe we dus w W 0 B l+1 w = 0. Zij A hb1,..., Bm i willekeurig. Als w W 0 da hebbe we B l+1 Aw = AB l+1 w = 0 we hebbe dus BW 0 W 0. Omgekeerd wille we ook hebbe dat B l+1 Aw = 0 w W 0. Oderstel dat dit iet zo is da hebbe we B l+1 w 6= 0 e dus hebbe voor x > 0, groot geoeg, (A + xb)l+1 w 6= 0, wat i strijd is met de maximaliteit va l. Schrijve we u V als V 00 W 0, da hebbe we voor alle A L AW 0 W 0 e AV 00 V 00. We wete dus dat A L volledig bepaald is door A V 00 e A W 0. Per iductie wete we dat dim({a V 00 : A L}) 6 dim(v 00 ), o rest dus aa te toe dat dim({a W 0 : A L}) 6 dim(w 0 ). Zij A L. De basis va W 0 is {b,..., B l b}.we wete dat Ab = a0 b + + al B l b. Aderzijds defiieert deze uitdrukkig ook AB k b voor alle k = 0,..., l wat A e B commutere. We zie dus dat de afbeeldig A W 0 7 (a0,..., al ) ee ijectie is va {A W 0 : A L} aar ee l + 1 dimesioale ruimte. 6