Uitwerkingen bij 1_0 Voorkennis: Rijen

Transcriptie

1 Uitwerkige ij _0 Voorkeis: Rije V_ a U = 7 + U = +,5 7 + = +,5 0,5 = 4 = 8 Na 8 rode krijge ze elk,-. V_ U() =, 06 U( ) met U(0) = 500 e U() het eidedrag a jaar. V_ a u r u = = = dus 5 u5 8 u = = = U = U = = 9 4 r = 8 = u = 9 V_4 a u0 = f(0) = ; u = f() = 0 ; u = f() = 8 ; u = f() = 6 ; u4 = f(4) = 4 Het is ee rekekudige rij omdat het vershil tusse twee opeevolgede terme steeds is. u0 = f(0) = ; u = f() = a + ; u = f() = a + ; u = f() = a + ; u4 = f(4) = 4a + Dit is ee rekekudige rij omdat het vershil tusse twee opeevolgede terme steeds a is. V_5 a S8 = = 00 Voor a = 9 geldt s 8 = 60. Geruik je grafishe rekemahie om dit te ahterhale of maak geruik va de somformule. a + a + (8 ) a + Je krijgt da s8 = 8 = 8 = 8a + 84 = 60 waaruit volgt dat a = 9. V_6 a u = + ( ) + 59 u0 = 59 dus s 0 = 0 = 60 vwo B Aalyse_ Rije

2 V_7 uk ( ) k = 0 a + a + v = + a + v = + = + + ( ) ( )( a v) ( ) a ( ) = v V_ uk = 0 = 57 k = 0 k k = 0 t = 50 99, 95 V_9 0 = ; = ; = ; = 6,5 ; 4 = 4 ; 5 = 9,5 ; 6 = 6 4 k k = 0 = ,5 + 4 = 6 4 k = + 6,5 + 4 = k = 6 4 k k = 6 6= 90 k = 0 k = 0 vwo B Aalyse_ Rije

3 Uitwerkige ij _ Vershilrije a u u = = ; u u = 6 = ; u4 u = 0 6= 4 ; u 5 u 4 = 5 0 = 5 u6 = u5 + 6= e u = u + 7 = 8 v = a v = 0, ; v = 0, ; v = 0, ; v4 = 0, e u0 = u u0 = 0, v = 96 ; v = 5, 6 ; v = 45, 76 ; v4 = 9,6 e u0 = 6597, v,9 ; v 0,8 ; v 0,58 ; v4 0,45 ; u0 0,9 d v = ; v = ; v = ; v4 = ; u0 = e v = 400 ; v = 00 ; v = 00 ; v4 = 50 ; u0 = 0, 785 f v = ; v = ; v = ; v = ; = u a De rije uit opdraht a e d zij rekekudig. De rije uit opdraht e e zij meetkudig. De vershilrij ij ee rekekudige rij is ostat. (( ) ) ( ( ) ) v = a + + a + = a + a + a = a 4 a v = 8 6= ; v = 54 8= 6 ; v = 6 54 = 08 ; v4 = 486 6= 4 ; v5 = = 97 Er geldt dat Als u v =. = r da geldt = = ( ) = ( ) ee meetkudige rij met dezelfde rede. 5 u = = dus ( ) 6 ( ) ( ) + v r r r r r r r e is dus ook weer u = v = u u = p+ + q p+ q = q 7 a w = w + w = p p = p ( p ) w p 4 ( p ) = is de egiterm e de rede is p 8 Kijk hiervoor aar opdraht 4. ( ) ( ) u =, = r r waaruit volgt dat r, dus u = 5 (,) = e ( ), = zodat = 5 vwo B Aalyse_ Rije

4 9 a + ( ) ( ) ( ) ( ) d = + = + + t = t t = = = + 4 De graad va de vershilrij is steeds éé lager da die va de oorsprokelijke rij. 0 a = 8 ; 46+ 8= 64 ; + 64 = 75 ; u 8 = + 75 = = ; 64 + = 85 ; = 60 ; u 9 = = 667 u is va de vierde graad a v = log log 0,0 ; v 0,8 ; v 0, ; v4 0,0 6 v = log6 log60 = log 0, logk > 000 als 000 k 0 k+ d k k > ofwel k + 0 v = log(k + ) logk = log < 0, 00 als k > 4 ofwel k 44 Je kut ijvooreeld erekee. x + y = log x 000 e y = 0,00 plotte e het sijput a ( ) 8 k= 49 ( ) k= k k 9 0,5 = 0,5 0, ,5 48 0,5 = 0,5 0,5000 0,5 0,5 0,5 0,5 v(p) = 0,5 0,5 = 0,5 0,5 0,5 0,5 p groter wordt p p p e dit wordt groter aarmate vwo B Aalyse_ Rije

5 Uitwerkige ij _ Rije i eeld a u u u vwo B Aalyse_ Rije

6 d u a Na ee dalig volgt ee grotere stijgig. Stijgede grafiek. Vaaf = daled. vwo B Aalyse_ Rije

7 d e f Afemede stijgig. Costat. 5 a ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a = a + a = = = = Teller egatief e oemer positief voor elke, dus a < 0. Bij ee altererede rij zij twee opeevolgede terme afwisseled positief e egatief dus is het produt va u e u + altijd egatief. 6 a Voor elke waarde va geldt p Voor elke geldt 0 q Voor elke geldt k vwo B Aalyse_ Rije

8 d p e t zij alterered. w is mootoo stijged. ( + ) + + w = w + w = = = Teller e oemer positief voor elke, dus w > 0. 7 a ( ) ( ) + + s = + = ( + )( + ) = ( + ) d u e s zij mootoo stijged 8 a u = u + u > 0 dus elke term positief. Afhakelijk va u ka u wel of iet egresd zij. u > 0, da ook s > 0 dus alle terme positief s + = s + u + > s wat u > + 0 dus s stijgt. Zie ijvooreeld opdraht 4a. vwo B Aalyse_ Rije

9 Uitwerkige ij _ Op de duur 9 a a = 9 0 ; = ; a = ; = 5 = a ; = ( ) ( ) d < voor elke e ( ) adert aar ul aarmate groter wordt 0 Voor grote adert u aar = 4. 0,5 Voor grote adert w aar oeidig. a vwo B Aalyse_ Rije

10 d p, t e q zij egresd t e u zij mootoo stijged t overgeert met limiet 5 q overgeert met limiet 0 a Nee, kijk aar q uit opdraht. Ja. C: zie u uit opdraht D: zie p uit opdraht a u heeft als limietwaarde omdat 5 = 5 0 e dat adert aar 5 = v heeft 0 als limietwaarde omdat l aar oeidig adert 4 a p0 = 6= 8 p = 4 6= 4 vwo B Aalyse_ Rije

11 6 8 4 p is iet egresd omdat ( ) aar oeidig gaat p = ( 4 ) = = 8 ( ) d Figuur k 0 k k k k 4 k 5 Aatal lijstukjes De omtrek va de seeuwvlok adert dus aar oeidig. 5 0 log als > 8 9, 97 dus de kleiste waarde is = 0 log e ( ) > f Oo = 9 is de oppervlakte va k 0 e O = is de oppervlakte va k 4 g ( ) adert aar 0 dus 9 O heeft als limiet 9 = De oppervlakte va de seeuwvlok adert aar 4. 5 vwo B Aalyse_ Rije

12 Uitwerkige ij _4 Ahteri de rij 5 a u ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( + ) ( ) ( ) = = + = + = Teller e oemer zij positief voor elke, dus u > 0 dus u mootoo stijged. Naarmate toeeemt komt u steeds dihter ij 5 te ligge. 5 > 4, 999 vaaf = 00 6 a u = is de kleiste term e u =,5 is de grootste term Als da,9 < u <, Als 000 da 4 < < u 0. 7 a Voor 7 ligge alle terme i het iterval. De rij overgeert e limu = 0. 8 a Als 0 da u <, u = = + = < 0 voor a u adert aar voor eve e adert aar voor oeve w shommelt steeds va aar u heeft gee limietwaarde (zie opdraht a) Ook w overgeert iet (zie opdraht a) 0 a Als x steeds groter wordt adert aar ul dus x si x aar si0 = 0. lim si = 0 u is overget wat ( ) a Dit geldt iet voor ijvooreeld u = ( ). Dit geldt iet voor ijvooreeld u = ( ). Nee, eem ijvooreeld weer ( ) u =. d Ja, die ostate is da atuurlijk de limietwaarde. a = r e m = ( ) Allee m is overget wat s 4 limm = 0. vwo B Aalyse_ Rije

13 s r m + d ( ) ( ) = + k k = + = + + = k= k= De rij is iet overget. vwo B Aalyse_ Rije

14 Uitwerkige ij _5 Limiete erekee a 4 5 u 0,84 0,45 0,05-0,9-0,9 si is maximaal e miimaal e dus geldt si d limu = 0 4 a Als 5 da v = 0 e w = 5 e. Zowel v als w overgere met limiet 0 dus geldt ook limu = 0. 0os 5 a os Omdat lim = 0 geldt ook lim = si si Omdat lim = lim = 0 geldt ook lim = 0. 6 a Als > geldt u > wat u = +. De 7 a limu estaat iet wat de uitkomst gaat aar oeidig. lim a = 0 limu = 0 e limw estaat iet wat gaat aar oeidig ( + )( + + ) = ( + ) = vwo B Aalyse_ Rije

15 u w = dus u = w d lim u = lim = 0 w 8 ( A B ) ( A + B ) A B A + B A B = = A + B A + B A + B 9 a ( ) ( + ) ( ) 5 8 lim + 5 = lim = lim = Deze rij gaat sowieso aar oeidig. vwo B Aalyse_ Rije

16 Uitwerkige ij _6 Somrije 40 a limu = 0 lim v = 0 iet overget d iet overget 4 a rede is 0,5 0,5 lims = 4 omdat lim 0,5 = 0 S = = 4 ( 0,5 ) De limiet va 4 a S = = 0 0 ( ) ( ) ( ) = = = 000 = log000, is oeidig dus de limiet va S is ook oeidig. Dus voor 4 geldt S > 000. Je kut ook ee tael ij S plotte. 4 a S overgeert als 0 < r< a lims = omdat limr = 0 r 44 a lim a = lim = 0 lim = lim = 0 Als 0 geldt S <. Voor elke waarde va geldt Z <. d Z = = dus limz = e De oppervlakte va het vierkat is ook e komt overee met de limiet va Z. f Het lijkt dat de limiet va S oeidig is. vwo B Aalyse_ Rije

17 45 a S = + + = 5 6 S = = Omdat lim a = 0 zou S og steeds kue overgere. De rehthoekjes kome steeds ove de grafiek uit. + + d dx = lx = l( + ) x liml ( + ) is oeidig dus geldt ook dat lims oeidig is. 46 a w lijkt te overgere k= w,997 k limw = 47 a S = < + dx < < k x k= Dus is S egresd. S < e S > + S dus S heeft ee limiet 48 a Ojuist, eem ijvooreeld u = (zie opdraht 45). Juist, als u aar oeidig adert da doet de somrij dat zeker ofwel als u > + u da S > + S. vwo B Aalyse_ Rije

18 Uitwerkige ij _7 Verwerke e toepasse 49 a Als je geeraties teruggaat he je 50 a 9 k= k voorouders. k= k = dus moet je 9 geeraties teruggaa om meer da miljoe voorouders te hee. Je gaat er hier vauit dat elk idividu éé vader e éé moeder heeft. Dat lijkt ee redelijke aaame. De limiet lijkt te zij. De hoogte va driehoek OPS is sit dus de oppervlakte = OS sit = si. Oppervlakte = OS QS= tat = ta. d Oppervlakte irkelsetor OPS PS t = oppervlakte gehele irkel= π r = = omtrek gehele irkel π e oppervlakte driehoek OSP < oppervlakteirkelsetorops < oppervlaktedriehoekoqs si si f < < si si os si g h lim os = wat os0 = < lim < lim si os < lim < dus limsi = si geeft < < si os 5 a - Wat voor e a de rad ligt is same oeke. Noem het gevraagde stukje p. Voor de rad ligt da p, a de rad p +. Hieruit volgt p = 6. De oemer eemt steeds toe. vwo B Aalyse_ Rije

19 5 d = > e Het oveste oek ligt =... > 4 6 k k= Voor = is dit voor het eerst het geval. a de rad e steekt dus helemaal over. vwo B Aalyse_ Rije

20 Uitwerkige ij _Testeeld T_ a Op de 7 e rij zij = 94 zitplaatse. u = 8+ 7 = ( ) ( ) ( ) d S = ( ) = 596 S = u + u = 8 + = 9 zitplaatse Oplosse va deze vergelijkig geeft,9 dus de laatste ezoeker eemt op rij plaats. k k= u = u + u = 6 45,6 + 4, = 50,8 T_ a ( ) ( ) u = 4 e u = k k= 0 0 ( ) u = = vk = 0,4 dus k k= 4 v = 8 0,4 =, T_ a + u = u + u = l + l = l = l + > l= 0 ( ) ( ) Dus u mootoo stijged. omdat positief is vwo B Aalyse_ Rije

21 w + ( )( ) ( ) ( )( ) ( + ) ( )( ) w = = = = ( + )( + ) ( + )( + ) d Voor elke geldt 4 < 0 ( + )( + ) dus w < 0 e daarmee is w mootoo daled. e w = 6 e w is daled maar positief dus is w egresd door 6 e 0. T_4 a Da ligt de waarde diht ij 0. 0,005 da ( + ) > + 0,005 ( ) < e dat is voor 49 T_5 a lim ( e ) = wat Er moet da gelde = 4. lim e = wat lim e = 0 e < 0. Dat is zo voor,8... dus vaaf ragummer 6 0 lim e = e = d w = e e lim( e ) is mi-oeidig dus w divergeert 0 T_6 v = + = e w = + Omdat 0 si geldt ook v u w. T_7 a ( ) lim v = e limw = dus ook limu = lim = 0 4 S overgeert omdat U ee meetkudige rij is met rede 4. ( ) lim S = lim = T_8 a k= k = = x dx x = 0 0 oppervlakte rehthoeke x u = > dx = = 0 d De oppervlakte va de rehthoeke + ( ) ( ) xdx = + + = Dele door geeft u = ( + ) + ( ). vwo B Aalyse_ Rije

22 limu = lim + + = = e ( ) vwo B Aalyse_ Rije

23 Uitwerkige ij _ Stadaardlimiete a q = = is oegresd dus diverget. a =, = wat da q = met limiet 0. a q5 = = 0, 54 q = = 5 0 0, 069, q = = 0 5 0, q lijkt aar 0 te gaa als heel groot wordt. De grafiek va g stijgt het selst. lim q = 0 a u = 4 dus diverget. x h(x) x (0,8 ) x,5 0,8 x x = = = x omdat zowel x als x,5 oeidig groot wordt heeft de rij w gee limiet.. vwo B Aalyse_ Reursie e limiete

24 4 a y = f'(0) x + = x +. 5 De grafiek e de raaklij ligge daar ija op elkaar. Uit opdraht a volgt dat e h +h e dus e ( + h). d Neem h =. Als geldt h 0 h lim + = lim + h = e. e Uit e d volgt ( ) h 0 h De limiet lijkt gelijk te zij aa. 6 e lim = 0 (tweede stadaardlimiet); e 0,00 0, 00 lim = 0 omdat 0 < < e e e e lim = 0. e 7 a d m lim + = lim + = lim + = e. m m. m lim + = lim + = lim + = e m m m lim + = lim + = lim + = e m m m + lim = lim + = lim + = e m m... 8 Als a=0 klopt de ewerig. Als a >0, da volgt uit de derde stadaardlimiet: a a m a lim + = lim + = lim + = e m m a a a. vwo B Aalyse_ Reursie e limiete

25 Voor a <0 is de volgede stadaardlimiet odig m a lim = e ( a) a a m a lim + = lim = lim = ( e ) = e m : a a. vwo B Aalyse_ Reursie e limiete

26 Uitwerkige ij _ Rekeregels 9 a 0 a d limu = ; lim v = lim ( u + v ) = lim + = Zowel A als B is juist. lim 0,99 4 lim u v = lim + = ; ( ) 0, 99 0 lim = = = + e + lim e + 0 lim 4 + = lim 4 + lim lim = 4 = 8 ( ) ( ) lim = lim = lim + = = 9 lim = lim = 0 lim u + v = lim = a Als u = e v = - da is ( ) Als u = e v = da is lim u v = lim = 0 + u + limu + a lim = = = 4 u lim u u u + 0,4 0,4 +,76 lim = =, 9 u 0,4 0,6 a Deel de teller e de oemer door. Alle drie limiete zij gelijk aa limu = = a lim = lim = = 0 4 lim = lim + e e 4 omdat de oemer tot 0 adert e de teller tot estaat de limiet iet. 4 e e e 4 + e e + e lim = lim = = e e e e vwo B Aalyse_ Reursie e limiete

27 d ( + + )( ) lim = lim = lim = = ( ) 0 vwo B Aalyse_ Reursie e limiete

28 Uitwerkige ij _ Reursievergelijkige 5 a u45 = 9 u is ee rekekudige rij wat het vershil va opvolgede terme is steeds. d Zie opdraht. De grafiek is eeheid omhoog geshove. e v = 44 5, v is ee meetkudige rij wat elke term is twee keer de voorgaade. Als v =4, da wordt de afstad va de pute tot de x-as 4 keer zo groot. 6 a u 4 =7, u 5 =. Die he je odig omdat aders u iet te erekee is e dus ook de rest va de rij iet. 7 a, -7, -7, -7, -7, 4, 6, 0, 8,,,, 8 a u = 4 =, u = + = + u 4( ) (4 ) 4, dus u + = u + 4, met u =. = e = ivulle geeft: 4a + = e 6a + = 5. Hieruit volgt Va elkaar aftrekke geeft a = zodat a =. Ivulle geeft 4 =. 9 a u = u u = u0 + a (u0 + a( )) = a dus ostat. u = u u = u u = (u u ) = u dus de vershilrij is ook ee meetkudige rij met rede. 0 a Het temperatuurvershil tusse de omgevig e de koffie is a uur: 5-t. 5% hierva is 0,5(5-t ). Uit opdraht a volgt: t + = t + 0,5(5 t ) = 0,85t +,5.

29 Als de koffie temperatuur t heeft e iet meer kouder wordt moet gelde: t=0,85t+,5. Dit geeft t=5, de temperatuur wordt 5 C. a de groeifator per jaar is,07 dus is de groeifator per maad gelijk aa,07,0059 Dus het maadelijkse reteperetage is p=0,59%. De maadelijkse termij estaat uit ee aflossigsdeel e ee retedeel. Noem de restshuld a maade S. I die maad is etaald 0,0059 S - aa rete e aa aflossig 00 zodat geldt: S =,0059 S Voer de reursievergelijkig i voor vershillede waarde va A. Plot ee tael. Op deze maier vidt je dat A 06,50 moet zij. d De restshuld is ostat als je et zoveel rete etaald als je aflost. De rete is 0, = 8 A moet dus 8 zij. a Als a= da is A het liker ove hoekput va het vierkat e dus u = ½. u Met ehulp va gelijkvormige driehoeke volgt = u = = u u + + u e = u = = u + u + 4. Uit de gelijkvormigheid va de twee driehoeke i de tweede figuur volgt u + u + u =. Hieruit u + oplosse geeft u + = u a u + a. x Deze vaste waarde x moet da voldoe aa: x =. Hieruit volgt x + a x + ax = x x + x(a ) = 0 x(x + a ) = 0 x=0 of x = a. De waarde 0 vervalt, wat u ka ooit kleier da -a worde. Dit is als volgt i te zie: uit u < -a volgt u - < -a wat uit opdraht volgt dat de rij mootoo daalt. Zo doorgaade volgt u < -a. Omdat u = /(+a) < -a implieert < -a hee we ee tegespraak. De oplossig is x = -a wat voor a = de oplossig geeft.

30 Uitwerkige ij _4 Wegrafieke a De grafiek ij egiwaarde 8 stijgt mootoo e die ij egiwaarde 0 daalt mootoo. Beide adere tot 0. u u ,5 8,5 9,5 u u ,5,5,5,5 0,65 d De pute (u ;u + ) ligge op de lij omdat voor alle u + = 0 + 0,5u 4 a Op de lij die iet door de oorsprog gaat met Vergelijkig: y= 0,7x+. u = 0,7 Χ 5 + = 5,5. A(5 ; 5,5); De pute A e A hee dezelfde y-oördiaat. Omdat A op de lij y = x ligt geldt A (5,5 ; 5,5). d 0,7 Χ 5,5 + =,85 dus B(5,5 ;,85) e B (,85 ;,85), 0,7 Χ,85 + = 8 dus C(,85 ; 8) e C (8 ; 8). e 0,7x+ = x oplosse geeft x=40 dus het sijput is (40 ;40). vwo B Aalyse_ Wegrafieke

31 5 a d u =, u = 6, u 4 = 8, u 5 = 9. 6 a De rij overgeert omdat de trapgrafiek adert tot het sijput. 7 a De limiet voldoet aa de vergelijkig x = 6 + x met x > 0. Oplosse geeft = + = x 6x x 6x 0 = + x 40 6,6. Om ee ostate rij te krijge moet je de i a erekede limietwaarde kieze. vwo B Aalyse_ Wegrafieke

32 Uitwerkige ij _5 De otratiestellig 8 a Het is ee trapgrafiek. x=0,5x + oplosse geeft x= dus de oördiate va het sijput zij (;). Voor de limiet L geldt dat L= 0,5L + Hieruit volgt dat L =. d Door voldoede stappe uit te voere eader je de limiet steeds eter. e De rij divergeert. f Covergetie voor, 0, e 0,5; divergetie voor, e a u = a u = a a u = a a a u = a a a a u = a. 5 4 u = a. Als 0 < a <, da is a > zodat uit de tweede stadaardlimiet volgt: a = = = = = x x ( a ) lim u lima lim a a lim a (a ) lim 0. d Als a > e als a < - divergeert de rij, als - < a < 0 overgeert de rij aar 0 hetgee op dezelfde wijze aagetood ka worde als i opdraht. vwo B Aalyse_ De Cotratiestellig

33 e De rij u is ee meetkudige rij met r=a e u =. 0 a De limietwaarde L moet voldoe aa L = al +. L oplosse geeft L( a) = L =. a Uit opdraht a volgt = (-a)l, dit ivulle geeft: u + = au + ( a)l = a(u L) + L. a moet weer tusse e zitte. a f(x) = -x+5 met a = - e = 5. Omdat u = 5 is de rij iet ostat e a 4 weges a > dus diverget. f(x) = 0,5x+8 met a = 0,5 is a < dus de rij is overget met limiet L = 8 = 6. 0,5 5 u + = u + geeft f(x) =,5x+. Omdat u weges a > dus diverget. a = is de rij iet ostat e a a = geeft de rij atuurlijke getalle. De wegrafiek is i dat geval ee trap tusse twee evewijdige lije. a = - De wegrafiek is ee vierkat op [0,]; de terme va de rij zij afwisseled 0 e. a De limiet is de positieve oplossig va x = x x + 8x 6 = 0 x = 4 + 4, f'(x) = x dus f'( ) = 0,44 is het rihtigsgetal va de 4 raaklij i S aa de grafiek va f. Omdat f'( ) < zal de rij overgere. vwo B Aalyse_ De Cotratiestellig

34 Uitwerkige ij _6 Dekpute 4 a (x + 5) = x x + 5 = 6x x 6x + 5 = 0 (x )(x 5) = 0 x= of x = 5. 6 Als u = 4 overgeert de rij aar, met ee wegrafiek is dit diret te zie. Als u = 5 is het ee ostate rij dus overget met limiet 5. Als u = 6 is met de wegrafiek te zie dat de rij divergeert. d Als u > 5 zal de rij divergere. 5 f (x) = 0,x dus f () = 0,4 e f (8) =,6. 6 a Je ziet ee omiatie va trap e spiraal. Met ee wegrafiek is te zie dat voor u = - de rij overgeert aar het egatieve dekput. Met de GR is te vide dat deze limiet ogeveer,8955 is. Als u = 0 da is de limiet ul. d Als 0 < u < π of -,5π < u < -π da adert de rij tot ee positieve limietwaarde. 7 a = x x oplosse geeft x = x= ±. De positieve oplossig is x =. Bij u = 4 loopt de wegrafiek i ee rehthoek rod e ij u = i ee vierkat. Omdat f (x) = x - geldt f (x) < als x >. Het dekput ehoort iet tot deze waarde. Je kut dus iet op deze maier eadere. vwo B Aalyse_ Dekpute

35 Uitwerkige ij _7 Verwerke e toepasse 8 a f (x) = x dus f () = 4. De vergelijkig va de raaklij is y = 4x +. Omdat de raaklij door het put (;) gaat volgt hier uit = 4 + = 6. Het sijput va de raaklij met de x-as is volgt uit 4x 6 = 0 dus u =. 9 a De ieuwe raaklij heeft rihtigsgetal f'(u ) = f'( ) =. De vergelijkig is dus y = x + waarij u volgt uit u + = f(u ) 9 + = 4 = = Het sijput met de x-as volgt uit x = 0 dus u = 7. 4 I de e stap heeft de raaklij rihtigsgetal f'(u ) = u De vergelijkig va de raaklij wordt y = u x +. Omdat de raaklij door het put (u ;f(u )) gaat volgt hieruit f(u ) = u + u = u + = u. De vergelijkig va de raaklij is dus y = u x u. d + u is het ulput va de raaklij uit opdraht dus u + u + = = u + u u. e Na 6 stappe vid je,446 e dat is ij eaderig gelijk aa. f'(x) = ( x) dus f'(x) als ( x) x 4( x) -x < ¼, dus x > ¾. vwo B Aalyse_ Verwerke e toepasse

36 De exate limiet is de (positieve) oplossig va x = x x + x = 0 dus ± x = 5. De positieve oplossig is x = + 5. d Nee, voor = 0 of = overgeert de rij iet. e = = x f(x ) f(f(x )) dus g(x) = f(f(x)) = x. f De rij is mootoo stijged als x = x > x voor alle. De ogelijkheid > > ( ) > ( ) ( + ) > > oplosse geeft ( )( + ) > ( ) haakjes wegwerke e op ul herleide geeft + < 0 + < 0 ( 0) 5 < < + 5 e omdat > 0 volgt hier uit dat als 0 < < + 5 da is de rij x 0,x,x 4,... mootoo stijged. 40 a l + l +. =. l = + l + + l + + l l = = = l + l met = l. vwo B Aalyse_ Verwerke e toepasse

37 d De rij overgeert. e Je vidt ahtereevolges:,75,74,705,705 Na 6 stappe vid je dus,705. vwo B Aalyse_ Verwerke e toepasse

38 Uitwerkige ij _Testeeld T_ a d T_ a = lim + = lim + = e 0,004 lim = 0,004 lim + = lim + + = = estaat iet. lim lim e e. u 5 ; u = ; u = x = x + oplosse geeft x= dus als u = zij alle terme gelijk. v is ee meetkudige rij met rede 0,5 e egiwaarde 6 + v = 0,5 v = 6. T_ a u = De rij is overget. Dit volgt uit de otratiestellig. De limiet is de oplossig va = x x 4 x. Oplosse geeft x + = x = x =. Om ee ostate rij te krijge moet je u gelijk aa de limiet kieze, dus u =.

39 T_4 a 5 Dekpute volge uit: x = + x x 5 = 0 x e x = -. De dekpute zij (-;-) e (½; ½). Ee positieve limietwaarde ka slehts ½ zij. 5 Omdat f'(x) = x. Hieruit volgt x = geldt f (½) = 0,4 <. Dus er estaa egiwaarde zodat de rij overgeert aar ½. Met ehulp va de wegrafiek volgt dat dit het geval is voor u 0 e u -. Als u = - is de rij ostat e heeft dus limiet. T_5 a u + + u = u + = u +. Het is dus ee lieaire reursievergelijkig va de vorm u + = au + met a =,5 > dus de rij is iet overget. De wegrafiek is ee spiraal. u + = u + Met ehulp va ee wegrafiek met parameter is te zie dat de wegrafiek ee trap is als < 0 e ee spiraal als > 0. u + = a u + a. De rij overgeert als =0 of als a e voldoe aa a <. De wegrafiek is ee spiraal als a < 0, dus als 0 < a < overgeert de rij e is de wegrafiek ee spiraal. T_6 a

40 De rij overgeert aar 5. x = 0,x + x 7,5 0,x x + 7,5 = 0 ± 4 x = = 0 ± 5 0, dus de dekpute zij (5;5) e (5;5). Met ehulp va wegrafiek is te zie dat de rij overgeert als 5 u 5. De limiet is 5 als u = 5 e aders gelijk aa 5. T_7 a Trapgrafiek; overgetie aar,5. x=-x oplosse geeft x + x = 0 (x )(x + ) = 0 dus x = ½ e x = -. De dekpute zij (½ ; ½) e (-;-). f (x)=-4x geeft f (½) = - e f (-) = 4 dus gee overgetie. ± + 6 x = 4 + x x x 4 = 0 x = 7 vervalt dus het dekput is ( + 7; + 7). x = 4 + x oplosse geeft oplossig de De rij overgeert zoals uit de wegrafiek lijkt. T_8 a,577 Als u = d da is de limiet d. Met de wegrafiek is te zie dat als u < d da is de rij diverget, e als u > d da overgeert de rij aar het tweede dekput.

41 g'(x) = + x dus g'(0,5) =. De vergelijkig va de raaklij i (0,5 ; g (0,5) ) wordt y = x + 0,5 + l(0,5) dus u = -(0,5 + l(0,5)) 0,9. g'(u ) = 4,76 e g(u ) = 0,7 dus de ieuwe raaklij heeft als vergelijkig 0,470 y = 4,76x - 0,470 hieruit volgt u = 0,. 4,76