Uitwerkingen huiswerk week 7

Transcriptie

1 Lieaire algebra ajaar 008 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 5 Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A 1 a 3 a 3 a 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1 a 1 heet ee Vadermode matrix Laat zie dat det A 1 i<j (a j a i ), dwz deta is het product va alle factore va de vorm a j a i met j > i (Hit: Veeg de eerste rij op ee slimme maier (met behulp va aburige kolomme va achter aar vore), otwikkel de determiat a de eerste rij e haal uit de rije va de resterede ( 1) ( 1)-matrix factore zo dat dit weer ee Vadermode matrix wordt Gebruik da iductie, dwz veroderstel dat de bewerig voor ( 1) ( 1)-matrices al beweze is) Oplossig: We vege de eerste rij va achter aar vore door a 1 keer de voorlaatste kolom va de laatste af te trekke, vervolges a 1 keer de ( )-de kolom va de voorlaatste ez We trekke dus voor i 1,,,1 de i-de kolom va (i + 1)-ste kolom af De resulterede matrix is a a 1 a A a 1a a a 1 a 3 a 1 a 1 a 1 a 3 a 1 a 3 a 1a 3 a3 a 1 a3 3 a3 1 a 1 a3 1 a a 1 a a 1 a a a 1 a 3 a 1 a 1 a e omdat we allee maar elemetaire kolomtrasformaties va type C3 hebbe toegepast geldt det A det A Nu otwikkele we de determiat a de eerste rij, dit geeft deta 1 detb waarbij a a 1 a a 1a a a 1 a 3 a 1 a 1 a a 3 a 1 a 3 B a 1a 3 a3 a 1 a3 3 a3 1 a 1 a3 a a 1 a a 1 a a a 1 a 3 a 1 a 1 a a a 1 (a a 1 )a (a a 1 )a 3 (a a 1 )a a 3 a 1 (a 3 a 1 )a 3 (a 3 a 1 )a3 3 (a 3 a 1 )a 3 a a 1 (a a 1 )a (a a 1 )a 3 (a a 1 )a

2 Uit de eerste rij va de matrix B hale we u de factor a a 1, uit de tweede de factor a 3 a 1 ez Weges de lieariteit va de determiat i iedere rij volgt hiermee dat detb (a a 1 )(a 3 a 1 ) (a a 1 ) detb voor 1 a a 3 B 1 a 3 a 3 1 a a 3 a 3 a3 a Dit is weer ee Vadermode matrix e volges de aaame dat de formule voor ( 1) ( 1)-matrices al beweze is volgt dat detb i<j (a j a i ) I totaal hebbe we dus det A deta detb (a a 1 )(a 3 a 1 )(a a 1 ) i<j (a j a i ) 1 i<j (a j a i ) Opgave 6 (i) Ee matrix A R heet ee orthogoale matrix als A t A 1, maw als AA t E Laat zie dat voor ee orthogoale matrix geldt dat det A ±1 (ii) Ee matrix A R heet scheefsymmetrisch als A t A Laat zie dat voor ee scheefsymmetrische matrix geldt dat det A 0 als oeve is Ka je ook voor eve ee uitspraak doe? Oplossig: (i) Er geldt deta t deta e det E 1, dus is 1 dete det AA t det A deta t (det A), dus is deta ±1 (ii) Aa de ee kat is deta t det A, aa de adere kat is det( A) ( 1) det A Voor ee scheefsymmetrische matrix geldt dus deta det A t det( A) ( 1) deta Voor oeve geldt dus deta det A e dit ka allee maar voor deta 0 Voor eve ka det A gelijk of ogelijk aa ul zij, hier is gee verdere uitspraak mogelijk Voorbeelde voor 4 zij: det , det Er laat zich wel aatoe dat voor eve deta steeds ee kwadraat is, e dus 0 Opgave 7

3 (i) Zij eve e zij A F de scheefsymmetrische matrix met 1 als i < j a ij 0 als i j 1 als i > j (bijv A voor 4) Laat zie dat det A 1 (Hit: Veeg de eerste twee kolomme i de rije 3 t/m ) 1 a a (ii) Zij a F e zij A F met a ij : a i j (bijv A a 1 a voor a a 1 3) Bewijs dat deta (1 a ) 1 (Hit: Breg A op bovedriehoeksvorm) Oplossig: (i) We telle de eerste rij bij de rije 3 t/m op e trekke de tweede rij va de rije 3 t/m af Dit geeft ee matrix va de vorm A met deta det A Otwikkele a de eerste kolom e vervolges a de tweede kolom geeft det A ( 1) 1+ ( 1) det ( 1) det

4 e dit is weer ee matrix va dezelfde vorm als( A, maar ) u met 0 1 ipv rije Omdat voor geldt dat det 1, blijft de 1 0 determiat altijd gelijk aa 1 (ii) Voor i 1,,,,1 trekke we a keer de i-de rij va de (i+1)-ste rij af, dit geeft ee bovedriehoeksmatrix va de vorm 1 a a a a a a 3 a a A a a 3 a a a a a met det A deta Het product va de diagoaalelemete va A is (1 a ) 1 Opgave 8 Voor A F otere we met à de geadjugeerde matrix va A (i) Laat zie dat det à (det A) 1 (ii) Stel dat A iverteerbaar is Bewijs dat à 1 à 1 (iii) Druk à voor ee iverteerbare matrix A allee maar door A e det A uit Oplossig: Er geldt Aà à det A A 1 det A E Als A iverteerbaar is volgt hieruit (i) Als A iet iverteerbaar is, is deta 0 e dus is Aà de ulmatrix Stel dat à iverteerbaar is, da is à ee isomorfisme, dus is Im à F e dus rk(a) rk(aã) Maar rk(aã) 0, dus zou ook rk(a) 0 moete zij Dit ka allee maar als A de ulmatrix is, maar i dit geval ziet me rechtstreeks dat ook à de ulmatrix is Dus is ook à iet iverteerbaar e dus detã 0 Als A wel iverteerbaar is, hebbe we detã det(det A A 1 ) (deta) deta 1 (det A) 1 (merk op dat voor ee -matrix geldt dat det(λa) λ deta) (ii) Ivulle va A 1 ipv A i à deta A 1 geeft à 1 deta 1 A e dit is iderdaad juist de iverse va à deta A 1 (iii) Ivulle va à ipv A i à deta A 1 geeft à detã (Ã) 1 (det A) 1 deta 1 A (deta) A volges deel (i) e (ii)

5 Oefeopgave week 7 Opgave XXXI Zij A R met als i j, A dus (A ) ij : 1 als i j 1, aders Laat (bijvoorbeeld met iductie) zie dat deta + 1 Hoe veradert het resultaat als op de plaats ( 1,) ee ipv ee 1 staat, dus als de blok rechts oder 1 wordt? Opgave XXXII Voor ee complexe matrix A C otere we met A de matrix met i iedere compoet de complex gecojugeerde va A, dwz (A) ij A ij (i) Laat zie dat det(a) det(a) (ii) Ee matrix A C heet ee uitaire matrix als A t A 1, maw als AA t E Laat zie dat voor ee uitaire matrix A geldt dat det A 1 Opgave XXXIII Ee moomiale matrix is ee matrix met i iedere rij e iedere kolom precies éé elemet ogelijk aa ul Ihb heeft ee moomiale -matrix dus precies elemete ogelijk aa ul Laat zie dat voor ee moomiale matrix A F geldt dat det(a) gelijk aa het product va de iet-ul elemete va A is Opgave XXXIV We otere met à de geadjugeerde matrix va A (i) Laat zie dat Ãt (Ã)t (ii) Bewijs dat ÃA det A E (we hadde tijdes het college allee maar gezie dat Aà det A E) Opgave XXXV Bepaal voor de volgede matrices de geadjugeerde matrix: A 1 0 0, A 0 4 8, A Webpagia: souvi/la 08/lahtml