WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

Transcriptie

1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september

2 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten van matrices Getransponeerde matrix 2

3 Matrix notatie Het element in de i-de rij en j-de kolom van m n matrix A wordt aangeduid met a ij en heet het (i, j)-element van A. A = a 11 a 1j a 1n a i1 a ij a in a m1 a mj a mn 3

4 Matrix notatie Het element in de i-de rij en j-de kolom van m n matrix A wordt aangeduid met a ij en heet het (i, j)-element van A. Voorbeelden , , 3 3 3, 10 4

5 Matrix notatie De diagonale elementen van een matrix zijn a 11, a 22, a 33, Een diagonaal matrix is een vierkante n n matrix waarbij de niet-diagonaal elementen 0 zijn

6 Matrix notatie De diagonale elementen van een matrix zijn a 11, a 22, a 33, Een diagonaal matrix is een vierkante n n matrix waarbij de niet-diagonaal elementen 0 zijn. Een diagonaal matrix met alle diagonale elementen gelijk aan 1 heet de identiteitsmatrix. I 3 =

7 Matrix notatie Een nul matrix is een matrix waarbij alle elementen 0 zijn

8 Matrix notatie Een nul matrix is een matrix waarbij alle elementen 0 zijn. Twee matrices zijn aan elkaar gelijk als ze dezelfde grootte hebben en de corresponderende elementen aan elkaar gelijk zijn =

9 Som van matrices De som van twee m n matrices A en B geeft matrix A + B waarvoor elk element gelijk is aan de som van de corresponderende elementen van matrices A en B. A + B is dus alleen gedefinieerd als matrix A en B dezelfde afmetingen hebben. 9

10 Som van matrices De som van twee m n matrices A en B geeft matrix A + B waarvoor elk element gelijk is aan de som van de corresponderende elementen van matrices A en B. Voorbeeld A = en B = A + B = =

11 Veelvoud matrix De vermenigvuldiging van m n matrix A met constante c geeft matrix ca waarvoor elk element gelijk is aan het corresponderende element van matrix A vermenigvuldigd met constante c. Voorbeeld A = en c = 2 ca = =

12 Verschil van matrices Het verschil van twee m n matrices A en B wordt gegeven door A B = A + 1 B. 12

13 Matrix operaties Stelling Laat A, B en C matrices zijn met dezelfde afmetingen en laat c en d constanten zijn. Dan geldt dat a. A + B = B + A b. A + B + C = A + B + C c. A + O = A d. A + A = O e. c A + B = ca + cb f. c + d A = ca + da g. c da = cd A h. 1A = A 13

14 Product matrices Definitie Het product van m n matrix A met n p matrix B is m p matrix C = AB. Het element in rij i en kolom j van matrix C wordt gegeven door c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. Als A m n is en B is n p, dan is AB m p. 14

15 Product matrices Definitie Het product van m n matrix A met n p matrix B is m p matrix C = AB. Het element in rij i en kolom j van matrix C wordt gegeven door c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. b 1j c ij = a i1 a i2 a in b 2j b nj 15

16 Blokmatrix Een blokmatrix is een matrix die bestaat uit een aantal kleinere matrices oftewel blokken. Een blokmatrix ontstaat door een matrix zowel verticaal als horizontaal te verdelen en de ontstane delen als blokken op te vatten. Voorbeeld A = = I B O C 16

17 Product matrices Als A een m n matrix is en B een n p matrix die als volgt is opgedeeld in zijn kolomvectoren b 1 b 2 b p dan geldt AB = A b 1 b 2 b p = Ab 1 Ab 2 Ab p. Dit heet de matrix-kolom representatie van het product. 17

18 Product matrices Laat A een m n matrix zijn en B een n p matrix. Als A als volgt is opgedeeld in zijn rijvectoren A 1 A 2 A m dan geldt AB = A 1 A 2 A m B = A 1 B A 2 B A m B. Dit heet de rij-matrix representatie van het product. 18

19 Product matrices Laat A een m n matrix zijn en B een n p matrix. Als A is opgedeeld in zijn kolomvectoren en B in zijn rijvectoren dan geldt = a 1 B 1 + a 2 B a n B n. AB = a 1 a 2 a n B 2 B 1 B n Dit heet de kolom-rij representatie van het product. 19

20 Product matrices Stelling Laat A een m n matrix zijn en laat de afmetingen van B en C zo zijn dat de onderstaande sommen en producten gedefinieerd zijn. a. A BC = AB C b. A B + C = AB + AC c. A + B C = AC + BC d. k AB = ka B = A(kB) voor een constante k e. I m A = A = AI n 20

21 Product matrices Waarschuwingen 1. Het product AB is niet altijd hetzelfde als BA. 2. Als AB = AC dan hoeft B niet gelijk te zijn aan C. 3. Als AB = O dan kun je niet concluderen dat A = O of B = O. 21

22 Macht van een matrix Als A een n n matrix is en k een positief geheel getal, dan A k = A A A k. Voor positieve gehele getallen r en s geldt dat 1. A r A s = A r+s 2. A r s = A rs 22

23 Getransponeerde matrix Definitie Als A een m n matrix is, dan is de getransponeerde van de matrix, aangeduid met A T, een n m matrix waarvan de kolommen gevormd worden door de rijen van A. Voorbeeld A = en AT =

24 Symmetrische matrix Definitie Een vierkante n n matrix A is symmetrisch als A = A T. Voorbeeld A = , A T =

25 Getransponeerde matrix Stelling Laat A en B matrices zijn met afmetingen zo dat de onderstaande sommen en producten zijn gedefinieerd. a. A T T = A b. A + B T = A T + B T c. ca T = ca T, voor een constante c d. AB T = B T A T e. A r T = A T r voor positief geheel getal r 25

26 Samenvatting Als A m n is en B is n p, dan is AB m p. Het product AB = C wordt gegeven door c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj. De k-de macht van n n matrix A wordt gegeven door A k = A A A k. Als A een m n matrix is, dan is de getransponeerde van de matrix, aangeduid met A T, een n m matrix waarvan de kolommen gevormd worden door de rijen van A. 26