Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:"

Transcriptie

1 Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x + a 2 b y = a 2 c a a 2 x + a b 2 y = a c 2 De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Mits a 2 b a b 2 is y = a2c ac2 a 2b a b 2 (a 2 b a b 2 y = a 2 c a c 2 Evenzo: { a b 2 x + b b 2 y = c b 2 a 2 b x + b b 2 y = c 2 b Weer de tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Mits a b 2 a 2 b is x = cb2 c2b a b 2 a 2b (a b 2 a 2 b x = c b 2 c 2 b Merk op dat de noemer (bijna dezelfde is Voer in als notatie: Dan staat er dus: a b a 2 b 2 = a b 2 a 2 b Dit is een (2 bij 2 determinant c b c 2 b 2 a c a x = a 2 c 2 b, y = a 2 b 2 a b a 2 b 2 We definiëren nu eerst een 3 3 determinant: a b c a 2 b 2 c 2 b = a 2 c 2 a 3 b 3 c 3 b 3 c 3 a 2 b c b 3 c 3 + a 3 b c b 2 c 2 a = b 2 c 2 a 3 c 3 + b 2 a c a 3 c 3 b 3 a c a 2 c 2 a = c 2 b 2 a 3 b 3 c 2 a b a 3 b 3 + c 3 a b a 2 b 2 Ga na dat de definitie inderdaad drie keer hetzelfde oplevert!

2 Hierbij heet b 2 c 2 b 3 c 3 de minor van a, b c b 3 c 3 de minor van a 2, enz Je kunt de determinant ontwikkelen naar elke kolom, de determinant is de som van: de elementen maal de minoren maal een teken Welk teken bepaal je met onderstaand schema; regeltje van alternerende tekens: Je kunt ook ontwikkelen naar een rij: a b c a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = a b 2 c 2 b 3 c 3 b a 2 c 2 a 3 c 3 + c a 2 b 2 a 3 b 3 Voorbeeld: = = ( ( ( 4 2 = = 2 Hier was er naar de eerste rij ontwikkeld Ontwikkelen we bijvoorbeeld naar de derde kolom, dan krijgen we: = = (4 2 3 (4 + 9 (2 = = 2 We voeren nu eerst voor een algemene determinant het begrip minor wat preciezer in Bekijk de determinant a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a ij a n a n2 a n3 a nn De minor van a ij is de determinant die je krijgt door rij i en kolom j weg te laten 2

3 We definiëren nu de algemene n n determinant in termen van (n (n determinanten: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n = a n a n2 a nn a (de minor van a a 2 (de minor van a ( n+ a n (de minor van a n Ook kun je weer ontwikkelen naar elke gewenste rij of kolom, het tekenschema is We komen straks terug op het oplossen van stelsels vergelijkingen met determinanten Eerst wat rekenregels en eigenschappen 2 Eigenschappen van determinanten a Bij spiegelen in de hoofddiagonaal behou de determinant dezelfde waarde Anders gezegd, voor een matrix A gel det A = det A T a a 2 a 3 b b 2 b 3 heeft dezelfde uitkomst (ontwikkel naar de eerste rij als c c 2 c 3 a b c a 2 b 2 c 2 (ontwikkel naar de eerste kolom a 3 b 3 c 3 Gevolg is: elke bewering over rijen is ook waar voor kolommen en vice versa b Bij verwisselen van twee rijen verandert het teken van de determinant a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = b b 2 b 3 a a 2 a 3 c c 2 c 3 (ontwikkel de eerste determinant naar de eerste rij, de tweede determinant naar de tweede rij c Als twee rijen gelijk zijn, is de determinant nul (volgt uit b d Als je een rij vermenigvuldigt met een getal, dan vermenigvuldig je de 3

4 determinant met dat getal ka b c ka 2 b 2 c 2 ka 3 b 3 c 3 = ka α ka 2 α 2 + ka 3 α 3 = k(a α a 2 α 2 + a 3 α 3 a b c = k a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 (hier is α i de minor van a i voor i=,2,3 e Als twee rijen evenredig zijn, dan is de determinant nul (volgt direkt uit c en d f Als een rij de som is van twee termen, dan is de determinant de som van de twee afzonderlijke determinanten a + x b c a 2 + x 2 b 2 c 2 = (a + x b 2 c 2 a 3 + x 3 b 3 c 3 b 3 c 3 (a 2 + x 2 b c b 3 c 3 + (a 3 + x 3 b c b 2 c 2 a b c = a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 + x b c x 2 b 2 c 2 x 3 b 3 c 3 g Een determinant verandert niet als je een veelvoud van een rij optelt bij een andere rij (dit volgt uit e en f Deze laatste eigenschap kun je gebruiken om determinanten uit te rekenen: door het veegproces uit te voeren verandert een determinant niet (NB: Je mag nu ook met kolommen vegen, dit in tegenstelling tot wat we gezien hebben bij het oplossen van stelsels vergelijkingen Voorbeeld: Bereken p p keer de tweede kolom van de eerste af levert p 2 + 7p 7 4 ontwikkelen naar de eerste rij geeft dan p 2 + 7p 4 = 4 4p p = 3p 2 4

5 3 Nogmaals stelsels vergelijkingen Bekijk eerst eens het stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden x, x 2, x 3 : ofwel Ax = b Noem D = det A = Dan is (i x D = (ii x 2 D = (iii x 3 D = als x = x x 2 x 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 b a 2 a 3 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 a b a 3 a 2 b 2 a 23 a 3 b 3 a 33 a a 2 b a 2 a 22 b 2 a 3 a 32 b 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33,,, x x 2 x 3 een oplossing is van Ax = b Dit staat bekend als de regel van Cramer = b b 2 b 3 BEWIJS: We laten alleen zien dat (i waar is, (ii en (iii bewijs je analoog Dus: neem aan dat x x 2 een oplossing is Dan is b a 2 a 3 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 a 33 x 3 = x a a 2 a 3 = x D + x 2 = x D + x 2 a 2 a 22 a 32 a 2 a 2 a 3 a 22 a 22 a 23 a 32 a 32 a 33 (een-na laatste stap wegens f, laatste stap wegens c + x 3 a 3 a 23 a 33 + x 3 NB: Hetzelfde bewijs werkt natuurlijk ook voor 4 4, 5 5, enz We formuleren de regel van Cramer nu in zijn algemene vorm a 2 a 3 a 22 a 23 a 32 a 33 a 3 a 2 a 3 a 23 a 22 a 23 a 33 a 32 a 33 5

6 STELLING 3 (Regel van Cramer Als det A = D, dan wor de oplossing voor Ax = b, waar a a n x b A =, x = b = gegeven door a n a nn x n b n x j = met j =,, n a a j b a j+ a n a n a nj b n a nj+ a nn D, Bewering: theoretisch is dit een fraaie stelling, je moet het alleen nooit zo uitrekenen Al die determinanten zijn heel veel rekenwerk, en vegen gaat sneller We geven nu nog enkele handige resultaten, zonder die te bewijzen STELLING 32 Een n n matrix A heeft een inverse als en alleen als det A Die inverse kun je ook met behulp van determinanten uitrekenen, maar vegen gaat weer veel sneller STELLING 33 Als det A =, dan heeft Ax = een oplossing x, en ook alleen dan De verzameling van al die vectoren noteer je met kera Tenslotte nog een stelling over de determinant van het produkt van matrices STELLING 34 det A B = det A det B Voorbeeld: ( A = 2, B = ( Dan is det A = 2 en det B = 9, en inderdaad ( AB = 2 ( = ( , zodat det AB = 8 = 2 9 6

7 2 Eigenwaarden en eigenvectoren 2 Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE 2 Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan heet x een eigenvector van A (bij eigenwaarde λ Voorbeelden: ( A = 2 A = Ax = ( Ax =, x = ( ( ( (, x = ( (, λ = 2, dan is = ( 2 2, λ =, dan is = ( ( = 2 ( = Interpretatie: A als afbeelding heeft in de richting van x een simpele vorm, namelijk oprekking met een factor λ Opmerking: als x een eigenvector is, dan is ook elk veelvoud van x een eigenvector bij dezelfde eigenwaarde, behalve de vector Om niet elke keer de uitzondering van mee te slepen, spreken we af dat we in de collectie van eigenvectoren bij een bepaalde eigenwaarde wel meenemen Voorbeeld: A = 2 3 A heeft drie eigenwaarden, te weten, 2 en 3 De eigenvectoren bij zijn alle vectoren van de vorm α (of α C, al naar gelang we A als reële of complexe matrix zien, α R De eigenvectoren bij 2 zijn alle vectoren van de vorm α, α R De eigenvectoren bij 3 zijn alle vectoren van de vorm α, α R 7

8 22 Hoe we eigenwaarden en eigenvectoren vinden Merk op, als x een eigenvector is, dan gel Ax = λx, ofwel dan is A λ x = dus (A λix = Volgens een stelling uit het vorige hoofdstuk is dan det(a λi =, omdat x Omgekeerd, als det(a λi =, dan is er ook een x zó dat (A λix = Voorbeeld: A = 2 2 λ 2 Dan is det(a λi = = 2 λ λ 3 = ( λ(λ 3(λ + = ( λ(λ 2 2λ De eigenwaarden zijn dan dus λ =, λ = en λ = 3 Eigenvectoren bij λ = krijg je door op te lossen: (A Ix =, dus 2 2 x = Oplossingen zijn de vectoren van de vorm α 2 Eigenvectoren bij -: los op (A ( I =, dus > waarvan de oplossingen zijn α 2, α R 2 Eigenvectoren bij 3: los op (A 3 Ix =, dus waarvan de oplossingen zijn α 2 2, α R, α R 2, 2, 8

9 De vergelijking det(a λi = heet de karakteristieke vergelijking van A Voorbeelden: Een voorbeeld met complexe oplossingen: A = λ λ Eigenvectoren bij i: ( i i ( met oplossingen α i Eigenvectoren bij -i: ( i i ( met oplossingen α i ( geeft = λ 2 + = geeft λ = ±i als eigenwaarden, met nu α C!, α C ( i ( i 2 Nu een 3 3 voorbeeld met complexe oplossingen: A = geeft λ 2 2 λ λ = ( λ λ2 2 λ ( λ{( λ 2 + 4} = geeft λ = of λ = ± 2i 2 2 = ( λ{( λ 2 +4} Eigenvectoren bij eigenwaarde : 2 oplossen geeft α 2 Eigenvectoren bij eigenwaarde + 2i: 2, α C 2i 2 2 2i 2i oplossen geeft α i Eigenvectoren bij 2i: α i, α C, α C 2 2i 2i 2 2i oplossen geeft 9

10 In al onze voorbeelden hierboven hadden we een n n matrix met n verschillende eigenwaarden Dat hoeft natuurlijk niet altijd zo te zijn Voorbeelden: ( A = ( 2 A = eigenvectoren heeft één eigenwaarde:, en elke vector is eigenvector ( heeft één eigenwaarde:, en alleen α, α R, zijn Laat nu A een n n matrix zijn met n verschillende eigenwaarden: λ, λ 2,, λ n Kies eigenvectoren x i met Ax i = λ i x i (i =,, n Vorm de matrix S die je krijgt door x i op de i-de kolom te zetten: S = (x x 2 x n Dan : A S = (Ax Ax 2 Ax n = (λ x λ 2 x 2 λ n x n = S Bovendien is S inverteerbaar (dat bewijzen we niet λ λ 2 λn λ n Een matrix die alleen maar niet-nul getallen op z n hoofddiagonaal heeft noemen we een diagonaalmatrix Voorbeeld: ( 4 A = 2 3 Eigenwaarden: 4 λ 2 3 λ = 2 7λ + λ 2 2 = λ 2 7λ + = (λ 5(λ 2 ( Dus 2 en 5 zijn eigenwaarden Eigenvectoren: is eigenvector bij 5, ( is eigenvector bij 2 2 ( Vorm S = 2 ( 4 Dan gel: AS = 2 3 ( 2 = ( 2 ( 2 5

11 Dus: S AS = ( 2 5 NB: S is inverteerbaar, want dets=-3 We merken nog het volgende op: A en A T hebben dezelfde eigenwaarden (maar niet dezelfde eigenvectoren natuurlijk Verder, als een complex getal λ een eigenwaarde is van de (complexe matrix A, dan is λ een eigenwaarde van A Tenslotte hebben we de volgende belangrijke stelling: STELLING 22 Als A een zelfgeadjungeerde n n matrix is dan zijn alle eigenwaarden van A reëel, en de eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar Verder zijn er vectoren x,, x n die loodrecht op elkaar staan, en reele getallen λ,, λ n zo dat Ax i = λ i x i, en de matrix S = (x x n is inverteerbaar In dit geval hebben we dus AS = SD met D de diagonaalmatrix met λ tot en met λ n op de diagonaal Voorbeeld: ( 2 Neem als voorbeeld de matrix A = Ga na dat de eigenwaarden 3 en - zijn, met bijbehorende eigenvectoren en, re- 2 ( ( ( ( spectievelijk Het inproduct, is nul, dus staan deze vectoren inderdaad loodrecht op elkaar

12 3 Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten 3 Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, dwz dv s van de vorm a y + a y + a 2 y = Probeer eerst eens of y(x = e λx een oplossing kan zijn voor een of ander getal λ Invullen geeft voor alle x Dat kan alleen als a y + a y + a 2 y = (a λ 2 + a λ + a 2 e λx =, a λ 2 + a λ + a 2 = Deze kwadratische vergelijking in λ heet de karakteristieke vergelijking We weten dat deze vergelijking in het algemeen twee, eventueel complexe, oplossingen heeft Deze oplossingen zullen we voor nu even noteren met λ en λ 2 Een gevolg van een algemene stelling is dat als λ λ 2 dan is de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking gegeven door y(x = c e λx + c 2 e λ2x, met c, c 2 willekeurige constanten Voorbeelden: y y = Probeer y = e λx De karakteristieke vergelijking wor λ 2 =, dus λ = ± De algemene oplossing is dus y(x = c e x +c 2 e x, met c, c 2 R 2 y + 3y + 2y = De karakteristieke vergelijking is λ 2 + 3λ + 2 = (λ + 2(λ + =, dus λ = 2 of λ = De algemene oplossing is dus y(x = c e 2x + c 2 e x, met c, c 2 R 3 y + y = De karakteristieke vergelijking is λ 2 + =, dus λ = ±i Alle complexe oplossingen worden dan gegeven door y(x = c e ix + c 2 e ix, met c, c 2 C Nu is e ix = cos x + i sin x en e ix = cos x i sin x Dus y(x = (c + c 2 cos x + i(c c 2 sin x Neem nu c + c 2 = a R èn i(c c 2 = b R Dat kan, bijvoorbeeld c = c 2 werkt Dan y(x = a cos x + b sin x met a, b R is de algemene reële oplossing 2

13 4 y +2y +y = De karakteristieke vergelijking is λ 2 +2λ+ =, dat geeft λ = Er is nu maar één oplossing van de vorm y(x = e λx, namelijk y = ce x Nu vinden we de andere oplossingen door variatie van constanten Stel y(x = c(xe x is een oplossing Dan Dus y = c e x ce x y = (c e x c e x (c e x ce x = c e x 2c e x + ce x y + 2y + y = (c 2c + c + 2c 2c + ce x = c e x =, zodat c = Dat betekent c(x = ax + b, met a, b R Dus y(x = axe x + be x met a, b R Dat is altijd zo: als er maar één oplossing van de karakteristieke vergelijking is, zeg λ, dan is naast e λx ook xe λx een oplossing 32 Inhomogene vergelijking We bekijken nu vergelijkingen van de vorm a y + a y + a 2 y = f(x Eerst doen we een algemene bewering: als y (x één oplossing van de inhomogene vergelijking is en c y (x+c 2 y 2 (x de algemene oplossing van de homogene vergelijking a y + a y + a 2 y = dan is de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking gegeven door y (x + c y (x + c 2 y 2 (x met c, c 2 R Dat is leuk, omdat we nu maar één oplossing van de inhomogene vergelijking hoeven te vinden, maar hoe doe je dat dan? Voordat we daar wat over zeggen merken we op dat die ene oplossing van de inhomogene vergelijking een particuliere oplossing heet Hoe vind je zo n particuliere oplossing? Er is een algemene methode (ook nu weer variatie van constanten geheten, maar die is ingewikkeld Voor veel functies f werkt het volgende idee: probeer voor y lineaire combinaties van f, f, f, We illustreren dit met wat voorbeelden Voorbeelden: 3

14 Los op y y = x Probeer als particuliere oplossing y = ax + b Invullen geeft (omdat y = y y = ax b = x, dus b =, a = De algemene oplossing is dus y(x = x + c e x + c 2 e x 2 y +y = cos x Probeer voor y een functie van de vorm y = a cos x+b sin x Dan is y = a cos x b sin x, en y = a sin x + b cos x Dus y + y = ( a + b cos x (a + b sin x = cos x, wat geeft a + b =, a + b = Oplossen van dit stelsel geeft a = 2, b = 2 Dus is 2 cos x + 2 sin x een oplossing De oplossing van de homogene vergelijking krijg je zoals gewoonlijk door de karakteristieke vergelijking op te lossen: λ 2 + λ = λ(λ + = geeft λ = of λ = De algemene oplossing is dus y(x = 2 cos x + 2 sin x + c e x + c 2 met c, c 2 R 3 y y = e x Nu werkt ae x natuurlijk niet als particuliere oplossing omdat dit al een oplossing van de homogene vergelijking is Probeer in zulke gevallen echter axe x = y(x Dan y = axe x + ae x, y = axe x + 2ae x, dus y y = 2ae x = e x, geeft a = 2 Een particuliere oplossing is dus y(x = 2 xex, zodat de algemene oplossing wor y(x = 2 xex + c e x + c 2 e x met c, c 2 R Laten we het recept voor het oplossen van een inhomogene lineaire dv samenvatten Los de bijbehorende homogene dv op 2 Vind een particuliere oplossing bijvoorbeeld met de methode zoals boven beschreven 3 Los de constanten in de algemene oplossing op dmv rand- of beginvoorwaarden (indien die aanwezig zijn Van dat laatste geven we nog een voorbeeld: Los op y + y = cos x met y( = en y ( = We weten al dat de algemene oplossing is y(x = 2 cos x + 2 sin x + c e x + c 2 Invullen van y( = en y ( = geeft = 2 + c + c 2 en = 2 c Dus c = 2 en c 2 = De gezochte oplossing is dus y(x = 2 cos x + 2 sin x + 2 e x We merken tenslotte op dat de technieken die hier gebruikt zijn ook werken voor de algemenere situatie van een n-de orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficienten 4

15 4 Stelsels differentiaalvergelijkingen 4 Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x 2(t x n(t = A x (t x 2 (t x n (t, A een n n matrix ( Voorbeelden: { dx = 2x + y dy = 2y, dus hier is A = ( 2 2 Dit stelsel is simpel op te lossen: y(t = c e 2t invullen in x (t = 2x + y geeft x (t = 2x(t + ce 2t, een inhomogene differentiaalvergelijking Die los je eenvoudig op: x(t = c e 2t 4 ce 2t 2 Hoe nu te handelen met bijvoorbeeld { x (t = 2y 3x y (t = 2y 3x STELLING 4 Als λ een eigenwaarde is van A en x de bijbehorende eigenvector is, dan is x(t = e λt x een oplossing van (* BEWIJS: Ax = λx, dus Ae λt x = λe λt x = (e λt x QED In het tweede voorbeeld, waar A = 3 λ 3 dat 3 en -4 de eigenwaarden zijn Eigenvectoren bij 3: oplossen van α R Eigenvectoren bij -4: oplossen van R ( , volgt uit 2 2 λ = λ2 + λ 2 = (λ + 4(λ 3 = ( ( ( geeft α 3 ( 2 geeft α,, α 5

16 We zien dat voor elke c, c 2 uit R, c e 3t ( 3 ( 2 en c 2 e 4t oplossingen zijn Bewering: alle oplossingen zijn van de vorm ( ( ( x(t = c y(t e 3t + c 3 2 e 4t 2 met andere woorden met c, c 2 R { x(t = c e 3t + 2c 2 e 4t y(t = 3c e 3t + c 2 e 4t Dat is altijd zo: als λ,, λ n de eigenwaarden van A zijn met x,, x n de bijbehorende eigenvectoren, dan krijg je alle oplossingen van x (t = Ax(t via x(t = c e λt x + + c n e λnt x n, met c,, c n (eventueel complexe getallen Voorbeelden: x = 3x + y 3 Los op y = 2y + z z = z A = 3 2, Eigenwaarden zijn 3, 2 en Bijbehorende eigenvectoren,, 2 2 Oplossingen zijn dus x(t = c e 3t + c 2 e 2t + c 3 e t y(t = c 2 e 2t 2c 3 e t met c, c 2, c 3 R z(t = 2c 3 e t 4 Los op { x = x 2y y = 2x + y ( 2 A = Eigenwaarden: ( λ = geeft λ = ± 2i 2 ( ( 2i 2 Eigenvectoren bij +2i: oplossen geeft 2 2i i als eigenvector 6

17 ( 2i 2 Eigenvectoren bij 2i: 2 2i eigenvector ( oplossen geeft i als Dus: met c, c 2 C { x(t = (c + c 2 e t cos 2t + i(c c 2 e t sin 2t y(t = i(c c 2 e t cos 2t + (c + c 2 e t sin 2t Nu hebben we een probleem: we willen de reële oplossingen hebben Bedenk dat e (+2it = e t e 2it = e t cos 2t + ie t sin 2t Door nu c en c 2 zo te kiezen dat a = c + c 2 R èn b = i(c c 2 R krijgen we alle reële oplossingen { x(t = ae Dus: alle reële oplossingen zijn t cos 2t + be t sin 2t y(t = be t cos 2t + ae t sin 2t met a, b R 42 Stelsels inhomogene differentiaalvergelijkingen Ook voor stelsels inhomogene differentiaalvergelijkingen werkt het gebruikelijke proberen van een oplossing voor bepaalde soorten rechterlid Voorbeeld: { x = y + t 3 y = x + t Eerst het homogene stuk { ( ( x = y x y = x ofwel y = ( x y Eigenwaarden zijn ±i, alle oplossingen voor de homogene vergelijking zijn { x(t = a cos t + b sin t met a, b R y(t = b cos t + a sin t Nu moeten we nog ( één oplossing ( van de inhomogene ( ( vergelijking ( vinden x a c e g Probeer daartoe = t y 3 + t b 2 + t + met d f h a, b, c, d, e, f, g, h reële getallen Dan is ( x y = 3t 2 ( a b = t 3 ( b + a ( c + 2t d ( e + f + t 2 ( d c + t ( f e + ( h + g 7

18 Vergelijk coëfficienten, je krijgt het volgende stelsel van acht vergelijkingen met acht onbekenden: a = b = d = 3a c = 3b 2c = f e + = d e = h f = g Dit stelsel is eenvoudig op te lossen, je krijgt a = d =, b =, c = 3, e =, f = g = 6, h = Samenvattend: ( ( x = t 3 y +t 2 ( 3 ( +t 6 ( 6 + = ( 3t 2 t 6 t 3 6t + De algemene oplossing is dus: { x(t = a cos t + b sin t + 3t 2 t 6 y(t = b cos t + a sin t t 3 6t + 8

19 Opgaven Determinanten a Bereken de volgende determinanten: b Bewijs: a b c = (a b(b c(c a(a + b + c a 3 b 3 c 3 p q r c Bewijs: q r p r p q = p q + r λ d Los λ op uit 3 λ λ 3 =, met λ R λ 4 e Bereken : i 4 i 4 i 4 i x x f Los op : x 3 3 = x

20 2 Stelsels vergelijkingen a Bepaal de oplossing van { 2x y + 3z = 6 x + 2y z = 4 b Voor welke waarden(n van p is er een oplossing van het volgende stelsel? Geef de oplossing ook c Heeft het stelsel een oplossing? Zo ja, welke? x y + 3z = 3 2x + y z = 6 x + 2y + 2z = 3x 2y 2z = p x 4y + 3z = 9 3x 2y z = 3 4x 6y 8z = 6 2x + 2y 4z = 2 d Voor welke waarden van p heeft het volgende stelsel een oplossing? x + pz = y + pu = px + z = py + u = Bepaal ook de oplossing(en voor die waard(en van p waarvoor het stelsel oplosbaar is 3 Men zoekt een particuliere oplossing φ(x van de lineaire dv ay + by + cy = f(x Welke gedaante van φ(x (met onbepaalde coëfficienten probeert u, als: (a (b f(x = x 3 + sin 2x f(x = xe 2x (c f(x = (sin x + cos x 2 + (d f(x = e x sin 2x 4 Bepaal de algemene oplossing: (a y 2y 3y = (b y 4y + 3y = (c y + 2y + y = (d y + 2y = (e y + 2y 8y 4x 2 = (f y = 3e x + 4y sin x (h ẍ + ẋ = 2t sin t cos t [ ẋ = dx ] 2

21 5 Los de volgende beginwaardeproblemen op: (a (b { y 3y + 2y = y( = y ( = { ẍ x = 2 cos t 2t sin t x( = ẋ( = 6 Bepaal van de volgende stelsels differentiaalvergelijkingen de oplossing (e (a (c { dx = 2x + y dy = x + 2y dx = 3x + z dy = 3y + z dz = x + y + 2z (b (d { dx = x y dy = 4x + y dx = 2x + 3y + 3z dy = 3x y dz = 3x z Bepaal van het stelsel onder d die oplossingen die voldoen aan x( =, y( = 2, en z( = (f (h { dx = x + 2y + e t dy = 3x + 2y e t (g { dx = 2x + y + 3t 5 dy = x + 2y 2 (i { dx = 4x 3y + sin t dy = 2x y 2 cos t dx = 2x + 3y + 3z + 48t dy = 3x y + 2e t dz = 3x z 2e t 2

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

1 Stelsels lineaire vergelijkingen.

1 Stelsels lineaire vergelijkingen. Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Stelsels differentiaalvergelijkingen

Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future

WI1708TH Analyse 2. College 5 24 november Challenge the future WI1708TH Analyse 2 College 5 24 november 2014 1 Programma Vandaag 2 e orde lineaire differentiaal vergelijking (17.1) 2 1 e orde differentiaal vergelijking Definitie Een 1 e orde differentiaal vergelijking

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben

Nadere informatie

6. Lineaire operatoren

6. Lineaire operatoren 6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten Hoofdstuk 3 : Determinanten Paragraaf 3.2 : Determinanten (Les ) Definitie determinant aa bb De determinant van de [2 x 2]-matrix AA = is een getal met waarde cc dd det(a) = ad bc. aa bb Notatie : dddddd(aa)

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006

Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006 Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00

Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00 Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen

1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen

Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Hoofdstuk 1: Inleiding

Hoofdstuk 1: Inleiding Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

4. Determinanten en eigenwaarden

4. Determinanten en eigenwaarden 4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

Tentamenopgaven over hfdst. 1 t/m 4

Tentamenopgaven over hfdst. 1 t/m 4 Ttamopgav over hfdst. 1 t/m 4 1. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de oplossing van het beginwaardeprobleem y + 4y = 4 cos 2x, y(0) = 1, y (0) = 0. 2. donderdag 31 oktober 1996 Bepaal de algeme oplossing

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica

Examen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Determinanten. Definities en eigenschappen

Determinanten. Definities en eigenschappen Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

2. Transformaties en matrices

2. Transformaties en matrices Transformaties en matrices Lineaire afbeelding Onder een lineaire afbeelding van R n naar R m verstaan we een functie A die aan iedere vector uit R n een vector uit R m toevoegt en van het volgende type

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

3. Stelsels van vergelijkingen

3. Stelsels van vergelijkingen . Stelsels van vergelijkingen We gaan de theorie van de voorgaande hoofdstukken toepassen op stelsels van lineaire vergelijkingen. Een voorbeeld: bepaal alle oplossingen (x,, ) van het stelsel vergelijkingen

Nadere informatie

Wiskundige Technieken

Wiskundige Technieken 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 009-010 1ste semester 7 oktober 009 Wiskundige Technieken 1. Integreer de volgende differentiaalvergelijkingen: (a) y + 3x y = 3x (b) y + 3y + y = xe

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur

Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper

Nadere informatie

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011

PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.

Matrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix

Nadere informatie

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n.

3. Bepaal de convergentie-eigenschappen (absoluut convergent, voorwaardelijk convergent, divergent) van de volgende reeksen: n=1. ( 1) n (n + 1)x 2n. Radboud Universiteit Tentamen Calculus A NWI-WP025 25 januari 208, 8.30.30 Het gebruik van een rekenmachine/gr, telefoon, boek, aantekeningen e.d. is niet toegestaan. Geef precieze argumenten en antwoorden.

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen

Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen Wiskunde I voor Scheikunde en Medische Natuurwetenschappen Dr. A.C.M. Ran najaar 00 (gewijzigde druk Voorwoord Dit dictaat is bedoeld voor twee groepen studenten: de eerstejaars studenten scheikunde en

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

Stelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten

Stelsels van lineaire DVen met constante coëfficiënten Zij K = R of C, n N, A R n n. Zoek differentieerbare functies y : R K n zodanig dat ẏ(t) = Ay(t), t R. Opmerking: De oplossingen vormen een lineaire deelruimte (ga na!). Deze heeft dimensie n. De algemene

Nadere informatie

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30

Hertentamen WISN102 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:30 16:30 Hertentamen WIN12 Wiskundige Technieken 2 Di 17 april 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen

Hoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen

Nadere informatie

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II

Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II Tentamen Gewone Differentiaal Vergelijkingen II.0.007 Jullie mogen een willekeurige van de vier opgaven als bonusopgave bekijken. (Dus drie opgaven volledig en goed gedaan is al een 10.) Opgave 1 Bekijk

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER

TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur

Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Hertentamen Wiskundige Technieken 1 Donderdag 4 jan 2018, 9-12 uur Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele

Nadere informatie

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen

Vector-en matrixvergelijkingen. Figuur: Vectoren, optellen Vector-en matrixvergelijkingen (a) Parallellogramconstructie (b) Kop aan staartmethode Figuur: Vectoren, optellen (a) Kop aan staartmethode, optellen (b) Kop aan staart methode, aftrekken Figuur: Het optellen

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12)

Lineaire Algebra (2DD12) Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen

Hoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)

Nadere informatie