2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie

Transcriptie

1 2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal het aatal bome stabilisere? Zal het aatal bome blijve toeeme? Als model voor het bestudere va deze vraagstellig defiiëre we de volgede rij: u = 4 e > : u = ipart(,8 u + ). Met het commado ipart bedoele we het geheel gedeelte va ee reëel getal. Voor de TI-83/84 Plus vid je dit commado i het MATH<NUM>-meu. Het bestudere va de tabel met terme e het plotte va de pute ( u, ) geeft ee eerste idee over de evolutie va de populatie bome. Wat kue we zegge a.h.v. bovestaade schermafdrukke over het aatal bome vaaf ee zekere -waarde? Wat is het atwoord op de vooraf gestelde vrage? Bij toeemede -waarde adere de terme va deze rij aar We zegge dat deze rij covergeert aar oeme we de greswaarde of de limietwaarde va deze rij. Wiskudige otatie: lim u = lim u( ) = Grafische aalyse Defiieer de rij : u = 4 e > : u =,8 u + 3,6. (i) Wat cocludeer je over lim u + met de termetabel e/of de grafiek? (ii) Bepaal het expliciete voorschrift va deze rij. Hit : + a + a a - = a a. oáàéå=j=n

2 Om het resultaat va (i) grafisch voor te stelle tekee we va u ee web-diagram. Eerst worde de grafieke geplot va de volgede fucties f : x x e g: x,8x+ 3,6 Met TRACE start de cursor op de startwaarde 4. Ee druk op de pijltoetsverbidt ( 4,) met ( 4, g( 4)) = ( 4,6.8). M.a.w ( u (),) wordt verbode met ( u(), u (2)). g f Metwordt (-4,6.8) verbode met (6.8,6.8) f. Drukke opherhaalt deze procedure. Het etwerk va verticale (behoud va x-waarde) e horizotale (behoud va y-waarde) lijstukke adert steeds dichter tot het sijput va f e g. (-4,6.8) g (6.8,6.8) f (6.8,-.84) g (-.84,-.84) f (-.84,5.72) g of (u(),u(2)) g (u(2),u(2)) f ~ (u(5),u(6)) g Algebraïsch bepale we het sijput va f e g als volgt: y = x e y =,8x+ 3, 6 x=,8x+ 3, 6,8x = 3, 6 x= y = 2 oáàéå=j=o

3 2..3 Covergetie Defiieer de rij u met het expliciete voorschrift va de rij uit put 2..2: u = + \{}: 6 (,8) 2. Voer bovedie de volgede twee costate rije i: IN \{} : v =,5 e w = 2,5. Kies ee volle lij als grafiekstijl. Plot de drie rije. Met TRACE e de pijltjestoets ka je de beeldpute volge e vaststelle dat vaaf ee zekere -waarde alle volgede beeldpute tusse de strook gevage zij. De terme va de rij vaaf die -waarde behore tot ].5,2.5[. Als = 3 heb je het beeldput (3, ) e ].5,2.5[ = ]2.5,2 +.5[. OPDRACHT Herhaal deze procedure voor ]2.2,2 +.2[ = ].8,2.2[ e ]2.,2 +.[ = ].9,2.[. Bepaal het ragummer zodat alle terme met ee idex > i het iterval ligge. Deze werkwijze ka je herhale voor elk strikt positief getal ε (= epsilo). DEFINITIE u covergeert aar a of lim u + = a Voor elk strikt positief getal ε bestaat er mistes éé atuurlijk getal zodat alle terme met ee grotere idex behore tot ] a ε, a+ ε[. ( ε )( \{})( \{})( > u ] a ε, a+ ε[) + OPMERKING ] a ε, a+ ε[ oemt me ee basisomgevig va a (ee ope iterval met a als midde). Er geldt: u ] a ε, a+ ε[ a ε< u < a+ ε u a < ε. oáàéå=j=p

4 2..4 Uitgewerkt voorbeeld + Beschouw de rij u = met 2. Met ee tabel e ee grafiek ka je vermoede dat deze rij covergeert aar. Volges de defiitie moet je voor elke ε > ee atuurlijk getal kue bepale zodat alle terme met ee idex groter da behore tot ] ε,+ ε[. M.a.w. voor moet gelde : ε < < + ε ε< < ε ε< < ε. e voorwaarde: 2 e voorwaarde: 2 ε < is altijd voldaa (likerlid is egatief e rechterlid positief) ε < ε < + < >. ε ε ε 2 + ε 2 + ε Neem ee. Da zal voor > aa de voorwaarde voldaa zij. ε ε 2+, Voor bijvoorbeeld ε =, moet = 2., u22, u23, u 24,... e alle volgede terme behore tot ]., +.[ = ].9,.[. 23,9 2 Bijvoorbeeld: u 22 =. 2.2 Oeigelijke of oeidige limiet 2.2. Voorbeeld Op --22 kreeg Arthur ee spaarrekeig va 5. Elk jaar bedraagt de itrest 5% e jaarlijks wordt 5 bijgestort. Arthur is 2 jaar e mag gee geld va zij rekeig afhale. Volges welk model groeit het kapitaal? RECURSIEF VOORSCHRIFT u = 5 e > : u = u +, 5 u + 5 =, 5 u + 5 EXPLICIET VOORSCHRIFT u = + = 5 (,5) ((,5) ) 5 (,5) oáàéå=j=q

5 Zowel uit de oderstaade tabel als uit de grafiek cocludeer je dat de terme va de rij blijve toeeme. We zegge dat deze rij divergeert aar +. Wiskudige otatie: lim u + = Grafische aalyse We costruere ee web-diagram voor de rij 5 u = e > : u = 2u + 6. Het web va verticale e horizotale lijstukke covergeert i dit geval iet aar éé put maar verwijdert zich steeds verder e verder aar +. OPDRACHT Neem voor hetzelfde recursieve voorschrift achtereevolges als startwaarde e -7. Teke i beide gevalle ee web-diagram. Stel idie odig ee tabel op va de rij. Wat stel je vast? Divergetie Idie we de rij uit put plotte same met de costate rij v = 75 bekome we het volgede resultaat. u 7 = 58 e alle terme va deze rij met ee idex groter 7 zulle de vooropgestelde gres va 75 overstijge. Hoe groot we de gres ook kieze, vaaf ee bepaalde idex zulle de terme de gres overschrijde. Vadaar de volgede defiitie. oáàéå=j=r

6 DEFINITIE lim u + = + of u divergeert aar + Voor elk positief reëel getal r kue we ee atuurlijk getal bepale zodat alle terme va de rij met ee idex > het getal r overstijge ( r + )( \{})( \{})( > u > r) u > r vervage door u Idie we i de bovestaade defiitie divergetie aar. Wiskudige otatie: lim u =. OPDRACHT Overtuig jezelf, grafisch of met ee tabel dat de rij u Volges de defiitie moet voor ee willekeurige Bepaal zodat voor alle > geldt dat u < r. Doe hetzelfde voor de rij u < r bekome we de defiitie voor = divergeert aar. r > vaaf ee bepaalde idex u = < r. 2 =. Maak evetueel eerst ee tabel. OPMERKINGEN (i) Niet elke rij heeft ee limiet. π Beschouw de rij u = si[(2 ) ] =,,,,,,... Deze rij oemt me alterered. 2 De rij heeft gee eidige e gee oeidige limiet. Me zegt ook dat deze rij diverget is. (ii) Als ee rij ee limiet heeft, is de limiet eig. Veroderstel eve dat u covergeert e dat zowel lim u = 2 als lim u = Stel bijvoorbeeld ε =. Het is omogelijk dat voor alle idices groter da ee zekere gres geldt dat u ]2 ε,2+ ε[ = ],3[ e u ]5 ε,5+ ε[ = ]4,6[ Dit geeft aa dat de veroderstellig verkeerd is. Algemee ka me aatoe dat de limiet va ee rij uiek is. Net zoals hierbove leidt de veroderstellig lim u = a e lim u = b met a b tot ee + + b a cotradictie; stel bijvoorbeeld ε =. 3 oáàéå=j=s

7 2.3 Covergetie va rekekudige e meetkudige rije 2.3. Rekekudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = u + v i.f.v. het verschil v. a) v > We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i de positieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. b) v < We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i egatieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar. c) v = We plotte ee web-diagram met u = 7. Het web covergeert aar het put (7,7). We kue besluite dat de rij covergeert aar Meetkudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = q u i.f.v. de verhoudig q. a) q > We plotte ee web-diagram met q = 2 e u =, 5. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. We passe de startwaarde aa: u =. We kue besluite dat de rij divergeert aar. I beide gevalle divergeert de rij. oáàéå=j=t

8 b) q = I dit geval is de meetkudige rij ee costate rij. We kue besluite dat de rij covergeert aar de startwaarde. c) < q< e q We plotte ee web-diagram met q =,5 e u =. Het web covergeert aar de oorsprog. We kue besluite dat rij covergeert aar. We passe de startwaarde e verhoudig als volgt aa: q =,5 e u =. We kue weer besluite dat rij covergeert aar. I beide gevalle covergeert de rij aar. d) q = We kieze als startwaarde u = 5. De rij 5, 5,5, 5,5, 5,... heeft gee limiet We kue besluite dat rij divergeert. e) q < We plotte ee web-diagram met q = 2 e u =. De rij, 2, 4, 8,6, 32,64,... heeft gee limiet. We kue besluite dat rij divergeert Bewijze met de defiitie Grafisch hebbe we vastgesteld dat de meetkudige rij u met verhoudig q = 2 e startwaarde u = divergeert aar +. Om dit aalytisch te bewijze moete we voor ee elk willekeurig positief reëel getal r ee atuurlijk getal kue vide zodat alle terme met ee idex groter da groter zij da r. oáàéå=j=u

9 + Zij r. Voor ee atuurlijk getal verschilled va ul geldt: log r log 2r u = 2 > r log(2 ) > log r ( ) log 2 > log r > + =. log 2 log 2 log 2r Kies da ee atuurlijk getal zodat. log 2 Da voldoet iedere term u met > aa de gestelde voorwaarde. OPMERKING Deze werkwijze om limiete te bepale op basis va ee vermoede e m.b.v de defiitie is omslachtig, tijdroved e vaak moeilijk. De oodzaak voor ee hadiger werkwijze drigt zich op. Het ivoere va stadaardlimiete e rekeregels is da ook ee volgede stap. oáàéå=j=v