Reeksen. Convergente reeksen

Transcriptie

1 Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij, {s } l de rij va partieelsomme va de reeks. Notatie: u = u l + u l+ + u l Voorbeelde: De harmoische reeks: = De harmoische wisselreeks: {s } =, 2, 5 6, 7 2,... = , {s } =, 3 2, 6, 25 2,... = De meetkudige reeks met rede q: ( ) + = , q, =0 s = q+ q wat s = +q + q q qs = q + q 2 + q q + = s ( q) = q + Reekse Deelreekse Covergete reekse Defiitie: Als{u k } ee deelrij is va {u } da is u k ee deelreeks va k u k. Voorbeeld: De harmoische wisselreeks = u = ( ) + = heeft deelreekse =0 u 2+ = =0 2+ = e 5 = u 2 = = 2 = Meer algemee spreke we over de deelreekse va de positieve (egatieve) terme va ee gegeve reeks e otere die als k J pos ( ) u k,resp. k J eg ( ) u k waarbij J pos () = {k k N, k, u k 0} e J eg () = {k k N, k, u k < 0} Covergete e divergete reekse Defiitie: u is coverget als lim s = s R. s oeme we de som va de reeks e we otere s = u. u is diverget als de rij {s } l iet covergeert. Voorbeeld: =0 q = lim q + q = q divergeert als q als q <

2 Reekse Ee odige e voldoede voorwaarde voor covergetie Covergete e divergete reekse Voorbeeld: = q = lim ( +)q + q + ( q) 2 = Het covergetiecriterium va Cauchy Stellig: Bewijs: ( q) 2 als q < u is coverget a.s.a. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: u + u u m <ɛ u cov. {s } l cov. {s } l is ee Cauchy rij, m.a.w. ɛ >0, N zodaig dat m N geldt: s m s < ɛ u + u u m < ɛ Gevolg: u is diverget a.s.a. ɛ >0, zodaig dat N, m, N met u + u u m ɛ Toepassig: Deharmoische reeks is diverget wat ɛ = 2,zodaigdat N, = = N +, m =2N met u + u u m = N+ + N N N 2N Reekse Covergetie criteria Nodige maar iet voldoede voorwaarde voor covergetie Als u covergeert da geldt dat lim u =0 Bewijs: Uit het covergetiecriterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m = N geldt: u + u u m = u < ɛ Gevolg: Als lim u 0 divergeert de reeks. Voorbeeld: De meetkudige reeks =0 q divergeert als q. Opgelet: De voorwaarde lim u =0isiet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: De reeks = divergeert e toch geldt lim =0 Als u covergeert da zij de rije {u } l e {s } l begresd. Gevolg: Als{s } l iet begresd is, divergeert de reeks. Voorbeeld: = divergeert wat s = = Opgelet: De begresdheid va {s } l is iet voldoede voor covergetie. Voorbeeld: =0 ( )+ divergeert e {s } l =, 0,, 0,,... is begresd

3 Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Defiities e voorbeelde Stellig: Als u covergeert, covergeert ook Bewijs: Uit het covergetie criterium va Cauchy volgt dat ɛ >0, N zodaig dat m N geldt u + u u m < ɛ u + u u m < ɛ Defiities: Als u covergeert, oemt me u absoluut coverget. Als u covergeert, maar u divergeert, oemt me u voorwaardelijk coverget. Voorbeeld: Elke covergete meetkudige reeks ( q < ) is absoluut coverget. ( ) 2 =0 = ( 2 ) = 2, 3 2 =0 = =2 2 ( ) + Voorbeeld: De harmoische wisselreeks is voorwaardelijk coverget = u Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Covergetie/divergetie va de deelreekse Beschouw u met de deelreekse k J ( ) pos u k = v e = k J ( ) eg u k = w. De deelreeks met de positieve terme covergeert (divergeert) als lim k= v k = v > 0 ( ). De deelreeks met de egatieve terme covergeert (divergeert) als lim k= w k = w < 0 ( ). Voor het covergetieoderzoek va u e u beschouwe we de limiete lim s = lim lim S = lim u k = lim k=l k J pos () u k = lim k=l u k + u k,resp. k J () eg u k k J () pos k J () eg u k = lim s v w v+w - - lim S v w v-w -

4 Reekse Voorwaardelijke e absolute covergetie Besluite e voorbeelde Ee reeks covergeert absoluut a.s.a. de deelreekse met positieve e egatieve terme beide covergere. Voorbeeld: =0 u = =0 ( ) 2 = ( 2 ) = 2 3 = v + w =0 u = =0 2 = =2=v w = v = = =0 4 = = 4 3 = v 4 = w = =( 2 ) v = 2 3 = w Als ee reeks voorwaardelijk covergeert, divergere beide deelreekse. Voorbeeld: = u = ( ) + = =log(2) = u = = divergeert = v = = =0 2+ divergeert = w = ( 2 )( ) divergeert 3 Als éé deelreeks covergeert e de adere divergeert, divergeert de reeks. Voorbeeld: Reekse Het Cauchy product va twee reekse Defiitie e stellig Defiities: De reeks w met w = u j v j = u 0 v + u v u v 0 =0 j=0 oemt me het Cauchy product va de reekse u e v. Verklarig: ( =0 u )( =0 v ) =0 =0 = (u 0 + u + u )(v 0 + v + v ) = u 0 v 0 + u 0 v +u 0 v 2 +u 0 v u v 0 +u v +u v 2 + u v u 2 v 0 +u 2 v + u 2 v 2 + u 2 v = w 0 + w +w 2 +w = =0 w =0 v absoluut Stellig: Als =0 u absoluut covergeert met som s e covergeert met som t, da covergeert ook =0 w absoluut met som st. Voorbeeld: We berekee het Cauchy product va de absoluut covergete meetkudige reekse =0 ( q) e =0 q.hierisu =( q), v = q e w = j=0 u j v j = j=0 ( q)j q j = q j=0 ( )j = q ( ( ) ) w 2 = q 2, w 2+ =0 =0 w = =0 w 2 + =0 w 2+ = =0 (q2 ) = q 2 = +q q

5 Reekse Covergetieteste Het Cauchy product bij voorwaardelijke covergetie Opgelet: De stellig is iet algemee geldig bij voorwaardelijk covergete reekse. ( ) Voorbeeld: Het Cauchy-product va de covergete reeks met zichzelf is =0 + ee divergete reeks, wat lim w 0,l. w = j=0 w 2 = ( ) j j ( ) j j+, w 2 = 2 j= j+ 2 j Covergetieteste bij reekse met positieve terme () De vergelijkigstest (2) De itegraaltest (3) De verhoudigstest (criterium va d Alembert) (4) Het klei criterium va Cauchy (5) De covergetietest va Raabe Reekse Covergetieteste De vergelijkigstest Stellig: Als N zodaig dat N geldt dat 0 u v,da v covergeert = covergeert u divergeert = v u divergeert Ee reeks met ee covergete majorate covergeert zelf ook, ee reeks met ee divergete miorate divergeert zelf ook. Voorbeeld : De reeks = 2 +si 2 3 covergeert wat geldt dat 0 2 +si e = 2 = ( ) =0 2 =2 Voorbeeld 2: De reeks =2 log 0 < log < = 0 < < log Voorbeeld 3: De reeks =0 0 < 2+2 < e de reeks 2+ =0 divergeert wat 2 geldt dat e de harmoische reeks = divergeert. 2+ divergeert wat 0 geldt dat 2+2 = 2 = divergeert.

6 Reekse De itegraaltest Covergetieteste Stellig: Zijf (x) 0 e daled op [, ) eziju = f (), da covergeert de reeks = u a.s.a. de oeigelijke itegraal f (x) dx covergeert. Bewijs: We beschouwe de reeks = v met v = + f (x) dx = v covergeert a.s.a. f (x) dx covergeert cov r eidig f (x) dx lim f (x) dx div r oeidig = v cov div lim f (x) dx lim v + v v eidig oeidig eidig oeidig = u covergeert a.s.a. = v covergeert, watf (x) is daled: f ( +) f (x) f (), x [, +] + f ( +)dx + f (x) dx + f () dx 0 u + v u e toepasse va de vergelijkigstest. Reekse De itegraaltest: toepassige De Dirichlet reeks Covergetieteste = p elke vaste p, verwijzed aar Voorbeelde: De reeks =2 = = covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor 2 x p dx. is coverget, de reekse = e zij diverget. Meer algemee, als u c p,,dacovergeert de reeks u a.s.a. p >. De reeks p covergeert voor elke vaste p > e divergeert voor log elke vaste p. Bewijs: Alsp > covergeert de Dirichlet reeks e 3 geldt dat 0 < p log < p De reeks =2 log divergeert wat lim dx r x log x =. Ook voor p < divergeert de reeks wat geldt da dat 0 < log < p log r 2

7 Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, iet limietvorm Stellig: Gegeve de reeks u met u > 0, l. Als s (0, ) e N zodaig dat N geldt dat u + s da covergeert de reeks. Als N zodaig dat u N geldt dat u + da divergeert de reeks. u Bewijs: (a) divergetie: N geldt u + u (b) covergetie: k geldt u N+ s u N u N+2 s u N+ =... u N+k s u N+k = u + u > 0= lim u 0 u N+ u N+2... u N+k u N u N+... u N+k s k u N+k u N s k 0 < u N+k u N s k De meetkudige reeks k=0 u N s k is ee covergete majorate voor k=0 u N+k.Ook u = N k=l u k + k=0 u N+k covergeert. Voorbeeld: De reeks = u = Opgelet: Als ekel geldt dat u + u =! covergeert wat u + u = + 2, <, N, is er gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2 covergeert ( u + = 2 u (+) 2 <, ) = divergeert ( u + = <, ) u + Reekse Het criterium va d Alembert limes iferior, limes superior Defiities: M = lim sup x = lim v met v =sup{x, x +,...} m = lim if x = lim w met w =if{x, x +,...} Eigeschappe: ɛ >0, N N zodaig dat N geldt dat x < M + ɛ x > m ɛ M e m zij ophopigspute va {x } l, de limiet als M = m., De verhoudigstest, limietvorm Stellig: ZijM = lim sup u + e m = lim u if u +.AlsM < covergeert de u reeks u,alsm > is er divergetie, bijm M gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsm < kieze we ee s (M, ) e dus s M > 0. Ergeldt u + ɛ >0, N zodaig dat N geldt: < M + ɛ u u + < s < u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de covergetie. (b) Zij m > : N zodaig dat N geldt u + > m (m ) = u Uit de iet limietvorm va de verhoudigstest volgt de divergetie. (c) = 2 e = zij voorbeelde waarbij M = m =

8 Reekse Covergetieteste De verhoudigstest, limietvorm 2 u Stellig: Zijμ = lim +.Alsμ< covergeert de reeks u u,alsμ> is er divergetie, bijμ = gee algemee besluit. Voorbeeld: = 2! covergeert wat lim u + u = lim 2 ( + ) = 2 e < Klei criterium va Cauchy Stellig: ZijΛ = lim sup u.alsλ < covergeert de reeks u,als Λ > is er divergetie, bijλ = gee algemee besluit. Bewijs: (a)alsλ< kieze we ee s (Λ, ). N zodaig dat N geldt: u < s 0 < u < s =0 s is ee covergete majorate va de gegeve reeks. (b) Λ > is ee ophopigsput va de rij { u } l. Er zij oeidig veel waarde waarvoor u > = u > = lim u 0. (c) = e = zij voorbeelde waarbij Λ = 2 Voorbeeld: = u = = covergeert wat lim u = lim =0 Reekse De test va Raabe ( Stellig: Als lim u ) + u c > e divergeert de reeks als c. Covergetieteste Voorbeeld: = divergeert wat lim covergeert wat lim ( 2 = 2 = c R da covergeert de reeks u als ( ) = lim + + =, (+) 2 ) = lim (2+) =2. Covergetieteste voor reekse met ook egatieve terme () Als N zodaig dat N geldt u 0: vorige teste toepasse (2) Als N zodaig dat N geldt u 0: u = ( u ) (3) Als N,, 2 N met u > 0eu 2 < 0 (3a) Beschouw u :Als u covergeert, is u absoluut coverget; i het adere geval is er gee algemee besluit. (3b) Beschouw de deelreekse k J ( ) pos e k J eg ( ) : Als beide deelreekse covergere, is de gegeve reeks absoluut coverget, als slechts éé va de deelreekse covergeert, is de gegeve reeks diverget. (3c) Is de reeks ee Leibiz reeks?

9 Reekse Covergetieteste De stellig va Leibiz Defiitie: Ee reeks waarva de terme afwisseled positieve e egatieve getalle zij, wordt ee altererede reeks of wisselreeks geoemd. Stellig: Ee wisselreeks ( ) + u met 0 < u + u, e lim u =0 = is coverget. Bewijs: We bewijze dat de deelrije {s 2 } e {s 2+ } 0 dezelfde limiet hebbe. de rij der eve partiëelsomme {s 2 } is stijged: s 2+2 = u u u 2 + u 2+ u 2+2 = s 2 + u 2+ u 2+2 s 2 de rij der oeve partiëelsomme {s 2+ } 0 is daled: s 2+3 = u u u 2+ u u 2+3 = s 2+ u u 2+3 s 2+ Elke oeve partiëelsom s l is groter da elke eve partiëelsom s k : Gegeve k, l, bepaal zodaig dat 2 > k = s k s 2 2 > l = s l s 2 = s k < s l s 2 = s 2 u 2 < s 2 {s 2 } heeft ee limiet α (stijged e aar bove begresd), {s 2+ } 0 heeft ee limiet β (daled e aar oder begresd) e β = lim s 2+ = lim s 2 + u 2+ = α = lim s = s = α = β Reekse Leibiz reekse Voorbeelde e eigeschap Voorbeelde: De harmoische wisselreeks covergete Leibiz reeks, = Eigeschap: ( ) + 2 = ( ) + is ee voorwaardelijk ee absoluut covergete. u 4 u 2 u 2 s u s 2 s 4... s 2 s 2+2 s 2+ s 2... s 3 s geldt: s s 2 < u 2 s s 2 < u 2+ } = s s < u + + u 5 + u 2+ + u 3 Toepassig: De berekeig va het getal π. ( ) x 2+ x [, ] geldt =bgtg(x) = s = k=0 =0 =0 ( ) 2 + = 4 bgtg () = π ( ) k 4 2k+ = ( ) 4 2+ π. Hoe groot moet zij opdat π s < 0 5? Het volstaat dat u + < 0 5 = < 0 5 of !!

10 Reekse Herschikkig va reekse Defiities e stellige Defiities: Derij{h } is ee herschikkig va de rij {u } als h = u f () met f ee bijectie va N op N. De reeks = h is ee herschikkig va de reeks = u als {h } ee herschikkig is va {u }. Voorbeeld: De reeks = h = is ee herschikkig va de harmoische wiselreeks (f (3m) =4m, f (3m +)=2m +, f (3m +2)=4m +2). Stellig: Als = u absoluut covergeert met som s, covergeert elke herschikkig = h ook absoluut coverget met som s. Voorbeeld: = h = = ( ) =0 2 = 2 3 Stellig: Als = u voorwaardelijk covergeert, daka α ee herschikkig = h gevode worde met som α. Bewijs: (Costructief) De deelreekse k J ( ) pos u k e k J eg ( ) u k zij beide diverget. Stel dat α>0. Neem da, i volgorde, positieve terme va de gegeve reeks tot ee som gevormd is die juist groter is da α. Neem da egatieve terme, eveees i volgorde, tot de som juist kleier is da α, da weer positieve terme tot de som juist groter is da α e ga zo verder. Het resultaat is ee herschikkig va de gegeve reeks die covergeert aar α, vermitslim u =0. Reekse Herschikkig va reekse Voorbeeld We costruere ee herschikkig va de harmoische wisselreeks (som log 2) die covergeert met som α =.5. Zij t = k= h k, lim t =.5 Oefeig: Costrueer ee herschikkig va h t h t ( ) + = met lim t =