2de bach TEW. Statistiek 2. Van Driessen. uickprinter Koningstraat Antwerpen ,00

Transcriptie

1 de bach TEW Statistiek Va Driesse Q uickpriter Koigstraat Atwerpe 46 5,00

2 Nieuw!!! Olie samevattige kope via

3 Hoofdstuk : Het schatte va populatieparameters. Ileidig: schatter versus schattig Voorbeeld: Aakomstepatroo va klate i ee bakkatoor Poisso-verdeeld (λ) We kee deze parameter iet, dus we gaa hem schatte Schattig is gebaseerd op metige/waaremige Steekproefgegeves Schattig voor λ gaat ee fuctie zij va de verzamelde steekproefwaarde Elke oderzoeker gaat adere waarde verkrijge Dus ook ee adere schattig o Omdat het ee kasvariabele is HOOFDLETTER Schattig reëel getal Schatter kasvariabele met obekede waarde. Het schatte va ee gemiddelde.. Gemiddelde va ee ormaal verdeelde populatie Normaal verdeelde populatie Geked populatiegemiddelde μ 3,5 Gekede populatiemediaa 3,5 000 oderzoekers elke oderzoeker verricht 5 metige Wat: steekproefgemiddelde bepale Hoe: steekproefgemiddelde e steekproefmediaa berekee Steekproefgemiddelde berekee 3,5 Steekproefmediaa berekee 3,5 Gemiddelde e mediaa zuivere/overtekede schatters va het gemiddelde va ee ormaal verdeelde populatie.. Gemiddelde va ee expoetieel verdeelde populatie Expoetieel verdeelde populatie Parameter λ 00 Populatiegemiddelde μ λ oderzoekers elke oderzoeker verricht 5 metige Steekproefgemiddelde 99,47 00 Steekproefmediaa 77,04 00 Mediaa ozuivere/vertekede schatter va het gemiddelde va ee expoetieel verdeelde populatie.3 Criteria voor schatters.3. Ee overtekede of zuivere schatter Ee ideale schatter bestaat iet!!!

4 Overtekede schatter θ voor ee obekede populatieparameter θ zuiver of overteked als E(θ ) θ formularium p.0 Hier is de vertekeig V(θ ) E(θ ) θ 0 formularium p.0 Aadacht op 3 schatters:. Steekproefgemiddelde X overtekede/zuivere schatter Heeft de kleiste variatie schattig het dichtst bij populatiegemiddelde. Steekproefproportie P overtekede/zuivere schatter Speciaal geval va steekproefgemiddelde 3. Steekproefvariatie S overtekede/zuivere schatter Steekproefstadaarddeviatie S vertekede schatter!!!.3. Precisie of efficiëtie va ee schatter Schatter moet ee kleie variatie/stadaarddeviatie hebbe precieze/efficiëte schatter Wat moete we hier kieze? Overtekede schatter e grote variatie vertekede schatter e kleie variatie De kleiste gemiddelde gekwadrateerde afwijkig GGA(θ ) var(θ ) + [V(θ )] var(θ ) + E(θ ) θ formularium p.0 Meer waaremige meer iformatie betere schattige DUS: auwkeurigheid moet toeeme aarmate de waaremige toeeme.4 Methode voor het berekee va schatters 3 methode voor schatters te vide met goede eigeschappe:. De methode va momete. De methode va de kleiste kwadrate 3. De methode va de grootste aaemelijkheid Deze zij overteked, maar kome iet aa bod i dit boek.5 Het steekproefgemiddelde X.5. Verwachte waarde e variatie Steekproefgemiddelde kasvariabele schatter als we gee data verzameld hebbe Idividuele waaremige iet beked hoofdletters: X, X,, X Idividuele waaremige beked kleie letters: x, x,, x Verwachte waarde: formularium p.0 E(X ) μ Bewijs: E(X ) E ( X i) E(X i)

5 (μ + μ + + μ) μ μ Deze stellig toot aa dat het steekproefgemiddelde ee overtekede/zuivere schatter is va het populatiegemiddelde Variatie: formularium p.0 var(x ) X X Bewijs: var(x ) X var ( X i) var(x i) ( ) Variatie va het steekproefgemiddelde eemt lieair af waer de steekproefomvag toeeemt Dus als groter wordt, is er meer kas dat het steekproefgemiddelde x dicht bij μ zal ligge Stadaardfout/stadard error vierkatswortel va deze variatie X.5. Kasdichtheid va het steekproefgemiddelde uit ee ormaal verdeelde populatie Geval : ormaal verdeelde populatie formularium p.8 Als X, X,, X ~ N(μ, ) oafakelijk Da geldt voor het gemiddelde: X ~ N (μ, ) Da geldt voor de som: X i ~ N(μ, ) Geval : iet-ormaal verdeelde populatie (dus wel uiform, expoetieel, ) Als X, X,, X ~ N(μ, ) oafakelijk Da is het metee duidelijk welke kasdichtheid X heeft (zie volgede titeltje).5.3 Kasverdelig of dichtheid va het steekproefgemiddelde uit ee iet-ormaal verdeelde populatie We gebruike ee grote steekproef de cetrale limietstellig ka gebruikt worde.5.3. Cetrale limietstellig 3

6 Voor steekproeve waarva je de verdelig iet ket! Ka pas uitgevoerd worde als 30 Als je de verdelig iet ket, is de som/gemiddelde beadered ormaal verdeeld Variat 3 formularium p.0 Werkt met het gemiddelde Werkt met dezelfde μ e Als X,, X oafhakelijk met gemiddelde μ e met variatie Da is X X + +X N ( μ, ) N (μ,.5.4 Illustratie va de cetrale limietstellig Zie boek p De steekproefproportie P speciaal geval va steekproefgemiddelde X Bestudeerde variabele ka ekel de waarde 0 (falig) of (succes) aaeme o Vb. Ma/vrouw, defect/iet defect Idie X i ~ Beroulli(π) e is voldoede groot: formularium p. Voorwaarde: π > 5 ( π) > 5 Verwachte waarde: formularium p. E(P ) π Bewijs: E(P ) E ( X i) E(X i) (π + π + + π) π π ) P X i π( π) N (π, ) P π π( π) ~ N(0,) Deze stellig toot aa dat de steekproefproportie ee overtekede/zuivere schatter is va de populatieproportie Variatie: formularium p. π( π) var(p ) 4

7 Bewijs: var(x ) X var ( X i) var(x i) (π( π) + π( π) + + π( π)) π( π) π( π) Variatie va de steekproefproportie eemt lieair af waer de steekproefomvag toeeemt Dus als groter wordt, is er meer kas dat de steekproefproportie dicht bij π zal ligge Voor klei Biomiale kasverdelig Aatal successe i ee steekproef ~ bi(; π).7 De steekproefvariatie S S (X i X ) formularium p..7. Verwachte waarde formularium p. E(S ) Bewijs: E(S ) E ( (X i X ) ) E ( (X i μ + μ X ) ) E ( (X i μ) + (X i μ)(μ X ) + (μ X ) ) 5

8 E ( (X i μ) E ( (X i μ) E ( (X i μ) E ( (X i μ) + (μ X ) (X i μ) + (μ X ) ) + (μ X )(X μ) + (μ X ) ) (μ X ) + (μ X ) ) (μ X ) ) ( E [(X i μ) ] E(μ X ) ) ( var(x i) var(x ) ) ( ( ) ( ) ) De steekproefvariatie S is ee overtekede/zuivere schatter va de populatievariatie.7. De χ -verdelig ( chi-kwadraatverdelig ) X ~ χ k Speciaal geval va ee gammaverdelig Heeft éé parameter k het aatal vrijheidsgrade Verwachte waarde e variatie: formularium p.9 E(X) k var(x) k.7.3 Relatie tusse stadaardormale e χ -verdelig X, X,, X k ~ N(0,) som kwadrate: X + X + + X k ~ χ k formularium p.9 Hoe groter het aatal vrijheidsgrade, hoe meer lijked op ormale kasdichtheid (CLS) k 50 6

9 .7.4 Kasdichtheid va ee steekproefvariatie Kasdichtheid formularium p. S (X i X ) ( )S (X i X ) ( )S (X i X ) ( )S (X i μ) ( )S (X i μ) ( )S ~ χ idie X i ~ N(μ, ) ~ N(0,) idie X i ~ N(μ, ) Variatie ( )S var ( ) k ( ) ( ) var(s ) ( ) var(s ) ( ) ( ) 4 Variatie va de steekproefvariatie eemt lieair af waer de steekproefomvag toeeemt Dus als groter wordt, is er meer kas dat de steekproefvariatie dicht bij zal ligge.8 De steekproefstadaarddeviatie S ee vertekede/ozuivere schatter va de populatiestadaarddeviatie S (X i X ) formularium p. (wortel va S ) E(S) < Levert ee oderschattig va de populatiestadaarddeviatie Hoe kleier het aatal waaremige, hoe groter de oderschattig va 7

10 8

11 . Put- e itervalschatters Hoofdstuk : Itervalschatters Schatters uit hoofdstuk levere slechts éé waarde op putschatters Gee idicatie va betrouwbaarheid Itervalschatters geeft aa ee putschatter ee bepaalde betrouwbaarheid Berekee va ee iterval op basis va de steekproefgegeves P(L θ U) α. Betrouwbaarheidscoëfficiët α waarde tusse 0 e (ee kas) dus α tusse 0 e moet zo groot mogelijk zij (90%,95% of 99%). Betrouwbaarheidsiterval [L, U] zo smal mogelijk (voor auwkeurige iformatie) 3. Obekede parameter θ. Betrouwbaarheidsiterval voor ee populatiegemiddelde μ met bekede variatie Veroderstellig dat geked is e μ iet is iet realistisch ekel voor educatieve doeleide.. Percetiele uit de stadaardormale dichtheid P(Z z α ) α met Z ~ N(0,) P(Z z α ) α P ( zα Z zα) α.. Opstelle va ee betrouwbaarheidsiterval X ~ N (μ, ) Z X μ ~ N(0,) 9

12 P ( P ( zα P (+zα zα X μ P (X + zα zα α ) X μ zα ) α μ X zα ) α μ X zα ) α Betrouwbaarheidsiterval voor μ: formularium p.0 [X zα ; X + zα ]..3 Breedte va ee betrouwbaarheidsiterval (B) Hoe breder het iterval, hoe betrouwbaarder: B (X + zα ) (X zα ) zα B eemt toe als daalt B eemt toe als α stijgt, dus als α daalt B eemt toe als stijgt..4 Foutemarge (b) b B zα zα.3 Betrouwbaarheidsiterval voor ee populatiegemiddelde μ met obekede variatie moet geschat worde aa de had va de steekproefvariatie S Probleem: betrouwbaarheidsiterval (uit vorige paragraaf) ka iet zomaar gebruikt worde T X μ S ~ N(0,) maar wel ~ t.3. Studet t-verdelig T ~ t afgeleid door W.S. Gosset T Z met X ~ χ e met Z ~ N(0,) X formularium p.9 0

13 Hoe groter wordt, hoe meer de t-verdelig op de stadaardormale verdelig lijkt De t-verdelig is symmetrisch: t α ; t α ; o Het 0 de percetiel: t 0,90 ; o Het 90 ste percetiel: t 0,0 ; 8, Toepassig va de t-verdelig bij de costructie va betrouwbaarheidsitervalle T X μ S X μ beide lede dele door S X μ oemer wortel vrij make door te vermeigvuldige met S X μ teller is stadaardormaal verdeeld S X μ ( )S ( ) zodat: X μ S ( )S met ~ χ ~ t Betrouwbaarheidsiterval: formularium p.0 P ( tα ; X μ S tα ; ) α

14 P ( tα ; S X μ tα ; S ) α P (+tα ; S μ X tα ; S ) α P (X + tα ; S μ X tα ; S ) α [X tα ; S ; X + tα ; S ].4 Betrouwbaarheidsiterval voor ee populatieproportie π.4. Ee eerste itervalschatter gebaseerd op de ormale verdelig Wilso score iterval Beste iterval, maar complexer P ~ N (π ; π( π) ) via de CLS P ( zα P ( (P π) π( π) P π π( π) zα ) α zα α Stadaardisere aar N(0,) ) Alle waarde va π die voldoe aa de ogelijkheid vorme het betrouwbaarheidsiterval ( + zα ) π (P + zα ) π + P 0 ogelijkheid aders schrijve Oder- e bovegres va het betrouwbaarheidsiterval zij de ulpute D b 4ac (P + zα 4 P + 4P zα zα + zα (4P + zα 4P ) Nulpute b ± D a ) 4 ( + zα ) P 4 4 P 4P zα (P + zα ) ± z α (4P + z α 4P ) ( + z α ) Betrouwbaarheidsiterval: formularium p.