déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå

Transcriptie

1 déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå téíéåëåü~éééå táëâìåçé oáàéå e~åë=_éâ~éêí oçöéê=i~äáé iéçå=iéåçéêë hçéå=píìäéåë

2 4, LUC Diepebeek (België), Geboeid door Wiskude e Weteschappe Niets uit deze uitgave mag worde verveelvoudigd e/of opebaar gemaakt door middel va druk, fotokopie, microfilm of op welke adere wijze ook zoder voorafgaade schriftelijke toestemmig va de uitgever. Het is toegelate voor leerkrachte om deze tekst te reproducere voor gebruik i de klas.

3 Voorwoord Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe wil i auw cotact met leraars wiskude e weteschappe hededaagse thema s vertale aar de dagelijkse lespraktijk. I het kader va dit project heeft het Limburgs Uiversitair Cetrum same met medewerkers va verschillede Limburgse secudaire schole ee bijzoder project rod wiskude opgezet voor leerlige va de 3de graad secudair oderwijs. Met dit eerste project heeft de stuurgroep wiskude gekoze om ee lik te legge tusse rije i de wiskude, het begrip covergetie e limiet e thema s uit de biologie e iformatica. Aa de had va deze werktekst otdekt u same met uw leerlige hoe het komt dat bloemehartjes zo dicht gevuld zij, dat huisjesslakke zo perfect gevormde schelp hebbe, dat virtuele omgevige gebaseerd zij op wiskudige pricipes Met dit projectwerk wordt aagetood dat wiskude best uitdaged ka zij e vele overwachte toepassige heeft i adere disciplies. De tekst poogt om het verieuwigsproces i de wiskude (auwere aasluitig bij de leefwereld va de leerlige, spiraalsgewijze aapak e het aabiede va meer actieve werkvorme) toe te passe. Het grafische aspect speelt hieri ee belagrijke rol. Er wordt i de tekst da ook bijzodere aadacht besteed aa de grafische aalyse va begrippe als covergetie e limiete. Omdat i de eidterme va het wiskudeoderwijs ook het ICT-gebeure ee belagrijke plaats ieemt, heeft ook dat aspect ee belagrijke plaats gekrege. Het eerste deel va de tekst bregt het begrip rij aa. Aa de had va verrassede probleme otdekke leerlige de basispricipes. I ee tweede deel wordt verder igegaa op covergetie e wordt het begrip limiet aagekodigd. I de bijlages worde bepaalde thema s verder uitgediept. Achteraa de tekst vidt u ee aatal uitvergrote tekeige die op trasparat kue worde gekopieerd. Bij de tekst is ook ee website otwikkeld om de odige software te dowloade of oplossige va probleme te bestudere ( Het is iet oodzakelijk om de tekst itegraal i de klas aa te biede. De tekst wil vooral ee stimulas zij om verieuwede thema s, die passe bie het leerpla, i de les te behadele. We wese je boeiede lesse e hope va je feedback te moge verwachte. Dat ka via de vermelde website. Wil je graag meewerke aa dit soort projecte, aarzel da iet om éé va oze medewerkers te cotactere. Ook dat ka via de vermelde website Veel plezier met dit project voor u e uw leerlige. Prof. Dr. Herma Callaert Coördiator Scholeetwerk. Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe is ee iitiatief va Dirk Va Mechele, Vlaams miister va Fiacië e Begrotig, Iovatie, Media e Ruimtelijke Ordeig, i overleg met Marlee Vaderpoorte, Vlaams miister va Oderwijs e Vormig. Het project Geboeid door Wiskude e Weteschappe wordt, i opdracht va de Vlaamse regerig, gerealiseerd door de admiistratie Weteschap e Iovatie va het miisterie va de Vlaamse Gemeeschap e door het Limburgs Uiversitair Cetrum. oáàéå=j=p

4 Ihoud Ileidig 5. Rije 5. De rij va Fiboacci 5. Rekekudige e meetkudige rije 7.3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije 9.4 Uitgewerkte voorbeelde.5 Opdrachte. Limiet va ee rij: covergetie of divergetie 5. Eigelijke of eidige limiet 5. Oeigelijke of oeidige limiet 8.3 Covergetie va rekekudige e meetkudige rije 3 Appedix A: De rij va Fiboacci 34 A. Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci 34 A. De gulde sede 35 A.3 De rij va Fiboacci i de kust 36 A.4 De rij va Fiboacci i de atuur 38 Appedix B: Rije e de TI-83/84 Plus 4 B. Voorbeeld 4 B. Het plotte va de rij 4 B.3 Webdiagram 4 Appedix C: Fracdes 44 C. De familie vo Koch 44 C. Geïtereerde fuctiesysteme (IFS) 45 C.3 Hadleidig 46 C.4 Istallatie 48 Appedix D: Trasparate Error! Bookmark ot defied. Appedix E: Bibliografie 7 oáàéå=j=q

5 Ileidig Waarom vorme zoebloempitte bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5? Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige i de biologie? Heb je je al ees afgevraagd hoe computerprogrammeurs de virtuele omgevige creëre die gebruikt worde i computerspelletjes? I dit hoofdstuk vid je op deze vrage ee atwoord.. Rije. De rij va Fiboacci Stel dat je ee babykoppel koijtjes bezit. Na éé maad zij ze volwasse e dus vruchtbaar. Na weer éé maad krijgt het volwasse koppel zelf ee babykoppel koijtjes. We veroderstelle dat er gee koijtjes doodgaa e dat elk ieuw koppel a twee maade weer ee ieuw paar voortbregt (zie volgede figuur). oáàéå=j=r

6 Beschouw i de volgede tabel de voortplatig va de koije. Maad Aatal volwasse pare Aatal babypare Totaal aatal Het totaal aatal koijepare vormt de rij va Fiboacci:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, Elke term is de som va de twee voorgaade terme. I symbole: u ( ) = u ( ) + u ( ). Dit oemt me het recursieve voorschrift va de rij. Bij het berekee va ieuwe elemete, maak je gebruik va de keis va de vorige elemete. Je zou de elemete i de rij ook kue beschouwe als resultate va ee fuctie u : \{}. Je kut aatoe (zie bijlage A) dat voor de rij va Fiboacci het voorschrift gegeve wordt door : u: \{} : 5 Ga dit a voor u(), u(5) e u(). Ee dergelijk voorschrift oemt me het expliciete voorschrift va de rij. Je maakt u ekel gebruik va het volgummer of idex va het elemet. De op het eerste zicht eigeaardige getalle uit de rij va Fiboacci blijke op heel wat plaatse voor te kome i de atuur. Zoebloeme Het hart va ee zoebloem vertoot spirale die i tegegestelde richtig lope. Het aatal spirale i wijzerzi e i tegewijzerzi zij meestal twee opeevolgede Fiboaccigetalle. Zoebloeme va gemiddelde grootte hebbe meestal 34 e 5 5 spirale. De geoloog T. O Coell e zij vrouw hebbe i 95 ee reuzezoebloem gevode met 44 e 33 spirale. oáàéå=j=s

7 Aaasse Als je de verschillede spirale bij ee aaas telt, bekom je getalle uit de rij va Fiboacci. 8 3 Niet allee i de atuur kome de getalle va Fiboacci verrassed veel voor. Twee voorbeelde : Muziek De zwarte toetse uit de tooladder vorme de 5-toige schaal die later uitgebreid werd met de witte toetse (de 8-toige schaal). Same vorme ze de 3-delige schaal. De vijfdelige schaal is bovedie gegroepeerd i e 3. Poëzie Ee limerick is opgebouwd uit 5 lije met ee totaal aatal va 3 versmate of maatslage, gegroepeerd per of 3 De vrouw va ee deke i Lake Lag s achts diepe zuchte te slake, Zij kreude zacht : O! Het kriebelt mij zo : Wel ee deke i bed, maar gee lake. (Alex va der Heide) 3 mate 3 mate mate mate 3 mate 3 mate. Rekekudige e meetkudige rije Voorbeeld Beschouw de rij 5, 8,, 4, 7,, 3, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = u ( ) + 3 Expliciet: u ( ) = u() + 3( ) Ee rij waarbij elke term met eezelfde getal verschilt va de vorige oemt me ee rekekudige rij. Het verschil, v, tusse twee opeevolgede terme is steeds gelijk. oáàéå=j=t

8 Voorbeeld Beschouw de rij 6, 8, 54, 6, 486, 458, Het recursieve e het expliciete voorschrift zij: Recursief: u ( ) = 3 u ( ) Expliciet: u ( ) = u() 3 Ee rij waarbij elke term met eezelfde factor verschilt va de vorige oemt me ee meetkudige rij. De verhoudig, r, va twee opeevolgede terme is dus steeds gelijk. Defiities Ee reële rij u is ee afbeeldig va \{} i. De algemee term va de rij is het beeld u ( ) va door u. We otere u ( ) door u. Ee rekekudige rij met begiterm u ( ) = u = u + ( ) vmet u e v reële getalle. Ee meetkudige rij met begiterm u ( ) = u = uq met u e q reële getalle u u e verschil v is de rij met algemee term e verhoudig q is de rij met algemee term Merk op dat voor zowel rekekudige als meetkudige rije ook recursieve voorschrifte gegeve kue worde. Voorbeeld 3 Beschouw de rij, 3, 7, 5, 3, Het recursieve e expliciete voorschrift zij: Recursief: u = u + Expliciet: u = Het recursieve voorschrift va deze rij ka algemee geformuleerd worde als volgt: > : u = au + b ( a, b, u ) met begiterm. u Dit resulteert i ee meetkudige rij als a e b = e ee rekekudige rij als a = e b. Opmerkige Me spreekt va ee strikt stijgede rij als \{}: u + > u Me spreekt va ee stijgede rij als \{}: u + u. Elke strikt stijgede rij is stijged. Me spreekt va ee strikt dalede rij als \{}: u + < u. Me spreekt va ee dalede rij als \{}: u + u. Elke strikt dalede rij is daled. Me spreekt va ee strikt mootoe rij als de rij strikt daled of strikt stijged is. oáàéå=j=u

9 Me spreekt va ee mootoe rij als de rij daled of stijged is. Elke strikt mootoe rij is steeds mootoo. Me spreekt va ee costate rij als: IN \{}: u+ = u. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar bove begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemajoreerd. a, \ : u a. Me spreekt va ee aar oder begresde rij als { } I dit geval oemt me de rij gemioreerd. Me spreekt va ee begresde rij als de rij aar bove EN aar oder begresd is..3 Eigeschappe va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije Beschouw de rekekudige rij u = 5, 8,, 4, 7,, 3, 6,, 3 +, Beschouw de oderstaade pare va somme: u + u4 = u+ u5 = u3+ u4 = 5 u5 + u = 5 u3+ u5 = 8 u + u6 = 8 Dit geeft de volgede tabel: u u u + u Verwoord de hierbove gevode relatie i de vorm va ee algemee eigeschap. EIGENSCHAP Voor ee rekekudige rij u geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk + ul = ur + u (ii) \{} : ui = u u = ( u+ u ) i= s oáàéå=j=v

10 BEWIJS Zij u ee rekekudige rij met verschil v e k, l, r, s zoals i het gegeve. Om te bewijze dat uk + ul = ur + u s schrijf u, u, u e u s i.f.v. u e. k l r k = + ( ). k + l = + + l ( ). u u k v u = u + l v u u u ( k l ). v v e r = + ( ). r + s = + + s ( ). u u r v u = u + s v u u u ( r s ). v Hieruit volgt dat uk + ul = ur + u s. Zij \{} e stel S = u+ u + u u. We bepale de som va S met zichzelf op de volgede maier: S = u + u + u u S = u + u + u u S = ( u + u ) + ( u + u ) + ( u + u ) ( u + u ) terme Pas op S eigeschap (i) toe om aa te toe dat S = ( u + u)..3. Meetkudige rije EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij u met ee positieve verhoudig geldt: (i) klrs,,, \{}: k+ l= r+ s uk ul = ur u (ii) \{} : ui = u... u = ( u u ) i= Het bewijs va eigeschap verloopt aaloog als het bewijs va de gelijkaardige eigeschap voor rekekudige rije. Probeer het bewijs te formulere! s Opmerkig Formuleer ee eigeschap voor het product va de eerste terme va ee meetkudige rij met ee egatieve verhoudig. Maak ee oderscheid tusse eve e oeve. oáàéå=j=nm

11 EIGENSCHAP Voor ee meetkudige rij met verhoudig q geldt: (i) u u = u als q = u u = u (ii) q q als q BEWIJS Het eerste geval is overduidelijk daar voor q = alle terme gelijk zij aa u. Veroderstel da dat q. I dit geval geldt : u u = u + u q+ u q + u q u q = u ( + q+ q + q q ) Uit q = ( q) ( + q+ q + q q ) volgt het te bewijze. Opmerkig Voor < q < wordt q praktisch ul voor voldoede groot. q u u q Hieruit volgt voor u u = u = q q q verwaarloosbaar is t.o.v. u e voor voldoede groot dat u + +. q q. Voor voldoede groot geldt: u... u u q q oáàéå=j=nn

12 .4 Uitgewerkte voorbeelde Rije worde o.a. gebruikt om : dyamische processe te beschrijve (dek bijvoorbeeld aa het radioactief verval va ee stof, de voortplatig va ee bepaalde diersoort, ), getalle te beadere (dakzij het gebruik va rije kue vierkatswortels met ee reketoestel of computer sel bereked worde), bij fucties te oderzoeke wat er gebeurt als x zeer grote of zeer kleie waarde aaeemt. Voorbeeld - Itrest Waeer me bij ee bak ee geldbedrag op ee spaarrekeig plaatst, krijgt me daar ee vergoedig voor i de vorm va itrest. Stel dat we ee kapitaal va op ee spaarrekeig zette gedurede ee aatal jare tege ee itrestvoet va 5%. Bij ekelvoudige itrest krijgt me per jaar ee vergoedig va 5. Het kapitaal groeit da jaarlijks aa volges ee rekekudige rij. Stel u = het kapitaal a jare i het geval va ekelvoudige itrest. I werkelijkheid past me echter samegestelde itrest toe. Dit wil zegge dat me i de loop va ee volged jaar iet allee itrest krijgt op het oorsprokelijk kapitaal maar ook op de itrest die me de vorige jare heeft otvage e die me op de spaarrekeig laat staa. Stel v = het kapitaal a jare i het geval va samegestelde itrest. We make ee tabel met de aagroei va het begikapitaal u = v =. aatal jare u 5.,5 = 5 5.,5 =. (,5) ,5 =. (,5) ,5 =. (,5) (,5) Bij samegestelde itrest groeit het kapitaal aa volges ee meetkudige rij e dit is voor de spaarder gustiger. De algemee formule voor de jaarlijkse samegestelde itrest is ( ) v K = K. + i = K. q, waarbij K het begikapitaal, K het kapitaal a jare, i de itrestvoet (voor 5% is i =,5) e q = + i =.5 de groeifactor per jaar is. De maadelijkse groeifactor is we de formule K = K q = K ( ) + i. q e de dagelijkse groeifactor 365 q. Met het aatal dage bekome Tegewoordig passe de meeste bake ee dagelijkse itrest toe volges de formule K 36 i 36 = K +. oáàéå=j=no

13 I de volgede tabel zie je de verschillede resultate (afgerod) voor os voorbeeld. aatal jare jaarlijks maadelijks dagelijks We kue os de vraag stelle a hoeveel jaar het startkapitaal verdubbeld is. We vergelijke de ekelvoudige e samegestelde itrest als volgt: Uit de bovestaade schermafdrukke ka je cocludere dat a 5 jaar het kapitaal zeker verdubbeld is bij samegestelde itrest. We kue dit jaartal ook berekee door gebruik te make va de logaritme. Stel dat het kapitaal verdubbeld is a x jaar. Da geldt: x x x log v =, 5 v =, 5 log = log(, 5 ) log = x log(, 5) x= 4,. log(, 5) Voorbeeld Ee bediede i ee bedrijf krijgt ee begisalaris va per maad e ee jaarlijkse opslag va. Zij loo groeit aa volges ee rekekudige rij. Ee tweede bediede krijgt hetzelfde begisalaris maar kiest, tot verbazig va de bedrijfsdirecteur, voor ee halfjaarlijkse opslag va slechts 5. jaar eerste tweede Welke loosverhogig verkies jij? Voorbeeld 3 - De driehoek va Sierpiski We starte met ee gelijkzijdige driehoek. We trasformere de driehoek tot ee ieuwe figuur door de middes va elke zijde met elkaar te verbide. Je bekomt i de oorsprokelijke driehoek drie ieuwe driehoeke zoals hieroder aagegeve. Elk va die driehoeke ku je op dezelfde wijze trasformere e zo ga je maar door oáàéå=j=np

14 Na ee vijftal stappe veradert het uitzicht va de bekome driehoek og auwelijks. Ee ieuwe trasformatie levert eezelfde beeld op. De figuur die je uiteidelijk bekomt, oemt me de driehoek va Sierpiski. Het is ee typevoorbeeld va fractale, meetkudige objecte die ee sterke zelfgelijkvormigheid vertoe. Het zij limietobjecte va ee iteratieproces. Iedere stap bij de costructie va de driehoek va Sierpiski is te beschouwe als de uie va de beelde va de vorige figuur oder drie affiee trasformaties i het vlak. I dit geval zij de trasformaties telkes ee samestellig va ee verschuivig e ee homothetie met schaalfactor.5. Aatal trasformaties Aatal driehoeke Voorbeeld 4 - DIN-papierformate Volges het DIN (Deutsches Istitut für Normug) moete de afmetige voor papierformate voldoe aa de volgede voorwaarde. Het grootste formaat A heeft ee oppervlakte va m². Als ee blad va het formaat A i twee wordt geplooid, bekomt me ee blad va het formaat A +. Alle formate zij gelijkvormig zodat me tijdes het kopiëre ka vergrote of verkleie aar ee ader DIN-formaat. We bepale de afmetige va de formate A tot A 5. We stelle de volgede vier betrekkige op tusse de hoogte e breedte formate A e A : h h h h b =, h = b, b = e =. b b h, b, h, b va de 4 Door i de vierde betrekkig b, h e b te substituere i fuctie va h, krijge we h =, waaruit de volgede afmetige volge : A A A A 3 A 4 A 5 hoogte (mm) breedte (mm) Op ee kopieertoestel ka me ee tekst va ee A 4-formaat vergrote op ee A 3-formaat door op de zoomtoets 4% te drukke e verkleie op ee A 5-formaat door op de zoomtoets 7% te drukke. Verklaar! oáàéå=j=nq

15 Voorbeeld 5 - Frequetie va muziekote Iedere geluidsgolf ka grafisch voorgesteld worde door ee siuscurve. De toohoogte va ee muziekoot wordt bepaald door de frequetie, f, va de siuscurve va de geluidsgolf die deze oot voortbregt. Hoe groter de frequetie, hoe hoger de toohoogte. Twee ote die ee octaaf verschille - bijvoorbeeld ee lage do e hoge do - klike heel mooi same. Dit komt omdat de frequetie va ee hoge do precies dubbel zo groot is als de frequetie va ee lage do. Dit geldt ook voor de adere gelijkamige muziekote. Ee volledig octaaf bestaat uit dertie ote, amelijk acht hele ote (de witte toetse op ee piao) e vijf halve ote (de zwarte toetse op ee piao: de kruise e/of de molle). De frequetie va de opeevolgede ote ( witte e zwarte ) va ee otebalk vorme ee meetkudige rij met als eigeschap dat de frequetie over ee hele octaaf verdubbelt. Omdat f = f q = f geldt dat de rede va deze meetkudige rij gelijk is aa. 3 Dit ku je zie aa de legte va de pijpe va ee kerkorgel. Bij ee klassiek orgel worde de geluidsgolve voortgebracht door de blaaspijpe. Hoe lager de pijp, hoe groter de frequetie e hoe lager de too. Als de pijpe opgesteld zij va lage aar hoge toe, zulle de opeevolgede pijpe / steeds korter worde met ee factor, zodat om de pijpe de legte wordt gehalveerd. Ook bij ee gitaar ku je deze meetkudige rij vaststelle. Hier wordt de toohoogte bepaald door de legte va de saar. Hoe korter de saar, hoe hoger de too. De legte va de saar wordt bepaald door de vaste houder op de buik va de gitaar e het dwarsstaafje op de hals waarop de viger va de speler geplaatst is. De legte va de saar va twee opeevolgede ote eemt af met ee factor / e de legte va de sare va twee ote die ee octaaf verschille veradert met ee factor. Voorbeeld 6 - De Koch-kromme A. CONSTRUCTIE Figure zoals de Koch-kromme (zie oderstaade figuur) bekom je door ee aaeeschakelig va steeds dezelfde costructie. I het ideale geval zou die aaeeschakelig ooit eidige. I elke tussestap bekom je vaak ee mooie figuur, met ee hele fije structuur afhakelijk va hoever je gevorderd bet i de opeevolgig va stappe. Hieroder verduidelijke we de costructie va de Koch-kromme. We starte met ee lijstuk, dat we de basis oeme. De basis wordt verdeeld i drie gelijke stukke e het middelste gedeelte vervage we door ee gelijkzijdige driehoek zoder basis. Deze figuur oemt me de geerator. I ee volgede stap passe we dezelfde costructie toe op ieder lijstuk va de geerator. Op ieder lijstuk va deze ieuwe figuur passe we weer deze costructie toe,. De limietfiguur die ostaat uit dit iteratieproces oemt me de Koch-kromme, die me ee klassieker mag oeme i de wereld va fractale. oáàéå=j=nr

16 Als we de basis va de Koch-kromme vervage door ee gelijkzijdige driehoek e de voorgaade costructie toepasse op iedere zijde geeft dit ee Koch-eilad, ook de Koch-seeuwvlok geoemd. B. DE KOCH-SNEEUWVLOK EN MEETKUNDIGE RIJEN De costructie va de seeuwvlok va Koch otstaat op ee gelijkaardige maier als ee meetkudige rij. I plaats va getalle te beschouwe die steeds met eezelfde factor vermeigvuldigd worde, beschouw je hier driehoeke, die steeds met eezelfde factor verkleid worde. Stap Beschouw ee gelijkzijdige driehoek T met zijde a e oppervlakte A. Stap We verkleie T met ee factor / 3 (/ 3 T ) e plakke drie va deze ieuwe driehoeke op elke zijde va de vorige. De seeuwvlok die zo otstaat heeft 3 4 zijde met elk ee legte va 3 a. Stap We verkleie / 3 T opieuw met ee factor / 3 (/ 9 T ) e plakke 3 4 va deze og kleiere driehoeke op elke zijde. De bekome seeuwvlok heeft u 3 4 4= 3 4 zijde met elk ee legte va a. 9 oáàéå=j=ns

17 Stap 3 C. DE OPPERVLAKTE VAN DE KOCH-SNEEUWVLOK Bij elke stap k voege we kleie driehoeke met zijde toe. Voor deze rije geldt: k stap aatal toegevoegde driehoeke legte zijde toegevoegde driehoeke 3 a /3 3 4 a / a /7 k 34 k = s = a (/ 3) k k s k k 3 Voor de driehoek T geldt A = a. Beschouw de rij A met 4 de e costructiestap va de Koch-seeuwvlok. Da geldt : A de oppervlakte va de figuur uit k 3 k Ak+ = Ak + k sk = Ak + 34 a = A. k k + a k k Ak + = A a k De uitdrukkig tusse hake ku je opvatte als de som va elemete va ee meetkudige rij met begiterm e verhoudig 4. Uit eigeschap va meetkudige rije volgt dat deze som ogeveer 9 9 gelijk is aa = voor k voldoede groot. De oppervlakte va de Koch-seeuwvlok is gelijk aa: A = A + a = a + a = 3 a = A Ee oeidig proces resulteert blijkbaar i ee ieuwe figuur met eidige oppervlakte. oáàéå=j=nt

18 Het aatal zijde va de figuur i de k e costructiestap is gelijk aa 3 4 k. 4 De omtrek va de seeuwvlok is a k costructiestappe gelijk is aa 3a 3. Hoe meer costructiestappe je zet, hoe groter de omtrek. Het is zelfs zo dat de omtrek obegresd groter wordt. Het feit dat de omtrek va de Koch-seeuwvlok oeidig is, maakt het resultaat va ee eidige oppervlakte og verrasseder. Me zou kue zegge dat de Koch-seeuwvlok ee voorstellig geeft va de som va de elemete va ee oeidige meetkudige rij. D. ITERATIE De Koch-seeuwvlok is ee typevoorbeeld va ee iteratieproces dat aa de basis ligt va het creëre va virtuele omgevige. I plaats va figure te toe aa de had va bitmaps die veel bestadsruimte ieme, traag ilaadbaar e iet dyamisch, kue computerspecialiste dergelijke iteratieprocesse gebruike om allerlei vorme te beschrijve. Met ee relatief eevoudig computeralgoritme kue dergelijke vorme sel zichtbaar gemaakt worde (zie bijlage C). k Voorbeeld 7 - Grote e kleie wijzers Beschouw ee aaloog uurwerk met wijzers die met ee cotiue selheid roddraaie. Hoe dikwijls zal de grote wijzer de kleie wijzer ihale tusse. uur ( s achts) e 3. uur ( s middags)? Dit gebeurt elf maal, amelijk eemaal tijdes ieder gas uur (bijvoorbeeld tusse. e. uur), behalve tusse. uur e 3. uur. I de loop va deze twee uur gebeurt dit maar éémaal, amelijk om. uur. Dit is logisch wat waeer de grote wijzer twaalf maal is rodgedraaid, is de kleie wijzer eemaal rod geweest. Hoe laat (= hoeveel miute a het passere va het gase uur) zal de grote wijzer telkes de kleie voorbij steke? Bijvoorbeeld tusse 7. e 8. uur gebeurt dit later (= meer miute a het gase uur) da tusse 4. e 5. uur omdat de kleie wijzer meer voorsprog heeft op de grote wijzer die dus telkes va bove vertrekt. Welke soort rij vorme deze tijdstippe? Als voorbeeld berekee we exact het tijdstip waarop de grote wijzer de kleie wijzer ihaalt tusse 7. e 8. uur. Voor de twee wijzers moete we eezelfde eeheid gebruike. Als eeheid gebruike we de miuut. Voor de grote wijzer is dit logisch. Maar als de kleie wijzer op 7 staat, heeft hij de waarde 35. Om 7. uur precies staat de grote wijzer op e de kleie wijzer op 35. Als de grote wijzer zich verplaatst heeft aar 35, heeft de kleie wijzer zich ook ee stukje verder verplaatst. Waeer de grote wijzer dit stukje overbrugd heeft, is de kleie wijzer weer ee og kleier stukje verder bewoge e moet de grote wijzer ook dit stukje weer overbrugge. Maar da gaat de kleie wijzer weer ee beetje verder,. Volges de paradox va Zeo zal de grote wijzer de kleie wijzer ooit kue ihale, maar het is duidelijk dat dit wel zal gebeure (de tijd staat iet stil!). Maar waeer juist? De selheid va de kleie wijzer is twaalf keer kleier da die va de grote wijzer. Waeer de grote wijzer de eerste 35 miute heeft overbrugd, heeft de kleie wijzer 35 miute afgelegd. 35 Als de grote wijzer deze afstad heeft igehaald, heeft de kleie wijzer weer miute afgelegd. 44 oáàéå=j=nu

19 Deze stukjes vorme dus ee meetkudige rij met 35 ( t ) als eerste term e ( q ) als verhoudig. Vermits de verhoudig kleier is da, kue we stelle dat de som va deze (oeidig vele) stukjes eidig is e ogeveer gelijk aa: t ,88... q = = = =. Het juiste tijdstip is dus 7 uur e 38,88 miute of 7:38:,99 uur. De adere tijdstippe vid je i de volgede tabel: tusse t e uur som ( q = ) = 6 tijdstip exact uur e 5,4545 mi :5:7,77 uur e,99 mi ::54, uur e 6,3636 mi 3:6:,88 4 uur e,88 mi 4::49,99 5 uur e 7,77 mi 5:7:6, uur e 3,77 mi 6:3:43, uur e 38,88 mi 7:38:,99 8 uur e 43,6363 mi 8:43:38,88 9 uur e 49,99 mi 9:49:5,4545 uur e 54,5454 mi :54:3,77 uur e 6 mi :: Deze tijdstippe vorme ee rekekudige rij met als verschil uur e 6 Dit is atuurlijk het elfde deel va de verlope uur. miute, of 7 miute. oáàéå=j=nv

20 Voorbeeld 8 - Ee botsede bal Laat ee balletje valle va op ee hoogte va éé meter e meet hoe hoog het balletje weer opbotst. Doe dit verschillede kere e maak ee zo auwkeurig mogelijk gemiddelde. Deze (gemiddelde) hoogte drukke we uit i ee percetage ( p % ) e oeme dit de veerkracht va het balletje (Als het balletje 7 cm opbotst, is de veerkracht 7%). We gaa u berekee a hoeveel secode het balletje doodvalt. Dit is waeer het balletje iet meer botst, maar begit te rolle. Dit ka met ee eevoudige chroometer gecotroleerd worde. We gaa eerst a welke afstad het balletje heeft afgelegd. Het valt eerst m aar beede. Daara botst het weer op e valt weer over de hoogte die p % is va de vorige hoogte. Deze opeevolgede hoogtes vorme ee meetkudige rij met als eerste term e verhoudig p %. De totale afgelegde weg is: p 3 p p p + p + ( ) = + =. p p Idie bijvoorbeeld de veerkracht 7% is, is de totale afgelegde weg 7 3 meter. g t Uit de formule voor de vrije val h = volgt dat t = h. g Op dezelfde maier berekee we de totale tijd. 3 p p p p t = = + g g p Voor p = 7 wordt dit da bijvoorbeeld 5,77s. Voorbeeld 9 - Spare e lee Jaarlijks spare va ee vast bedrag Stel dat je vaaf ee leeftijd va 4 jaar ieder jaar 5 spaart. Als je dit doet tot je 3 jaar bet, hoeveel heb je da op je spaarboekje staa i de veroderstellig dat gedurede deze hele periode de itrestvoet 8% is? Je eerste betalig va 5 heeft op het eide 6 jaar itrest opgebracht e heeft da ee waarde va 5 (,8) 6. Zo heeft je tweede betalig op het eide de waarde va 5 (,8) 5. De laatste betalig va 5 doe je als je 9 bet e heeft ee jaar later ee waarde va 5, ) Het totale kapitaal is : 5 (, 8) + (, 8) + (, 8) (, 8) + (, 8) = 5 (, 8) t. Deze som ka bereked worde als de som va de terme va de meetkudige rij met =6 e. Deze som is gelijk aa 6 (,8) 5, 8 = 5 3, 75 = 637,5 (,8) euro. 6 t= u = q =, 8 oáàéå=j=om

21 Het gespaarde bedrag va 8 (6 maal 5) is meer da verdubbeld. De algemee formule voor ee jaarlijks kapitaal k dat gedurede jare wordt gespaard tege ee t ( + i) itrestvoet va i (=.i %) is het eidkapitaal K = k ( + i) = k ( + i). i Lee va ee bedrag Lee is het omgekeerde va spare. Je betaalt eveees jaarlijks (of maadelijks) ee vast bedrag. Bij spare heb je het geld odig op het eide va ee bepaalde periode e bij ee leig heb je het geld odig i het begi va ee bepaalde periode. Eerst berekee we het bedrag dat we zoude gespaard hebbe met de jaarlijks gestorte afbetalige. Daara beschouwe we dit bedrag als ee eidkapitaal waarva we u het begikapitaal wille hebbe. Stel dat je ee voorlopig obeked bedrag B wil lee. Om dit geleed bedrag terug te betale, stort je vaaf volged jaar - e dit gedurede 6 jaar - 5. Idie we dit geld zoude gespaard hebbe, kue we a 6 jaar beschikke over ee kapitaal va 5 5 (,8) t = 56, euro. Let op de adere begi- e eidwaarde voor t te opzichte va de t= formule bij het spare. Dit komt omdat alle stortige u éé jaar later gebeure. De algemee formule voor dit bedrag wordt met dezelfde otaties als hierbove is: ( + i) K = k + i = k i t ( ). t= Dit is het gespaarde eidbedrag K 6 over 6 jaar. Het overeekomstige begibedrag K bedrag waarover we u wille beschikke. Volges de formule K K ( i) 6 56, = K.(,8) waaruit volgt B = K = 44,57 euro. De algemee formule is B t= t k ( + i) t= k + i k = = = B het geleed bedrag is, k het bedrag is va de jaarlijkse afbetalige, i de itrestvoet is (.i %), het aatal jare is waarover de leig loopt. = + geldt ( ) ( ) ( + i) i ( + i) i ( + i) waarbij = B is het oáàéå=j=on

22 .5 Opdrachte Opdracht - Wereldbevolkig Als er 5 miljard mese zij op aarde e de groei bedraagt jaarlijks,6%. Ka je da de bevolkigstoeame voorspelle? Teke het verloop va deze rij met je grafische rekemachie. Bepaal grafisch a hoeveel tijd de wereldbevolkig groter is da 6 miljard. Opdracht - Visbak Veroderstel dat je ee visbak hebt met l kraatjeswater. Het water is iet heel zuiver. Me stelt de pollutie q =, (cocetratie i kg/l). Wekelijks verdampt l zuiver water. Daardoor eemt de cocetratie va de verotreiigig toe. Om dat tege te gaa eemt me vijf liter water uit het aquarium e voegt me weer 7 l kraatjeswater toe zodat de bak weer volledig vol is. Beschrijf de evolutie va de hoeveelheid verotreiigig i de visbak aa de had va rije. Ku je m.a.w. zegge hoeveel verotreiigde stof er og aawezig is i het water a weke. Opdracht 3 - Beheer va ee woud I ee bos zij de bome geklasseerd i drie groepe: A mider da jaar oud - [,[ B tusse de e de 3 jaar - [,3] C ouder da 3 jaar - ]3, + [ We eme aa dat allee oude bome kapot gaa. I jaar gaa % va de bome va A aar B, % va B aar C e 5% va C gaat kapot. Ee boom va A bregt gemiddeld 5, ieuwe bome voort, ee boom va B gemiddeld 5 e ee boom va C gemiddeld. Stel A, B, C de populaties va A, B e C e A +, B +, C + de populaties va jaar adie. Neem als begipopulaties A =, B = e C =. Beschrijf de evolutie va de populatie i dit bos. Maak gebruik va rije va matrices. Opdracht 4 Ee vlieg legt ee afstad va m af i verschillede stappe. I éé stap legt ze telkes de halve weg af va wat og overblijft. Noem u de afgelegde weg a stappe. Ku je ee voorschrift vide voor u? Legt de vlieg ooit de volledige weg af. Opdracht 5 Beschouw ee woud met 4 bome. Va die bome worde er jaarlijks % gekapt e verkocht. I de plaats daarva worde er telkes ieuwe geplat. Hoeveel bome staa er i het bos a jaar? Opdracht 6 Ee blad papier met ee dikte va, mm plooit me i twee. De dikte wordt da, mm. Na og ee keer dubbel plooie wordt de dikte,4 mm, Wat wordt de dikte a 3 maal plooie? E a 5 maal? Hoe dikwijls moet me het blad papier plooie om de afstad va de aarde tot de maa (385. km) te overbrugge? Probeer ee blad papier met A4-formaat ee aatal keer plooie? Hoeveel maal lukt dit? Stel dat ee blad papier met ee dikte va, mm ee voldoede aatal keer ka geplooid worde. Wat moet da de oppervlakte va het blad zij opdat de oppervlakte a dertig keer plooie cm² is? Cotroleer of het volume va het ogeplooide blad papier e het volume va de stapel a 3 keer plooie gelijk zij. oáàéå=j=oo

23 Opdracht 7 - Met alle Chieze.. Toe ee rijke Chiese pris tege het valle va de avod vaststelde dat hij, ver va zij kasteel, de terugweg iet meer vod, geraakte hij paiek. Gelukkig kwam hij twee arme ladmae tege, die lags de rad va de weg zate te schake e die hem de juiste terugweg kode uitlegge. Als beloig mochte zij aa de pris ee rijkelijke vergoedig vrage. Tot grote verbazig va de pris, zeide de twee mae dat zij al gelukkig zoude zij met ekele graakorrels. Zij vroege éé graakorrel op het eerste vakje va hu schaakbord, twee korrels op het tweede vakje, vier op het volgede, da acht, ezoverder tot het laatste, vierezestigste vakje. De pris maakte zich de bedekig dat deze twee arme kerels wel met heel weiig tevrede ware e odigde he da ook uit om s aderedaags met paard e kar aar het paleis te kome om hu beloig af te hale. E s avods liet de pris de hoeveelheid graa door zij graameester berekee. Hoeveel graakorrels ligge er op het vierezestigste vakje? Hoeveel graakorrels ligge er op het hele schaakbord? Als éé korrel ee massa va,5 g heeft, wat is da de totale massa? Opdracht 8 - De Tores va Haoi Ee tore va Haoi bestaat uit ee aatal schijve met verschillede diameter, die over ee verticale staaf (A) geschove worde, zodat de diameters va de schijve aar bove toe afeme. Met behulp va ee middestaaf (B) moete de schijve over ee derde staaf (C) geschove worde, zodaig dat bij elke beurt juist éé schijf mag verplaatst worde e er ooit ee grotere schijf op ee kleiere schijf mag ligge. A B C Hoeveel verplaatsigsbeurte zij er odig als de tore 3, 4, 5, 6 schijve bevat? Geef ee recursief e ee expliciet voorschrift voor deze rij. Volges de legede bevidt zich i ee tempel va Haoi ee tore met 64 schijve. Moike zij bezig met het verplaatse va deze schijve. Iedere miuut, dag e acht, wordt er éé schijf verplaatst. Als de tore volledig verplaatst is, zal de wereld vergaa. Waeer zal dat zij als ze op 8 oktober 47 gestart zij met deze opdracht? oáàéå=j=op

24 Opdracht 9 - Spare e lee Als we stelle dat de itrestvoet 6% is kue we os de volgede vrage stelle. Welk bedrag kue we lee als we gedurede jaar jaarlijks 5 terugbetale? Welk bedrag moete we gedurede jaar jaarlijks betale om ee bedrag va te lee? We wille 5 lee e hiervoor jaarlijks 3 betale. Hoeveel jare zal deze leig lope? oáàéå=j=oq

25 . Limiet va ee rij : covergetie of divergetie. Eigelijke of eidige limiet.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks % bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal het aatal bome stabilisere? Zal het aatal bome blijve toeeme? Als model voor het bestudere va deze vraagstellig defiiëre we de volgede rij: u = 4 e > : u = ipart(,8 u + ). Met het commado ipart bedoele we het geheel gedeelte va ee reëel getal. Voor de TI-83/84 Plus vid je dit commado i het MATH<NUM>-meu. Het bestudere va de tabel met terme e het plotte va de pute ( u, ) geeft ee eerste idee over de evolutie va de populatie bome. Wat kue we zegge a.h.v. bovestaade schermafdrukke over het aatal bome vaaf ee zekere -waarde? Wat is het atwoord op de vooraf gestelde vrage? Bij toeemede -waarde adere de terme va deze rij aar We zegge dat deze rij covergeert aar oeme we de greswaarde of de limietwaarde va deze rij. lim u = lim u( ) = 4996 Wiskudige otatie: Grafische aalyse Defiieer de rij : u = 4 e > : u =,8 u + 3,6. lim u (i) Wat cocludeer je over met de termetabel e/of de grafiek? + (ii) Bepaal het expliciete voorschrift va deze rij. Hit : + a + a a - = a a. oáàéå=j=or

26 Om het resultaat va (i) grafisch voor te stelle tekee we va web-diagram. Eerst worde de grafieke geplot va de volgede fucties f : x x e g: x,8x+ 3,6 u ee g f Met TRACE start de cursor op de startwaarde 4. Ee druk op de pijltoets verbidt ( 4,) met ( 4, g( 4)) = ( 4,6.8). M.a.w ( u ( ),) wordt verbode met ( u(), u()). Met wordt (-4,6.8) verbode met (6.8,6.8) f. Drukke op herhaalt deze procedure. Het etwerk va verticale (behoud va x-waarde) e horizotale (behoud va y-waarde) lijstukke adert steeds dichter tot het sijput va f e g. (-4,6.8) g (6.8,6.8) f (6.8,-.84) g (-.84,-.84) f (-.84,5.7) g of (u(),u()) g (u(),u()) f ~ (u(5),u(6)) g Algebraïsch bepale we het sijput va f e g als volgt: y = x e y =,8x+ 3, 6 x=,8x+ 3, 6,8x = 3, 6 x= y = oáàéå=j=os

27 ..3 Covergetie Defiieer de rij u met het expliciete voorschrift va de rij uit put..: \{}: 6 (,8). u = + Voer bovedie de volgede twee costate rije i: IN \{} : v =,5 e w =, 5. Kies ee volle lij als grafiekstijl. Plot de drie rije. Met TRACE e de pijltjestoets ka je de beeldpute volge e vaststelle dat vaaf ee zekere -waarde alle volgede beeldpute tusse de strook gevage zij. De terme va de rij vaaf die -waarde behore tot ].5,.5[. Als = 3 heb je het beeldput (3, ) e ].5,.5[ = ].5, +.5[. OPDRACHT Herhaal deze procedure voor ]., +.[ = ].8,.[ e ]., +.[ = ].9,.[. Bepaal het ragummer zodat alle terme met ee idex > i het iterval ligge. Deze werkwijze ka je herhale voor elk strikt positief getal ε (= epsilo). DEFINITIE u covergeert aar a of lim u ε + = a Voor elk strikt positief getal bestaat er mistes éé atuurlijk getal zodat alle terme met ee grotere idex behore tot ] a ε, a+ ε[. + ( ε )( \{})( \{})( > u ] a ε, a+ ε[) OPMERKING ] a ε, a+ ε[ oemt me ee basisomgevig va a (ee ope iterval met a als midde). Er geldt: u ] a ε, a+ ε[ a ε< u < a+ ε u a < ε. oáàéå=j=ot

28 ..4 Uitgewerkt voorbeeld + Beschouw de rij u = met. Met ee tabel e ee grafiek ka je vermoede dat deze rij covergeert aar. Volges de defiitie moet je voor elke ee atuurlijk getal kue bepale zodat alle terme met ee idex groter da ε > behore tot ] ε,+ ε[. M.a.w. voor moet gelde : + + ε < < + ε ε< < ε ε< < ε. e voorwaarde: e voorwaarde: ε < is altijd voldaa (likerlid is egatief e rechterlid positief) + ε < ε < + < >. ε ε ε + ε + ε Neem ee. Da zal voor > aa de voorwaarde voldaa zij. ε ε +, Voor bijvoorbeeld ε =, moet =., u, u3, u 4,... e alle volgede terme behore tot ]., +.[ = ].9,.[. 3 Bijvoorbeeld: u =, 9.. Oeigelijke of oeidige limiet.. Voorbeeld Op -- kreeg Arthur ee spaarrekeig va 5. Elk jaar bedraagt de itrest 5% e jaarlijks wordt 5 bijgestort. Arthur is jaar e mag gee geld va zij rekeig afhale. Volges welk model groeit het kapitaal? RECURSIEF VOORSCHRIFT u = 5 e > : u = u +,5 u + 5 =,5 u + 5 EXPLICIET VOORSCHRIFT u = + = 5 (, 5) ((, 5) ) 5 (, 5) oáàéå=j=ou

29 Zowel uit de oderstaade tabel als uit de grafiek cocludeer je dat de terme va de rij blijve toeeme. We zegge dat deze rij divergeert aar +. lim u Wiskudige otatie:. + =+.. Grafische aalyse We costruere ee web-diagram voor de rij u = 5 e > : u = u + 6. Het web va verticale e horizotale lijstukke covergeert i dit geval iet aar éé put maar verwijdert zich steeds verder e verder aar +. OPDRACHT Neem voor hetzelfde recursieve voorschrift achtereevolges als startwaarde e -7. Teke i beide gevalle ee web-diagram. Stel idie odig ee tabel op va de rij. Wat stel je vast?..3 Divergetie Idie we de rij uit put.. plotte same met de costate rij v = 75 bekome we het volgede resultaat. u 7 = 58 e alle terme va deze rij met ee idex groter 7 zulle de vooropgestelde gres va 75 overstijge. Hoe groot we de gres ook kieze, vaaf ee bepaalde idex zulle de terme de gres overschrijde. Vadaar de volgede defiitie. oáàéå=j=ov

30 DEFINITIE lim u + = + of u divergeert aar + Voor elk positief reëel getal r kue we ee atuurlijk getal zodat alle terme va de rij met ee idex > + bepale het getal r overstijge ( r )( \{})( \{})( > u > r) Idie we i de bovestaade defiitie u > r divergetie aar. Wiskudige otatie: lim u vervage door =. u < r bekome we de defiitie voor OPDRACHT Overtuig jezelf, grafisch of met ee tabel dat de rij u = divergeert aar. r > Volges de defiitie moet voor ee willekeurige vaaf ee bepaalde idex u = < r. Bepaal zodat voor alle geldt dat u > Doe hetzelfde voor de rij u = < r.. Maak evetueel eerst ee tabel. OPMERKINGEN (i) Niet elke rij heeft ee limiet. π Beschouw de rij u = si[( ) ] =,,,,,,... Deze rij oemt me alterered. De rij heeft gee eidige e gee oeidige limiet. Me zegt ook dat deze rij diverget is. (ii) Als ee rij ee limiet heeft, is de limiet eig. Veroderstel eve dat covergeert e dat zowel u lim u + = als lim u = 5. + Stel bijvoorbeeld ε =. Het is omogelijk dat voor alle idices groter da ee zekere gres geldt dat u ] ε,+ ε[ = ],3[ e u ]5 ε,5+ ε[ = ]4,6[ Dit geeft aa dat de veroderstellig verkeerd is. Algemee ka me aatoe dat de limiet va ee rij uiek is. Net zoals hierbove leidt de veroderstellig lim u = a e lim u = b met a b tot ee b a cotradictie; stel bijvoorbeeld ε = oáàéå=j=pm

31 .3 Covergetie va rekekudige e meetkudige rije.3. Rekekudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = u + v i.f.v. het verschil v. a) v > We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i de positieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. b) v < We plotte ee web-diagram met v = 3 e u = 9. Het web verwijdert zich steeds verder i egatieve richtig. We kue besluite dat de rij divergeert aar. c) v = We plotte ee web-diagram met u = 7. Het web covergeert aar het put (7,7). We kue besluite dat de rij covergeert aar Meetkudige rije We bestudere de covergetie va de rij u = q u i.f.v. de verhoudig q. a) q > We plotte ee web-diagram met q = e u =, 5. We kue besluite dat de rij divergeert aar +. We passe de startwaarde aa: u =. We kue besluite dat de rij divergeert aar. I beide gevalle divergeert de rij. oáàéå=j=pn

32 b) q = I dit geval is de meetkudige rij ee costate rij. We kue besluite dat de rij covergeert aar de startwaarde. c) < q< e q We plotte ee web-diagram met q =, 5 e u =. Het web covergeert aar de oorsprog. We kue besluite dat rij covergeert aar. We passe de startwaarde e verhoudig als volgt aa: q =,5 e u =. We kue weer besluite dat rij covergeert aar. I beide gevalle covergeert de rij aar. d) q = We kieze als startwaarde u = 5. De rij 5, 5,5, 5,5, 5,... heeft gee limiet We kue besluite dat rij divergeert. e) q < We plotte ee web-diagram met q = e u =. De rij,, 4, 8,6, 3,64,... heeft gee limiet. We kue besluite dat rij divergeert..3.3 Bewijze met de defiitie Grafisch hebbe we vastgesteld dat de meetkudige rij u met verhoudig q = e startwaarde u = divergeert aar +. Om dit aalytisch te bewijze moete we voor ee elk willekeurig positief reëel getal r ee atuurlijk getal kue vide zodat alle terme met ee idex groter da groter zij da r. oáàéå=j=po

33 Zij r +. Voor ee atuurlijk getal verschilled va ul geldt: log r log r u = > r log( ) > log r ( ) log > log r > + =. log log Kies da ee atuurlijk getal zodat > u log r. log Da voldoet iedere term met aa de gestelde voorwaarde. OPMERKING Deze werkwijze om limiete te bepale op basis va ee vermoede e m.b.v de defiitie is omslachtig, tijdroved e vaak moeilijk. De oodzaak voor ee hadiger werkwijze drigt zich op. Het ivoere va stadaardlimiete e rekeregels is da ook ee volgede stap. oáàéå=j=pp

34 Appedix A: De rij va Fiboacci A. Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met. De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd op het artikel Ekele eevoudige toepassige va groepe e rige va Prof. dr. Foy Ooms (LUC). Beschouw de matrix A =. Je ka met de grafische rekemachie agaa dat: A =. = A A A A =. = =. = =. 3 = =. 5 3 = 8 5 Zo otdek je dat de machte va A als volgt opgebouwd worde met de getalle va Fiboacci: A F F + = F F voor. We bepale de oplossige va de karakteristieke veelterm va A, de eigewaarde, als volgt: λ A( λ) = det( λ ) = = λ λ = P I A De discrimiat is 5 zodat de eigewaarde va A gelijk zij aa: λ λ =. + 5 e λ = 5. OPMERKING + 5 ϕ = oemt met ook het goude getal of de gulde sede e F lim F + ϕ =. oáàéå=j=pq

35 De Euclidische delig va λ door A( ) P λ geeft ee quotiët Q( λ) e ee rest R( λ) zodat λ = P ( λ) Q( λ) + R( λ ). Uit de berekeig voor P ( λ ) volgt dat de graad va R( λ ) kleier moet A zij da twee, R( λ) = b λ + c, zodat λ = P ( λ) Q( λ) + b λ+ c. (*) A Uit de stellig va Hamilto-Cayley, die zegt dat iedere matrix A voldoet aa zij karakteristieke veelterm ( ) volgt voor uitdrukkig (*) : E vermits P ( ) A A = b+ c b A = PA ( A) Q( A) + b A+ c I = b A+ c= b c + = b c A F F + = F F geldt dat b = F. Het ivulle va de eigewaarde λ e λ i vergelijkig (*) geeft het volgede stelsel: Uit dit stelsel berekee we b: λ = Q( λ) + b λ+ c λ = b λ+ c λ = Q( λ) + b λ + c λ = b λ + λ λ b = λ λ Ee expliciet voorschrift voor de rij va Fiboacci is:. A F c =. 5. Merk op dat uit dit expliciet voorschrift volgt dat : 5 A. De gulde sede + 5 Het getal ϕ = wordt vaak ook de gulde sede geoemd. Dit getal speelde al sids de Grieke ee belagrijke rol i de kust e bouwkust. Het is de ideale verhoudig tusse de lijstukke va ee verdelig va ee lijstuk i twee dele. l x = = ϕ x l x x l-x oáàéå=j=pr

36 Me ka aatoe dat de gulde sede ook gevode wordt via de kettigbreuk ϕ = Wil je ϕ beadere met deze kettigbreuk, da bekom je telkes het quotiet va twee opeevolgede getalle uit de rij va Fiboacci: ϕ = + = 3 ϕ = + = + 5 ϕ = + = + = M.a.w. geldt dat F lim F + ϕ =. A.3 De rij va Fiboacci i de kust A.3. De bouwkust + 5 Het getal ϕ = duikt regelmatig op i de bouwkust o.a. bij de Egypteare - de hoogte e de breedte va de verschillede piramides va Gizeh verhoude zich telkes volges het getal ϕ. Grieke - de hoogte e de breedte va de verschillede Griekse tempels verhoude zich telkes volges het getal ϕ. Bijvoorbeeld de voorgevel va het Partheo i de Acropolis va Athee, lijkt volledig geïspireerd te zij op de gulde sede.,68,68 oáàéå=j=ps

37 Romeie - bij de costructie va de triomfboog va Septimus Severus duikt het goude getal 5 = op. ϕ A.3. De schilderkust Het getal ϕ duikt ook op i de schilderkust.,68 Tekeaars e schilders make gebruik va de gulde sede om mooi gevormde mese te costruere. De hoogte e breedte va de beschilderde oppervlakte verhoude zich vaak zoals de gulde sede.,68,68 Heel wat schilders gebruike bij de compositie de regel dat je object beter iet i het cetrum va het doek staat, maar beter ee beetje op zij. Ze gebruike daarbij lije die het schilderij i drie verdeelt. Deze compositie zou aageamer zij om aar te kijke. Het idee is gebaseerd op de gulde sede die de ideale verhoudig zou zij, iet allee bij de afmetige va het kader, maar ook bij de compositie. oáàéå=j=pt

38 A.4 De rij va Fiboacci i de atuur A.4. De zaadjes i ee bloemehart Meestal is het bloemehart opgebouwd uit kleie zaadjes. Ze worde geproduceerd i het midde e migrere systematisch aar de buitekat va het bloemehart. Doordat ee ieuw zaadje telkes oder ee bepaalde hoek te opzichte va het vorige zaadje otstaat, wordt de hele ruimte gevuld. De grootte va die hoek bepaalt de maier waarop de ruimte gevuld wordt. Betreft het ee hoek die te beschouwe is als ee geheel deel va 36 (= ee breuk va 36 ) da zulle de zaadjes geschikt worde op rechte lije. Op de hieraast afgebeelde figuur zie je de schikkig voor ee draaiigshoek va ,8 i 7 tegewijzerzi. Aagezie de oemer 7 is, bekom je 7 rechte lije Merk op dat a elk derde (=teller) zaadje ee volledige omwetelig is gemaakt. Idie de draaiigshoek iet op te vatte is als ee breuk, zulle de zaadjes zich iet schikke i rechte lije. Ze vorme da spiraalvormige arme die i het cetrum va het bloemehart vertrekke (zie figuur hieroder). Om het rechtlijig patroo i de schikkig va zaadjes te vermijde, zul je dus ee gedeelte va ee volledige draai moete kieze dat bepaald is door ee irratioaal getal. Als dit irratioaal getal goed beaderd wordt door ee breuk, krijg je ee reeks geboge lije die de ruimte iet perfect opvulle. Als de draaiigshoek bepaald wordt door ee irratioaal getal, dat moeilijk te beadere is door ee breuk, zal de spiraalvormig sterk aawezig zij e aaleidig geve tot ee goed gevuld bloemehart. De gulde sede is zo ee irratioaal getal. Idie de draaiigshoek bepaald wordt door deze gulde sede, zal het bloemehart optimaal gevuld zij. Dat is ook wat me experimeteel vaststelt i de atuur. Me ziet ee draaiigshoek va 37,5. Dit is de hoek ( ϕ ).36 =,5 i tegegestelde zi Voor adere irratioale getalle, vid je beduided mider goede schikkige. Het decimaal gedeelte va e is iets groter da 5 7 e dat va pi iets kleier da 7. Het volstaat om het decimaal gedeelte te eme va ϕ (=,68 ), omdat de voor de komma ekel voor ee bijkomede rotatie va 36 zorgt, die iet bijdraagt tot de schikkig. Het eme va de hoek i tegegestelde draaiigszi heeft gee ivloed heeft op de schikkig. oáàéå=j=pu

39 I beide gevalle tref je zeve arme aa, die va e draaie i wijzerzi, die va π adersom. (A) (B) (C) (D) de schikkige voor verschillede irratioale getalle. (A) getal e (B) getal pi (C) wortel (D) ϕ De gulde sede is het eige irratioaal getal waarbij i de twee draairichtige spirale te zie zij. De aatalle worde bepaald door twee opeevolgede Fiboaccigetalle. De rij va verhoudige va opeevolgede Fiboaccigetalle heeft als limiet,68 (=ϕ ) of,68 ( ), al aargelag het ϕ grootste getal i teller of oemer wordt geplaatst. Beide limietwaarde bepale dezelfde rotatiehoek omdat het decimaal gedeelte hetzelfde is. Verhoudig Decimaal,5,6667,6,65,654,69,676 Verhoudig Decimaal,5,6667,6,65,654,69,676, Beschouw bijvoorbeeld de breuk 34. Het decimaal gedeelte va ϕ is iets kleier da dat va deze beaderig. Dit resulteert i arme i tegewijzerzi. E beschouw de breuk. Deze geeft eveees ee beaderig va het decimaal gedeelte va ϕ, 34 dat i dit geval iets groter is da de beaderig. Dit resulteert i 34 arme i wijzerzi. oáàéå=j=pv

40 De spirale zij i de twee richtige aageduid. Je vidt e 34 spirale. Het feit dat de beaderede breuk het aatal spiraalarme i de zoebloem verklaart, beteket iet dat de bijhorede beaderede rotatiehoek ee eve goede opvullig oplevert. I de oderstaade figuur merk je dat ee lichte afwijkig va het goude getal i ee heel ader patroo resulteert. (A) (B) ( C) opvulpatroo voor (B),68 (= ϕ ) e twee beaderige (A),67 e (C),69 Het feit dat de gulde sede de draaiigshoek bepaalt va de zaadjes e daardoor ook het aatal spirale, is iet toevallig. Het is ee gevolg va het feit dat celle va leved materiaal (vb. plate) spiraalsgewijs aagroeie i het cetrum. De rotatiehoek is iderdaad ook 37,5. oáàéå=j=qm

41 A.4. Bloemblaadjes Aagezie de bloemblaadjes gevormd worde op het eide va éé va de reekse spirale, vid je de Fiboaccigetalle ook terug bij de aatalle va bloemblaadjes. Voor verschillede bloeme lijkt dit te kloppe, hoewel er vaker afwijkige voorkome da bij het aatal spirale i het bloemehart. Aatal bloemblaadjes bloem 3 lelie, iris (lelies hebbe vaak 6 bloemblaadjes, gevormd door twee sets va drie blaadjes.) 5 boterbloem, wilde roos, aquilegia 8 ridderspoor 3 jacobskruiskruid, cieraria aster, chicorij 34 weegbree, pyrethrum A.4.3 Deeappels Bij deappels zij de spirale heel duidelijk zichtbaar. Je vidt acht spirale i de ee richtig e dertie i de adere. Ook hier duike de Fiboacci getalle op. A.4.4 Schelpe Als je i ee rechthoek waarva de legte e de breedte zich verhoude als ϕ ee spiraal teket zoals hieroder aagegeve, bekom je ee spiraal die je bij beaderig terugvidt bij schelpe Je costrueert i de goude rechthoek het grootst mogelijke vierkat, waari je ee cirkelboog teket. Het overblijvede stuk is opieuw ee goude rechthoek, waari je de costructie telkes herhaalt. oáàéå=j=qn

42 Appedix B: Rije e de TI-83/84 Plus B. Voorbeeld We illustrere het werke met rije a.h.v. ee voorbeeld. Beschouw de evolutie va de wereldbevolkig va 5 miljard aa de had va ee rij. Me eemt aa dat de groei jaarlijks,6% bedraagt. Je kut da afleide dat de bevolkig a jaar gegeve wordt door 9 u (,6) = 5. We wille agaa waeer de kaap va 6 miljard wordt gehaald. Om ee rij te defiiëre zet je de MODE va de TI-83/84 Plus op Seq zoals hieroder aagegeve. Nadie ka je rij defiiëre via het ivoerscherm Y=. Ee rij ka zowel expliciet als recursief igevoerd worde. Defiieer de rij u zoals hieroder aagegeve. U(Mi) geeft aa wat de waarde is va de term met de kleiste idex. Om de scheve i te tikke druk je, i deze MODE gewoo op X,T,θ,. Met d[table] krijg je ee idee va de waarde va de terme va de rij. Hierva ka je gebruik make om het grafische vester (WINDOW) i te stelle als volgt: B. Het plotte va de rij De grafiek va u wordt met de bovestaade vesteristellige geplot als je op GRAPH drukt. v = 6 Defiieer bovedie de costate rij e kies hiervoor als grafiekstijl ee volle lij. Plaats hiervoor de cursor voor v()= e druk op ENTER. Met het TRACE-commado ka je grafisch a gaa waeer de kaap va 6 overschrede is. oáàéå=j=qo

43 B.3 Web-diagram Stadaard worde de terme va ee rij u geplot i.f.v. de idex. Voor ee web-diagram wordt geplot i.f.v. u. Om ee web-diagram te plotte moet het voorschrift u va de rij wel recursief zij igegeve met slechts éé recursieiveau. Het voorschrift va de recursief gedefiieerde rij moet je iterpretere als y = f( x) waarbij y overeestemt met u ( ) e x met u ( ). We illustrere de costructie va ee web-diagram met de rij: u =,8 u( ) + 3,6 voor > e u = 4. Defiieer deze rij zoals hieroder aagegeve. De rije u, v, w, die maximaal op de TI-83/84 Plus gelijktijdig kue gegeve worde, vid je bove de cijfertoetse 7, 8 e 9. Om ee web-diagram te tekee moet je de grafische format, ND[FORMAT], istelle zoals rechts op de figuur hieroder. Stadaard staat deze istellig op Time (zie put ). Plot de rij met de vesteristellige uit de figuur hieroder. Merk op dat de volgede fucties geplot worde f( x) = x e g( x) =,8 x+ 3,6. Drukke op TRACE start de costructie va het web-diagram vauit de startwaarde (-4,). Herhaaldelijk drukke op de pijltjestoetse bouwt het web-diagram stap voor stap op e laat je toe te bewege op het web. Het scherm hierbove uiterst rechts toot de covergetie va de rij u aar. oáàéå=j=qp

44 Appedix C: Fracdes Fracdes is ee programma dat op ee vrij eevoudige maier toelaat figure te costruere zoals de Kock-kromme e de Sierpiski-driehoek. Het programma omvat twee dele: de Familie vo Koch e geïtereerde fuctiesysteme. C. De Familie vo Koch De costructie va ee figuur start vauit ee basis e ee geerator die beide samegesteld zij uit ee aatal aaeegeslote lijstukke. De basis oeme we ook geeratie e de geerator geeratie. Voor het creëre va geeratie wordt de geerator gelijkvormig getrasformeerd aar ieder lijstuk va de basis e wordt ieder lijstuk vervage door het resultaat va de trasformatie. De gelijkvormigheidstrasformatie is de samestellig va ee verschuivig, ee homothetie e ee rotatie. GENERATIE GENERATIE I ee volgede stap wordt dezelfde costructie uitgevoerd voor ieder lijstuk va geeratie. E da voor ieder lijstuk va geeratie, Deze procedure wordt telkes opieuw e opieuw herhaald hetgee leidt tot de limietfiguur va het iteratieproces GENERATIE GENERATIE 3 GENERATIE 6 oáàéå=j=qq

45 C. Geïtereerde fuctiesysteme (IFS) Het tweede gedeelte va het programma voert affiee trasformaties uit i het vlak - trasformatie W ka als volgt gedefiieerd worde :. Ee affiee x W a b x e y + c d y f met abc,,, de,, f. a b x e Het gedeelte bepaalt ee lieaire trasformatie e ee traslatie. c d y f Ee speciaal geval hierva is ee affiee trasformatie die het origieel trasformeert i ee gelijkvormig beeld. Me spreekt over ee gelijkvormigheid. I het geval va ee gelijk-vormigheid bestaat het lieaire gedeelte uit de samestellig va ee homothetie e ee rotatie zoals bij de familie vo Koch. Er geldt i dit geval dat de affiee trasformatie het volgede voorschrift heeft : W x cosα siα x e c + met c de schaalfactor e α de rotatiehoek. y siα cosα y f I het geval < c < oeme we W ee cotractie e c oeme we de cotractiefactor. Ee dergelijke gelijkvormigheid ka ook als volgt geoteerd worde: W x cosα siα x x x c + y siα cosα y y y Het put z ( x, y ) oemt me het fixput va de trasformatie W daar W( x, y ) = ( x, y ). Er geldt dat. = z het eige put is met de eigeschap W( z)= z e dat voor iedere put z geldt dat de, ( ), ( ( )) ( ), ( ( )) ( ),... 3 rij zw z WW z = W z WW z = W z covergeert aar z. I het gedeelte geïtereerde fuctiesysteme late we zo aatal cotracties gelijktijdig iwerke op ee begresde figuur A. I ee eerste stap voege we de beelde oder de verschillede trasformaties same e beschouwe dit geheel als ee ieuwe figuur. Voor de Sierpiski-driehoek gebruike we de volgede drie trasformaties : W x / x y / y W x / x / y + / y W 3 W W W3 x / x /4 y + / y / Op deze ieuwe figuur late we opieuw dezelfde trasformaties iwerke e voege weer de beelde same tot ee ieuwe figuur. Het steeds herhale va deze procedure leidt tot de limietfiguur voor dit systeem va fucties die we de Sierpiskidriehoek oeme. oáàéå=j=qr

46 Merk op dat i dit geval de trasformaties gelijkvormighede zij e dat de limietfiguur, ook wel ees attractor geoemd, ee zelfgelijkvormige figuur is. Me ka toe dat de attractor oafhakelijk is va de begresde figuur waarva me start. C.3 Hadleidig Na het opstarte va het programma Fracdes kue de dele, de familie vo Koch e geïtereerde fuctiesysteme, gestart worde d.m.v. het itikke va de gele cijfers éé of twee. C.3. Demo s I dit meu ka je je keuze selectere door het itikke va de gele karakters. Na ee selectie diet de geweste geeratie igetikt te worde. De geweste geeratie zal gegeereerd worde. Het geerere va de figuur ka oderbroke worde door het idrukke va de ESC-toets. Na beëidigig va de figuur of bij oderbrekig ka ee ieuwe geeratie gekoze worde of teruggekeerd worde aar éé va de vorige meu's. C.3. Iput - de Familie vo Koch Dit gedeelte laat toe zelf ee figuur te creëre. Voor dit programmagedeelte moet Caps Lock af staa. De iput verloopt als volgt. a. INPUT VAN HET AANTAL LIJNSTUKKEN VAN DE BASIS Het aatal lijstukke bedraagt maximaal 7. Voor het igeve va het aatal lijstukke va de basis ka teruggegaa worde aar het vorige meu met de ESC-toets. b. INPUT COÖRDINATEN VAN DE HOEKPUNTEN De coördiate va de hoekpute va de lijstukke worde bepaald d.m.v. de pijl-toetse. De stapgrootte ka bepaald worde met de toetse + e. De coördiate ligge vast a het idrukke va de ENTER-toets. c. INPUT VAN HET AANTAL LIJNSTUKKEN VAN DE GENERATOR Het aatal lijstukke bedraagt maximaal 7. d. INPUT COÖRDINATEN VAN DE HOEKPUNTEN De coördiate worde op aaloge maier igegeve als voor de basis. De coördiate va het begiput e het eidput va de geerator zij telkes (,) e (,) e kue iet veraderd worde. e. INPUT GENERATIE De toegelate geeraties worde tusse hake aageduid. Om geeratie te bekome, diet a het itype va de ENTER-toets igedrukt te worde. Na iput va de geeratie start het geerere va de figuur. Het geerere ka stop gezet worde met de ESC-toets. Na beëidigig of oderbrekig va de iteratie verschijt er het volgede meu:. Nieuwe geeratie 3. Basis. Geerator 4. Terug Het itype va,, 3 of 4 bepaalt de keuze. oáàéå=j=qs

47 De keuze-items hebbe de volgede betekeis.. NIEUWE GENERATIE Met dit item ka de geeratie veraderd worde.. GENERATOR Het veradere va de geerator ka op twee maiere : Ee volledig ieuwe geerator creëre, ka door het itype va A of a. Na iput va ee ieuwe geerator wordt de iput va ee geeratie gevraagd. Ee hoekput va de geerator veradere, ka door het itype va het ummer va het hoekput. De veraderig wordt bewaard door het idrukke va de ENTER-toets. Hiera kue ogmaals alle hoekpute veraderd worde. Het idrukke va de ENTER-toets geereert de ieuwe figuur. Toch gee veraderige doorvoere ka door het idrukke va de ENTER-toets. 3. BASIS Het veradere va de geerator verloopt aaloog aa de veraderig va de basis. Ee basisveraderig ka iet doorgevoerd worde idie er hoekpute va de basis buite het vester valle. 4. TERUG Bij deze keuzemogelijkheid gaat het programma terug aar het vorige meu. Idie het vorige meu actief is, ka de gegeereerde figuur verplaatst worde bie het vester met de volgede toetsaaslage : U = bove D = beede L = liks R = rechts ± = stapgrootte Ook is ee zoomfuctie, al da iet primitief, voorzie waarmee je met de toets I kut izoome e met de toets O uitzoome idie het vorige meu actief is. C.3.3 Iput - Geïtereerde fuctiesysteme Dit gedeelte laat toe zelf ee IFS te creëre. Voor dit programmagedeelte diet ook Caps Lock af te staa. De iput verloopt als volgt : a. INPUT VAN HET AANTAL FIXPUNTEN (= HET AANTAL TRANFORMATIES) Het aatal fixpute bedraagt miimaal 3 e maximaal 7. Voor het igeve va het aatal fixpute ka teruggegaa worde aar het vorige meu met de ESCtoets. b. INPUT VAN DE COÖRDINATEN VAN DE FIXPUNTEN De coördiate va de fixpute worde bepaald met de pijl-toetse. De stapgrootte ka bepaald worde met de toetse + e. De coördiate ligge vast a het idrukke va de ENTER-toets. c. INPUT VAN DE SCHAALFACTOR EN DE ROTATIEHOEK De schaalfactor e de rotatiehoek ka gewijzigd worde met de toetse Page Up e Page Dow. De grootte va wijzigig ka bepaald worde met + of. De ENTER-toets beëidigt het wijzige. oáàéå=j=qt

48 Bij ee iput va ee schaalfactor R reket het programma met ee schaalfactor R. Na iput va de coördiate va het fixput, de schaalfactor e de rotatiehoek voor iedere trasformatie start het geerere. Het geerere ka stop gezet worde met de ESC-toets. Na beëidigig of oderbrekig va de iteratie verschijt er het volgede meu :. Voeg toe 3. Verader. Verwijder 4. Terug Het itype va,, 3 of 4 bepaalt de keuze. De keuze-items hebbe de volgede betekeis.. VOEG TOE Met dit item ka ee trasformatie toegevoegd worde. Het aatal is maximaal 8.. VERWIJDER Met dit item ka ee trasformatie verwijderd worde. Het aatal is miimaal VERANDER D.m.v. dit item kue de gegeves va iedere trasformatie, de coördiate va het fixput, de schaalfactor e de rotatiehoek, gewijzigd worde. Eerst moet het ummer va de trasformatie igegeve worde. 4. TERUG Bij deze keuzemogelijkheid gaat het programma terug aar het vorige meu. Idie het vorig meu actief is, ka de gegeereerde figuur verplaatst, vergroot e / of verkleid worde bie het vester met dezelfde toetsaaslage als voor de familie vo Koch. Het geerere start terug vaaf het itikke va de ENTER-toets. C.4 Istallatie Het programma, Fracdes.exe (zip-archief), ka gedowload worde via bij het gedeelte wiskude. Uzip het archief Fracdes.exe. Het programma ka gestart worde met het commado Fracdes.exe. oáàéå=j=qu

49 Appedix E: Bibliografie Hammel Garlad Trudi, Fasciatig Fiboaccis, mystery ad magic i umbers, Dale Seymour Publicatios, 987. Huybrechts Too, Fie, Wiskude e Oderwijs, 99 (r 6). Has Lauwerier, Fractals, Meetkudige figure i eideloze herhalig, 5 e Bloemedaal, 99 druk, Aramith Uitgevers H.O. Peitge, H. Jürges & D. Saupe, Fractals for the classroom, part oe, itroductio to fractals ad chaos, Spriger-Verlag New York Berli Heidelberg, 99 H.O. Peitge, H. Jürges & D. Saupe, Fractals for the classroom, strategic activities, part oe, Spriger- Verlag New York Berli Heidelberg, 99 LINKS De tores va Haoï De rij va Fiboacci evolutiooftruth.com/goldesectio/idex.htm math.holycross.edu/~davids/fiboacci/fiboacci.html pass.maths.org.uk/issue3/fiboacci/idex.html Geschiedeis va de wiskude www-history.mcs.st-ad.ac.uk/~history www-history.mcs.st-ad.ac.uk/~history/mathematicias/fiboacci.html www-history.mcs.st-ad.ac.uk/~history/mathematicias/koch.html www-history.mcs.st-ad.ac.uk/~history/mathematicias/sierpiski.html oáàéå=j=qv

50 oáàéå=j=tm