6 Het inwendig product

Transcriptie

1 6 Het iwedig prdct Te algebra e meetkde gescheide vakke ware, was h vrtgag lagzaam e h t beperkt Maar sids beide vakke zij vereigd, hebbe ze elkaar derlig versterkt e zij ze gezamelijk pgetrkke aar perfectie Jseph-Lis Lagrage ( ) Opgave 61 De legte va ee vectr =,, ) is ( Dit is i te zie dr de stellig va Pythagras twee maal te te passe i de blkfigr p pagia De legte va vectr tere we met Opgave 6 Bereke i elk va de vlgede gevalle de legtes va de twee geemde vectre e de afstad tsse h eidpte a a = (1,,3 ) e b = (,, ) b c = ( 1,,4) e d = (3,,1) c e = (0,,3) e f = ( 1,, 1) Opgave 63 Gegeve is ee driehek i de rimte met hekpte, e v De hek tsse de vectre e v eme weγ Hierbij is 0 γ 180 v a Ga a dat + v = v als γ = 90 b Ga a dat e k dat + v < v als γ > 90 + v > v als γ < 90 γ Opgave 64 Ga i elk va de vlgede gevalle a f de hek tsse de twee geemde vectre recht, scherp f stmp is a a = (1,,3 ) e b = (,, ) b c = ( 1,,4) e d = (3,,1) c e = (0,,3) e f = ( 1,, 1) 8

2 Opgave 65 Gegeve zij de vectre =,, ) e v = v, v, ) ( 1 3 ( 1 v3 Neem aa dat e v De hek tsse e v eme we γ T aa dat het vlgede geldt: v v + v + v 0 precies da als γ = = v + v + v 0 precies da als < v + v + v 0 precies da als > γ > 90 γ < 90 γ Uit pgave 64 blijkt dat het getal 1 v1 + v + 3 v3 iets zegt ver de hek γ tsse de vectre e v We schrijve i het vervlg krtweg v vr 1 v1 + v + 3 v3 e eme v het iwedig prdct f krtweg iprdct va de vectre e v i 3 Merk p dat het iprdct v gee vectr is, maar ee reëel getal Omdat reële getalle k scalaire geemd wrde, wrdt het iprdct k wel het scalaire prdct geemd Tergkijked vide we de vlgede stellig: Stellig 61 Als e v, da geldt het vlgede: v = 0 precies da als ldrecht staat p v, v < 0 precies da als de hek tsse e v stmp is, v > 0 precies da als de hek tsse e v scherp is Opgave 66 Ga i elk va de gevalle va pgave 6 met behlp va het iprdct a f de hek tsse de twee vectre recht, scherp f stmp is Beschw de lij k dr het pt die parallel is aa ee vectr v Elk pt va de lij k ka wrde geschreve als + λv (vr zekere λ i ) Omgekeerd ligt elk pt va de vrm + λv p de lij k We eme + λv (met λ i ) ee parametervrstellig va lij k De vectr wrdt ee stevectr va k geemd e de vectr v ee richtigsvectr Het getal λ is de parameter We stelle ee parametervrstellig p va de lij m dr de pte a = (, 1, 4) e b = (4, 3, 0) Ee stevectr va deze lij is bijvrbeeld a = (, 1, 4) Ee richtigsvectr va deze lij is bijvrbeeld b a = (,, -4) Ee parametervrstellig va lij m is (, 1, 4) + λ (,, -4) Maar er zij veel meer mgelijkhede Ok (4, 3, 0) + λ (1, 1, -) is ee parametervrstellig va m Geef zelf g ekele adere parametervrstellige va m 9

3 d zij hekpte va ee balk abcdefg Pt m is het midde va ribbe bc e pt is het midde va ribbe cg Lij k gaat dr de pte a e e lij l gaat dr de pte d e m Opgave 67 De pte a = ( 3,0,0), c = ( 0,4,0) e = ( 0,0,6) l e z d f g k x a c m b y a Stel parametervrstellige p va de lije k e l b Ga met ee algebraïsche berekeig a dat de lije k e l elkaar sijde e bereke de cördiate va h sijpt Zals we wete, wrdt ee vlak i de rimte bepaald dr drie pte, die iet p ee lij ligge Dit beteket dat ee vlak wrdt bepaald dr éé pt i dat vlak e twee richtigsvectre va dat vlak, die iet prprtieel zij Preciezer gefrmleerd: elk pt i ee vlak V, dat gaat dr ee pt, met iet-prprtiele richtigsvectre v e w, is va de vrm + λ v + µ w vr zekere getalle λ e µ Omgekeerd ligt elk pt va de vrm + λ v + µ w i V Ee parametervrstellig va V is + λ v + µ w (met λ e µ i ) De vectr is ee stevectr va vlak V 10

4 V + λ v + µ w w v Opgave 68 Gegeve is ee kbs abcdefg met ribbe 4 Pt m is het midde va ribbe bf e pt is het midde va ribbe dg z d g e f m x a b c y a Laat zie dat de lije ac e db ldrecht p elkaar staa b Is de hek tsse de lijstkke am e m scherp, recht f stmp? Ee pt p ligt zdaig p de z-as, dat lijstk bp ldrecht staat p het vlak dr a, m e c c Bereke de cördiate va pt p Hit: ee lij staat ldrecht p ee vlak, als hij ldrecht staat p twee iet-prprtiele richtigsvectre va dat vlak Het iprdct heeft ee aatal mie eigeschappe Het iprdct is symmetrisch, dat wil zegge dat vr alle vectre e v geldt: v = v Het iprdct is k bilieair, dat wil zegge dat vr alle vectre e v e vr alle reële getalle λ geldt: 11

5 ( + v) w = ( v + w) = v ( λ) v = λ( v) ( λv) = λ( v) w + v w + w Het bewijs va deze regels gaat dr = ( 1,, 3 ), = ( v1, v, v3 ) = ( w, w w ) v e w 1, 3 te schrijve e vervlges liker- e rechterlid it te schrijve i cördiate Opgave 69 Ctrleer dr middel va itschrijve dat: a v = v b ( + v) w = w + v w λ v = λ v c ( ) ( ) Ee adere mie eigeschap va het iprdct is, dat k de legte va ee vectr ermee ka wrde bereked Er geldt amelijk vr elke vectr dat fwel ( ) = = Opgave 610 Ctrleer het bvestaade dr middel va itschrijve Opgave 611 Gegeve zij twee vectre e v i va de regels vr iprdcte de vlgede frmles: a + v = + v + v b v = + v v c ( + v) ( v) d = v + v + v = + v 3 Bewijs met behlp Opmerkig Uit pgave 611 c vlgt dat de diagale i ee parallellgram ldrecht p elkaar staa, precies da als het parallellgram ee rit is Ga dit a De frmle bij derdeel d staat beked als de parallellgramwet Als je va ee parallellgram de legtes va de zijde e de legte va éé va de diagale ket, da k je met deze frmle de legte va de adere diagaal berekee 1

6 De vlgede stellig geeft ee atwrd p de vraag aar de meetkdige betekeis va het iwedig prdct Stellig 6 Als de hek is tsse e v e v, da geldt v = v csγ Bewijs We tekee eerst ee geschikt plaatje, waarbij γ v γ v Vervlges bekijke we de legtes va de zijde va de driehek met hekpte, e v De afstad va tt is gelijk aa e de afstad va tt v is gelijk aa v De afstad va tt v is gelijk aa de afstad va tt v e die is gelijk aa driehek, da vide we dat: v Passe we de csisregel p deze v = + v v csγ Het likerlid is vlges pgave 611 b gelijk aa: + v ( v) + v v = + v v cs geldt: ( ) γ eevdig (dr schrappe) vlgt Ds, waarit de stellig Opgave 61 Bereke de hek die de vectre a = ( 1,,3) e b = ( 4,5,6) met elkaar make i grade awkerig Opgave 613 Bereke de hek tsse de lijstkke am e m i de kbs va pgave 67 i grade awkerig Opgave 614 Leg it he Stellig 61 direct vlgt it Stellig 6 13

7 Opgave 615 Ee mdel va het CH 4 -mlecl ziet er als vlgt it Het klstfatm zit i het zwaartept va ee (regelmatige) tetraëder waarbij de waterstfatme i de hekpte zitte Kies de rsprg z, dat deze bij het C-atm ligt Nem de vectre vait het C-atm aar ee va de H-atme respectievelijk h 1, h, h 3 e h 4 De legtes va de vier vectre h i zij gelijk e de zes heke tsse h i e h j ( i j) zij k gelijk Omdat het klstfatm i het zwaartept zit, is h 1 + h + h3 + h 4 gelijk aa de lvectr h 4 Bereke i grade awkerig de hek tsse h i e h j ( i j) h h + h + h + Hit: Bekijk ( ) h 4 h 1 h 3 Het iprdct is zeer geschikt m de ldrechte prjectie p va ee vectr p de drager va ee vectr (met ) te berekee De drager va is de lij die precies bestaat it alle veelvde va de vectr Ds p is ee veelvd va, fwel p =λ vr ee zeker getal λ We ke de vlgede stellig bewijze 4 h Stellig 63 Gegeve zij ee vectr e ee vectr De ldrechte prjectie p va p de drager va wrdt gegeve dr p = Bewijs We tekee weer eerst ee geschikt plaatje -p p 4 Deze stellig geldt zwel i als i 3 14

8 De vectr p is de ldrechte prjectie va p, ds de vectr p staat ldrecht p Ds ( p) = 0 Vlle we p =λ i, da vide we dat ( λ ) = 0 Ds λ ( ) = 0, fwel λ = = De prjectievectr p is ds gelijk aa Ee vectr i 3 heet ee rmaalvectr va ee vlak V, als ldrecht staat p alle richtige i het vlak V Opgave 616 Laat U het vlak zij met rmaalvectr = ( 1, 1, 0), dat gaat dr de rsprg a Bepaal het beeld p va = ( 4, 5, 6) bij ldrechte prjectie p de drager va b Bepaal het beeld q va = ( 4, 5, 6) bij ldrechte prjectie p vlak U Hit: Ga a dat p + q = e maak daar gebrik va = 4, 5, 6 bij spiegelig i vlak U c Bepaal het beeld s va ( ) Opgave 617 Laat V het vlak zij dr ee pt q e met rmaalvectr Bewijs dat vr ee vectr v geldt: a Als v i vlak V ligt, da is v = q b Als v = q, da ligt v i vlak V Opgave 618 Laat W het vlak zij met rmaalvectr = ( 1,, 1) gaat dr het pt q = (, 1, 3) vr ee vectr = ( v, v v ), dat Er zij reële getalle a, b, c e d z dat v geldt: v ligt i vlak W, precies da als 1, av 1 + bv + cv3 = d Bepaal de getalle a, b, c e d 3 Opgave 619 Laat V het vlak zij dat gegeve wrdt dr de vergelijkig + v 5v 8 v = v, v v ligt i vlak V, precies v, dwz ee vectr ( ) = 3v 1 + v 5v3 = = ( v1, v, v3 ) 1, da als 8 Vid vectre q e z dat geldt: ee vectr v ligt i vlak V, precies da als v = q 3 15

9 Stellig 64 Laat V het vlak zij dr ee pt q e met rmaalvectr Laat p de ldrechte prjectie va ee pt v p vlak V zij e s het spiegelbeeld va v i vlak V (( v q) ) Da geldt p = v (( v q) ) e s = v Bewijs We kijke p ee zdaige wijze aar de sitatie, dat we het vlak V va pzij zie Hierdr zie we V als ee lij Lij is de drager va de rmaalvectr De ldrechte prjecties va v e q p lij eme we w respectievelijk r Het plaatje ziet er da z it v V w p s r q v q Met behlp va stellig 63 zie we dat w r = Uit de (( v q) ) bilieariteit va het iprdct vlgt dat w r = We zie i het plaatje dat v p = w r e dat v s = ( w r) (( v q) ) Ds p = v (w r) = v (( ) ) v q e s = v (w r) = v 16

10 q e met r- v Opgave 60 Laat V het vlak zij dr het pt = ( 1,, 3) maalvectr = ( 1, 1, 0) Verder is gegeve het pt = ( 4, 5, 6) a Bereke de cördiate va de ldrechte prjectie va v p V b Bereke de cördiate va het spiegelbeeld va v i V c Bereke de afstad va pt v tt vlak V Opgave 61 Laat V het vlak zij dr ee pt q e met rmaalvectr e laat v ee willekerig pt i de rimte zij ( v q ) Laat zie dat de afstad va pt v tt vlak V gelijk is aa Opgave 6 Laat W het vlak zij met vergelijkig 3v 1 + 4v 5v3 = 0 e = 6, 5, ee pt Bereke de afstad va pt tt vlak W ( ) Opgave 63 Laat V het vlak zij met vergelijkig av 1 + bv + cv3 = d T aa dat de afstad va pt = ( 1,, 3 ) tt vlak V gelijk is aa a1 + b + c3 d a + b + c Met behlp va het iprdct ke we de hek tsse twee vectre berekee Met eig adeke ke we hierit afleide he de hek tsse twee lije, de hek tsse ee lij e ee vlak e de hek tsse twee vlakke bereked ka wrde We geve de resltate zder bewijs De details wrde igevld i pgave 64 tt e met 67 Bekijk twee sijdede lije met richtigsvectre v respectievelijk w Deze lije sijde elkaar der vier heke die f alle vier gelijk zij aa 90 f twee aa twee gelijk zij Oder de hek tsse de twee lije verstaa we v w de kleiste va deze vier heke Vr deze hek α geldt: cs α = v w Als de twee lije elkaar krise, da ke we ee va de lije zdaig verplaatse dat deze de adere lij sijdt Oder de hek va de twee lije verstaa we da de hek tsse de verplaatste lij e de adere lij 17

11 α Opgave 64 Waarm staat i de frmle, waarmee de hek tsse twee lije wrdt bereked, het iprdct tsse abslte waarde strepe? Bekijk ee lij met richtigsvectr v e ee vlak met rmaalvectr Tezij de lij ldrecht staat p het vlak, verstaa we der de hek tsse de lij e het vlak de hek tsse de lij e zij prjectie p het vlak Vr v deze hek β geldt: si β = v β δ Opgave 65 I de figr hierbve is dr het sijpt va lij e vlak ee lij geteked met de rmaalvectr als richtigsvectr Leg it dat v vr de hek δ tsse die twee lije geldt: cs δ = e dat v si β = csδ Opgave 66 Leg it dat de frmle v si β = k klpt, als de lij v wel ldrecht staat p het vlak 18

12 Bekijk twee iet-evewijdige vlakke met rmaalvectre m respectievelijk Oder de hek tsse de twee vlakke verstaa we de kleiste va de heke die je ziet als je lags de richtig va de sijlij va de vlakke m kijkt Vr deze hek γ geldt: cs γ = m γ Opgave 67 Leg it dat de hek tsse twee sijdede vlakke gelijk is aa de hek tsse de dragers va de rmaalvectre va die vlakke Opgave 68 Gegeve is ee kbs abcdefg met ribbe 4 Pt m is het midde va ribbe bf e pt is het midde va ribbe dg a Bereke de afstad va pt tt vlak afc b Bereke de afstad va pt m tt lij Bereke i grade awkerig: c de hek tsse de lije a e md d de hek tsse lij m e vlak afc e de hek tsse vlak abgd e vlak bcde f de hek tsse vlak afc e vlak bge x e a z d f m b c g y 19