7 Het uitwendig product

Transcriptie

1 7 Het itwendig prodct Wees niet bezorgd oer je moeilijkheden met wisknde. Ik kan je erzekeren dat de mijne groter zijn. Albert Einstein ( ) In onze Cartesische rimte 3 hebben we n en dan behoefte aan een ector, niet de nlector, die loodrecht staat op twee gegeen ectoren (die niet elkaars eelod zijn). Bijoorbeeld wanneer we een normaalector zoeken an een gegeen lak. Intïtief is didelijk dat zo n ector altijd wel bestaat, maar in de praktijk alt het aak niet mee om er direct een te inden. Er moet aan gerekend worden, zoals blijkt it het olgende oorbeeld. We zoeken een ector = ( n1, n, n3 ) ectoren a = (,,3) en = ( 3,4, 5) n met n o die loodrecht staat op de b. Voor de gezochte ector n moet gelden: n a = 0 en n b = 0. Dit hodt in dat: n 1 n + 3n3 = 0 en 3n 1 + 4n 5n3 = 0. Dit zijn twee ergelijkingen met drie onbekenden. We gaan eerst één an de onbekenden elimineren, bijoorbeeld n 1. Door de eerste ergelijking met 3 te ermenigldigen en de tweede ergelijking met en daarna het erschil an beide ergelijkingen te nemen, inden we: 14n + 19n3 = 0. N zien we dat we n = 19 en n 3 = 14 knnen nemen. Vllen we dit in in de eerste ergelijking, dan krijgen we: n = 0 ofwel n 1 =. Ds inden we n = (,19,14). Een controle beestigt dat n = (,19,14) loodrecht staat op de ectoren a en b. Kn je nog meer ectoren geen die loodrecht staan op zowel a als b? 0

2 Opgae 7.1. Bepaal in elk an de olgende geallen een ector n met n o, die loodrecht staat op de twee gegeen ectoren. a. a = ( 1,3, ) en b = ( 1,0,1) b. c = ( 0,5,) en d = (,0, 5) = 4,3, 1 f = 1,,6 c. e ( ) en ( ) Opgae 7.. Gegeen is een kbs oabc.defg, die in een assenstelsel is geplaatst, zoals aangegeen in de onderstaande figr. Bepaal (algebraïsch of meetkndig) an elk an de olgende lakken een normaalector. e z d f g a. lak abgd b. lak beg c. lak acf x a o b c y We knnen het boenstaande procedé om een ector te inden, die loodrecht staat op twee gegeen ectoren, ook in het algemeen itoeren. Bij =, =,, beide ongelijk aan de nl- twee ectoren ( 1, 3 ) en ( 1, 3 ) ector, zoeken we een ector n = ( n, n n ) 1, 3, ook ongelijk aan de nlector, die loodrecht staat op zowel als. Er moet dan gelden: n = 0 en n = 0. Uitgeschreen in coördinaten: n + n + n 0 en = 1 n1 + n + 3 n3 = 0. We kiezen er oor om de onbekende n 1 te elimineren. Hieroor ermenigldigen we de eerste ergelijking met 1 en de tweede ergelijking met 1. Dit geeft: 1 1 n1 + 1 n + 31 n3 = 0 en 1 1 n1 + 1 n + 13 n3 = 0. Nemen we erolgens het erschil an beide ergelijkingen, dan inden we: ) n + ( ) n 0 ofwel ( = ( ) n3 = ( 1 1 ) n. Dit is een ergelijking waarin de onbekende n 1 niet meer oorkomt. We knnen n nemen: n = en n3 = 1 1. Verolgens llen we de gekozen waarden in in de eerste ergelijking: n + ) + ( ) 0, ofwel 1 1 ( = 1

3 n n = 1 n1 = , delen door 1 1 = , ofwel (!) geeft We inden zo de ector n = (, ) , 1 1. Maar in de berekening hierboen hebben we ergens gedeeld door 1, terwijl dit getal wel eens 0 zo knnen zijn. Het is echter een eenodige opgae om na te gaan dat de zojist geonden ector n loodrecht staat op de ectoren en, ook in het geal dat 1 = 0. Opgae 7.3. Ga met een rechtstreekse berekening na dat de ector n =, inderdaad loodrecht staat op de ( , 1 1) ectoren = (, ) en = (, ) 1, 3. 1, 3 Maar de ector n zo wel eens de nlector knnen zijn. Dit is inderdaad het geal als en proportioneel zijn, d.w.z. eeloden an elkaar zijn, zoals eenodig is na te gaan. Maar of het ook kan geberen, als en geen eeloden an elkaar zijn, ereist een scherpere blik. We stellen de oplossing an dit probleem nog een it en gebriken de geonden itdrkking als definitie oor het itwendig prodct. Het itwendig prodct of itprodct an de ectoren en wordt gedefinieerd door: = ( 3 3, 31 13, 1 1 ). Merk op dat het itprodct an twee ectoren weer een ector in 3 is, dit in tegenstelling tot het inprodct an twee ectoren, dat een reëel getal is. Het itprodct heeft een aantal mooie eigenschappen, die we eerst zllen bespreken. Net als het inprodct is ook het itwendig prodct bilineair, zodat: ( + ) w = ( + w) = ( λ) = λ( ) ( λ) = λ( ) w + w + w In tegenstelling tot het symmetrische inprodct is het itprodct anti- =. symmetrisch, dat wil zeggen: ( )

4 Hierit olgt direct dat = o, met andere woorden het itprodct an een ector met zichzelf is de nlector. Immers = ( ), ds = en ds is = o. ( ) o Ook olgt rijwel direct dat eronderstel dat λ = o, als en proportioneel zijn. Immers = λ = λ =. =, dan is ( ) ( ) o Opgae 7.4. Controleer door middel an itschrijen dat: a. = b. ( + ) w = w + w λ = λ c. ( ) ( ) Opgae 7.5. Bereken oor elk an de drie paren ectoren in opgae 7.1 het itprodct. Vergelijk de antwoorden met de antwoorden op opgae 7.1. Opgae 7.6. Bekijk weer de kbs oabc.defg an opgae 7.. Pnt m is het midden an ribbe bf en pnt n is het midden an ribbe dg. Bereken an elk an de olgende lakken een normaalector. a. lak amc b. lak amn c. lak emn d. lak amg Voor inprodct en itprodct gelden de olgende tripelprodctformles. Stelling 7.1. Voor, en w gelden de formles: ( w) = ( ) w ( w) = ( w) ( )w Bewijs. Het bewijs is een kwestie an linker- en rechterlid itschrijen in coördinaten, waarbij = ( 1,, 3 ), = ( 1,, 3 ) en w = ( w1, w, w3 ). Bijoorbeeld oor de eerste formle inden we: ( w) = w w ) + ( w w ) + ( w ) 1( w1 x e a z o d n f b m g c y 3

5 ( ) w = ( w + w + w 3 3 ) 1 ( ) ( 1 1) En beide itdrkkingen in het rechterlid zijn inderdaad gelijk. Het bewijs an de tweede formle ergt wat meer schrijfwerk, maar gaat net zo. 3 Opgae 7.7. Bewijs de tweede formle an Stelling 7.1. Opgae 7.8. Bewijs met behlp an de eerste formle an Stelling 7.1. dat ( ) = 0 en ( ) = 0, ofwel staat loodrecht op en op. Stelling 7.. Voor en (beide de hoek is tssen de ectoren en. Bewijs. We laten zien dat o ) geldt: = sinγ, waarbij γ = sin γ. Daarbij worden beide formles an Stelling 7.1 gebrikt. Ga bij het lezen an het bewijs precies na, welke formle er bij elke stap wordt toegepast. Bedenk dat de eerste formle an stelling 7.1 ook an rechts naar links kan worden gelezen. = ( ) ( ) = ( ( )) = (( ) ( )) = ( )( ) ( )( ) = ( ) = cos γ = ( cosγ) = (1 cos γ) = sin γ. Een direct geolg an Stelling 7. is dat de lengte an de ector gelijk is aan de opperlakte an het parallellogram dat wordt opgespannen door de ectoren en, d.w.z. het parallellogram met hoekpnten o,, + en (in die olgorde). + o 4

6 Bekijk n twee ectoren en, die niet proportioneel zijn. De lengte an de ector wordt olledig bepaald door de lengtes an de ectoren en en de hoek tssen deze twee ectoren. Omdat de ector ook loodrecht moet staan op zowel als, ligt deze hiermee bijna ast. Er zijn nog twee mogelijkheden oor, die elkaars tegengestelde zijn. De daadwerkelijke richting an wordt ten slotte bepaald door de zogenaamde krkentrekkerregel: wijst in de richting waarin een krkentrekker zich erplaatst, wanneer deze an naar wordt gedraaid. Een bewijs an dit laatste feit oert te er om hier te geen. Samengeat hebben we de olgende meetkndige beschrijing an het itwendig prodct. Stelling 3.3. Het itwendig prodct staat loodrecht op zowel als. Zijn lengte is gelijk aan de opperlakte sinγ an het parallellogram, opgespannen door en. Zijn richting wordt gegeen door de krkentrekkerregel. Deze meetkndige eigenschappen leggen eendidig ast. z. Bereken x y, y z en x z en ga na dat hn richtingen oereenstemmen met de krkentrekkerregel. Opgae 7.9. Laat x = ( 1,0,0 ), y = ( 0,1,0 ) en = ( 0,0,1) Opgae Bewijs dat als Hint: Gebrik Stelling 7.. = o, dan zijn en proportioneel. Opgae Bewijs dat (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c). Merk op dat je dit op twee manieren aan knt pakken: linker- en rechterlid itschrijen in coördinaten (eel schrijfwerk) of gebrik maken an de formles an Stelling

7 Opgae 7.1. Bewijs dat ( w) + (w ) + w ( ) = o. Hint: Gebrik de tweede formle an Stelling 7.1. Opgae Maak een samenatting en een formlekaart oer de begrippen inprodct en itprodct in 3. 6