College WisCKI. Albert Visser. 28 november, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Lijn, Vlak, etc.

Transcriptie

1 College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 28 november,

2 Overview 2

3 Overview 2

4 Overview 2

5 Overview 3

6 Vectorvoorstelling Lijn: x = b + λa. b is steunvector en a is richtingsvector. Merk op dat deze representatie niet uniek is. Stel p is een vector die eindigt in P en q is een vector die eindigt in Q. Dan is x = λ(q p) + p, de lijn door P en Q. Vlak: x = c + λa + νb. Stel p is een vector die eindigt in P en q is een vector die eindigt in Q en r is een vector die eindigt in R. Dan is x = p + λ(q p) + ν(r p), het vlak door P, Q en R. Driedimensionale deelruimte van R 4 : x = d + λa + νb + µc. 4

7 Overview 5

8 Deelruimte 1 Een lineaire deelruimte V van een vectorruimte W is een verzameling vectoren die gesloten is onder optellen van vectoren en vermenigvuldigen van vectoren met elementen van R. We schrijven v 1,..., v n voor de verzameling lineaire combinaties λ 1 v λ n v n van de v i. De vectoren v 1,..., v n brengen v 1,..., v n voort. Als n = 0 hebben we de gedegenereerde lineaire ruimte = {0}. 6

9 Deelruimte 2 Stelling v 1,..., v n is een lineaire deelruimte. Bewijs Stel u = λ 1 v λ n v n en w = ν 1 v ν n v n. Dan is µu = µ(λ 1 v λ n v n ) = µ(λ 1 u 1 ) +... µ(λ n u n ) = (µλ 1 )v (µλ n )v n u + w = λ 1 v λ n v n + ν 1 v ν n v n = (λ 1 v 1 + ν 1 v 1 ) (λ n v n + ν n v n ) = (λ 1 + ν 1 )v (λ n + ν n )v n. 7

10 (On)afhankelijkheid 1 Bezie v 1 = ( ), v 2 = ( ) and v 3 = ( Dan is bijvoorbeeld v 3 = 2v 1 v 2. De deelruimte v 1, v 2, v 3 is identiek aan v 1, v 2, want als w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3, dan is: ). w = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 (2v 1 v 2 ) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + 2λ 3 v 1 λ 3 v 2 ) = (λ 1 v 1 + 2λ 3 v 1 ) + (λ 2 v 2 λ 3 v 2 ) = (λ 1 + 2λ 3 )v 1 + (λ 2 λ 3 )v 2 Bezie een rijtje vectoren v 1,..., v n. We zeggen dat deze vectoren onafhankelijk zijn als geen van hen als lineaire combinatie van de andere te schrijven is. 8

11 (On)afhankelijkheid 2 Stelling v 1,..., v n is lineair onafhankelijk dan en slechts dan als, voor alle λ 1,..., λ n, als λ 1 v λ n v n = 0, dan λ 1 =... = λ n = 0. Bewijs Stel v 1,..., v n is lineair afhankelijk. Dan is, voor zekere i, en ν 1,..., ν i 1, ν i+1,..., ν n : v i = ν 1 v ν i 1 v i 1 + ν i+1 v i ν n v n, en is dus: ν 1 v ν i 1 v i 1 + ( 1)v i + ν i+1 v i ν n v n = 0. Andersom stel dat λ 1 v λ n v n = 0 en, zeg, λ i 0. Dan is: v i = ( λ 1 i λ 1 )v ( λ 1 i λ i 1 )v i 1 +( λ 1 i λ i+1 )v i ( λ 1 i λ n )v n. 9

12 (On)afhankelijkheid 3 Stelling Stel V is een lineaire deelruimte en v 1,..., v n zijn lineair onafhankelijk vectoren in V. Stel w V. Dan is het stelsel v 1,..., v n, w lineair onafhankelijk. Bewijs Stel λ 1 v λ n v n + µw = 0. Als µ 0, dan is w = ( µ 1 λ 1 )v ( µ 1 λ 1 )v 1. Dit is in tegenspraak met het feit dat w V. Dus µ moet 0 zijn, Er volgt dat λ 1 v λ n v n = 0. Omdat de v i lineair onafhankelijk zijn, mogen we concluderen dat λ 1 =... = λ n = µ = 0. 10

13 Basis 1 Stel v 1,..., v n is onafhankelijk en V = v 1,..., v n. Dan is v 1,..., v n een basis voor V. Stelling Stel v 1,..., v n and w 1,..., w k zijn beide bases van V. Dan is n = k. Het bewijs is uitgesteld. De bovenstaande stelling rechtvaardigt de volgende definitie: de dimensie van V is k als er een basis v 1,..., v k is voor V. 11

14 Basis 2 Stelling Bezie W = w 1,..., w k waar de w i niet per se onafhankelijk hoeven zijn. Dan is er een deelrijtje w j1,..., w jm (met m k) van de w i dat een basis vormt van W. Bewijs We verkrijgen het rijtje w ji door de w s+1 weg te laten die in w 1,..., w s liggen. (Dat betekent i.h.b. dat we w 1 weglaten precies dan als w 1 = 0.) 12

15 Basis 3 Stelling Bezie W = w 1,... w k. Hier hoeven de w i niet per se lineair onafhankelijk te zijn. Stel dat v 1,..., v n lineair onafhankelijk zijn in W. Dan is n k. Bewijs We bewijzen met inductie over 0 i n, dat W = v 1,..., v i, w s1,..., w sk i, voor zekere 1 s 1 <... < s k i k. Voor i = 0 is dit triviaal: we nemen s j := j. Stel we hebben het gevraagde voor i < n. Aangezien v i+1 in W zit, hebben we, op grond van de IH, v i+1 = λ 1 v λ i v i + µ 1 w s µ k i w sk i. Aangezien de v j lineair onafhankelijk zijn, moet er een l zijn met µ sl 0. Daarom is w sl te schrijven als een lineaire combinatie van v 1,..., v i+1, w s1,... w sl 1, w sl+1,... w sk i. Hieruit volgt weer dat elke w W te schrijven is als lineaire combinatie van deze elementen. 13

16 Basis 4 Stelling Stel v 1,..., v n and w 1,..., w k zijn beide bases van V. Dan is n = k. Bewijs We hebben dat v 1,..., v n in V = w 1,..., w k is en dus n k. Analoog: k n. 14

17 Overview 15

18 We schrijven het inproduct tussen twee vectoren u en v als (u, v) of u v. a 1. a n b 1. b n = a 1 b a n b n. Enige éénvoudige wetten zijn: u v = v u λu v = λ(u v) (u1 + u 2 ) v = u 1 v + u 2 v u u 0 en u u = 0 iff u = 0. Merk op dat dit de ordening op het lichaam gebruikt! 16

19 De Lengte van een Vector De lengte van een vector is u = u u = a a2 n. Zij P het eindpunt van p en Q het eindpunt van q dan is de afstand PQ = p q. 17

20 Cosinus Wet 1 Stel we hebben een driehoek ABC. Stelling We noemen a := BC, b := AC en c := AB. We hebben: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos(γ). Figure: Driehoek We nemen C als (0, 0) en B als (a, 0). Dan wordt A = (b cos(γ), b sin(γ)). 18

21 Cosinus Wet 2 We hebben: c 2 = (b cos(γ), b sin(γ)) (a, 0) 2 = (b cos(γ) a, b sin(γ)) 2 = (b cos(γ) a) 2 + (b sin(γ)) 2 = b 2 cos 2 (γ) 2ab cos(γ) + a 2 + b 2 sin 2 (γ) = a 2 + b 2 (sin 2 (γ) + cos 2 (γ)) 2ab cos(γ) = a 2 + b 2 2ab cos(γ) 19

22 Inproduct en Hoek Bezie twee vectoren p en q met eindpunten P en Q. De lengtes van de zijden van driehoek OPQ zijn: OP = p, OQ = q en PQ = p q. De hoek tussen p en q is γ. We hebben: p p + q q 2 p q cos(γ) = OP 2 + OQ 2 2 OP OQ cos(γ) = PQ 2 Dus p q = p q cos(γ). = (p q) (p q) = p p + q q 2(p q) 20