Examen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur

Transcriptie

1 Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master hemie Naam: Studierichting: Naam assistent: Het examen bestaat uit 5 vragen Elke vraag telt even zwaar mee Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen Schrijf de antwoorden op deze bladen en vul eventueel aan met losse bladen Kladbladen hoeft u niet in te leveren U mag gebruik maken van de cursus (Wiskunde I én Wiskunde II; géén extra los toegevoegde bladen en van een rekenmachine (grafisch is toegestaan, een smbolisch niet Schrijf de antwoorden duidelijk leesbaar op in goede Nederlandse zinnen Begin het antwoord op elke vraag op een nieuw blad Vermeld uw naam op elk blad Vermeld op dit blad ook de naam van uw assistent: (Simon Allewaert, Sofie Burggraeve, Stief Gijsen, Karel Kenens, Berdien Peeters, Kristof Schoels Succes!

2 ( Vraag Gegeven is de matrix A = a b a = 3, c met kolomvectoren b =, c = 7 k 7 Hierin is k R k pt (a Los het stelsel A x = 3k + 6 op 5k + Geef de waarden van k waarvoor er (i geen oplossing is, (ii een unieke oplossing is, (iii meer dan één oplossing is pt (b Geef een eenheidsvector die loodrecht staat op zowel a als b pt (c Bepaal het vlak door c dat loodrecht staat op de rechte door a en b Voor welke waarde van k gaat dit vlak door de oorsprong? pt (d Voor welke waarden van k is λ = een eigenwaarde van A? Antwoord: (a Het stelsel A x = k 3k + 6 5k k 7 laat zich herschrijven als x z = k 3k + 6 5k + Om het stelsel op te lossen passen we de nodige elementaire rij-operaties toe op de uitgebreide matrix van het stelsel: k k 3 7 3k + 6 R R 3R 6 k R 7 5k + 3 R 3 R k 5 k + R 3 R 3 R k 6 k 6 k (

3 De laatste regel van de matrix laat zich herschrijven als (k 6z = k Wanneer k 6 (dwz k en k kunnen we hieruit de waarde van z halen We maken dus een gevalsonderscheid Geval k en k : In dit geval is z = k k 6 = k + Verder lezen we uit de tweede regel van de matrix af dat + z = 6, dus = 6 z = 3 + z = 3 + k + 8 = 6k 3 k + 8 Tenslotte halen we de waarde van x uit de eerste regel van de matrix Omdat x + + z = k, besluiten we dat 6k 3 x = k z = k k + 8 k + = k + 8k + 6k + 3 = k + k + 9 k + 8 k + 8 In dit geval heeft het stelsel dus oplossing, namelijk ( k T + k + 9 6k + 3 x =, k + 8 k + 8, k + Geval k = : Wanneer we in ( k gelijk aan nemen, wordt de laatste rij een nulrij We mogen z dus willekeurig kiezen: Zeg z = t met t R Dan volgt uit de tweede vergelijking dat = 6 z = 3 + t Uit de eerste vergelijking volgt nu dat x = z = +3 t 5t t = 7 We besluiten dat het stelsel nu oneindig veel oplossingen heeft, namelijk alle drietallen van de vorm ( x = 7 5t, 3 + t T, t met t een willekeurig reëel getal 3

4 Geval k = : Wanneer we in ( k gelijk stellen aan, dan wordt de laatste rij ( 8 Het linkerlid van de vergelijking is dus x + + z, terwijl het rechterlid 8 is Het is duidelijk dat deze vergelijking voor geen enkele waarde van x, en z kan opgaan Het stelsel is strijdig en heeft geen oplossingen (b Het vectorproduct van de vectoren a en b staat loodrecht op beide vectoren We berekenen dus a e e e 3 b = 3 = e 3 e + e 3 3 = We zochten echter een eenheidsvector die loodrecht staat op a en b We moeten de vector ( T die we zonet vonden dus nog normeren Hiervoor delen we de vector door zijn lengte + + ( = = 3 We vinden de vector 3 = (c Om de richting van de rechte door a en b te bepalen, berekenen we eerst de verschilvector a b = Dit is een normaalvector voor het gezochte vlak Het vlak heeft bijgevolg de vergelijking x + + z = d waarin d zo gekozen moet worden dat c in het vlak licht Dus d = 7 + (k 7 = k en het vlak is + z = k hetgeen te vereenvoudigen is tot + z = k

5 Het vlak gaat door de oorsprong wanneer het punt (,, aan de vergelijking voldoet Dit gebeurt wanneer = k We besluiten dat het vlak door de oorsprong gaat als en slechts als k = (d Een waarde λ is een eigenwaarde van A als en slechts als det(a λi = De matrix A heeft dus λ = als eigenwaarde wanneer det(a + I = We berekenen eerst de gezochte determinant door te ontwikkelen naar de eerste rij det(a + I = 3 7 k 6 = 7 k k = (k (3k (6 8 = k Deze determinant is nul wanneer k = Er zijn dus twee waarden van k waarvoor λ = een eigenwaarde is van A, namelijk k = en k = 5

6 Vraag { 5pt (a Vind alle oplossingen van het lineaire stelsel Geef de oplossingen in reële vorm 5pt (b Bereken de evenwichtspunten van het niet-lineaire stelsel en bepaal de stabiliteit van elk van de evenwichtspunten x = x = + x { x = x = + x Antwoord: (a Wanneer we het lineaire stelsel in matrixvorm schrijven, ziet het er als volgt uit: ( ( ( x x = We zoeken eerst de eigenwaarden van de coëfficiëntenmatrix (die we met A zullen noteren Hiervoor berekenen we de volgende determinant: det(a λi = λ λ = ( λ( λ + = λ + 6λ + De matrix A heeft λ als eigenwaarde wanneer det(a λi = We zoeken dus de nulpunten van λ + 6λ +, en we vinden λ = 6± 36 = 3 ± i Vervolgens zoeken we een eigenvector x bij een van beide eigenwaarden, bijvoorbeeld voor λ = 3+i Dit betekent ( dat x zodanig gekozen moet worden x dat A x = ( 3 + i x Voor x = moeten we dus het volgende stelsel oplossen: { x = ( 3 + ix x = ( 3 + i Dit is equivalent met { ( ix = x + ( i = 6

7 Beide ( vergelijkingen zijn equivalent met = ( ix We vinden daarom x = als (mogelijke eigenvector i Een oplossing van het gegeven stelsel differentiaalvergelijkingen is dus, in complexe vorm, gegeven door ( ( x(t = e ( 3+it (t i Het reëel deel en het imaginair deel van deze oplossing vormen samen een reële basis voor de oplossingsverzameling We herschrijven eerst ( ( ( x(t = e ( 3+it = e 3t (cos(t + i sin(t (t i i Hieruit halen we dat en Re ( x(t (t ( x(t Im (t = e 3t ( = e 3t ( cos(t cos(t + sin(t sin(t sin(t cos(t Nu kunnen we de algemene oplossing van het stelsel in haar reële vorm schrijven: { x(t = c e 3t cos(t + c e 3 sin(t (t = c e 3t (cos(t + sin(t + c e 3t (sin(t cos(t voor c, c R (b Een stelsel van differentiaalvergelijkingen bereikt een evenwichtspunt wanneer de afgeleiden van de betrokken functies nul zijn In dit geval zoeken we dus wanneer x (t = (t = We lossen het volgende stelsel op: { x = + x = Wanneer we beide vergelijkingen bij elkaar optellen vinden we =, dus ( + = We vinden twee oplossingen: = en = Als = halen we uit de tweede vergelijking dat x = Als = halen we uit de 7

8 tweede vergelijking dat x = 8 Er zijn dus twee evenwichtspunten: (, en ( 8, Om de stabiliteit van de evenwichten na te gaan, moeten we het teken onderzoeken van de eigenwaarden van de matrix met partiële afgeleiden: J = ( ( x x (x x ( x (x = ( Voor( het eerste evenwichtspunt (, is deze matrix een bovendriehoeksmatrix De eigenwaarden staan op de diagonaal λ = en λ = Omdat beide eigenwaarden negatief zijn, besluiten we dat (, een stabiel evenwicht is Voor het tweede evenwichtspunt ( 8, is de matrix J = ( 8 We berekenen de eigenwaarden det(j λi = λ 8 λ = ( λ( λ 6 = λ + 6λ Hieruit volgt λ, = 6 ± = 3 ± 7 Omdat 7 >, is > Deze eigenwaarde is dus zeker positief We besluiten dat de eigenwaarden niet allebei negatief zijn, dus ( 8, is een instabiel evenwicht 8

9 Vraag 3 3pt (a Geef de Maclaurinreeks van de functie f(x = x sin(x pt (b Beschouw de functie g(x = { cos(πx, voor < x <,, elders Laat zien dat de Fouriertransformatie van g (in de goniometrische vorm; zie formule (3 uit de cursus leidt tot de functie u( = cos ( π Bereken zelf v( 3pt (c Gebruik onderdeel (b en de inverse Fouriertransformatie om de integraal cos ( ( cos d π te berekenen Antwoord: (a We weten dat de Maclaurinreeks van de sinusfunctie gegeven wordt door sin(x = k= Door x te vervangen door x vinden we sin(x = ( k x k+ (k +! ( k k+ x k+ (k +! k= Vermenigvuldigen met x geeft ons de Maclaurinreeks van de gevraagde functie: ( k k+ x k+ f(x = x sin(x = (k +! k= 9

10 (b We berekenen u( als u( = π g(x cos(xdx = π / / cos(πx cos(xdx Omdat cos(πx en cos(x allebei even zijn, is de integrand even Daarom is u( = π / cos(πx cos(xdx Het is mogelijk om deze integraal uit te rekenen door twee keer partieel te integreren Als alternatief gebruiken we hier de goniometrische formule (omkering van de formule van Simpson cos(α + β + cos(α β = cos(α cos(β om te integraal te herschrijven tot u( = π / (cos((π + x + cos((π x dx Deze integralen kunnen we direct uitrekenen en er volgt Hier merken we op dat u( = [ sin((π + x sin((π x + π π + π ( = ( sin π + + sin ( π π π + π sin( π + = sin( π = cos(, ] / zodat ( u( = ( cos π π + + cos ( π = cos ( π π (π (π + = cos ( π

11 Vervolgens berekenen we v(: v( = π g(x sin(xdx = π / / cos(πx sin(xdx Omdat cos(πx even is en sin(x oneven, is de bovenstaande integrand een oneven functie Wanneer we deze integreren over het smmetrische interval [, ], krijgen we dus nul We besluiten dat v( = (c De formule voor de inverse Fouriertransformatie zegt dat g(x = u( cos(x d want v( = en g is continu Deze formule geldt voor elke x We nemen de bijzondere waarde x = en we vinden dat g ( = = ( u( cos d cos ( ( cos d π Omdat zowel cos ( ( als cos als π even functies zijn, is het product ook een even functie Voor de gezochte integraal geldt dus cos ( ( cos cos ( ( d = cos d π π Uit het bovenstaande volgt dus dat cos ( ( cos d = g π ( ( π = cos =

12 Vraag Zij D het gebied in het eerste kwadrant van het x-vlak dat gegeven wordt door de ongelijkheden voor zekere ρ pt (a Schets het gebied D D : x, x + ρ 5pt (b Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten x dxd (x + 3/ D 3pt (c Leg uit hoe u aan de hand van het antwoord uit onderdeel (b de kringintegraal x + dx + x x + d zou bepalen, waarin = D de rand van D is Hint bij (b: handige goniometrische formule cos(θ = cos (θ sin (θ Antwoord: (a Let op dat x zodat we alleen het gedeelte van de schijf hebben dat zich onder de rechte = x bevindt

13 (b Het gebied uit (a kunnen we in poolcoördinaten beschrijven door θ π en r ρ We kunnen de dubble integraal dan omvormen in π ρ Na vereenvoudiging wordt dit r (cos (θ sin (θ r drdθ (r 3 π ρ De binnenste integraal uitwerken geeft cos(θdrdθ π ρ cos(θdθ Dit rekenen we verder uit π [ ] π sin(θ ρ cos(θdθ = ρ ( = ρ = ρ (c We willen hiervoor de stelling van Green toepassen Q P dx + Qd = x P da Stel nu dan is P = x + en Q = D x x +, We zien dan dat P = x (x + 3 en 3 Q x = x (x + 3

14 Volgens de stelling van Green is dus Q x P = x (x + 3/ x + dx + x x + d = D x ρ dxd = (x + 3/ = ρ

15 Vraag 5 5pt (a Zij F = ( x 3 + x, x 3 + Laat zien dat het vectorveld conservatief is en bereken F t ds waarin de kromme is met parametrisatie x = t +, = t met t [, ] 5pt (b Zij S het noordelijk halfrond: S : x + + z + R, z, R > De eenheidsnormaal n op S is naar boven gericht Bereken rot F en voor het vectorveld F = (x, x, S rot F n ds Antwoord: (a We stellen F = (P, Q met P = x 3 + x en Q = x 3 + voorwaarde voor een conservatief vectorveld is dat P = Q x De We berekenen P = 8x3 3, Q x = 8x3 3 Deze zijn inderdaad gelijk en het vectorveld is dus conservatief Hierdoor kunnen we de volgende stelling gebruiken F t ds = V (B V (A Hierbij is A het beginpunt en B het eindpunt van de kromme We vinden hier voor A (t = het beginpunt (, en voor B (t = het eindpunt (, Verder is V de potentiaalfunctie waarvoor geldt dat grad V = F 5

16 Vervolgens gan we V berekenen Uit grad V = F volgt dat V x = P = x3 + x, V = Q = x 3 + Uit V x = x3 + x volgt door te primitiveren naar x dat Dan is V (x, = x + x + g( V = x 3 + g ( Dit moet gelijk zijn aan Q = x 3 +, zodat we zien dat we g zodanig moeten kiezen dat g ( = We nemen g( = zodat V (x, = x + x + Omdat V (B = V (, = 36, 5 en V (A = V (, =, kunnen we nu de integraal berekenen F t ds = V (, V (, = 3, 5 (b De rotor van F is rot F = (,, De dubbele integraal berekenen we met de stelling van Stokes rot F n ds = F t ds = xdx + xd + dz S De laatste gelijkheid geldt omdat F = (x, x, In dit geval is = S de cirkel in het x-vlak rond de oorsprong met straal R We kunnen deze cirkel als volgt parametriseren x = R cos θ : = R sin θ, met θ π z = 6

17 Dan kunnen we de dubbele integraal als volgt berekenen rot F n ds = x dx + x d + dz S Vanwege = π = R π vinden we uiteindelijk R cos θ ( R sin θ dθ + π sin(θ dθ =, S π π sin(θ dθ + R cos (θ dθ π rot F n ds = πr cos (θ dθ = π, R cos θ (R cos θ dθ + 7