- havovwo.nl Formules Goniometrie

Transcriptie

1 Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t - -

2 Eerste- en derdegraadsfunctie De functies f en g zijn gegeen door f( ) ( )( ) en g ( ). De grafieken an f en g snijden beide de -as in het punt A (0, ) en de -as in het punt B (, 0). De grafiek an g raakt in punt A aan de grafiek an f. 4p Toon dit aan met behulp an differentiëren. In de zijn de grafieken an f en g getekend. A g f O B De grafiek an f erdeelt driehoek OAB in twee delen. 6p Toon met een eacte berekening aan dat de opperlakte an het linkerdeel twee keer zo groot is als de opperlakte an het rechterdeel. De functie h is gegeen door g ( ) h ( ). f ( ) 4p Bereken eact de coördinaten an de perforatie en stel ergelijkingen op an de asmptoten an de grafiek an h. - -

3 Verzadigingsgraad an hemoglobine Zuurstof wordt in het menselijk lichaam getransporteerd door de hemoglobine in het bloed. De zuurstof wordt in de longen aan de hemoglobine gebonden en in de weefsels weer afgegeen. Het percentage an de hemoglobine dat zuurstof aan zich bindt, wordt de erzadigingsgraad an hemoglobine genoemd. Deze erzadigingsgraad hangt af an de partiële zuurstofdruk; dit is het deel an de totale luchtdruk in de longen dat eroorzaakt wordt door de zuurstof. In 90 heeft de fsioloog Hill geonden dat onder bepaalde omstandigheden het erband tussen de partiële zuurstofdruk p en de erzadigingsgraad an hemoglobine kan worden benaderd met de formule: p 00p 5000 Hierin is: de erzadigingsgraad an hemoglobine in procenten en p de partiële zuurstofdruk in mmhg (millimeter kwik, de toen gebruikte eenheid oor druk). p 4 Bereken de partiële zuurstofdruk als de erzadigingsgraad an hemoglobine 75% is. Rond je antwoord af op een geheel aantal mmhg. In de is de grafiek getekend an als functie an p olgens de benaderingsformule an Hill. (%) p (mmhg) 4p 5 Bereken met behulp an de afgeleide functie an oor welke waarde an p de grafiek het steilst is. Rond je antwoord af op een gehele waarde. - -

4 Hill ond zijn formule doordat hij ontdekte dat 00 eenredig is met p. De eenredigheidsconstante is Dat wil zeggen: 00 0,00004p 4p 6 Herleid de formule 00 0,00004p tot de formule 00p. p 5000 Vermeniguldigen in horizontale en erticale richting De functie f is gegeen door Voor elke waarde an c is de functie ln f( ). g c gegeen door c ln gc( ). De grafiek an f wordt ten opzichte an de -as ermeniguldigd met e, het grondtal an de natuurlijke logaritme. Verolgens wordt de zo erkregen grafiek ten opzichte an de -as ermeniguldigd met e. Hierdoor ontstaat de grafiek an g c oor een waarde an c. 4p 7 Bereken eact deze waarde an c. In de is de grafiek an g getekend. Ook de grafiek an f is in de getekend. W is het lakdeel dat wordt ingesloten door de grafieken an f en g en de lijnen met ergelijking en e. 4p 8 Bereken eact de opperlakte an W. g f W O e - 4 -

5 Twee ierkanten tegen een driehoek Voor positiee waarden an p en q is gegeen de driehoek OAB met O (0, 0), A( pq, ) en B (, 0). Tegen de zijden OA en AB liggen de ierkanten OAEF en ABCD. Deze ierkanten liggen buiten driehoek OAB. Het midden an lijnstuk OB is punt M. In de is een mogelijke situatie weergegeen. D C E A F O M B Er geldt: p q OD p q. p 9 Toon dit aan. p q Verder geldt: OE. p q 4p 0 Toon aan dat lijn MA loodrecht staat op lijn ED

6 Een hartormige kromme Voor 0 t wordt de beweging an een punt P beschreen door de bewegingsergelijkingen () t cost cos() t t () sint sin() t In is de baan an P getekend. Voor t 0 en t beindt P zich in (, 0). 6p Bereken eact de maimale snelheid an P. - - O - - De lijn met ergelijking snijdt de baan an P behale in het punt (, 0) ook in de punten (, a ) en (, a ), met a 0. Zie. 6p Bereken eact de waarde an a. - - O

7 De leeftijd an ons zonnestelsel Volgens sterrenkundigen zijn de meteorieten die op aarde terechtkomen tegelijk met ons zonnestelsel ontstaan. Meteorieten bestaan onder andere uit de stoffen rubidium-87 (Rb-87), strontium-87 (Sr-87) en strontium-86 (Sr-86). Het radioactiee Rb-87 eralt tot Sr-87. De hoeeelheid Sr-86 erandert niet. Om de leeftijd t (in jaren) an een meteoriet te bepalen gebruikt men onder andere de erhouding: hoeeelheid Rb-87 at ( ) op tijdstip t hoeeelheid Sr-86 Deze erhouding erandert oortdurend anaf het ontstaan an een meteoriet. Er geldt: at () a(0) e t Hierin is λ de eralconstante an Rb-87. Die is,4 0 per jaar. De constante a (0) is de erhouding tussen de hoeeelheden Rb-87 en Sr-86 op t 0. p Bereken op algebraïsche wijze in hoeeel tijd de waarde an a gehaleerd wordt. Geef je antwoord in miljarden jaren nauwkeurig

8 De waarde a (0) is onbekend en erschilt per meteoriet. Daarom kunnen we de leeftijd an een meteoriet niet bepalen op grond an de gemeten waarde at () alleen. Leeftijdsbepaling is wel mogelijk door naast at () ook gebruik te maken an een tweede erhouding: hoeeelheid Sr-87 bt ( ) op tijdstip t hoeeelheid Sr-86 Omdat Rb-87 eralt tot Sr-87 en Sr-87 zelf niet eralt, erandert de waarde an de som an at () en bt () oor een bepaalde meteoriet niet in de loop der tijd. Dit betekent dat at () bt () a(0) b (0) oor elke t 0. Uit at () bt () a(0) b (0) en () (0) e t at a olgt: t bt () e at () b (0) p 4 Toon dit aan. Van twee een oude meteorieten, M en M, zijn de waarden at () en bt () bepaald, waarbij t de leeftijd an deze meteorieten is. Zie de tabel. tabel meteoriet at () bt () M 0,60 0,79 M 0,0 0,7 Door gebruik te maken an: t bt () e at () b (0), met,4 0 per jaar, de aanname dat b (0) oor elke meteoriet hetzelfde is en de gegeens uit de tabel kan de leeftijd an de meteorieten (en olgens sterrenkundigen dus ook die an ons zonnestelsel) worden berekend. 4p 5 Bereken deze leeftijd. Rond je antwoord af op miljarden jaren

9 Raakcirkel en raaklijnen Gegeen zijn de cirkel c met ergelijking ergelijking ( 5) 44. In de zijn c en c getekend. 9 en de cirkel c met c c Cirkel c met middelpunt op de positiee -as raakt de beide cirkels c en c. 6p 6 Stel een ergelijking op an c. De cirkels c en c hebben drie gemeenschappelijke raaklijnen. 8p 7 Stel an elk an deze gemeenschappelijke raaklijnen een ergelijking op