Inproduct, determinant en uitproduct

Transcriptie

1 Inprodt, determinnt en itprodt In het vlk etekent loodreht Vetoren zijn vet gedrkt. Er is een orthonormle sis gekozen: (e, e ) =(, ) etekent: = e + e Soms worden vetoren vn pijltjes voorzien: in plts vn. Dit geert met nme ij hndgeshreven tekst. Ode koeien C Meer dn Pythgors + = ls =90 + < ls >90 + > ls <90 A B Uit de tweede kls weten we: De lengte vn een vetor De lengte vn(, ) is: De lengte vn noteren we met. en zijn vetoren. =(, ) en =(, ). De hoek tssen en noemen we. Toon n: + =0 ls =90 + >0 ls >90 + <0 ls <90 Uit opgve is didelijk dt + iets over de hoek tssen de vetoren en zegt. In het volgende gn we dr nder op in. We shrijven in het vervolg kort: voor + en noemen dit het inprodt vn en. Definitie Het inprodt vn en is: +. We noteren het inprodt vn en met. Ds: = +. wordt itgesproken ls in of inprodt.

2 In opgve he je het volgende gezien. Als 0 en 0, dn =0 p=(4,-5). De vetor q heeft zijn eindpnt op de lijn y=0. Er geldt: p q. Bereken de kentllen vn q. Eigenshppen vn het inprodt Voor lle getllen k en vetoren, en geldt:. =. (+)=+. k()=(k) 4. = Lt ovenstnde zien. Ntrlijk geldt ook: 5. (+)=+ 6. k()=(k) Vnwege de eigenshppen,, 5, en 6 zeggen we dt het inprodt ilineir is. k n H O 4 De vetor n stt loodreht op lijn k en en zijn vetoren met eindpnt op k.. Toon n: n= n. Toon n: xn=n x heeft zijn eindpnt op k. B 4 n -4-0 A y-s x-s 5 Zie het pltje hiernst: n=(,4), A en B zijn roosterpnten.. Geef de kentllen vn de vetoren en.. Teken de lijnen k door A en m door B loodreht op n.. Toon n: (x,y) op k x+4y=6 Shrijf ook zoiets op voor (x,y) op m.

3 6 k k n O n O In deze opgve ekijken we het vernd tssen het inprodt vn twee vetoren en de hoek die ze met elkr mken preiezer. De vetoren en mken een hoek met elkr. We ondersheiden twee gevllen: 0< 90 (het linker pltje) en >90 (rehter pltje). k is de lijn door het eindpnt vn A loodreht op. Hierij mken we de vetor n: hij heeft zijn eindpnt op k en stt loodreht op lijn k. De vetor is een veelvod vn n, zeg =kn. In het linker pltje is k>0, in het rehter pltje is k<0.. Toon n: n= n ls k>0 en n=-n ls k<0. Er geldt: n=. Wrom?. Lt zien dt zowel voor het gevl dt sherp ls voor het gevl stomp is geldt: = os. Stelling Als 0 en 0, dn =os, wrij de hoek tssen de vetoren en is. Het inprodt is ds een itstekend instrment om hoeken tssen vetoren te erekenen. 7 Zie opgve 5. Bereken met het inprodt AOB in grden nwkerig.

4 8 Er geldt: =( ) ( ). Lt met ehlp vn de ilineriteit vn het inprodt zien dt hierit volgt: = + os. G n dt je in de osinsregel ewezen het. y-s A B x-s C 9 In het rooster zijn de pnten A(0,), B(,) en C((-,-) getekend. De vetor (,-) heeft dezelfde rihting ls lijn AB.. Lt met het inprodt zien dt de vetor (,) loodreht op (,-) stt.. Geef een vetor die dezelfde rihting ls lijn BC heeft en ook een vetor die dr loodreht op stt.. Geef een vetor die dezelfde rihting ls lijn AC heeft en ook een vetor die dr loodreht op stt. Een vetor (ongelijk n de nlvetor) die loodreht op een lijn stt noemen we een normlvetor vn die lijn. een vergelijking vn een lijn opstellen Neem de lijn door A en B in opgve 9. In die opgve he je gezien dt de vetor n=(,) loodreht op lijn AB stt. Lt de vetor (0,) zijn. Dn geldt: x=(x,y) heet zijn eindpnt op lijn AB nx=n, zie opgve 4. Ds (x,y) ligt op lijn AB x+y=0+ x+y=9. 0 Geef een vergelijking vn lijn BC en ook vn lijn AC op de mnier vn hieroven. Je knt ds ook zo te werk gn om een vergelijking vn een lijn op te stellen. (We geven een vooreeld). A is (,4) en B(7,-), dn is de vetor v die A nr B vershift: v=(4,-5),ds n=(5,4) is een normlvetor vn lijn AB, ds een vergelijking is: 5x+4y=,voor een of nder getl. Omdt (,4) n de vergelijking moet voldoen geldt: =5+44=, ds een vergelijking vn lijn AB is: 5x+4y= 4

5 Een lijn met vergelijking x+y= heeft normlvetor (,). Gegeven is de lijn k met vergelijking x+y=7 en het pnt A(,5).. Geef een normlvetor vn de lijn en een vetor in de rihting vn de lijn.. Geef een vergelijking vn de lijn door A loodreht op k.. Geef een vergelijking vn de lijn door A evenwijdig n k. De fstnd vn een pnt tot een lijn In het pltje hieronder ligt A op lijn k en n is een normlvetor vn k. We willen de fstnd vn P tot lijn k eplen. P p- p n O d A k De projetie vn p op de loodlijn vn k door O noemen we d. De hoek tssen d en p noemen we.. G n dt d de fstnd vn P tot lijn k is. In het getekende gevl is d= p os, mr ls 90<<80, geldt ntrlijk: d= p os, Volgens stelling is dn: d= p os= p (p )n/(p n)=(p )n/n 5

6 Stelling Een pnt A met positievetor ligt op lijn k en n is een normlvetor vn k. De fstnd vn een pnt P tot k is: ( p )n p n n n n Vooreeld k heeft vergelijking x+4y 7=0 en P is het pnt (7,9). Een normlvetor vn k is (,4). Welk pnt we ook kiezen op k, het inprodt met (,4) is 7. G dt n. (,4) = 4 5. De fstnd vn P tot k is: We knnen n stelling ook ls volgt opshrijven. k is een lijn met vergelijking x+y=. p q De fstnd vn P(p,q) tot k is: 6

7 Determinnten Een vetorpr (, ) heet positief georiënteerd ls de kleinste hoek wrover nr gedrid kn worden tegen de wijzers vn de klok ingt; Anders is het negtief georiënteerd. positief georiënteerd negtief georiënteerd Met het prllellogrm epld door de vetoren en edoelen we de vierhoek met hoekpnten O, en de eindpnten vn, en +. We noteren de determinnt vn het vetorpr (,) met det(,). prllellogrm epld door en Definitie De determinnt vn het vetorpr (, ) is: de oppervlkte vn het prllellogrm epld door de vetoren en ls (,) positief georiënteerd is. het tegengestelde vn de oppervlkte vn het prllellogrm epld door de vetoren en ls (,) negtief georiënteerd is. 0 ls en fhnkelijk zijn of ls =0 of =0. Wt kn je zeggen over het vernd tssen det(,) en:. det(,). det(,).. det(-,). 7

8 e f d 4 Zie pltje. Bereken det(,), det(,d) en det(e,f). 5 Lt met het pltje zien: det(,+)= det(,)+ det(,). Omdt det(x,y)=-det(y,x) geldt ntrlijk ook: det(+,)= det(,)+ det(,). + det is ilineir, dt wil zeggen: Voor lle vetoren, en en lle getllen k geldt: det(k,)= det(,k)=k det(,) det(,+)= det(,)+ det(,) det(+,)= det(,)+ det(,). + 6 Bekijk het pltje hiernst. De vetoren, en + zijn loodreht geprojeteerd op een lijn m. Hn projeties zijn ', ' en (+)'.. Lt zien dt: (+)'='+'.. Teken soortgelijke pltjes om te lten zien dt (-)'=-' en (½)'=½'. (+)' ' ' O m De projetie vn vetoren op een lijn door O is lineir, dt wil zeggen: voor lle vetoren en en lle getllen k geldt (+)'='+' (k)'=k'. Hierij wordt de projetie vn een vetor x ngegeven met x'. 8

9 + 7 Het feit dt det ilineir is, volgt ook it het lineir zijn projeteren. Als x' de projetie voorstelt vn x op de lijn loodreht door, dn det(,+)= (+)' det(,)=' det(,)= ' ls (, ), (,) en (, +) positief georiënteerd zijn zols in het pltje hiernst. m 8 (e, e ) is een orthonormle sis, positief georiënteerd. Wt is det(e, e ), det(e, e ), det(e, e ), en det(e, e )?. Lt met ehlp vn de ilineriteit vn det zien dt det(,)=. 9 Als en eide niet 0 zijn, dn zijn ze een veelvod vn elkr dn en lleen dn ls =0.. Toon dt n. k heeft vergelijking x+y= en m heeft vergelijking px+qy=r.. Welk vernd is er tssen p,q, en ls k en kl evenwijdig zijn? 0 Gegeven zijn de pnten A(,), B(7,) en C(50,60).. Bereken de oppervlkte vn driehoek ABC met ehlp vn een determinnt. Gegeven: P(p,p ), Q(q,q ) en R(r,r ).. Drk de oppervlkte vn driehoek PQR in p,p, q,q, r en r it. De vetoren e en liggen op dezelfde lijn door O. De lengte vn e is en de lengte vn is. Er zijn twee mogelijke itkomsten voor e Wt zijn die mogelijkheden en wnneer? 9

10 De rimte in We ontwikkelen een soortgelijk instrmentrim in de rimte. Er is een orthonormle sis gekozen: (e, e, e ) =(,, ) etekent: = e + e + e Veel gt net zo ls in het pltte vlk. C g Meer dn Pythgors geldt ook in de rimte: + = ls =90 + < ls >90 + > ls <90 A B Uit de tweede kls weten we: De lengte vn een vetor De lengte vn(,, ) is: De lengte vn noteren we met. en zijn vetoren. De hoek tssen en noemen we. (Het gt net zo ls in het pltte vlk) Toon n: + + =0 ls = <0 ls > >0 ls <90 Uit opgve is didelijk dt + + iets over de hoek tssen de vetoren en zegt. In het volgende gn we dr nder op in. We shrijven in het vervolg kort: voor + + en noemen dit het inprodt vn en. Definitie Het inprodt vn en is: + +. We noteren het inprodt vn en met. Ds: =

11 E A O H F M B G C ABCD.EFGH is een ks. M is het midden vn BF.. Teken drie vetoren door O die loodreht op lijn OH stn.. Teken drie vetoren door O die loodreht op de vetor, zie pltje stn. Je knt met het inprodt ontroleren of je het goed gedn het.. Doe dt. Neem (ijvooreeld) 4 ls rie. Er moet wt gedn worden n loodrehte stnd op een vetor E H F G OABC.EFGH is een ks met rie 4.. Toon met ehlp vn het inprodt n dt lijn OF loodreht op de lijnen EB en BG stt. A O M B C Ds stt lijn OF loodreht op vlk EBG. M is het midden vn rie BF. De vetor (x, y,) stt loodreht op vlk AMC.. Bereken x en y. Eigenshppen vn het inprodt Voor lle getllen k en vetoren, en geldt: = (+)=+ k()=(k) = 4 Lt ovenstnde zien. Het werkt net zo ls in het vlk. Met het inprodt kn je vststellen of twee vetoren loodreht op elkr stn of niet. Loodreht of niet? Voor lle vetoren, geldt: =0 en stn loodreht op elkr. 5 Wij lten zien dt deze itsprk klopt.. Overtig je ervn dt de stelling vn Pythgors voor de door vetoren en opgespnnen driehoek lleen mr geldt ls de twee vetoren en loodreht op elkr stn.

12 . Gerik de stelling vn Pythgors voor de driehoek it., d.w.z. + = - om te lten zien dt het inprodt vn twee vetoren preies verdwijnt ls de vetoren loodreht op elkr stn. v -v Projetie op een vetor Het inprodt is zeer geshikt om de projetie vn een vetor op een vetor v te erekenen. Uit de tekening hiernst lijkt dt er een op v loodrehte vetor vn de vorm -v is. Het getl epl je n door te eisen dt deze vetor loodreht stt op v, d.w.z. (-v) v = 0. Dit hodt in dt v = vv = v. Ds = v / v. De projetie vn een vetor op een vetor v wordt ds gegeven door v v v : v met ls oven. De vetor : stt dn loodreht op de vetor v. De projetie geeft een deompositie v v vn de vetor in een vetor in de rihting vn v en een vetor loodreht op v. 6 Zo een projetie kn je onreet erekenen. Soms is het wel hndig ls je je de meetknde erij voorstelt. Vl de tel hieronder zo ver mogelijk verder in en geef n hoeveel oplossingen er tevens mogelijk zijn. v (,, ) (, 0, 0) (0,, 0) (, 0, 0) (, 4, 6) (,, ) (8, -, -) (, 0, 0) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) Bewijs dt geldt v = v = v v. De vetoren en v spnnen een prllellogrm op. Lt zien dt de oppervlkte drvn gelijk is n v v v v v v v. Deze oppervlkte is gelijk n twee keer de oppervlkte vn de driehoek die wordt opgespnnen door en v. 7. Bereken met ehlp vn het inprodt de hoeken AHF en EMC in de ks vn opgve.

13 8 Een model vn het CH 4 -molel ziet er ls volgt it. Het koolstoftoom zit in het zwrtepnt vn een regelmtige tetrëder wrij de wterstoftomen H,, H 4 in de hoekpnten zitten. De vier hoeken H i CH j zijn gelijk en de vier fstnden CH i zijn gelijk. De som vn de vier vetoren CH i is de nlvetor. Definitie. Hoe groot zijn de hoeken H i CH j? Een rijtje vn drie vetoren 0 niet in één vlk (,,) is positief georiënteerd ls zij een rehtshndig ssenstelsel vormen (zie links). Anders noemen wij (,,) negtief georiënteerd. Als (,,) positief georiënteerd is, edoelen we met det(,,) de inhod vn het prllellepipedm op (,,) Voor negtief georiënteerd (,,) is det(,,) het tegengestelde vn het prllellepipedm op (,,). Als de vetoren,, in één vlk liggen, dn definiëren we det(,,)=0, en vormen een zogenmd rehtshndig ssenstelsel. 7 Veronderstel det(,,)=7.. Wt is dn det(,,), det(,,,), det(,,)?. Wt is det(,,)? z-s e Vn de determinnt kn je ewijzen: det(,,+d)=det(,,)+det(,,d). Dt kn met pltjes of ook met de lineriteit vn de projetie (net zols in het vlk). Welliht he je n l zin om het te proeren. Anders gn we het strks ewijzen met ehlp vn het zo genmde itprodt. +d d e e y-s x-s 8 Het stelsel (e, e, e ) is een positief geörienteerde, orthonormle sis, ijvooreeld zols gerikelijk.. Bereken det(e, e, e ) en det(e, e, e ) enzovoort.. Bereken det(7e, 6e, 0e ).

14 Als =(,, ), =(,, ) en =(,, ), dn noteren we det(,,)ls:. N volgen opgven over inhoden. 9 De lgemene determinnt knnen we ontleden in determinnten die we l kennen.. Lt zien dt een gegeven vetor geshreven kn worden ls = e + e + e.. Gegeven = e + e + e = e + e + e = e + e + e Toon n:. Is het wr dt geldt: = + +. = Uitprodt In de ntrknde en tehniek kom je vk sitties tegen wrin grootheden loodreht op elkr stn. Bijvooreeld in de elektrodynmi wordt hiermee het vernd eshreven tssen stroom, mgneetveld en krht dt ten grondslg ligt n elke motor of dynmo. Als de rihting vn de stroom I loodreht stt op de rihting vn het mgneetveld B dn is de grootte vn de krht F gegeven door de eenvodige formle I B F?. Als deze grootheden loodreht op elkr stn is dit ds een doodgewoon rehtevenredig vernd tssen I en F of tssen B en F. De rihting vn de krht F kn dn epld worden door de rehterhnd regel: ls de dim in de rihting vn de stroom I wijst, de wijsvinger in de rihting vn het mgneetveld B dn wijst de middelvinger in de rihting 4

15 vn de krht F. (goed te onthoden door met de vingers tot drie te tellen en drij te zeggen: Ik Ben Fysis.) Als ehter ijvooreeld de stroom I niet loodreht door het mgneetveld loopt, dn stt de krht F nog wel loodreht op I en B en de sterkte F wordt epld door het deel vn e vetor I dt wel loodreht stt I B op B. Voor de sterkte vn de krht geldt dn: F I B B. Hetzelfde geldt ook omgekeerd voor het deel vn het mgneetveld B dt loodreht stt op B I I. Hiervoor geldt eveneens dt de sterkte vn de krht gelijk is n het prodt vn de sterkte vn de stroom keer de sterkte vn het deel vn het mgneetveld dt loodreht stt op de stroom. In formle F B I. Wt wij n grg zoden willen heen is een formle vn writ de krhtvetor rehtstreeks it de stroomvetor en de mgneetveldvetor kn worden erekend zodt er met de ovenstnde eigenshppen rekening wordt gehoden. Zo n formle is er. Dt is het itprodt en drmee kn het ovenstnde worden geshreven ls F I B. Het itprodt wordt ds een mnier om n twee vetoren en v in R een derde vetor v it R toe te kennen zodt geldt voor vetoren 0 en v 0 : ) v stt loodreht op en v, ), v en v vormen een rehtshndig ssenstelsel, ) ls en v loodreht op elkr stn geldt: v v, d) v v v v. 0 Bekijk de volgende drie itsprken. Leg vn elke itsprk it hoe deze it de vier hieroven genoemde eigenshppen ( t/m d) voor itprodten volgt.. Als één vn de vetoren de nlvetor is dn is ook het itprodt gelijk n nl.. Voor vetoren en geldt: = 0.. Voor vetoren en geldt: = -. I 5

16 Hint: Deze eigenshp volgt it toepssing vn de vorige eigenshp op ( + ) ( + ). Deze regels ) t/m d) heen gevolgen voor de eigenshppen vn het itprodt. Gegeven twee vetoren en v. Wij tonen n gezmenlijk n dt voor de lengte vn de vetor v geldt: v = det (, v).. Lt zien dt de oppervlkte vn het prllellogrm dt wordt opgespnnen door en v gelijk is n. v v v v. Toon n dt det (, v, v) = v. v v v v v E v v De eigenshppen ) tot en met d) mken didelijk dt de eendidig eplde vetor is wrvoor geldt dt v hij loodreht stt op het door en v opgespnnen prllellogrm, zijn lengte gelijk is n het oppervlk (zie de opgve hieroven) vn dt prllellogrm en wrij, v en w georiënteerd zijn volgens de rehterhndregel. Definitie: Wij noemen v het it(wendig)prodt vn de vetoren en spreken dit it ls it v. Het zo gedefinieerde prodt voldoet n een drietl eigenshppen wrvn men zih gemkkelijk vn kn vergewissen. en v zijn hier vetoren en stt voor een reëel getl. (i) v v (ii) v v (iii) v v v. De eigenshppen (i) en (ii) volgen onmiddellijk it de definitie. Uit deze twee eigenshppen volgt ook dt 0 voor reële getllen λ en μ. Voor eigenshp (iii) knnen wij ls volgt redeneren (zie figr ). Noem E het vlk dt loodreht stt op vetor v (die in de figr nr hteren wijst). De projeties vn en op vlk E noemen we w en w. De projetie w vn de vetor + op E is gelijk n w + w. N is v de vetor in E die loodreht op en rehts vn w stt (ls je kijkt in de rihting vn v op E) Net zo is v de vetor die loodreht op en rehts vn w stt. Tenslotte is v ( + ) de vetor die loodreht op en rehts vn w stt. De lengtes vn 6

17 v, v en v ( + ) zijn gelijk n v keer de lengtes vn respetievelijk w, w en w. Dit lles v v v. leidt tot het inziht dt: Hier de itsprk en het ovenste ewijs nogmls in detil. v v v X v Stelling: Voor het itprodt geldt: v ( + ) = v + v. Bewijs: Kies λ en λ zo dt ( +λ v ) v en ( +λ v ) v. Dn is ook ( + + (λ +λ ) v ) v. Uit eigenshp d) volgt dt je mg veronderstellen dt in v ( + ) = v + v de vetoren, en + loodreht op v stn. Bekijk de sittie in de rihting vn v (in de tekening wijst v het ppier in). Het prllellogrm opgespnnen door v en v ontstt it het prllellogrm opgespnnen door en door het een kwrtslg met de klok mee te drien en te vermenigvldigen met ftor v. De digonl + gt drij over in de digonl v ( + ). Hierit volgt dt v + v = v +. De rihting en zin vn v + v en v ( + ) zijn ook gelijk. Ds geldt: v + v = v ( + ). Q.e.d. Bekijk het ovenstnde ewijs regel voor regel en proeer de redenering te volgen. Neem hiervoor de tijd. Als je vstloopt, formleer dn een vrg voor je rmn/vrow of je doent. x=(x,x,x ). Je knt det(,,x)shrijven ls: x + x + x.. Wt moet er op de invlstrepen stn? Als je het goed gedn het, vind je op de eerste plts: op de tweede plts: op de derde plts:. De vetor v= (,, ) onstt ds it de vetoren en. Er geldt ds det(,,x)=vx.. Lt zien dt hierit volgt dt v loodreht stt op en op. 7

18 . Beredeneer dt, en v een rehtshndig stelsel vormen door het inprodt vn v met x= te erekenen. d. Toon n dt ls en op loodreht op elkr stn geldt: v =. e. Lt zien dt det(,,x)= det(,,x)=vx. Met de opgve hieroven heen we lten zien dt deze vetor v niets nders is dn het itprodt. Voor vetoren en geldt ds: = (,, ) det(,,x)= () x voor lle vetoren x. Voor de eenheidsvetoren e 0 0, e 0, e zijn de itprodten gemkkelijk te eplen: e e = e en e e =- e ls ook e e = e. Drmee kn elk itprodt mehnish worden epld. Bijvooreeld: 4 5 = ( e + e + e ) (4 e +5 e +6 e ) 6 e 4 e + e 5 e + e 6 e + e 4 e + e 5 e + e 6 e + e 4 e + e 5 e + e 6 e = = 0 +5 e + 6 e - 8 e e e - 5 e = - e 6 e - e = 6. Met deze eenheidsvetoren knnen lgemeen de vetoren v en w worden geshreven ls v = e + e + e en w = e + e + e. 8

19 e e e 4 Gerik de definitie vn het itprodt en de eigenshppen (i), (ii) en (iii) om de volgende lgemene formle f te leiden voor v w : =. Vistregel: Om deze formle te onthoden, shrijft men deze wel in de vorm vn de nevenstnde determinnt, wrin e, e en e de eenheidsvetoren lngs respetievelijk de x-, y- en z-s voorstellen. Hierij is een opmerking op zijn plts: in de determinnt komen zowel vetoren ls sliren voor; eigenlijk onzin. We geriken deze determinnt lleen mr ls gehegensten. 5 Neem n voor x een vetor die lengte heeft en dezelfde rihting heeft ls v.. Toon n dt vx=de oppervlkte vn het prllellogrm opgespnnen door en, ds gelijk n sin(,). 6 Lt zien dt geldt: = sin θ, wrin θ de hoek tssen en is. De regels ) en ) hoden in dt de rihting (met zin) vn het itprodt epld wordt door de vetor nr de vetor te drien lsof men een krkentrekker hnteert, wrn de rihting vn de krkentrekker de rihting vn het itprodt eplt. Men noemt dit de krkentrekkerregel. De regels ) en d) leggen de grootte vn het itprodt vst, zijnde gelijk n de oppervlkte vn het prllellogrm met de vetoren en ls zijden. Smenvtting: Het itprodt vn en wordt gegeven door de vetor: (,, ) Er geldt: =sin(,) stt loodreht op en loodreht op. det(,,x)=()x 9

20 6 Bewijs met eigenshp d.) dt voor vetoren en v v v v v. geldt: Toepssingen: Met het itprodt kn een vergelijking ) worden gevonden voor het vlk ( v x 0 dt wordt opgespnnen door vetoren en v. Het itprodt wordt in de wisknde vk gerikt om met ehlp vn twee gegeven vetoren, een vetor te eplen die loodreht op deze twee vetoren stt, een zogenmde normlvetor: n v v v. In de klssieke mehni worden hiermee vershillende vershijnselen eshreven. Vooreelden hiervn zijn de Corilis-krht ls ook koppel en dri-impls. De ltste zllen wij in het vervolg leren kennen. Ook een fleiding vn de eroemde wetten vn Kepler is hiermee etrekkelijk eenvodig te verkrijgen. Koppel en Dri-impls Een ndere toepssing voor het itprodt is de definitie vn het koppel. Stel je voor dt je een shroef wil shroeven. Dn gt dt het este met een rm die loodreht stt op de shroef: een shroevensletel. Hoe groter de fstnd is tssen de shroef en het pnt op de shroevensletel wrop een krht wordt itgeoefend hoe eter de shroef te drien zl zijn. Als de rm niet loodreht stt dn is het enige wt voor het shroeven telt het loodrehte deel vn de rm (stel je ijvooreeld voor dt iemnd proeert te shroeven door de shroevensletel in verlenging op de shroef erop te zetten). Op een pnt vn de rm wordt er ij het shroeven een krht itgeoefend en het enige wt er voor de shroefkrht toe doet is het gedeelte vn de krht dt loodreht stt op de shroef en de shroevendrier. De effetiviteit vn het shroeven in een gegeven rihting heeft ds te mken met enerzijds de lengte vn de shroevensletel en de mte wrin hij loodreht stt 0

21 op de shroef en nderzijds met de krht die op een pnt vn de shroevensletel wordt itgeoefend en de mte wrin deze krht loodreht stt op de shroef en de shroevensletel. Ook ndersom knnen we redeneren. Gegeven een rm of hefoom, wiskndig voorgesteld door een vetor r, en een krhtsvetor F dn wordt hierdoor een rihting ngegeven wrin het este met r en F geshroefd kn worden. Hoe sterker de krht is en hoe lnger de rm hoe effetiever er geshroefd kn worden. Uit de ovenste eshowingen lijkt dt de mte en de rihting wrin er effetief geshroefd kn worden, wordt gegeven door het zogenmde koppel ten opzihte vn de oorsprong O dt wordt itgedrkt door: N r F. Als er een krht werkt op een mssdeeltje dn knnen we het koppel vn dt deeltje ten opzihte vn elk willekerig pnt erekenen wt weergeeft in welke rihting en hoe goed deze krht toegepst op een hefoom nr dt willekerig pnt in stt zo zijn om een driing in gng te zetten ( shroeven ).