Beste leerling. De auteurs

Transcriptie

1 Voor wie kopiëren wil: U vindt dit oek goed en wenst er kopieën vn te mken. edenk dn ook eens: dt zowel uitgever ls uteurs met de oprengst ervn hun kosten moeten dekken; dt kopiëren zonder toestemming niet lleen getuigt vn weinig respet, mr ook onwettig (en strfr) is. este leerling Wiskunde leren kn leuk zijn. Mr dn moet jij eerst weten hoe je grg wiskunde ontdekt. egin je grg onmiddellijk oefeningen te mken of rdpleeg je eerst de theorie ouw je het liefst zelf de theorie stpsgewijs op of he je grg hulp vn je lerr Verklring vn de ionen: d Je mg een rekenmhine geruiken. Je mg geen rekenmhine geruiken. Werk de oefening uit op een prt ld. Zorg ervoor dt je steeds een ntl ursuslden in je mpje het zitten. it is leerstof vn het eerste jr. In je vdemeum vind je de theorie. Mtrix Wiskunde geeft je vershillende mogelijkheden. In elk gevl moet je zelf n de slg: smen met je lerr, smen met je klsgenoten of lleen. lke nieuwe les strt in het leerwerkoek. In de Op verkenning g je op zoek nr nieuwe leerstof die je vi vrgen en opdrhten zelf kunt ontdekken. Wt je zelf ontdekt, egrijp je immers eter en onthoud je lnger. e leerstof die je moet onthouden, wordt smengevt in een kder. ls de leerstof niet duidelijk is, kun je uitleg vrgen n je lerr of een leerling vn je kls. rn mk je een eerste reeks oefeningen. Zo kun je ngn wr je prolemen ondervindt. Nst elke oefening vind je een verwijzing nr vervolgoefeningen in het oefenoek. ls je moeilijkheden ervrt, volg je de weer-verwijzingen. Wil je meer uitdgende oefeningen n mk je de meer-oefeningen. Op die mnier kom je zeker n je trekken. In het oefenoek vind je heel wt oefenmteril op vershillende niveus. Het niveu vn elke oefening stt vermeld ij het nummer vn de oefening. nooit nr een hoger niveu ls je het vorige nog niet eheerst. Op het openleertrjet vind je lle oefeningen uit het leerwerkoek en het oefenoek in een hndig overziht. eruik mrkeerstiften om het openleertrjet te personliseren: Kleur de oefeningen die jij moet mken geel. eruik groen om een oefening te overkleuren ls je ze orret kon oplossen. eruik rood ls je fouten het gemkt. Op die mnier zie je onmiddellijk met welke leerstof je prolemen het op welk niveu. Uiterrd kun je ook digitl oefeningen mken. Je vindt een mss oefenmteril op Voor meer info: 00, Uitgeverij Pelkmns, Kpelsestrt, 950 Kpellen lle rehten voorehouden. Niets uit deze uitgve mg worden verveelvoudigd, opgeslgen in een geutomtiseerd gegevensestnd of openr gemkt, op welke wijze ook, zonder de uitdrukkelijke voorfgnde en shriftelijke toestemming vn de uitgever. Informtie over kopieerrehten en de wetgeving met etrekking tot de reprodutie vindt u op ll rights reserved. No prt of this ook my e reprodued, stored or mde puli y ny mens whtsoever, whether eletroni or mehnil, without prior permission in writing from the pulisher. Omslg en typogrfie: Studio Uitgeverij Pelkmns Ly-outontwerp: Studio Uitgeverij Pelkmns Ly-outuitvoering: mz Tekeningen: John Verheyen, mz lles wt je moet kennen en kunnen op het einde vn het tweede jr stt in het vdemeum. e leerstof uit het sisonderwijs en het eerste jr, die je ook dit jr nog nodig het, wordt ngegeven met een prt ioon. ij het egin vn het tweede jr kun je een (digitle) dignosetoets mken om n te gn of je deze leerstof nog eheerst. Vnf het tweede jr hehten we veel elng n ewijsvoering, voorl in de meetkunde. en eigenshp ewijzen etekent dt je de wrheid vn die uitsprk ntoont. ewijzen geeurt steeds op de volgende mnier: verkennen nlyseren (vooruitdenken terugdenken) pln mken. In Mtrix Wiskunde zul je ontdekken dt je wiskunde kunt geruiken in heel wt dgelijkse situties en om onrete prolemen op te lossen. Op het einde vn elk lesgeheel vind je in de ruriek prolemsolving een reeks uitdgende prolemen die je lleen of smen met je klsgenoten kunt oplossen. We wensen je een oeiende en leerrijke ontdekkingsreis toe. e uteurs ISN /00/0055/0 NUR 6 8 Onderwerpen: wiskunde, meetkunde

2 Hoe werk je met Mtrix Wiskunde Vooreelden om de theorie te illustreren en te verduidelijken. M 56 LRWRKOK e -oefeningen zou je foutloos moeten kunnen mken. e -oefeningen moet je vlot kunnen mken om nr de Tweede grd te gn, welke studiekeuze je ook mkt. Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) Op verkenning Het volume vn een pirmide Hoe heet het ruimtelihm links op de foto... Hoe ereken je het volume vn een prism Vergelijk het volume vn een pirmide met het volume vn een prism met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlk. Wt moet je doen met het volume vn de ilinder om het volume vn de kegel te eplen Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de pirmide in het prism kn Vul de pirmide en giet het wter over in het prism. Wiskundetl formule voor het volume vn een kegel Het volume vn een kegel met grondvlk en hoogte h... Meet de hoogte vn het gevulde deel (= volume pirmide). Meet de hoogte vn het prism. Hoeveel keer kn de inhoud vn de pirmide in het volume vn het prism Noteer de formule om het volume vn een kegel te erekenen. V = S h V = _... h... Wt moet je doen met het volume vn het prism om het volume vn de pirmide te eplen ONTROL V = Wiskundetl formule voor het volume vn een pirmide Volume V S h V = _ ereken het volume vn een vierzijdige pirmide. Het grondvlk is een rehthoek met ls lengte dm en reedte dm. e hoogte vn de pirmide is 5 dm. 6 Het volume vn een kegel Welk ruimtelihm heeft hetzelfde grondvlk ls een kegel... Hoe ereken je het volume vn een ilinder Vergelijk het volume vn een kegel met het volume vn een ilinder met hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte.... Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de kegel in de ilinder kn Vul de kegel en giet het wter over in de ilinder. Meet de hoogte vn het gevulde deel (volume kegel).... Hershrijf de formule voor het volume vn de ilinder. Noteer de formule voor het volume vn een kegel en hershrijf de formule ook voor deze kegel. Meet de hoogte vn de ilinder.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de kegel in het volume vn de ilinder ntl rien de nm vn de pirmide 567 V** het ntl grensvlkken 566 V* Hoeveel keer is het volume vn de hele ol groter dn het volume vn de kegel Noteer de formule voor het volume vn de ol. V = Wiskundetl formule voor het volume vn een ol Het volume vn een ol met strl r. sisegrippen 565 Vul in (geef het orrete ntl of geef de meest pssende enming). Hoeveel grensvlkken heeft een vijfzijdige pirmide Welke vorm heeft het grondvlk vn een vierzijdige pirmide Welke vorm heeft het grondvlk vn een driezijdige pirmide d Welke vorm heen de opstnde grensvlkken vn een htzijdige pirmide e Hoeveel rien heeft een twlfzijdige pirmide f Hoeveel hoekpunten heeft een pirmide met 0 rien g Hoeveel opstnde grensvlkken heeft een pirmide met rien W en pirmide met n grensvlkken is een - zijdige pirmide en pirmide met n hoekpunten heeft rien en pirmide met n rien heeft grensvlkken In de vlkke meetkunde is een regelmtige veelhoek een veelhoek wrvn le zijden even lng zijn en lle hoeken even groot. In de ruimtemeetkunde is een regelmtig veelvlk een veelvlk wrvn lle grensvlkken regelmtige veelhoeken zijn en wrij in elk hoekpunt evenveel zijvlkken smenkomen. r estn slehts 5 regelmtige veelvlkken. Vul de tel n: ntl grensvlkken ntl hoekpunten ntl rien Kls: I S K U I kuus of regelmtig vlk N X otëder of regelmtig vlk Nm: Nummer: Shooljr: Pirmide, kegel en ol M Pirmide, kegel en ol Kleur de oefeningen die jij moet mken geel. eruik groen om een oefening te overkleuren ls je ze orret kon oplossen. eruik rood ls je fouten het gemkt. M 7 OPNLRTRJT Leerwerkoek V een ol met strl m. (Rond je resultt f tot op ijfers n de komm.) Volume V M πr V = _ ONTROL en gsluhtllon heeft de vorm vn een ol. Wt is het volume vn zo n llon met een strl vn 6, m Rond het volume zinvol f. M e pirmide vn heops heeft een vierknt ls grondvlk met een zijde vn 0, m en de hoogte is 6,6 m. Oefenoek Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk MR Weetje... Kunstenrs willen deze pirmide tijdens een zndsulptuurfestivl nouwen op shl :00. Hoeveel m³ znd heen zij nodig (Rond f tot op dm³.) M e pirmide, de kegel en de ol Oefeningen Hoeveel keer is het volume vn de pirmide vn znd kleiner dn de ehte pirmide ereken het volume vn een vierzijdige pirmide met een vierknt ls grondvlk. e zijde vn het vierknt edrgt,5 m en de hoogte is m. 9 en hlve ol met strl r wordt gevuld met wter. ls je dit wter in een ilinder giet met strl r en hoogte r, welk deel vn de ilinder is dn gevuld MR Je soort goed op het sisniveu. M een Wrom niet eens Het volume vn een pirmide, een kegel en V*-oefening proeren een ol een kegel met ls dimeter vn het grondvlk 5 m en ls hoogte dm. Reht en omgekeerd evenredige grootheid Wt moet je kunnen het volume eplen vn een pirmide, een kegel en een ol Ruimtemeetkunde V V Je ziet onmiddellijk welke leerstof je onder de knie het en welke niet én vn de grootste wiskundigen uit de geshiedenis is ongetwijfeld rhimedes (87 - v. hr.). Op een gedenksteen ij zijn grf is een figuur geeiteld die hiernst is geshetst. Ze illustreert de stelling vn rhimedes. eloof je het niet Je kunt deze stelling ontroleren in een oefening in je oefenoek. V ereken het volume vn deze pirmide M T R r MR en n-zijdige pirmide heeft rien en n-zijdige pirmide heeft opstnde grensvlkken Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn ). Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (vervolg) 8 en je op zoek nr meer uitdgende oefeningen of prolemen n volg je de meer verwijzingen. Zo kun je telkens een trpje hoger gn in moeilijkheidsgrd. en n-zijdige pirmide heeft hoekpunten d vlk He je de leerstof goed egrepen het ntl hoekpunten 7 M en n zijdige pirmide heeft grensvlkken tetrëder of regelmtig Moeilijker: niet iedereen moet deze oefeningen kunnen mken. Wil je grg een studierihting volgen met veel uren wiskunde, dn moet je deze oefeningen zeker OPNLRTRJT te personliseren: ook eheersen.eruik kleur om dit openleertrjet 6 Vul de kegel en giet het wter over in de hlve ol. Op foto zie je het resultt. Vul de kegel nogmls en giet opnieuw. Wt stel je vst (foto ) Hoeveel keer gt het wter vn de kegel in de hlve ol Nm Ruimtemeetkunde rvr je moeilijkheden ij een oefening, dn kun je in je oefenoek verder oefenen tot je het heel goed kunt. Je volgt de weer verwijzing. de vorm vn de opstnde grensvlkken het ntl rien Hoeveel keer denk je dt het volume vn de kegel in de hlve ol kn n het ntl opstnde rien S =... Wrdoor mg je de hoogte ij deze ilinder vervngen... 6 ntl opstnde grensvlkken Noteer de formule voor het volume vn een ilinder. V =... 5 ntl hoekpunten 566 V* V =... V =... ntl grensvlkken het ntl opstnde grensvlkken... ONTROL ntl zijden grondvlk V =... Hoe epl je de oppervlkte vn het grondvlk h Shrijf in wiskundetl (n is een ntuurlijk getl groter dn ). Vul het shem in. 56 ereken het volume vn de kegel met dimeter 8 m en hoogte 0 m. Het volume vn een ol Hiernst zie je een hlve ol, een kegel en een ilinder. e strl vn de hlve ol is de strl vn het grondvlk vn de kegel en de ilinder. e strl vn de hlve ol is ook de hoogte vn de kegel en de ilinder. S is de oppervlkte vn het grondvlk. 566 V* kegel en ol Titel M Pirmide, V =... Noteer de formule om het volume vn een pirmide te erekenen. Het volume vn een pirmide met grondvlk en hoogte h Volume V OFNOK MTKUN Lesgeheel Inziht opouwen door vrgen en opdrhten. 567 V** ls je de oefeningen vn V** goed kon oplosssen, is het de moeite wrd om je nog een trpje hoger te wgen. e V***oefeningen zijn lleen voor de olleozen in de wiskunde. ls je deze oefeningen kunt mken, kun je met een gerust hrt kiezen voor een studierihting wr wiskunde een hoofdvk is je een 605 proleem. 60 Hier 60he Vrg uitleg 606 n607 de lerr of n een medeleerling en mk extr oefeningen op hetzelfde niveu of zet een stpje terug. Vrgstukken met reht en omgekeerd evenredige grootheden Hoe werk je met mtrix wiskunde 5

3 Wiskunde Inhoud wndeling Lesgeheel Ruimtemeetkunde M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk 8 M e pirmide, de kegel en de ol M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol 6 Lesgeheel Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk M Spiegelingen herkennen en tekenen M5 igenshppen vn de spiegeling 6 M6 Symmetrie 8 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen 0 M8 igenshppen vn de vershuiving M9 riingen herkennen en tekenen 6 M0 igenshppen vn de driing 8 M e puntspiegeling 0 Lesgeheel Hoeken M Indeling vn de hoeken volgens hun som M Indeling vn de hoeken volgens hun ligging 6 M Hoeken gevormd door rehten en een snijlijn 50 M5 Hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 5 M6 e som vn de hoeken in een driehoek 58 M7 ewijs: de eigenshp vn overstnde hoeken 60 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 6 M9 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek 70 Lesgeheel ongruentie M0 ongruente figuren 7 M ongruente driehoeken 76 M ewijzen met ongruente hoeken 8 M igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 86 M igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek 88 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 90 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek 9 Lesgeheel 5 igenshppen vn driehoeken M7 e sishoeken in een gelijkenige driehoek 00 M8 en uitenhoek vn een driehoek 0 M9 onstrutie en lssifitie vn driehoeken 06 M0 e driehoeksongelijkheid 08 M ewijs: de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek 0 M ewijs: de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek M ewijs: het vernd tussen de hoeken en de zijden in een driehoek 6 M ewijs: de driehoeksongelijkheid 7 Lesgeheel 6 igenshppen vn vierhoeken M5 igenshppen vn vierhoeken 0 M6 lssifitie vn vierhoeken M7 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek 8 M8 ewijs: de eigenshppen vn de zijden, hoeken en digonlen in een vierhoek 0 Them s 5 Register 5 it he je nodig leerwerkoek p. - 0 oefenoek nr rekenmhine geodriehoek psser Ruimtemeetkunde Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdemeum. en kuus wordt voorgesteld in vlièreperspetief. Wt is de orrete voorstelling Welke ruimtefiguur is een pirmide Hoe ereken je het volume vn een ilinder it kun je l kuus en lk in vlièreperspetief tekenen pirmide, kegel en ol herkennen volume erekenen vn kuus, lk en ilinder V = πrh V = π r h V = l h Verder oefenen Inhoud M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk p. 8 M e pirmide, de kegel en de ol p. M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol p. 6 d d d 6 INHOU 7

4 M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk Op verkenning nzihten Wt is de vorm vn elk grensvlk vn de doelsteen in werkelijkheid... e grootte vn elke hoek is in werkelijkheid en de lengte vn elke rie is.... Ruimtefiguren kun je vnuit vershillende hoeken ekijken. Wt je dn ziet, noem je het nziht. voornziht ovennziht linkerzijnziht Wiskundetl egrippen en vluhtlijn of verdwijnlijn is de drger vn een rie die loodreht op het voorvlk stt. In vlièreperspetief worden het voorvlk en het htervlk op wre grootte of op shl getekend. e rien die loodreht op het voorvlk stn, worden gehlveerd. e hoek gevormd door (het verlengde vn) de horizontle en de vluhtlijnen is 5. e lengtes vn de rien vn het voorvlk en het htervlk lijven ehouden, de ndere worden gehlveerd. e hoekgrootten vn het voorvlk en htervlk lijven ehouden. e hoekgrootten vn de ndere vlkken wijzigen. e evenwijdigheid lijft ehouden. Wt is de vorm vn elk nziht... Wt weet je over de grootte vn de hoeken en de lengte vn de zijden vn elk nziht lke hoek is en elke zijde is.... Wiskundetl egrippen en nziht is het eeld dt je ziet vnuit één eplde knt. en grensvlk wordt voorgesteld op wre grootte (shl) en met zijn werkelijke vorm. e lengtes vn de rien lijven ehouden. e hoekgrootten lijven ehouden. e evenwijdigheid lijft ehouden. e ruimtelijke situtie verdwijnt. Isometrish perspetief Wt is de lengte vn elke rie... Wt is de vorm vn elk grensvlk op de figuur... Meet de ngeduide hoek: Wiskundetl egrippen In isometrish perspetief wordt voorn een vertile rie op wre grootte of op shl getekend. e vluhtlijnen mken een hoek vn 0 met de horizontle. e lengtes vn de rien lijven ehouden. e hoekgrootten lijven niet ehouden. e evenwijdigheid lijft ehouden. vlièreperspetief Wt is de vorm vn het voorvlk op de figuur... Wt is de vorm vn het rehterzijvlk op de figuur... Welke fmeting klopt niet meer met de werkelijkheid... d Ntuurlijk perspetief Welke vorm heeft het linkerzijvlk op de figuur... Vergelijk de lengtes vn de vertile rien op de figuur. Weetje Isometrish komt vn de riekse woorden isos en metrein die respetievelijk gelijk en meten etekenen.... e drger vn deze rie noem je ook vluhtlijn of verdwijnlijn.... Wrom verklein je de fmetingen vn rien, voorwerpen, enz. die verder liggen Meet de ngeduide hoek: Teken de vluhtlijnen vn de groene rien. Wt vlt je op 8 Ruimtemeetkunde 9

5 M Ruimtelijke situties voorstellen in een vlk (vervolg) it punt wordt een vluhtpunt of verdwijnpunt genoemd. Teken ook het tweede vluhtpunt vn de kuus. Welk soort perspetief wordt geruikt in deze vlkke voorstellingen Weer Meer 57 In een ntuurlijk perspetief kun je één of meerdere vluhtpunten tekenen. it hngt f vn de positie vn de wrnemer of tekenr. Teken een rehte door deze twee vluhtpunten. Hoe loopt die rehte... Wiskundetl egrippen en vluhtpunt (of verdwijnpunt) is het snijpunt vn vluhtlijnen. Het ntuurlijk perspetief of ntuurperspetief is een ntuurgetrouwe weergve vn een voorwerp. Vluhtlijnen komen smen in één of meerdere vluhtpunten op de horizon (= horizontle lijn op ooghoogte). e lengtes vn rien lijven niet ltijd ehouden. e hoekgrootten lijven niet ltijd ehouden. e evenwijdigheid lijft niet ltijd ehouden Je ziet twee voorstellingen vn een kuus. Zijn volgende uitsprken wr of niet wr Zet een kruisje in de juiste kolom. F H N O M P Weer Meer Weer 56 Meer 565 Oefeningen Teken het vluhtpunt. J K I IJKL is het grondvlk vn de kuus L riehoek is in werkelijkheid een rehthoekige driehoek. riehoek is in werkelijkheid een gelijkenige driehoek. Vierhoek is op de figuur een ruit. Hoek FH is in werkelijkheid een rehte hoek. Vierhoek NMIJ is op de figuur een vierknt. riehoek PMI is in werkelijkheid een gelijkenige driehoek. Hoek NOP is op de figuur een rehte hoek. Vierhoek NOKJ is op de figuur een ruit. wr niet wr 0 Ruimtemeetkunde Wt moet je kunnen ττde vershillende perspetieven herkennen ττinformtie die verloren is gegn op tekeningen in vershillende perspetieven weergeven

6 M e pirmide, de kegel en de ol Op verkenning e pirmide Vul de juiste enmingen in. Kies uit: opstnde rie, rie vn het grondvlk, opstnd grensvlk, grondvlk, top, hoogte, hoekpunt. e kegel Knip uit een ld een rehthoekige driehoek. Wentel de driehoek om een rehthoekszijde over een hoek vn T T... Welke ruimtefiguur ekom je... it soort ruimtefiguur noem je een omwentelingslihm.... T... top F hoogte P Vul n. R Q... J L Het grondvlk vn een pirmide is... e opstnde grensvlkken zijn ltijd... Het ntl zijden vn het grondvlk eplt de nm vn de pirmide. en pirmide met een driehoek ls grondvlk noem je een driezijdige pirmide. K... M... M middelpunt strl vn het grondvlk Welk omwentelingslihm ekom je ls je een rehthoek wentelt om een zijde over een hoek vn Weetje r estn ook kegels en ilinders die geen omwentelingslihmen zijn. enoem ovenstnde pirmides. Wiskundetl egrippen pirmide :... pirmide :... pirmide :... d en kegel is een ruimtefiguur met ls grondvlk een irkel en die in een punt uitloopt. T Wiskundetl egrippen en pirmide is een ruimtefiguur egrensd door een veelhoek met n zijden en n driehoeken (die smenkomen in de top). Nm: Het grondvlk vn de pirmide is een zeshoek, dus is het een zeszijdige pirmide. Top: T Hoekpunten: T,,,,, en F e hoogte: TM [TM] stt loodreht op het grondvlk. rensvlkken: Het grondvlk: veelhoek F Opstnde grensvlkken: T, T, T, T, TF en FT Rien: Zijden vn het grondvlk: [], [], [], [], [F] en [F] Opstnde rien: [T], [T], [T], [T], [T] en [TF] T M F e ol e ol is ook een... Welke figuur moet je drien om een s om een ol te ekomen... Top: T e hoogte: TM Middelpunt vn het grondvlk: M Strl vn het grondvlk: M M strl M Ruimtemeetkunde

7 M e pirmide, de kegel en de ol (vervolg) Wiskundetl egrippen 5 Vn een ruimtelihm krijg je het voornziht en het rehterzijnziht. Omirkel de nm vn de ruimtelihmen die ij het voornziht en het rehterzijnziht kunnen horen. Weer 590 en ol is een ruimtefiguur die je ekomt door een irkel om zijn middellijn te wentelen over 60. M vz rz vz rz vz rz Middelpunt vn de ol: M Strl vn de ol: M Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol Kuus lk ilinder Prism Pirmide Kegel ol MR Oefeningen Hieronder is een htzijdige pirmide getekend. eef de juiste nm. T:... []:... 6 Vn ruimtelihmen krijg je de ovennzihten. Omirkel de voornzihten die ij deze ovennzihten kunnen horen. Weer 59 TM :... d ΔTH:... e ΔTM:... f [FT]:... T M F H Wt moet je kunnen ττeen pirmide, kegel en ol herkennen Ruimtemeetkunde 5

8 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (uitreiding) Op verkenning Het volume vn een pirmide Hoe heet het ruimtelihm links op de foto... Hoe ereken je het volume vn een prism... Vergelijk het volume vn een pirmide met het volume vn een prism met dezelfde hoogte en hetzelfde grondvlk. Wt moet je doen met het volume vn de ilinder om het volume vn de kegel te eplen Noteer de formule om het volume vn een kegel te erekenen. V =... Wiskundetl formule voor het volume vn een kegel Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de pirmide in het prism kn... Vul de pirmide en giet het wter over in het prism. Het volume vn een kegel met grondvlk en hoogte h Volume V Meet de hoogte vn het gevulde deel (= volume pirmide).... Meet de hoogte vn het prism.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de pirmide in het volume vn het prism... Wt moet je doen met het volume vn het prism om het volume vn de pirmide te eplen... Noteer de formule om het volume vn een pirmide te erekenen. ONTROL h V = _ S h ereken het volume vn de kegel met dimeter 8 m en hoogte 0 m. V =... V =... Wiskundetl formule voor het volume vn een pirmide Het volume vn een pirmide met grondvlk Volume V en hoogte h V = _ S h S is de oppervlkte vn het grondvlk. h Het volume vn een ol Hiernst zie je een hlve ol, een kegel en een ilinder. e strl vn de hlve ol is de strl vn het grondvlk vn de kegel en de ilinder. e strl vn de hlve ol is ook de hoogte vn de kegel en de ilinder. Noteer de formule voor het volume vn een ilinder. V =... Hoe epl je de oppervlkte vn het grondvlk S =... Wrdoor mg je de hoogte ij deze ilinder vervngen ONTROL ereken het volume vn een vierzijdige pirmide. Het grondvlk is een rehthoek met ls lengte dm en reedte dm. e hoogte vn de pirmide is 5 dm. V = Hershrijf de formule voor het volume vn de ilinder. V =... Noteer de formule voor het volume vn een kegel en hershrijf de formule ook voor deze kegel. Het volume vn een kegel V =... Welk ruimtelihm heeft hetzelfde grondvlk ls een kegel... Hoe ereken je het volume vn een ilinder... Vergelijk het volume vn een kegel met het volume vn een ilinder met hetzelfde grondvlk en dezelfde hoogte. Hoeveel keer denk je dt de inhoud vn de kegel in de ilinder kn... Vul de kegel en giet het wter over in de ilinder. Meet de hoogte vn het gevulde deel (volume kegel).... Meet de hoogte vn de ilinder.... Hoeveel keer kn de inhoud vn de kegel in het volume vn de ilinder... Hoeveel keer denk je dt het volume vn de kegel in de hlve ol kn... Vul de kegel en giet het wter over in de hlve ol. Op foto zie je het resultt. Vul de kegel nogmls en giet opnieuw. Wt stel je vst (foto )... Hoeveel keer gt het wter vn de kegel in de hlve ol... Hoeveel keer is het volume vn de hele ol groter dn het volume vn de kegel... Noteer de formule voor het volume vn de ol. V = Ruimtemeetkunde 7

9 M Het volume vn een pirmide, een kegel en een ol (vervolg) een ol met strl m. (Rond je resultt f tot op ijfers n de komm.) Wiskundetl formule voor het volume vn een ol Het volume vn een ol met strl r r M Volume V V = _ π r ONTROL en gsluhtllon heeft de vorm vn een ol. Wt is het volume vn zo n llon met een strl vn 6, m Rond het volume zinvol f. 8 e pirmide vn heops heeft een vierknt ls grondvlk met een zijde vn 0, m en de hoogte is 6,6 m. MR ereken het volume vn deze pirmide Weetje én vn de grootste wiskundigen uit de geshiedenis is ongetwijfeld rhimedes (87 - v. hr.). Op een gedenksteen ij zijn grf is een figuur geeiteld die hiernst is geshetst. Ze illustreert de stelling vn rhimedes. Je kunt deze stelling ontroleren in een oefening in je oefenoek.... Kunstenrs willen deze pirmide tijdens een zndsulptuurfestivl nouwen op shl :00. Hoeveel m³ znd heen zij nodig (Rond f tot op dm³.) Oefeningen Hoeveel keer is het volume vn de pirmide vn znd kleiner dn de ehte pirmide MR ereken het volume vn een vierzijdige pirmide met een vierknt ls grondvlk. e zijde vn het vierknt edrgt,5 m en de hoogte is m. 9 en hlve ol met strl r wordt gevuld met wter. ls je dit wter in een ilinder giet met strl r en hoogte r, welk deel vn de ilinder is dn gevuld MR een kegel met ls dimeter vn het grondvlk 5 m en ls hoogte dm.... Wt moet je kunnen τ het volume eplen vn een pirmide, een kegel en een ol 8 Ruimtemeetkunde 9

10 Prolemsolving Hiernst zie je de ontwikkeling vn een kuus. ls het gele vlkje (e) op de ovenknt vn de kuus te zien is, welke kleur (letter) heeft de onderknt dn R Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk P O e Rond de rde wordt een touw gepltst op één meter oven de oppervlkte. Hoeveel lnger is dit touw dn de omtrek vn de rde oe een gok it kun je l de middelloodlijn vn een lijnstuk herkennen en tekenen een hoek meten en tekenen de issetrie vn een hoek herkennen en tekenen de oördint vn een punt eplen Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdemeum.... Verder oefenen... In welke tekening is m de middelloodlijn vn [] m m m... line mkt vn een kuus ht kleinere lken door de kuus drie keer door te zgen. Ze wil de totle oppervlkte vn de ht kleinere lken vergelijken met de totle oppervlkte vn de kuus. e totle oppervlkte vn de ht lken =. de totle oppervlkte vn de kuus. Hoe groot is hoek d... d en ouwpln voor een windmolenprk wordt fgekeurd. Volgens de rihtlijnen mogen op die lotie slehts twee windmolens op één lijn stn. Hoeveel windmolens moeten miniml weggehld worden In welke tekening is d de issetrie vn hoek d d d d... Wt is de oördint vn punt (, ) (,) (,)... y x d... it he je nodig leerwerkoek p. - oefenoek nr psser geodriehoek Inhoud M Spiegelingen herkennen en tekenen p. M5 igenshppen vn de spiegeling p. 6 M6 Symmetrie p. 8 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen p. 0 M8 igenshppen vn de vershuiving p. M9 riingen herkennen en tekenen p. 6 M0 igenshppen vn de driing p. 8 M e puntspiegeling p. 0 0 Prolemsolving

11 M Spiegelingen herkennen en tekenen Op verkenning Spiegelingen in de werkelijkheid gelijks word je geonfronteerd met spiegels en spiegeleelden. Je stt voor de spiegel. Je zwit met je rehterhnd. Wt doet je spiegeleeld... eruikt je spiegeleeld ook de rehterhnd om te zwien Je stt voor de spiegel. Je doet drie stppen hteruit. Wt doet je spiegeleeld Rk met één vinger de spiegel n. Wt doet je spiegeleeld Stppenpln het spiegeleeld vn een punt tekenen met de geodriehoek Lt de loodlijn op de tekenzijde smenvllen met de spiegels. Vershuif de geodriehoek zodt het punt op de tekenzijde ligt. Meet de fstnd vn tot n de spiegels en duid op gelijke fstnd, n de ndere knt vn de spiegels het punt n. m m Het spiegeleeld vn een figuur Teken het spiegeleeld vn de figuur F ten opzihte vn de spiegels m. Hoe g je te werk m Het spiegeleeld vn een punt Teken het spiegeleeld vn het punt. Noem dit punt. Meet de fstnd vn tot m en de fstnd vn tot m. Wt stel je vst... Teken het spiegeleeld vn het punt. Noem dit punt. fig. F Meet de fstnd vn tot m en de fstnd vn tot m. Wt stel je vst... Wt is de onderlinge ligging vn m en en... e rehte m is de... vn [ ] en [ ]. m m Teken het spiegeleeld vn de irkel t.o.v. spiegels m. Hoe g je te werk m Wiskundetl egrippen Het punt is het spiegeleeld vn het punt door een spiegeling ten opzihte vn (t.o.v.) spiegels m ls en slehts ls (.s..) m de middelloodlijn is vn ['] eeld vn een punt door een spiegeling: s m () = ' ' m d(,m) = d(',m) m O Wiskundetl symolen s m () = ' wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) spiegeleeld S () = ' lees je ls het spiegeleeld vn door spiegeling t.o.v. spiegels is '. Wiskundetl egrippen Het spiegeleeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te spiegelen. s m (Δ) = Δ''' s m (Δ) = Δ''' lees je ls het spiegeleeld vn de driehoek t.o.v. de spiegels m is de driehoek '''. spiegeling (kleine letter) nm vn de spiegels (wordt een eetje lger geshreven) m Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk

12 M Spiegelingen herkennen en tekenen (vervolg) 609 MR 60-6 Oefeningen Teken het spiegeleeld t.o.v. de rehte m vn de punten, en vn het lijnstuk vn de driehoek d vn het prllellogrm e vn de irkel (,r) d m m m e m m Kleur en vul n. e rehte F is de spiegels. Kleur het spiegeleeld vn de luwe driehoek groen. ekijk ndhtig het vooreeld en vul in. Vooreeld: s ([]) = [F] s ([F]) = s ([]) = s F ([]) = Zijn de punten en t.o.v. dezelfde spiegels gespiegeld Zo j, teken de spiegels. 67 F MR Teken de spiegels x ls je weet dt s x () = '. d = = e f = 6 Teken het spiegeleeld vn de rehte m t.o.v. de rehte. 68 m m MR 69-6 Hoeveel spiegelssen kun je tekenen... x is de... vn [']. Hoeveel spiegelssen kun je tekenen... Verklr je ntwoord.... m Is figuur F' het eeld vn figuur F door een spiegeling Zo j, teken dn de spiegels. Hoeveel punten moet je spiegelen om het spiegeleeld vn een rehte te kunnen tekenen... ls de rehte de spiegels snijdt: Wt is het spiegeleeld vn het snijpunt... fig. F fig. F fig. F Hoeveel punten moet je nog extr spiegelen... Wt merk je op ls de rehte loodreht op de spiegels stt... fig. F fig. F fig. F Wt moet je kunnen Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ spiegeleelden herkennen τ het spiegeleeld tekenen vn een punt, lijnstuk, rehte, vlkke figuren τ de spiegels nduiden of tekenen ls een figuur en zijn spiegeleeld gegeven zijn 5

13 M5 igenshppen vn de spiegeling Op verkenning Teken het spiegeleeld vn figuur t.o.v. de rehte m. Het spiegeleeld vn het punt is het punt, het spiegeleeld vn is, enz. Verklr je ntwoord. Strt ij punt en wndel in wijzerzin door de figuur. Welk hoekpunt kom je ls eerste tegen... Strt ij punt en wndel in wijzerzin door het spiegeleeld. Welk hoekpunt kom je ls eerste tegen... Wt stel je vst P igenshppen de spiegeling m Het spiegeleeld vn een rehte is een rehte. Het spiegeleeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het spiegeleeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. = '' = = '' = = '' = Wt stel je vst lke spiegeling ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; (mr keert de oriënttie vn de hoeken om); de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een spiegeling. m... Vergelijk in oefening, en d op p. telkens en. Wt kun je esluiten Oefeningen... Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. 7 egeven: s m () = ' en = ' = Welke eigenshp vn de spiegeling he je toegepst om dit ntwoord te vinden 6-6 MR 65 = = = ' = ' = ' = Wt stel je vst... Vergelijk in oefening en d op p. telkens en '. Wt kun je esluiten 8 Teken door zo weinig mogelijk punten te spiegelen het spiegeleeld vn een prllellogrm. Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een prllellogrm te spiegelen... Welke eigenshp(pen) he je toegepst 66 MR d e onderlinge ligging vn rehten Wt is de onderlinge ligging vn de rehten op de figuur Vul in Wt kun je esluiten... e oriënttie vn hoeken Teken op de figuur de rehte P.... vn een vierknt. Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een vierknt te spiegelen... Welke eigenshp(pen) he je toegepst Teken het spiegeleeld vn de rehte P. Moet je hiervoor het punt P spiegelen... Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de spiegeling onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de spiegeling ntonen n de hnd vn een vooreeld 6 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ de eigenshppen vn de spiegeling verwoorden τ de eigenshppen vn de spiegeling toepssen om het spiegeleeld vn een figuur te tekenen 7

14 M6 Symmetrie Op verkenning 0 Teken de ndere helft vn de vlinder. 6 Teken een gelijkenige driehoek met tophoek die n de volgende voorwrden voldoet. = 50 = = m Teken de issetrie vn de tophoek. Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst... Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst Teken de symmetries(sen) Spiegel het punt t.o.v. de issetrie en noem het. Wt stel je vst... Teken het spiegeleeld vn t.o.v. de issetrie. Wt stel je vst... Teken in de symmetrishe driehoeken lle symmetriessen. Hoeveel symmetriessen heen ongelijkenige driehoeken... Hoeveel symmetriessen heen gelijkenige driehoeken... MR 65 Wiskundetl egrippen Hoeveel symmetriessen heen gelijkzijdige driehoeken... en symmetries vn een figuur is een rehte die de figuur op zihzelf spiegelt. is symmetries vn fig. F Symmetrishe figuren zijn figuren met één of meerdere symmetriessen. S (fig. F) = fig. F fig. F F H Oefeningen Teken de rest vn de figuur ls je weet dt x de symmetries is Zijn deze figuren symmetrish Indien j, teken dn de symmetries(sen). d x Wt moet je kunnen 8 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ een symmetries herkennen in een figuur τ een symmetries vn een figuur tekenen τ een figuur vervolledigen ls de symmetries en een deel vn de figuur gegeven zijn 9

15 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen Op verkenning Vershuivingen in de werkelijkheid Tijdens een toneelstuk vn Finding Nemo moet in het deor een shool vissen worden verpltst. e vissen hngen lleml n elkr vst en zijn met een stfje n het punt X vstgemkt. ls het punt X wordt verpltst nr het punt Y, dn vershuiven lle vissen in het deor. Zo gt de vis in punt nr de plts vn de vis in punt ', de vis in punt gt nr de plts vn de vis in punt ',... Nr welke plts gt de vis in punt F Noem het punt F' en teken de vis op de juiste plts. Het shuifeeld vn een punt Teken in de ovenstnde figuur het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk, het lijnstuk en het lijnstuk FF. F X Y Wiskundetl egrippen en vershuiving wordt epld door een vetor. Het punt is het shuifeeld vn het punt door een vershuiving volgens vetor XY.s.. het lijnstuk evenwijdig is met het lijnstuk XY (de lijnstukken heen dezelfde rihting) N het lijnstuk even lng is ls het lijnstuk XY (de lijnstukken zijn even lng) N de pijl vn nr dezelfde zin heeft ls de pijl vn X nr Y (de lijnstukken heen dezelfde zin). eeld vn een punt door een vershuiving: t () = ' XY [ ] // [XY] N ' = XY N ['] en [XY] heen dezelfde zin X Y Meet: =... =... =... =... =... FF =... Wt stel je vst... Teken op [ ] een pijl vn nr. Teken op [ ] een pijl vn nr. oe dit voor lle lijnstukken. Wijzen lle pijlen nr dezelfde knt Of met ndere woorden: heen lle lijnstukken dezelfde zin... Wt is de onderlinge ligging vn de rehte, de rehte, de rehte, de rehte ',... Wiskundetl symolen vershuiving (= trnsltie) (kleine letter) t () = ' XY wt vershoven wordt (tussen ronde hkjes) shuifeeld de vetor die de vershuiving eplt (wordt een eetje lger geshreven) t () = ' XY lees je ls het shuifeeld vn door de vershuiving volgens vetor XY is '. Wt kun je nu vertellen over de rihting vn, vn, Meet: XY = Vergelijk dit met de lengte vn [ ], vn [ ], vn [ ],... Wt stel je vst... Vergelijk de rihting en de zin vn [XY] met de rihting en de zin vn de ndere lijnstukken. Wt stel je vst... lle lijnstukken met dezelfde lengte, rihting en zin ehoren tot dezelfde vetor. Wiskundetl egrippen en vetor is een verzmeling lijnstukken die lleml dezelfde lengte, rihting en zin heen. en vetor wordt voorgesteld door een pijl. X Y XY, w, PP' stellen dezelfde vetor voor. P P Weetje venwijdige rehten heen dezelfde rihting. XY lees je ls vetor XY. e pijl oven de letters geeft de zin n. w lees je ls vetor w. Stppenpln het shuifeeld vn een punt tekenen met de geodriehoek Teken door het punt een evenwijdige met de rehte XY. Plts op de evenwijdige rehte het punt ' zodt XY = '. Y Let op de zin vn het lijnstuk. Het punt moet het eginpunt X zijn en het punt ' moet het eindpunt zijn. Het shuifeeld vn een figuur F X Vershuif de figuur F volgens XY. Hoe g je te werk Y O Vershuif de irkel volgens. Hoe g je te werk X Y 0 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk

16 M7 Vershuivingen herkennen en tekenen (vervolg) Wiskundetl egrippen Het shuifeeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te vershuiven. t (Δ) = Δ''' XY X Y t (Δ) = Δ''' XY lees je ls het eeld vn de driehoek door de vershuiving volgens XY (de vetor XY) is de driehoek. 6 Onderzoek de figuren. Is fig. F het eeld vn fig. F door een vershuiving Zo j, teken de vetor die deze vershuiving eplt. Zo neen, verklr wrom niet. d e fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F Oefeningen fig. F fig. F fig. F fig. F fig. F MR 6-6 Vershuif. e vershuiving wordt epld door XY. Vershuif de punten,, en. e vershuiving wordt epld door TV. Vershuif de punten, F, en H Werden de punten en door dezelfde vershuiving vershoven Zo j, vershuif het punt volgens dezelfde vershuiving. Zo neen, verklr wrom niet. X Y F T H V... d... e... 7 Vershuif de figuren telkens volgens de gegeven vetor. t u ( ) = ''' t v () = '''' u v d e f = = = t () = '''' w w... d... e... f... Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk Wt moet je kunnen τ het eeld vn een vershuiving herkennen τ het shuifeeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, τ de vetor die de vershuiving eplt nduiden of tekenen een vlkke figuur tekenen

17 M8 igenshppen vn de vershuiving Op verkenning Teken het shuifeeld vn figuur. e vershuiving wordt epld door XY. Het shuifeeld vn is, het shuifeeld vn is, enz. X P Y igenshppen de vershuiving Het shuifeeld vn een rehte is een (evenwijdige) rehte. Het shuifeeld vn een lijnstuk is een (evenwijdig) lijnstuk. Het shuifeeld vn een hlfrehte is een (evenwijdige) hlfrehte. lke vershuiving ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een vershuiving. X Y Lijnstukken Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. =... =... =... =... Wt stel je vst Vergelijk in oefening 7, en op p. en. Wt kun je esluiten Oefeningen 8 Teken het eeld vn het prllellogrm volgens t. Vershuif zo weinig mogelijk punten om je XY eeld te vinden. Hoeveel punten moet je vershuiven... Welke eigenshppen he je toegepst... Y X Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken =... =... ' =... ' =... Wt stel je vst Vergelijk in oefening 7, en op p. en '. Wt kun je esluiten 9 Vershuif de rehte m volgens t. Wt is de onderlinge ligging vn een rehte en hr shuifeeld... Hoeveel punten moet je ten minste vershuiven 65 MR 65 om het eeld vn een rehte te vinden... m e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten Vul in Vergelijk in oefening 7 de onderlinge ligging vn de rehten in de figuren en hun shuifeelden. Wt kun je esluiten Teken de rehte P in het rooster. Vershuif P volgens t. XY Moet je hiervoor het punt P vershuiven... Verklr je ntwoord. Wt is de onderlinge ligging vn P en P Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk 0 Vershuif [XY] volgens vetor w. M is het midden vn [XY]. Is het eeld M vn M ook het midden vn [X Y ] Verklr Onderzoek. Kn vierknt het eeld vn vierknt zijn door een vershuiving Verklr Kn fig. het eeld vn fig. zijn door een vershuiving Verklr Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de vershuiving onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de vershuiving verwoorden X M τ de eigenshppen vn de vershuiving ntonen n de hnd vn een vooreeld τ de eigenshppen vn de vershuiving toepssen om het shuifeeld te tekenen Y MR MR

18 M9 riingen herkennen en tekenen Op verkenning riingen in de werkelijkheid Tom en le zitten in een reuzenrd. Nog 90 grden drien en hun kje hngt heleml ovenn In welk kje zitten ze ls het rd met de klok meedrit (in wijzerzin)... In welk kje zitten ze ls het rd niet met de klok meedrit (in tegenwijzerzin)... Wiskundetl symolen rottie = driing (kleine letter) r (O,α) () = ' wt gedrid wordt (tussen ronde hkjes) drieeld driingshoek entrum vn de driing Stppenpln het drieeld vn een punt tekenen met geodriehoek en psser Teken een irkel met entrum O en strl O. Teken [O]. Teken hoek O' zodt ' op de irkel ligt. Let op de drizin. O O Weetje α is een letter uit het riekse lfet en wordt in de wiskunde vk geruikt om hoekgrootten n te duiden. r (O,α) () = ' lees je ls het eeld vn door driing met entrum O en over een hoekgrootte α is '. O uid het punt (het entrum) n wr het rd rond drit. Vergelijk de fstnd vn de kjes tot het entrum. Wt stel je vst... Liesje zit in kje 6 en het rd drit in tegenwijzerzin. Hoe groot is de drihoek die Liesje nog moet fleggen voor ze kn uitstppen... e klsdeur drit open. Wrrond drit de klsdeur... Welke drizin heeft de deur vn je kls ls de deur open gt Het drieeld vn een figuur ri de figuur rond entrum O over een hoek vn 0. Hoe g je te werk O... Het drieeld vn een punt ls de uto 80 km/u rijdt, duidt de snelheidsmeter 80 n. Teken de nld voor 80 km/u. Meet = en = Is de nld vn lengte vernderd ls ze 80 km/u nduidt Wiskundetl egrippen Het drieeld vn een figuur vind je door de eplende punten vn de figuur te drien. r (O, 00 ) ( ) = ''' r (O,α) ( ) = ''' lees je ls het drieeld vn de driehoek rond entrum O over hoek α is driehoek '''.... Hoe groot is de hoek wrover de nld is gedrid vn 0 tot 80 km/u 00 O... Wiskundetl egrippen Het punt is het drieeld vn het punt door een driing rond het punt O over een hoek α. Het entrum vn een driing is het punt wrrond wordt gedrid. e drihoek heeft een grootte (het ntl grden) en een zin (wijzerzin of tegenwijzerzin). Wijzerzin noteer je met een negtieve hoek. Tegenwijzerzin noteer je met een positieve hoek. eeld vn een punt door een driing: r (O,α) () = ' O' = α O = O' O 70 (= tegenwijzerzin) 70 (= wijzerzin) wijzerzin: O" = 70 tegenwijzerzin: O' = Oefeningen epl de drihoek. r(o,...) F = F' O F F Teken het drieeld vn de punten, en door r (O, 0 ). O MR Wt moet je kunnen 6 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk τ het drieeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen τ een driing herkennen (het entrum vn een driing vinden, de drihoek vn een driing eplen) 7

19 M0 igenshppen vn de driing Op verkenning Oefeningen Teken het drieeld vn figuur. e figuur wordt gedrid rond entrum O over een hoek vn 00. Het drieeld vn is, het drieeld vn is, enz. en irkel met een oppervlkte vn 0 m² wordt gedrid over een hoek vn 80. Wt is de oppervlkte vn het eeld vn deze irkel... Welke eigenshp he je geruikt om je ntwoord te vinden P 5 egeven: r (O, 90 ) evrgd: Kleur het drieeld vn de luwe driehoek Lijnstukken O Meet op de figuur de lengte vn de lijnstukken. O =... =... =... =... Wt stel je vst... Vergelijk in oefening de lengte vn de overeenkomstige lijnstukken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten... 6 Teken door zo weinig mogelijk punten te drien r (o,0 ) () = '''' Hoeveel punten he je gedrid om het eeld te vinden... Welke eigenshp(pen) vn de driing he je geruikt 68 MR Hoeken Meet op de figuur de grootte vn de hoeken. =... ' =... =... ' =... Wt stel je vst O... Vergelijk in oefening de grootte vn de hoeken in de figuren en in hun drieeld. Wt kun je esluiten... e onderlinge ligging vn rehten Wt is op de figuur de onderlinge ligging vn de rehten Vul in Wt stel je vst... 7 Het drieeld vn de driehoek is fout. n welke eigenshppen wordt niet voldn 688 igenshppen de driing... Het drieeld vn een rehte is een rehte. Het drieeld vn een lijnstuk is een lijnstuk. Het drieeld vn een hlfrehte is een hlfrehte. lke driing ehoudt: de lengte vn een lijnstuk; de grootte vn een hoek; de evenwijdigheid vn rehten; de loodrehte stnd vn rehten. e vorm en de grootte vn een figuur lijft dus ehouden ij een driing. 8 Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk O Wt moet je kunnen τ de eigenshppen vn de driing onderzoeken in oefeningen τ de eigenshppen vn de driing ntonen n de hnd vn een vooreeld O τ de eigenshppen vn de driing verwoorden τ de eigenshppen vn de driing toepssen om het drieeld vn een figuur te tekenen 9

20 M e puntspiegeling Op verkenning e puntspiegeling ri driehoek over een hoek vn 80 met K ls entrum. Het drieeld vn het punt is het punt, het drieeld vn is en het drieeld vn is. Meet de lengtes. Wiskundetl egrippen en symmetriemiddelpunt vn een figuur is het spiegelpunt dt de figuur op zihzelf spiegelt. O is een symmetriemiddelpunt vn figuur F. O K =... K =... s O (fig. F) = fig. F K =... K =... K =... K =... Wt stel je vst Oefeningen... eze ijzondere driing wordt ook een puntspiegeling genoemd. 8 Teken s O (), s O (), s O () O het eeld vn het lijnstuk s O ([XY]). X O MR K Wt is het punt O vn figuur... Y Wiskundetl egrippen s O (ruit ) en puntspiegeling is een driing met een drihoek vn 80 of 80. Het entrum vn de driing is het spiegelpunt. Wiskundetl symolen r (O,80 ) (F) = s O (F) = F' O is het spiegelpunt. F O F 9 en kunstwerk vn M.. sher. Zoek het entrum vn de driing die hond op hond feeldt. O MR 69 wt gespiegeld wordt (tussen ronde hkjes) s O () = ' Hoe groot is de drihoek... spiegeling (kleine letter) Het symmetriemiddelpunt Teken in vierknt de digonlen. Noem het snijpunt vn de digonlen M. Spiegel t.o.v. het punt M. Wt merk je op s O () = ' spiegeleeld nm vn het spiegelpunt ( wordt een eetje lger geshreven, hoofdletter) lees je ls het spiegeleeld vn door puntspiegeling met spiegelpunt O is '. 0 Onderzoek. Teken in de figuren de symmetriemiddelpunten in luw en de symmetriessen in het rood. Let op! Niet lle figuren zijn symmetrish of heen een symmetriemiddelpunt. Heen lle symmetrishe figuren een symmetriemiddelpunt... Zijn lle figuren met een symmetriemiddelpunt symmetrish... MR Spiegelen, vershuiven en drien in het vlk Test je kennis vn lle trnsformties verder in het oefenoek. Wt moet je kunnen τ het eeld vn een punt, een lijnstuk, een rehte, een vlkke figuur tekenen door een puntspiegeling τ het symmetriemiddelpunt vn een figuur eplen MR

21 Prolemsolving e regelmtige vijfhoek O (lle zijden zijn even lng en lle hoeken zijn even groot) wordt gespiegeld t.o.v. de s O, wrij wordt fgeeeld op. e eeldvijfhoek wordt drn gespiegeld t.o.v. O, wrij wordt fgeeeld op. Zo g je verder. N hoeveel keer spiegelen krijg je vijfhoek O voor het eerst terug Hoeken yln moet een vierknt leggen met een ntl puzzelstukjes zols hiernst. e puzzelstukjes mogen niet op elkr liggen. Hoeveel puzzelstukjes heeft yln nodig '' O ' it kun je l een hoek meten de vershillende soorten hoeken (op sis vn hun grootte) herkennen de vershillende soorten hoeken (op sis vn hun grootte) tekenen Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr je vdemeum. Mk de figuur symmetrish door zo weinig mogelijk extr vierkntjes te kleuren. Hoe groot is hoek Verder oefenen = 65 = 5 = 5 d Hoek is een gestrekte hoek een nulhoek een volle hoek d e ijferomintie vn dit slot vind je ls volgt. e eerste twee getllen zijn de oördintgetllen vn punt Q. Q(0, 80) e twee volgende ijfers zijn de oördintgetllen vn het spiegeleeld vn Q (= Q ). Het punt Q wordt gespiegeld t.o.v. de rehte met ls vergelijking x = 50. e twee ltste ijfers zijn de oördintgetllen vn het snijpunt vn [QQ ] en de spiegels. Welke hoek is een stompe hoek d... 5 In een mhine zitten twee tndwielen tegen elkr. e strl vn het grote tndwiel is keer zo groot ls de strl vn het kleine tndwiel. Wt geeurt er met het kleine tndwiel ls het grote tndwiel één keer tegen de klok in rond drit it he je nodig leerwerkoek p. - 7 oefenoek nr psser geodriehoek groene en rode pen rekenmhine kleurpotloden Inhoud M Indeling vn de hoeken volgens hun som p. M Indeling vn de hoeken volgens hun ligging p. 6 M Hoeken gevormd door rehten en een snijlijn p. 50 M5 Hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn p. 5 M6 e som vn de hoeken in een driehoek p. 58 M7 ewijs: de eigenshp vn overstnde hoeken p. 60 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn p. 6 M9 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek p. 70 Prolemsolving

22 M Indeling vn de hoeken volgens hun som Op verkenning Teken zodt deze het omplement is vn. 707 omplementire hoeken Vul n F =... + =... F + F =... + =... Wt stel je vst... Teken het omplement vn, zonder te meten. 708 FINITI Wiskundetl definitie omplementire hoeken zijn twee hoeken wrvn de som 90 is. Je zegt: hoek en hoek zijn elkrs omplement. en zijn omplementir. + = en zijn omplementire hoeken. Supplementire hoeken Vul n. omplementire hoeken Heeft elke hoek een omplement... Welke hoeken heen ltijd een omplement =... + =... F + =... + =... F Vul n zodt en supplementire hoeken zijn MR 7-76 FINITI Wt stel je vst.... Wiskundetl definitie Supplementire hoeken zijn twee hoeken wrvn de som 80 is. Je zegt: hoek en hoek zijn elkrs supplement. en zijn supplementir. + = Teken zodt deze het supplement is vn. 5 7 Teken het supplement vn, zonder te meten. 78 en zijn supplementire hoeken MR Oefeningen Vul n zodt en omplementire hoeken zijn Supplementire hoeken Heeft elke hoek een supplement... Welke hoeken heen ltijd een supplement Wt moet je kunnen Hoeken τ de definitie vn omplementire hoeken verwoorden τ de definitie vn supplementire hoeken verwoorden τ het omplement vn een hoek tekenen en erekenen τ het supplement vn een hoek tekenen en erekenen 5

23 M Indeling vn de hoeken volgens hun ligging Op verkenning nliggende hoeken ekijk ndhtig en, en, en. Overstnde hoeken Meet de grootte vn de getekende hoeken. F =... =... =... =... =... =... =... =... Vergelijk de grootte vn de hoeken en die tegenover elkr stn. Wt stel je vst Wt heen deze hoeken gemeenshppelijk FINITI... Teken op dezelfde mnier twee hoeken met hoekpunt en twee hoeken met hoekpunt F. Wiskundetl definitie nliggende hoeken zijn hoeken die het hoekpunt en een een gemeenshppelijk heen. Het gemeenshppelijke een ligt tussen de twee ndere enen. FINITI Wiskundetl definitie Overstnde hoeken zijn hoeken wrvn de enen in elkrs verlengde liggen. en zijn overstnde hoeken. Nevenhoeken Vul n. en zijn nliggende hoeken. igenshp overstnde hoeken Overstnde hoeken zijn even groot. en zijn overstnde hoeken = en zijn overstnde hoeken. Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M7. + =... + =... + =... + =... Wt stel je vst i.v.m. de ligging en i.v.m. de som Oefeningen 9 Teken vn de gegeven hoek een overstnde hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er... een nliggende hoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er MR 7 FINITI Wiskundetl definitie Nevenhoeken zijn nliggende hoeken die smen een gestrekte hoek vormen. en zijn nevenhoeken. en zijn nliggende hoeken en + = 80 en zijn nevenhoeken. 6 Hoeken 7

24 M Indeling vn de hoeken volgens hun ligging (vervolg) een nevenhoek. Hoeveel mogelijkheden zijn er... Zet een kruisje in de juiste kolom(men). Welke hoeken zijn Weer 76 Meer Zet een kruisje in de juiste kolommen. Welke hoeken zijn en en e en d en d nliggende hoeken supplementire hoeken nevenhoeken omplementire hoeken F uid in het rood één pr nevenhoeken n. uid in het groen één pr omplementire hoeken n. uid in het zwrt één pr nliggende hoeken n die geen nevenhoeken zijn. Weer 79 en en en d en d e en e f en f Overstnde hoeken nliggende hoeken Nevenhoeken 7-75 uid op de tekening (met een oogje) pr overstnde hoeken n in het groen. pr nliggende hoeken n in het zwrt. pr nevenhoeken n in het rood. 80 d 5 Wt moet je kunnen 8 Hoeken ττde definitie vn nliggende hoeken verwoorden ττde definitie vn nevenhoeken verwoorden ττde definitie vn overstnde hoeken verwoorden ττde eigenshp vn overstnde hoeken verwoorden ττnliggende hoeken, nevenhoeken en overstnde hoeken herkennen en tekenen 9

25 M Hoeken gevormd door rehten en een snijlijn Op verkenning Kun je twee hoeken vinden met een vershillend hoekpunt die n dezelfde knt vn de oomstm liggen, mr wrij de ene hoek een innenhoek is en de ndere hoek een uitenhoek eef een vooreeld. uiten uiten eze hoeken noem je overeenkomstige hoeken. Wiskundetl egrippen innen uiten innen ls twee rehten worden gesneden door een derde rehte dn ekom je ht vershillende hoeken. e rehten en worden gesneden door de rehte. is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. uiten innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn zijn hoeken die tussen de rehten en liggen en n dezelfde knt vn de snijlijn. en, en zijn innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. eze hoeken ken je l. Vul n. en zijn hoeken. Welke hoeken zijn nog overstnde hoeken... en zijn hoeken. Welke hoeken zijn nog nevenhoeken... Verwisselende innenhoeken zijn hoeken die tussen de rehten en liggen en n weersknten vn de snijlijn. en, en zijn verwisselende innenhoeken. Wt weet je over deze hoeken... Welke hoeken vind je innen de oevers vn de rivier... eze hoeken noem je innenhoeken. Welke hoeken vind je innen de rivier n dezelfde knt vn de oomstm... eze hoeken noem je innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. Welke hoeken vind je innen de rivier, mr n weersknten vn de oomstm... eze hoeken noem je verwisselende innenhoeken. Welke hoeken vind je uiten de oevers vn de rivier uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn zijn hoeken die niet tussen de rehten en liggen en n dezelfde knt vn de snijlijn. Verwisselende uitenhoeken zijn hoeken die niet tussen de rehten en liggen en n weersknten vn de snijlijn. en, en zijn uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. en, en zijn verwisselende uitenhoeken. eze hoeken noem je uitenhoeken. Welke hoeken vind je uiten de rivier n dezelfde knt vn de oomstm... eze hoeken noem je uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. Welke hoeken vind je uiten de rivier, mr n weersknten vn de oomstm... eze hoeken noem je verwisselende uitenhoeken. Overeenkomstige hoeken zijn hoeken die n dezelfde knt vn de snijlijn liggen en wrij één hoek een innenhoek is en de ndere hoek een uitenhoek. en, en, en, en zijn overeenkomstige hoeken. 50 Hoeken 5

26 M Hoeken gevormd door rehten en een snijlijn (vervolg) Weer 70 Meer 7 Oefeningen en zijn twee rehten gesneden door een derde rehte. enoem de gevrgde hoeken. 5 Vul n en verklr. = 0 = 5 = = Zijn de verwisselende innenhoeken even groot... en... en... en... en... en... en... en... en... 6 egeven // 7 en... en... en... en... en... en... en... en... en zijn... en zijn... en zijn... en zijn... en zijn verwisselende innenhoeken. en zijn overeenkomstige hoeken. en zijn... en zijn overstnde hoeken. en zijn uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. 5 Hoeken en zijn verwisselende uitenhoeken. en zijn innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. en zijn nevenhoeken. Wt moet je kunnen τ overeenkomstige hoeken herkennen τ verwisselende innenhoeken herkennen τ verwisselende uitenhoeken herkennen τ innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn herkennen τ uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn herkennen 5

27 M5 Hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn Op verkenning Meet. egeven: // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. =... =... Vul n en verklr. =... =... en zijn... en zijn... =... =... en zijn... en zijn... =... =... en zijn... en zijn... Welke hoeken zijn overeenkomstige hoeken Vergelijk de hoekgrootten.... Wt stel je vst... Welke hoeken zijn verwisselende innenhoeken Vergelijk de hoekgrootten.... Wt stel je vst... Welke hoeken zijn verwisselende uitenhoeken Vergelijk de hoekgrootten. Mk de som vn deze hoeken.... Wt stel je vst... Welke hoeken zijn uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot... Mk de som vn deze hoeken.... Wt stel je vst... ontroleer op de onderstnde tekeningen of de verwisselende innenhoeken even groot zijn de uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn supplementir zijn // s t is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. Teken op een prt ld twee evenwijdige rehten e en f en een rehte g die e en f snijdt. Noem de snijpunten en F. Zijn de verwisselende uitenhoeken even groot v S T s // t v s S is het snijpunt vn s en v. T is het snijpunt vn t en v.... Zijn de innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn supplementir... igenshp hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn... Wt stel je vst... Welke hoeken zijn innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn Vergelijk de hoekgrootten. Zijn deze hoeken even groot... Twee rehten die worden gesneden door een derde rehte zijn evenwijdig.s.. de overeenkomstige hoeken dezelfde hoekgrootte heen. // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. = = = = 5 Hoeken 55

28 M5 Hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn (vervolg) Twee rehten die worden gesneden door een derde rehte zijn evenwijdig.s.. de verwisselende innenhoeken dezelfde hoekgrootte heen. Twee rehten die worden gesneden door een derde rehte zijn evenwijdig.s.. de verwisselende uitenhoeken dezelfde hoekgrootte heen. Twee rehten die worden gesneden door een derde rehte zijn evenwijdig.s.. de innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn supplementir zijn. Twee rehten die worden gesneden door een derde rehte zijn evenwijdig.s.. de uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn supplementir zijn. // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en = = // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en = = // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en + = 80 + = 80 // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en + = 80 + = 80 8 egeven prllellogrm, met = 65. ereken Noteer de eigenshp die je toepst egeven trpezium, met = en digonl []. ereken. 0 egeven rehten en met snijlijn. is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. Juist of fout Is de uitsprk fout, verklr dn wrom Noteer de eigenshp die je toepst =... en zijn overstnde hoeken en zijn even groot MR MR nkele vn deze eigenshppen worden ewezen in les M8. Oefeningen en zijn verwisselende innenhoeken en zijn even groot MR // is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. ereken de grootte vn de ontrekende hoeken ls telkens hoek gegeven is. = 7 = 5 = en zijn nevenhoeken en zijn dus omplementir. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = d e f en zijn uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn. en zijn overeenkomstige hoeken. en zijn overeenkomstige hoeken en zijn even groot. 56 Hoeken Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn hoeken, gevormd door twee evenwijdige rehten en een snijlijn, verwoorden τ hoekgrootten erekenen door eigenshppen vn hoeken, gevormd door twee evenwijdige rehten en een snijlijn, toe te pssen 57

29 M6 e som vn de hoeken in een driehoek Op verkenning Teken een sherphoekige, een stomphoekige en een rehthoekige driehoek op een ld ppier. Knip deze driehoeken uit. Kleur de hoekpunten. Knip de hoeken een eind verder uit dn het deel dt je gekleurd het, zols ngegeven op de figuur. Leg telkens de drie stukken met de gekleurde hoekpunten tegen elkr en lt lle stukjes mooi nsluiten. ereken de grootte vn de ontrekende hoek in de gegeven driehoeken. Weer Wt stel je vst Vul n. e som vn de hoeken in de driehoeken is telkens... Is er iemnd in de kls die een driehoek kn tekenen wrvn de som vn de hoeken niet gelijk is n riehoek is rehthoekig in hoek. ereken de grootte vn hoek Weer Meer ereken ls je weet dt =. Weer igenshp de som vn de hoeken in een driehoek e som vn de hoeken in een driehoek is gelijk n 80. Oefeningen is een driehoek. + + = 80 ereken de ontrekende hoekgrootte in driehoek. Toon je erekening = = 80 Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M egeven ereken, en ls = + = Weetje 6 In een driehoek op een ol is de som vn de hoeken niet gelijk n 80. Meer Weer 767 Meer 768 = 5 = 65 = ls je een ldder tegen een muur pltst, stt die veilig ls de hoek, gevormd door de ldder en de grond, een hoek is vn 75. Hoe groot zijn de ndere hoeken Vul de ontrekende hoek n vn Δ. Δ d 6 e 85 Wt moet je kunnen ττde som vn de hoeken in een driehoek erekenen 58 Hoeken 59

30 M7 ewijs: de eigenshp vn overstnde hoeken Op verkenning en eigenshp is een uitsprk over gekende egrippen die ltijd wr is. ls je één tegenvooreeld kunt vinden, he je geen eigenshp. Omdt je onmogelijk lle vooreelden kunt ontroleren moet je een eigenshp ewijzen. ewijzen is de wrheid ntonen vn de eigenshp. Hoe g je hierij te werk ewijzen geeurt door te verkennen, te nlyseren en het ewijs te geven. Wt is gegeven vrg ntwoord verklring Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur. Kijk nr de figuur. Welk soort hoeken zijn en eigenshp Overstnde hoeken zijn even groot Hoe groot is + + = STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor Mk een shets en noem de overstnde hoeken en. Is in de figuur ook een nevenhoek getekend voor Hoe groot is + + = Wt kun je uit en esluiten Is dit wt je moet ewijzen Je kunt de eigenshp ook nders formuleren: ls twee hoeken overstnd zijn, dn zijn deze hoeken even groot. STP ewijs ij het uitshrijven vn een ewijs is het soluut noodzkelijk dt je een verklring geeft voor elke stp die je zet. Wt n ls stt, noem je het gegeven. Noteer het gegeven vn deze eigenshp:... Wt n dn stt, noem je het te ewijzen. Noteer het te ewijzen vn deze eigenshp:... ewijs overstnde hoeken zijn even groot egeven: en zijn overstnde hoeken. STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Te ewijzen: = ewijs: + = 80 (def. nevenhoeken) + = 80 (def. nevenhoeken) + = + ig. vn een gelijkheid: eide leden = Wt moet je kunnen τ e eigenshp vn overstnde hoeken ewijzen. 60 Hoeken 6

31 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn STP Op verkenning eigenshp ls twee evenwijdige rehten gesneden worden door een derde rehte, dn heen de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte Verkennen Lees de eigenshp ndhtig en mk een shets. Noem de overeenkomstige hoeken en. STP ewijs ewijs ls twee evenwijdige rehten gesneden worden door een derde rehte, dn heen de overeenkomstige hoeken dezelfde grootte egeven: // en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. en zijn overeenkomstige hoeken. STP Welke meetkundige elementen komen erin voor Wt wordt er eweerd nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Te ewijzen: = ewijs: Vershuif volgens. Je ekomt. ( t () = ) ig. het shuifeeld vn een rehte is een evenwijdige rehte Vershuif volgens. Je ehoudt. ( t () = ) = ig. elke vershuiving ewrt de hoekgrootte vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur. Hoe kun je op feelden Wt is het shuifeeld vn de rehte Wt is het shuifeeld vn de rehte Wt weet je over de hoekgrootte ij een vershuiving Is dit wt je moet ewijzen 6 Hoeken 6

32 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn (vervolg) STP eigenshp ls twee overeenkomstige hoeken dezelfde grootte heen, dn zijn de rehten wrdoor ze worden gevormd evenwijdig Verkennen Lees de eigenshp ndhtig en mk een shets. Kleur de overeenkomstige hoeken groen. vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen. uid het gegeven in het groen n op de figuur. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. Zou het kunnen dt niet evenwijdig is met Teken door de rehte evenwijdig met. // Welke meetkundige elementen komen erin voor Wt weet je over en Noteer dit in symolen Wt weet je over en Wt wordt eweerd Welke mogelijkheden zijn er voor de rehten en Wt weet je over en Noteer, en smen. Wt stel je vst Je verkent hier een ndere ewijsvorm in de meetkunde. In plts vn de eigenshp rehtstreeks te ewijzen, g je ewijzen dt elke ndere mogelijkheid niet kn. e ndere mogelijkheden leiden tot een tegensprk met het gegeven. it soort ewijsvorm noem je een ewijs uit het ongerijmde. Stel je eens de vrg: ls je weet dt =, zou het dn kunnen dt niet evenwijdig is met Welke ndere mogelijkheid he je dn STP Is het mogelijk dt en snijdende rehten zijn t etekent ewijs // ewijs ls twee overeenkomstige hoeken, gevormd door twee rehten en een snijlijn even groot zijn, dn zijn deze twee rehten evenwijdig STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken egeven:, en ; en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. en zijn overeenkomstige hoeken. = Te ewijzen: // ewijs: Uit het ongerijmde Stel dt niet evenwijdig is met, dn kun je een rehte tekenen door die evenwijdig is met. (oor elk punt kun je een rehte tekenen evenwijdig met een gegeven rehte.) ( en // ) = (gegeven) = (eig. overeenkomstige hoeken: // met snijlijn ) Uitdrukking is in tegensprk met uitdrukkingen en. r lijft dus mr één mogelijkheid over: //. 6 Hoeken 65

33 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn (vervolg) eigenshp ls twee evenwijdige rehten gesneden worden door een derde rehte, dn heen de verwisselende innenhoeken dezelfde grootte Wt kun je uit en esluiten STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig en mk een shets. Is dit wt je moet ewijzen STP ewijs ewijs ls twee evenwijdige rehten gesneden worden door een derde rehte, dn heen de verwisselende innenhoeken dezelfde grootte Welke meetkundige elementen komen erin voor egeven: //, is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. en zijn verwisselende innenhoeken. STP Wt wordt er eweerd nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Te ewijzen: = ewijs: = (eig. overeenkomstige hoeken ij evenwijdige rehten en een snijlijn) = (eig. overstnde hoeken zijn even groot) en = vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. uid wt moet ewezen worden in het rood n op de figuur. Welke hoek met hoekpunt heeft dezelfde grootte ls Noteer de gelijkheid. uid deze hoek n op de figuur en noem deze hoek. Welke hoek met hoekpunt heeft dezelfde grootte ls Noteer de gelijkheid. 66 Hoeken 67

34 M8 ewijs: de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn (vervolg) STP eigenshp ls twee verwisselende innenhoeken dezelfde grootte heen, dn zijn de rehten wrdoor ze gevormd worden evenwijdig Verkennen Lees de eigenshp ndhtig en mk een shets. STP ewijs ewijs ls twee verwisselende innenhoeken dezelfde grootte heen, dn zijn de rehten wrdoor ze gevormd worden evenwijdig egeven: = (verwisselende innenhoeken.),, en is het snijpunt vn en. is het snijpunt vn en. Welke meetkundige elementen komen erin voor Wt wordt er eweerd Te ewijzen: // ewijs: = (gegeven) = (eig. overstnde hoeken zijn even groot) en = STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken ig. ls overeenkomstige hoeken even groot zijn, dn zijn en evenwijdig. // Oefeningen 7 ls twee evenwijdigen gesneden worden door een derde rehte, dn zijn innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn supplementir. ewijs MR vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen. uid het gegeven in het groen n op de figuur. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. Welke hoek met hoekpunt heeft dezelfde grootte ls Noteer de gelijkheid. uid deze hoek n op de figuur. Wt kun je uit en esluiten Is dit wt je moet ewijzen Wt moet je kunnen τ eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn ewijzen 68 Hoeken 69

35 M9 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek Op verkenning eigenshp e som vn de hoeken in een driehoek is 80 Welke hoek is even groot ls Noteer de gelijkheid. STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor Wt wordt eweerd Welke stp moet je nog zetten om te komen tot wt je moet ewijzen Is dit wt je moet ewijzen + + = = In les M6 knipte je de hoeken vn een driehoek f en rht je ze smen. In het ewijs wil je dit knippen en plkken nootsen. Hoe kun je dit doen Je tekent door het punt een rehte evenwijdig met. STP ewijs Wt is de som vn, en... Wt is je vermoeden over de som vn de hoeken in een driehoek ewijs de som vn de hoeken in een driehoek is 80 egeven: driehoek STP... nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken. Te ewijzen: + + = 80 ewijs: Teken door een rehte evenwijdig met. e hoeken die ontstn in punt noem je, en. = ( = ) = (ig. verwisselende innenhoeken: // en snijlijn ) = (ig. verwisselende innenhoeken: // en snijlijn ) vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. Kleur door het punt een rehte evenwijdig met. Welke hoeken ontstn op deze figuur in punt (onder de rehte ) Wt is de som vn deze hoeken Noteer dit in symolen. Oefeningen + + = 80 (de hoeken vormen smen een gestrekte hoek), en + + = 80 Het optellen is ommuttief in q. + + = 80 8 ls in driehoek één hoek even groot is ls de som vn de ndere twee hoeken, dn is de driehoek rehthoekig in. egeven: = + T: = Welke hoek is even groot ls Noteer de gelijkheid. Welke hoek is even groot ls Noteer de gelijkheid. ewijs: Hoeken Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek ewijzen 7

36 Prolemsolving Lotte wil de kpstokken in de gng vn de shool versieren. Ze hngt oven enkele vn de 7 hngers een hrtje. t doet zij ij de eerste kpstok, de derde, de vijfde, N de les gt Lotte verder met versieren. it keer strt ze ij hnger 7 en plkt ze een hrtje ij de eerste kpstok, de vierde, de zevende, Hoeveel hngers krijgen geen hrtje ongruentie en kngoeroe mkt sprongen vn grootte in het eerste kwdrnt. Hij egint in de oorsprong (0,0) en springt nr punt (,0), drn nr (,), (0,), (0,), (,), Nr welk punt springt de kngoeroe n zijn 0ste sprong... it kun je l een figuur spiegelen, vershuiven of drien de eigenshppen herkennen vn de vershuiving, de spiegeling en de driing de middelloodlijn en de issetrie vn een hoek tekenen met de geodriehoek de fstnd eplen tussen twee punten en vn een punt tot een rehte 5 hoeken erekenen met de hoekensom Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel hter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenoek of je vdemeum Hoe wordt figuur fgeeeld op figuur Verder oefenen s (fig ) = fig r (O, 80 ) (fig ) = fig t XY (fig ) = fig oef nr fig. o X Vnuit een regelmtige negenhoek (lle zijden zijn even lng en lle hoeken zijn even groot) worden twee zijden doorgetrokken tot ze snijden. Hoe groot is de hoek ij het vrgteken Hoeveel witte vierkntjes telt de tiende figuur uit deze rij fig. Wt is geen eigenshp vn de spiegeling In welke driehoek is m de middelloodlijn vn een zijde Hoe epl je de fstnd vn het punt S tot de rehte k 5 ereken ls je weet dt = 5 Y e grootte vn de hoek lijft ehouden m S e lengte vn een lijnstuk lijft ehouden m S e oriënttie vn de hoeken lijft ehouden m oef nr 6 k k k = 55 = 5 = 65 oef nr 75 S d d it he je nodig leerwerkoek p 7-98 oefenoek nr geodriehoek psser groene en rode pen kleurpotloden Inhoud M0 ongruente figuren p 7 M ongruente driehoeken p 76 M ewijzen met ongruente driehoeken p 8 M igenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk p 86 M igenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek p 88 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk p 90 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek p 9 7 Prolemsolving 7

37 M0 ongruente figuren FINITI estt uit het gelijkheidssymool = en het gelijkvormigheidssymool ~ Op verkenning ongruente figuren Welke figuur is een spiegeleeld vn figuur Teken de spiegels en noem ze Welke figuur is een shuifeeld vn figuur Teken een vershuivingsvetor en noem deze XY Welke figuur is een drieeld vn figuur Teken het entrum O vn deze driing Heen deze vier figuren dezelfde vorm en dezelfde grootte Wruit kun je dit met zekerheid fleiden Kun je figuur door een spiegeling, een vershuiving of een driing feelden op figuur 5 Wrom (niet) lke figuur, ehlve figuur 5, heeft dezelfde vorm en dezelfde grootte ls hr eeld. ls je de figuur en het eeld zou uitknippen en op elkr zou leggen, dn zouden ze elkr volledig edekken. Figuren die preies op elkr pssen, zijn ongruente figuren. Wiskundetl definitie ongruente figuren zijn figuren die door een spiegeling, een vershuiving, een driing (of een smenstelling ervn) op elkr kunnen worden fgeeeld ongruente figuren heen dezelfde vorm en dezelfde grootte ONTROL Zijn de figuren ongruent Verklr 5 Weetje figuur figuur lees je ls figuur is ongruent met figuur ongruent komt vn het Ltijnse woord ongruere dt overeenstemmen etekent RIPPN eienshp FSPRK ongruente veelhoeken Kun je trpezium feelden op trpezium KLMN door een spiegeling Teken de spiegels Welke eigenshppen lijven ehouden ij het spiegelen Zijn deze trpeziums ongruent Welke hoek uit trpezium KLMN is het spiegeleeld vn en M noem je overeenkomstige hoeken eef de overeenkomstige zijde vn [] Wiskundetl egrippen en eigenshppen ongruente veelhoeken zijn ongruente figuren In ongruente veelhoeken zijn overeenkomstige zijden of overeenkomstige hoeken de zijden en de hoeken die op elkr worden fgeeeld door een vershuiving, een spiegeling of een driing (of een smenstelling ervn) In ongruente veelhoeken zijn lle overeenkomstige zijden even lng en lle overeenkomstige hoeken even groot In ongruente veelhoeken noteer je ltijd de overeenkomstige hoekpunten in dezelfde volgorde Oefeningen F Welke figuren zijn ongruent Verklr eruik de juiste nottie 5 N K FH [] en [F] zijn overeenkomstige zijden en zijn overeenkomstige hoeken 9 0 F L 7 M H Weer Meer Wt moet je kunnen 7 ongruentie τ ongruente figuren herkennen τ ongruente figuren tekenen τ ongruente figuren definiëren τ elke figuur is ongruent met zihzelf τ def ongruente driehoeken 75

38 M ongruente driehoeken Op verkenning gelijkheden riehoek F is ongruent met driehoek. F = en = = en F = = en = Vul n = = = = = = Mg je esluiten dt twee driehoeken ongruent zijn ls: eienshp eigenshp ongruente driehoeken ongruente driehoeken zijn driehoeken wrvn lle overeenkomstige zijden even lng zijn en lle overeenkomstige hoeken even groot PQR = PQ = P = PR = Q = QR = R QRP Moet je telkens l deze gelijkheden geruiken om een driehoek te tekenen die ongruent is met een gegeven driehoek Onderzoek. Werkwijze: Je neemt de egindriehoek Je trht telkens een driehoek F te tekenen die voldoet n de gegeven gelijkheid (of gelijkheden), mr die niet ongruent is met de egindriehoek ontroleer je tekening met de trnsprnte egindriehoek,5 R,5 P Q pr zijden even lng en pr hoeken even groot zijn pr zijden even lng zijn pr hoeken even groot zijn gelijkheden pr hoeken of pr zijden = en = en F = = en F = en F = eruik hiervoor je psser. gelijkheid = = Mg je esluiten dt twee driehoeken ongruent zijn ls ze: pr hoeken heen, die even groot zijn pr zijden heen, die even lng zijn pr hoeken en pr zijden Hoe kun je de zijde tekenen ten opzihte vn de gegeven hoeken = en = en = Mg je esluiten dt twee driehoeken ongruent zijn ls: pr zijden even lng is pr hoeken even groot is 76 ongruentie 77

39 M ongruente driehoeken (vervolg) ls je vn twee hoeken in een driehoek de hoekgrootte kent, wt weet je dn over de grootte vn de derde hoek Stel dt je in de vorige tekening de zijde niet tussen de hoeken tekent, kun je dn een driehoek F tekenen die niet ongruent is met driehoek Leg dit uit. Mg je esluiten dt twee driehoeken ongruent zijn ls ze: pr hoeken heen, die even groot zijn en ls de ingesloten zijde even lng is pr hoeken heen, die even groot zijn ls de nliggende zijde even lng is pr zijden en pr hoeken Hoe kun je de hoek tekenen ten opzihte vn de gegeven zijden Weetje HHH is geen Wiskundetl ongruentiekenmerken voor driehoeken Twee driehoeken zijn ongruent ls volgende elementen even groot zijn: Nottie: de drie zijden ZZZ ongruentiekenmerk een zijde en twee hoeken HZH ZHH HHZ = F en = en = = en = en = F twee zijden en de ingesloten hoek ZHZ Weetje HZZ of ZZH zijn geen ongruentiekenmerken, tenzij de hoek 90 is twee zijden en een rehte hoek tegenover één vn die zijden ZZ90 Mg je esluiten dt twee driehoeken ongruent zijn ls ze: pr zijden heen, die even lng zijn en de ingesloten hoek even groot is Oefeningen pr zijden heen, die even lng zijn en ls een nliggende hoek even groot is Wt ls hoek reht is Kun je een rehthoekige driehoek F tekenen die niet ongruent is met driehoek ls je pr zijden even lng neemt Zijn de driehoeken ongruent Verklr met een ongruentiekenmerk. Weer Meer Teken een driehoek F ongruent met de gegeven driehoek en geruik het kenmerk ZHZ. uid het ongruentiekenmerk n op de figuur. Weer 80 Meer Je ontdekte dt drie goed gekozen gelijkheden voldoende zijn om n te tonen dt twee driehoeken ongruent zijn. eze drie gelijkheden vormen een ongruentiekenmerk. 78 ongruentie 79

40 M ongruente driehoeken (vervolg) Weer 80 Meer Verdeel de figuur telkens in twee ongruente driehoeken. Noteer de ongruente driehoeken. Noteer het ongruentiekenmerk. // TU T U Voor en STU geldt: S Weer Teken driehoek met = 60 en = 70. Teken driehoek F ls je weet dt F. Meer 809 L Voor F en KLM geldt: K F M d U = R Voor RS en UT geldt: Weer 80 Meer Zijn de gegeven driehoeken ongruent Indien j, noteer het ongruentiekenmerk en noteer de driehoeken volgens overeenkomstige zijden. Indien neen, verklr. U S T R Voor en geldt: e Voor en geldt: Wt moet je kunnen 80 ongruentie ττongruentiekenmerken vn driehoeken formuleren ττongruentiekenmerken vn driehoeken herkennen ττongruentiekenmerken vn driehoeken illustreren door een tekening 8

41 M ewijzen met ongruente driehoeken Op verkenning In de tweede eeuw n hristus edht de Romeinse lndmeter Mrus Nipsus een methode om de reedte vn een rivier te eplen zonder die rivier te moeten oversteken. Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur Kun je op de figuur nog zijden of hoeken vinden wrvn je zeker weet dt ze even groot of even lng zijn enk n vroegere eigenshppen Omirkel het ongruentiekenmerk dt je kunt geruiken ZHZ ZZZ HZH ZHH ZZ90 Noteer de gelijkheden Vnuit een punt kiest hij, loodreht op de oever, n de overknt een herkenningspunt (v de oom in het punt ) Hij zet een pltje in het punt, stpt 0 pssen verder lngs de oever en pltst in het punt een tweede pltje Hij stpt nog eens 0 pssen verder tot in het punt en pltst er een derde pltje Vnuit gt hij loodreht vn de oever weg tot hij en op één rehte lijn ziet it punt noemt hij Hij eweert dt de lengte vn [] even lng is ls de reedte vn de rivier Heeft Mrus Nipsus gelijk STP Wt mg je nu esluiten Hd Mrus Nipsus gelijk ewijs STP Verkennen Wt weet je zeker uid dit in het groen n op de derde tekening ewijs ongruente driehoeken egeven: = = = 90 Wt wordt er eweerd uid dit in het rood n op de derde tekening STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen uid in het groen n op de figuur Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur Te ewijzen: = ewijs: Voor en geldt: H = = 90 (gegeven) Z = (gegeven) H = (eig overstnde hoeken) HZH ig overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = In een ewijs met ongruente driehoeken noteer je lle elementen vn de ene driehoek links vn het gelijkheidsteken e elementen vn de ndere driehoek noteer je rehts vn het gelijkheidsteken e ongruentiekenmerken vn driehoeken kun je vk geruiken om n te tonen dt in een figuur twee lijnstukken even lng of twee hoeken even groot zijn. Weetje 8 ongruentie 8

42 M ewijzen met ongruente driehoeken (vervolg) Weer 8-86 Meer 87 Oefeningen 7 ewijs dt je de vlieger kunt opsplitsen in twee ongruente driehoeken en. Wt weet je nu over en Verklr. egeven: 9 Toon n dt het grondvlk e n het ovenvlk vn dit driezijdig prism ongruent zijn. egeven: Prism met grondvlk en ovenvlk F Te ewijzen: F F F F F Weer 80 Meer 8 8 Te ewijzen: ewijs: Verind de punten en Zo ekom je de driehoeken en Voor en geldt: Verkenning: nlyseren: Weer Meer ewijs vi ongruentie dt in de onderstnde figuur M = M. M ewijs: 8 ongruentie Wt moet je kunnen τ ongruentie vn driehoeken ewijzen n de hnd vn de ongruentiekenmerken τ gelijke lengten vn lijnstukken en gelijke grootte vn hoeken ewijzen n de hnd vn de ongruentiekenmerken vn driehoeken 85

43 M eigenshp en onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk Op verkenning igenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk Phoee en Roinh heen elk een shooltje in een dorp in frik. Je elooft hen te helpen om een wterput te ouwen die lngs de weg ligt mr die ook even ver ligt vn het shooltje vn Phoee (punt P) en het shooltje vn Roinh (punt R). Wr ouw je de wterput Teken de fstnd tussen het shooltje in P en het shooltje in R in vogelvluht Stppenpln een middelloodlijn vn een lijnstuk onstrueren Neem een psseropening groter dn de helft vn []. onstrueer twee irkeloogjes met middelpunten en, en met dezelfde strl. Snijdt de weg dit lijnstuk in het midden uid de twee snijpunten P en Q n die je ekomt. P onstrueer een punt op m vn P en R en een punt op m vn P en R Teken een rehte m door de punten en m is vn [PR] Teken nog twee vershillende punten op de rehte m Liggen deze punten op gelijke fstnd vn P en R Weetje e fstnd in vogelvluht is de kortste fstnd tussen twee punten Teken door de snijpunten P en Q de rehte m. eze rehte is de middelloodlijn vn []. Q m P Teken twee vershillende punten die niet op de rehte m liggen Liggen deze punten op gelijke fstnd vn P en R Wr denk je dt de punten moeten liggen opdt de fstnden tot de punten P en R gelijk zouden zijn P Q Plts de nodige merktekens. Het ewijs vn de ontrutie vn de middelloodlijn vind je in het oefenoek: oef. 86. epl de plts wr je de wterput gt ouwen R Oefeningen Weer Verdeel [XY] in twee even lnge lijnstukken. onstrueer lle punten die even ver liggen vn eruik lleen psser en linil. en. Weer eigenshp middelloodlijn vn een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn vn een lijnstuk Z is een punt op de middelloodlijn m vn [XY] m Z Meer X Meer s het punt op gelijke fstnd ligt vn de grenspunten vn het lijnstuk ZX = ZY X M Y onstrutie vn de middelloodlijn vn een lijnstuk Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M5 Y Welke eigenshp heen de punten die op de middelloodlijn vn [] liggen Hoe kun je gelijke fstnden eplen zonder te meten 86 ongruentie Hoeveel punten he je nodig om een rehte te kunnen tekenen Wt moet je kunnen ττde eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk verwoorden ττde eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk toepssen ττde middelloodlijn vn een lijnstuk met de psser onstrueren 87

44 M eigenshp en onstrutie vn de issetrie vn een hoek Op verkenning igenshp vn de issetrie vn een hoek en houtfriek wil zih vestigen in de uurt vn twee elngrijke utosnelwegen. Vier vestigingspltsen komen in nmerking. Welke vestigingsplts ligt even ver vn de twee snelwegen Hoe meet je de fstnd vn een punt tot een rehte uid de twee snijpunten X en Y n die de irkeloogjes mken met de enen vn hoek X Y Meet telkens de fstnd vn de punten tot de enen vn de hoek X Wt stel je vst voor: Teken in X en Y telkens een irkeloog met dezelfde strl eze irkelogen snijden in het punt Z X Z punt punt punt X punt Teken in het groen door en een rehte Wt is vn de hoek X Wt vermoed je Wt denk je over de punten die op liggen Teken de rehte door Z en het hoekpunt eze rehte is de issetrie vn Plts de nodige merktekens Oefeningen Het ewijs vn deze onstrutie vind je in het oefenoek: oef 866 Y X Y Z eigenshp de issetrie vn een hoek en punt ligt op de issetrie vn een hoek s P is een punt op de issetrie vn P onstrueer lle punten die even ver liggen vn de enen vn hoek X. Weer Meer het punt op gelijke fstnd ligt vn de enen vn de hoek d( P,[ ) = d( P,[ ) Het ewijs vn deze eigenshp vind je in je oefenoek: oef 86 X onstrutie vn de issetrie vn een hoek Welke punten liggen op de deellijn vn Hoe epl je de fstnd vn een punt tot de enen vn een hoek Wt weet je vn de fstnden vn de voetpunten vn die loodlijnen tot het hoekpunt Hoe kun je gelijke fstnden eplen zonder te meten onstrueer lle issetries vn de snijdende rehten en. Hoeveel hoeken vormen twee snijdende rehten Hoeveel issetries he je getekend Wt stel je vst d Wt is op deze tekening de onderlinge ligging vn de twee issetries Weer 858 Meer Stppenpln een issetrie vn een hoek onstrueren onstrueer een irkeloog door elk een met ls middelpunt en een willekeurige strl Wt moet je kunnen 88 ongruentie τ de eigenshp vn de issetrie vn een hoek verwoorden τ de eigenshp vn de issetrie vn een hoek toepssen τ de issetrie vn een hoek met de psser onstrueren 89

45 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk STP Op verkenning eigenshp de middelloodlijn vn een lijnstuk en punt ligt op de middelloodlijn vn een lijnstuk s het punt op gelijke fstnd ligt vn de grenspunten vn het lijnstuk Z is een punt op de middelloodlijn m vn [XY] ZX = ZY X m Z Verkennen Vul n In de eigenshp zie je een duele pijl it etekent eel: ls een punt op de middelloodlijn vn een lijnstuk ligt, dn Noteer voor deel het gegeven Noteer voor deel het te ewijzen M Y vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen uid het gegeven in het groen n op de figuur Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur Hoe kun je ewijzen dt fstnden gelijk zijn Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden eel: ls een punt op gelijke fstnd ligt vn de grenspunten vn een lijnstuk, dn ligt dt punt Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten Noteer voor deel het gegeven Noteer voor deel het te ewijzen STP ewijs ewijs eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk (deel ) L Je ewijst eerst deel (sis) en dn deel (verdieping) eigenshp ls een punt op de middelloodlijn vn een lijnstuk ligt, dn zijn de fstnden vn dt punt tot de grenspunten vn het lijnstuk gelijk ls een punt op de middelloodlijn vn een lijnstuk ligt, dn zijn de fstnden vn dt punt tot de grenspunten vn het lijnstuk gelijk egeven: m is de middelloodlijn vn [XY] Z is een punt vn de middelloodlijn m (Z m) Z m STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Z m Weetje Punt Z ligt op de middelloodlijn m en kun je symolish noteren ls Z m, wnt m is een rehte en dus een verzmeling vn punten Z is een element vn deze verzmeling Te ewijzen: ZX = ZY ewijs: Voor XZM en YZM geldt: Z XM = YM (def middelloodlijn) H M = M = 90 (def middelloodlijn) Z ZM = ZM (gemeenshppelijke zijde) X M Y ZHZ XZM YZM ig overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken ZX = ZY X M Y 90 ongruentie 9

46 M5 ewijs: de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk (vervolg) L STP eigenshp ls een punt op gelijke fstnden ligt vn de grenspunten vn een lijnstuk, dn ligt dt punt op de middelloodlijn vn het lijnstuk nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken STP ewijs ewijs eigenshp vn de middelloodlijn (deel verdieping) ls een punt op gelijke fstnden ligt vn de grenspunten vn een lijnstuk, dn ligt dt punt op de middelloodlijn vn het lijnstuk egeven: [XY] m Z ZX = ZY Z X Y X M Te ewijzen: Z is een punt vn m (Z m), met rehte m de middelloodlijn vn [XY] Y ewijs: Je het drie mogelijkheden: vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen. uid het gegeven in het groen n op de figuur. v Je geruikt in de driehoek de hoogtelijn uit Z ZM is een hoogtelijn M is het snijpunt vn ZM en XY Voor XZM en YZM geldt: Z ZX = ZY (gegeven) Z ZM = ZM (gemeenshppelijke zijde) H M = M = 90 (def hoogtelijn) Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. ZZ90 XZM YZM Welke ijzondere rehte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn Je het vershillende mogelijkheden. Teken m en noem M het snijpunt met [XY]. XM = MY ig overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken ef zwrtelijn m is de zwrtelijn uit Z op [XY] Uit & volgt: Wt weet je nu nog meer door deze tekening ZM is de middel - loodlijn vn [XY] Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden. Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk ewijzen 9 ongruentie 9

47 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek Op verkenning eigenshp de issetrie vn een hoek Hoe kun je ewijzen dt fstnden gelijk zijn STP en punt ligt op de issetrie vn een hoek s het punt op gelijke fstnd ligt vn de enen vn de hoek P is een punt op de issetrie vn d( P,[ ) = d( P,[ ) Verkennen Vul n In de eigenshp zie je een duele pijl it etekent eel : ls een punt op de issetrie vn een hoek ligt, dn Noteer voor deel het gegeven P Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lng zijn of hoeken wrvn je weet dt ze even groot zijn Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden Noteer voor deel het te ewijzen eel : ls een punt op gelijke fstnd ligt vn de enen vn een hoek, dn Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten Noteer voor deel het gegeven STP ewijs L Noteer voor deel het te ewijzen Je ewijst eerst deel (sis) en dn deel (verdieping) eigenshp ls een punt op de issetrie vn een hoek ligt, dn zijn de fstnden vn dt punt tot de enen vn de hoek gelijk ewijs eigenshp vn de issetrie vn een hoek (deel ) ls een punt op de issetrie vn een hoek ligt, dn zijn de fstnden vn dt punt tot de enen vn de hoek gelijk egeven: is issetrie vn P is een punt vn de issetrie (P ) P STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Te ewijzen: d( P, [ ) = d( P, [ ) ewijs: Uit P worden loodlijnen getekend op de enen vn hoek e voetpunten noem je en P d( P, [ ) = P d( P, [ ) = P Voor P en P geldt: vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen uid het gegeven in het groen n op de figuur Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur H = = 90 (def fstnd vn een punt tot een rehte) H = (def issetrie) Z P = P (gemeenshppelijke zijde) HHZ P P ig overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken P = P = = 90 d( P, [ ) = d( P, [ ) ef fstnd punt rehte 9 ongruentie 95

48 M6 ewijs: de eigenshp vn de issetrie vn een hoek (vervolg) L eigenshp ls een punt op gelijke fstnd ligt vn de enen vn een hoek, dn ligt dt punt op de issetrie vn een hoek STP ewijs STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken P ewijs eigenshp vn de issetrie vn een hoek (deel ) ls een punt op gelijke fstnd ligt vn de enen vn een hoek, dn ligt dt punt op de issetrie vn de hoek egeven: hoek = P d( P, [ ) = d( P, [ ) en zijn de voetpunten vn de loodlijnen op de enen vn hoek P vrg ntwoord verklring Te ewijzen: P is een punt vn de issetrie vn hoek (P ) = Wt is gegeven Noteer dit in symolen. uid het gegeven in het groen n op de figuur. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. ewijs: Voor P en P geldt: Z P = P (gemeenshppelijke zijde) Z P = P (gegeven) H = = 90 (def fstnd vn een punt tot een rehte) ZZ90 P P Teken de rehte P. Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur. ig overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken = P ligt op de issetrie vn hoek Zijn er in deze driehoeken nog zijden die even lng zijn of hoeken die even groot zijn Oefeningen Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden. Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten e issetries en d vn snijdende rehten en stn steeds loodreht op elkr. ewijs dit. d Weer Meer Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn de issetrie vn een hoek ewijzen 96 ongruentie 97

49 Prolemsolving en ntl ringen wordt geshkeld tot een ketting ls in de figuur. e totle lengte vn de ketting is,7 m. Uit hoeveel ringen estt de ketting 5 eigenshppen vn driehoeken m m,7 m 7 0 e 85 it kun je l een hoek meten de vershillende soorten driehoeken definiëren de vershillende soorten hoeken definiëren de eigenshppen vn de vershillende soorten hoeken geruiken 5 een vergelijking oplossen Hieronder zijn een ntl ontwikkelingen vn een kuus getekend. Welke ontwikkelingen zijn ongruent 5 6 Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel hter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenoek of je vdemeum Hoe groot is Verder oefenen d Wt is de meest pssende nm voor de driehoek gelijkenige, stomphoekige driehoek rehthoekige, gelijkzijdige driehoek rehthoekige, gelijkenige driehoek d e dimeter XY vn de irkel is 0 m. Hoe lng is de omtrek vn de groene figuur X Y In welke figuur vind je overstnde hoeken oef nr 70 Hoeveel proent vn de volledige figuur is grijs gekleurd Vul n Verwisselende innenhoeken zijn ij evenwijdigen en een snijlijn 5 Los op x + 5 = 6 it he je nodig leerwerkoek p 99-8 oefenoek nr psser geodriehoek groene en rode pen kleurpotloden omplementir even groot supplementir oef nr 75 x = _ x = _ x = 5,5 oef nr 5 Inhoud M7 e sishoeken in een gelijkenige driehoek p 00 M8 en uitenhoek vn een driehoek p 0 M9 onstrutie en lssifitie vn driehoeken p 06 M0 e driehoeksongelijkheid p 08 M ewijs: de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek p 0 M ewijs: de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek p M ewijs: het vernd tussen de hoeken en de zijden in een driehoek p 6 M ewijs: de driehoeksongelijkheid p 7 98 prolemsolving 99

50 M7 e sishoeken in een gelijkenige driehoek Op verkenning e sishoeken in een gelijkenige driehoek Vul n In de gelijkenige driehoek is de hoek, en zijn de hoeken Vul de rest vn de tel in e hoeken in een gelijkzijdige driehoek = 0 Wt stel je vst K = = M L Wt stel je vst Noteer de meest pssende nm voor de driehoek KLM = 90 Is deze driehoek ook gelijkenig Leg uit = ekijk de gelijkenige driehoek KLM met K ls tophoek Wt weet je over de ndere hoeken F = ekijk de gelijkenige driehoek KLM met L ls tophoek Wt weet je over de ndere hoeken F Teken een sherphoekige driehoek met twee even grote hoeken Meet de lengten vn de zijden vn de driehoek Noteer op de figuur Wt stel je vst Wt esluit je over de grootte vn de hoeken in een gelijkzijdige driehoek Vul in: K = L = M = eigenshp de sishoeken in een gelijkenige driehoek en driehoek is gelijkenig s de sishoeken even groot zijn In geldt: = = eigenshp de hoeken in een gelijkzijdige driehoek en driehoek is gelijkzijdig s de hoeken even groot zijn In driehoek geldt: = = = = = 80 _ = 60 ONTROL 6 Is driehoek XYZ gelijkzijdig ls X = Het ewijs vn die eigenshp vind je in je oefenoek: oef ONTROL 5 Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M Is driehoek STU gelijkenig ls S = 70 en T = 55 Verklr Oefeningen ereken telkens de ontrekende grootten vn de hoeken in de gelijkenige driehoek F. e hoek is de tophoek. Mk eerst een shets. F Weer Meer igenshppen vn driehoeken 0

51 M7 e sishoeken in een gelijkenige driehoek (vervolg) Weer Meer 880 ereken de hoeken in de gelijkenige driehoek met ls top. = Mk eerst een shets. Los de oefening op met een vergelijking. 5 Juist of fout Verklr telkens en teken een tegenvooreeld ij de foute uitsprken. en gelijkenige driehoek kn rehthoekig zijn Weer Meer 89 d en gelijkenige driehoek heeft ltijd drie sherpe hoeken elijkzijdige driehoeken zijn steeds sherphoekig en gelijkenige driehoek is ook gelijkzijdig Weer 88 Meer Teken de gelijkenige driehoek HI die n de volgende voorwrden voldoet. sis H =,8 m I = 8 Mk eerst de nodige erekeningen. 6 onstrueer in een gelijkzijdige driehoek de drie issetries. Wt stel je vst Noem het snijpunt vn de issetries S. ereken de hoeken in driehoek S. Weer 89 Weer 887 Meer 888 ereken V, I en R. Toon je erekening en geef telkens een korte verklring. V 7 is gelijkenig met tophoek. ereken de ontrekende hoekgrootten ls... Meer 89 = 50 = + 0 = _ R I 0 igenshppen vn driehoeken Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn de sishoeken vn een gelijkenige driehoek verwoorden τ de eigenshp vn de hoeken vn een gelijkzijdige driehoek verwoorden 0

52 M8 een uitenhoek vn een driehoek (uitreiding) Op verkenning igenshp een uitenhoek vn een driehoek FINITI en uitenhoek vn een driehoek Teken [ e innenhoek vn de driehoek in het hoekpunt noem je e nevenhoek vn noem je Teken een nevenhoek vn Hoeveel oplossingen he je Wiskundetl definitie en uitenhoek vn een driehoek is een nevenhoek vn een innenhoek vn de driehoek In driehoek is een uitenhoek s en zijn nliggende hoeken en uitenhoek vn een driehoek is even groot ls de som vn de twee niet-nliggende innenhoeken. Oefeningen is een uitenhoek vn = = = 95 Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M. + = 80 8 Teken lle uitenhoeken vn driehoek F. Weer Teken lle uitenhoeken vn driehoek Hoeveel uitenhoeken tel je 9 Hoe groot is de uitenhoek in het hoekpunt ls in de driehoek = 50 en = Toon je erekening. F Meer Weer Meer igenshp vn een uitenhoek vn een driehoek Opdrht Teken een driehoek op een ld ppier Teken een uitenhoek Kleur de hoeken en in de driehoek in een vershillende kleur Knip de driehoek met zijn uitenhoek uit, zols ngegeven op figuur Knip de hoeken en f, zols ngegeven op figuur Leg deze fgeknipte hoeken, netjes nsluitend met de gekleurde hoekpunten tegen elkr op hoek Figuur Figuur Figuur 0 Teken de driehoek KLM die voldoet n de volgende voorwrden. KL = m K = 0 uitenhoek L = 0 Mk eerst de nodige erekening. Weer 906 Meer Wt stel je vst ereken, en ls je weet dt //. Toon je erekening en geef telkens een korte verklring. 7 0 Weer 909 Meer igenshppen vn driehoeken Wt vermoed je en uitenhoek is even groot ls Is er iemnd in de kls die een driehoek kn tekenen wrij dit niet zo is Wt moet je kunnen ττeen uitenhoek vn een driehoek herkennen ττde eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek verwoorden 05

53 M9 onstrutie en lssifitie vn driehoeken Op verkenning d onstrutie vn driehoeken onstrueer een ongelijkenige driehoek met zijden vn m, m en m onstrueer een gelijkenige driehoek F met een sis vn m en opstnde zijden vn m onstrueer een gelijkzijdige driehoek HI met een zijde vn m Overziht lssifitie vn driehoeken op sis vn de symmetriessen en ongelijkenige driehoek heeft geen symmetriessen en gelijkenige driehoek die niet gelijkzijdig is, heeft één symmetries F lssifitie vn driehoeken Teken in de ovenstnde driehoeken lle mogelijke symmetriessen en gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetriessen H Hoeveel symmetriessen heeft de ongelijkenige driehoek Hoeveel symmetriessen heeft de gelijkenige driehoek F I Hoeveel symmetriessen heeft de gelijkzijdige driehoek HI Teken ook in de volgende driehoeken lle mogelijke symmetriessen I Oefeningen onstrueer de gevrgde driehoeken. Weer 95-9 onstrueer een gelijkenige driehoek met een sis vn m en opstnde zijden vn m Meer 9-98 F H K L Q T onstrueer de driehoek met een zijde vn m en drie symmetriessen M P S U R 06 igenshppen vn driehoeken Wt moet je kunnen τ een driehoek onstrueren die n eplde voorwrden voldoet τ driehoeken lssifieren op sis vn het ntl symmetriessen 07

54 Meet in elke driehoek de lengte vn de zijden. 75<0;>< 8-::5.> F HI :785: > ; ; > = = IH = : -> 78 (* + = F + F = I + H = F Vul n. -::.7@>--@ --@ 8:@> --@ -:@> - --@ -@>-@ ;@> >7@ >@>-@ # - 5:7 9;8:. 5:@6/;.9- >-: 8-: 5:@-:: <85 8 <>5: 6-: >9 -: --@ :# - 75<0;>< 9->7 >-@ >--@ : 7;>@ (/ --:0: --@ -@ ; 8-7 -@856:@ 7 >; --@ 7--5 :05 F5 0 -: 08@ >> * QX >@@>$ ZZ > 6-:.8;9@>--@ Op verkenning ďč >;@ 9->7@ = -> 7 -@ <5@ 7-->5 >7@ 9>: :# ;; 7 7 -: -@ ;0 $ > $/;:/5:/, 6F5@: >5 - e ># M0 SMZ S (- 57 >> ) 5 -:@> --@ =885: --@.>08@> -:> -7 :@ >--@ 9->5- <56<85:/@>--@ 5:@9->@:@>--@ ;0-->@<8--@ @ -@.> -: - 8@>--@ > -@ 6-/ ;. 6; >0 # -@ -@ 0 -.;: 0 > 6 7@8@>[email protected] - >.;: 0 -@ 9-> / -87 9/8<85: > - >--@ [email protected]: :@> -@ 9; -. > 8-9 -@ >- F 56 -@ 8;@@ /-> - 5:@# 50@@>@>--@ --@.;->0@ -:/> - -@ ; >- >--@ -@ :-@5; 5 --@ 5;: :-@ # ;; >50 7;>@ $ ; > 8-: > <; @ --@ <-/ --@ -@ -- 9/ 0 5: 98 9 : -:@;; 8--@ -@ <857--:@>--@ >5 >-.00:@>--@ <8 - >: 7 : / --5 <8-: >. :@> >-:0 <;@@ >$ 5/ >@ ;; :: - < 8;; : 9/8@ : >6-: # -: --@ -@ 0> 0 -@ `MP_\M^W : >@ >5>@>- <; 80 /:@> :9-@ 7- =5:@ 8;<;80@> # 0 8-: -@ 8 8< 7-@ -5 -@ -@ F:@>--@ >---:9;:@@>--@ -8 8-:>: 8;<;80@> 9 7.[`MZU_OTQ `UZ 8-:-: ;;@>@>--@ >> 8-95@>--@ --@ 5@> ->9 -@ 5:/ 89 -@ -<<> 7;>@ -@ : /56: > -@ 0>77>56@>--@ 7-99 >7@ F-:0 Het vernd tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uit- 5 > >-85 :0 / >;:# 5> > 9 F 8 <8-9: > Noteer vn driehoek : @>--@ -@ 78->: # de grootste 85@ ) -5 7;. >@ 95> >560 > / ĎĖ de lngste zijde $. -@ ; > : / 9->7@ e lengte vn een zijde is steeds... # 8@> dn de som vn 9->7@ * 5>@>$ --@ de 9 :; 5 > In de driehoek XYZ is... > < 8 de kortste * ( en... <... tussen de grootte vn de hoeken en de 8;9.->0 :;vernd estt >er567een 9 :@, 7 7: 07 >;:0-8@>$ >85 en... < ĎĖlengte vn de zijden 9 :@ onstrueer de driehoek JKL. Welke 9zijde 9 stt grootste hoek 7;<@>--@6 88 JK (, = 8 m 6;0:@>--@ - hoek >:--.;; tegenover de Welke, F zijde stt Ďĕ KL = -:0 -:0>:@ / $ :@ >$, / LM = m -->0 7# -@ Vul n Tegenover de grootste hoek+ligt /:@>--8 @ > --@ 9 5/5 --@ Wt stel je vst 8 780> >56 -: 7; Teken een 56/ <8-90 > 7 >- -@ 5 <8>--: Mrkeer in de driehoek de>kleinste hoek@> -@ 567 >56 -@ :9->7@ 85 : 7kortste zijde Mrkeer in de driehoek de 0 (( 9->7@ 8 -->eide # 9 estt er een vernd tussen :/7 igenshp driehoeksongelijkheid. -@ >5@>- :# 7 #@.->: -@ / -<<->@ 85 ;>@ --8 ><,8 m + 6 m / 7 m In een driehoek is de lengte vn een In driehoek geldt: > @,8 m5-<87 m + 6 m zijde ltijd kleiner dn de som vn de -@ -: :. < + 5 +,8 m 5: eigenshp vernd tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitreiding) 6 m < 7 m lengten vn de + ndere twee zijden. >@>) ;>@ -@ 88@> 9@ 588 < + 0>5 /; -@ 85:@> 8 < --@driehoek grotere In elke ligt tegenover :een een 95 < + 7;>@>:@-8# > grotere zijde en omgekeerd 7 + ;0 80 m --89; m -@ 0 ;;< F:5> 7 m <>7> >--@ :> 7 >;5 > -. ;; 8; 5. 5F7@ > m / -> 8; 80 5F 5 < < -9 6 m >-@ $8<8 > 5,8 m Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M 85 5:@6 ; zijde Welke hoek is de grootste hoek vn de driehoek ONTROL 7 In de driehoek PQR is [QR] de lngste >--@ Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M. 8;<;80<8--@.;> riehoeksongelijkheid 8-@> >@>>@>---@.>;@ -@ > -@ -:8>5 7>;::. 9 >@>-> --@ -@ 9-5-# / 7 / # 5: : >55: () 80 7;:5:@ @>- : 758 H -@ enoem de5grootste hoek vn de driehoeken. 5 :. -@Weer -:#.8-@;>:<85: 85 6-/;.@>-99-9 ;. /; 6@ >@ -@ 8 >9 8 9 : >--@ 50@ =,5 m -: =,8 m e grootste hoek /78 = >- --@ 5 5 5, m 8-9;>@85 > F =,6 m F = 8 m driehoek - F = 7, m e grootste hoek <8 :: 8--@ 9->:5<8@> >@# > --@.> : --@ > 7 5 : ; > HI = m 5:/ I =, m 8@> H e grootste hoek 8 -driehoek HI. ; =, m > > 9 ;:@8 -@ # Vul n en -@ @> In : <...-@+... >5ontrole:... < @ 8 >/;=58-@@ 6; --@ 9 -@ / Wt moet je kunnen (+ / 6 * > 5 ττ de driehoeksongelijkheid tussen de8zijden vn een driehoek verwoorden --@ @ :@>igenshppen 08 vn 80 ->--

55 M ewijs: de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek eigenshp de sishoeken in een gelijkenige driehoek en driehoek is gelijkenig In driehoek geldt: Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur. s de sishoeken even groot zijn = = Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden. STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig en vul n In de eigenshp zie je een duele pijl it etekent eel: = = lees je ls: STP Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten ewijs eel: = = lees je ls: Je ewijst eerst deel (sis) en dn deel (verdieping) L ewijs (deel ) ls een driehoek gelijkenig is, dn zijn de sishoeken even groot egeven: = L eigenshp ls een driehoek gelijkenig is, dn zijn de sishoeken even groot STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen uid het gegeven in het groen n op de figuur Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur Hoe kun je ntonen dt hoeken even groot zijn Te ewijzen: = ewijs: Je het vershillende mogelijkheden. mogelijkheid: Teken de zwrtelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor en geldt: Z = (def. zwrtelijn) Z = (def. gelijkenige driehoek) Z = (gemeenshppelijke zijde) ZZZ ig. overeenkomstige hoeken in ongruente driehoeken = e ndere mogelijkheden om deze eigenshp te ewijzen vind je in het oefenoek: oef. 99. m Welke ijzondere rehte m verdeelt driehoek in twee ongruente driehoeken r zijn vershillende mogelijkheden Noem het snijpunt vn de rehte m met de sis 0 igenshppen vn driehoeken

56 M ewijs: de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek (vervolg) L STP eigenshp ls de sishoeken in een driehoek even groot zijn, dn is de driehoek gelijkenig nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken STP ewijs ewijs (deel ) ls een driehoek even grote sishoeken heeft, is de driehoek gelijkenig egeven: = Te ewijzen: = ewijs: Je het vershillende mogelijkheden. vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Noteer dit in symolen uid het gegeven in het groen n op de figuur v.: Teken de hoogtelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor en geldt: H = (gegeven) H = = 90 (def. hoogtelijn) Z = (gemeensh. zijde) HHZ Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen uid wt ewezen moet worden in het rood n op de figuur ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = ndere mogelijkheden om deze eigenshppen te ewijzen, vind je in het oefenoek: oef Hoe kun je ntonen dt zijden even lng zijn Oefeningen Welke ijzondere rehte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn r zijn vershillende mogelijkheden is gelijkenig met tophoek. [] wordt in drie gelijke delen verdeeld. ewijs dt = F F Weer Meer Noem het snijpunt vn de rehte h met de sis Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten Wt moet je kunnen ττde eigenshp vn de sishoeken vn een gelijkenige driehoek ewijzen igenshppen vn driehoeken

57 M ewijs: de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek (uitreiding) eigenshp een uitenhoek vn een driehoek en uitenhoek vn een driehoek is even groot ls de som vn de twee niet-nliggende innenhoeken is een uitenhoek vn = + Zoek uit deze vergelijking de grootte vn de uitenhoek Is dit wt je moet ewijzen STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig Welke meetkundige elementen komen er in voor STP ewijs STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Onderzoek de eigenshp voor de uitenhoek Je kunt deze eigenshp ntuurlijk ook met een ndere uitenhoek onderzoeken ewijs een uitenhoek vn een driehoek is even groot ls de som vn de twee niet-nliggende innenhoeken vn die driehoek egeven: driehoek uitenhoek Wt is gegeven vrg ntwoord verklring Te ewijzen: = + ewijs: + = 80 (def nevenhoeken) + + = 80 (eig som vn de hoeken in een driehoek) Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen Welke eigenshp ken je l over de som vn de hoeken in Noteer dit in symolen Hoe groot is de som vn en + = + + = + + ig vn een gelijkheid eide leden = + Uitdrukking = uitdrukking Noteer dit in symolen Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek ewijzen igenshppen vn driehoeken 5

58 M ewijs: het vernd tussen de hoeken en de zijden in een driehoek (uitreiding) M ewijs: de driehoeksongelijkheid eigenshp vernd tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd m 0 m 5 6 m < < eigenshp driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte vn een zijde ltijd kleiner dn de som vn de lengten vn de ndere twee zijden In driehoek geldt: < + < + < + 7 m <,8 m + 6 m,8 m < 7 m + 6 m 6 m < 7 m +,8 m 7 m ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek egeven: > Te ewijzen: > ewijs: ls > dn kun je op [] een punt vinden zodt een gelijkenige driehoek is In is = en (eig sishoeken in een gelijkenige driehoek) in is > (eig uitenhoek vn de driehoek = + ) en >,8 m ewijs in een driehoek is de lengte vn een zijde kleiner dn de som vn de lengten vn de ndere twee zijden egeven: F 6 m + = > het geheel is ltijd groter dn het deel Wrom wordt in de eerste stp vn het ewijs gesproken over een gelijkenige driehoek ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde egeven: > Te ewijzen: > ewijs: ewijs uit het ongerijmde Stel dt niet groter is dn n he je twee ndere mogelijkheden: Stel dt =, dn zou gelijkenig zijn en de hoeken en even groot it is in tegensprk met het gegeven Stel dt <, dn zou volgens het eerste deel vn het ewijs < it is in tegensprk met het gegeven r lijft dus mr één mogelijkheid over: > Te ewijzen: < F + F ewijs: Je mkt de som F + F zihtr op de tekening: Je verlengt [F] met [F] zodt F + F = (met F = F ) = (eig sishoeken in gelijkenige driehoek) en > (het geheel is ltijd groter dn het deel wnt = + ) dus is > F + F In ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde: > of F + F > Wrom wordt er in de eerste stp vn het ewijs gesproken over een gelijkenige driehoek F Wt is een ewijs uit het ongerijmde In het ewijs uit het ongerijmde worden drie mogelijkheden ekeken Welke Wt moet je kunnen τ de eigenshp vn het vernd tussen hoeken en zijden in een driehoek ewijzen Wt moet je kunnen τ de driehoeksongelijkheid ewijzen/verklren 6 7

59 Prolemsolving ml knipt uit een vel ppier een driehoek. Twee zijden vn zijn driehoek zijn 6 m en 8 m, de hoek tussen deze zijden is een rehte hoek. Hij gt de driehoek één keer vouwen en kn zo vershillende figuren vormen ijvooreeld: of 6 6 igenshppen vn vierhoeken Welke vn de volgende getllen kn de oppervlkte vn een figuur zijn 9 m m 8 m m e 0 m 8 it kun je l de vershillende enmingen vn de vierhoeken de ongruentiekenmerken vn driehoeken verwoorden hoeken ij evenwijdige rehten en een snijlijn herkennen de eigenshp vn de middelloodlijn verwoorden en driehoek heeft een hoek vn 86. In de driehoek zijn de drie issetries getekend. Hoeveel grden is de hoek met het vrgteken 86 Test jezelf lke vrg heeft mr één juist ntwoord. ontroleer je ntwoord in de orretiesleutel. hter elke vrg stt een verwijzing nr extr oefeningen in je oefenoek of je vdemeum. In welke vierhoek is een digonl getekend Verder oefenen d Vn een driehoek zijn twee zijden elk 7 m lng. e lengte vn de derde zijde is een geheel ntl entimeters. Hoeveel m is de grootste omtrek die zo n driehoek kn heen 5 7 e 8 Uit welke drie gegevens kun je geen ongruentie fleiden In welke tekening zijn de verwisselende innenhoeken ngeduid HZH ZZZ HHH oef. nr. 795 oef. nr. 7 Vn een stomphoekige en een sherphoekige dr iehoek zijn de volgende hoeken gekend: 0, 80, 55 en 0. Hoe groot is de kleinste hoek vn de sherphoekige driehoek In welke tekening ligt het punt op de middelloodlijn vn het lijnstuk XY // // // oef. nr. 8 X Y X Y X Y it he je nodig leerwerkoek p. 9 - oefenoek nr geodriehoek kleurpotloden een groene en rode pen Inhoud M5 igenshppen vn vierhoeken p. 0 M6 lssifitie vn vierhoeken p. M7 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek p. 8 M8 ewijs: de eigenshppen vn de zijden, hoeken en digonlen in een vierhoek p. 0 8 prolemsolving 9

60 M5 igenshppen vn vierhoeken Op verkenning e som vn de hoeken in een vierhoek Teken in elke vierhoek één digonl. FINITI Wiskundetl definitie en trpezium is een vierhoek met minstens één pr evenwijdige zijden. Uit hoeveel driehoeken estt je vierhoek... e som vn de hoeken in een driehoek is gelijk n... e som vn de hoeken vn de twee driehoeken is gelijk n... [] // [] lke vierhoek estt uit driehoeken. Wiskundetl definitie en eigenshppen e som vn de hoeken vn een vierhoek is dus gelijk n... FINITI en prllellogrm is een vierhoek met twee pr evenwijdige zijden. is een prllellogrm. [] // [] en [] // [] igenshp de som vn de hoeken in een vierhoek e som vn de hoeken in een vierhoek is gelijk n 60. is een vierhoek = = 60 INSHP In een prllellogrm: zijn de overstnde zijden even lng; zijn de overstnde hoeken even groot; delen de digonlen elkr middendoor. is een prllellogrm. = en = = en = M = M en M = M M Het ewijs vn deze eigenshp vind je in les M7. igonlen, zijden en hoeken eruik de tekeningen in de tel om de eigenshppen vn vierhoeken te onderzoeken. Zet een kruisje op de juiste plts in de tel. FINITI Wiskundetl definitie en eigenshppen en ruit is een vierhoek met vier even lnge zijden. is een ruit. = = = minstens één pr evenwijdige zijden twee pr evenwijdige zijden INSHP In een ruit: zijn de overstnde zijden evenwijdig; zijn de overstnde hoeken even groot; delen de digonlen elkr middendoor; stn de digonlen loodreht op elkr. is een ruit. // en // = en = M = M en M = M [] [] M is het snijpunt vn de digonlen. M de overstnde zijden zijn even lng Wiskundetl definitie en eigenshppen de overstnde hoeken zijn even groot de vier zijden zijn even lng lle hoeken zijn rehte hoeken de digonlen snijden elkr middendoor de digonlen zijn even lng de digonlen stn loodreht op elkr FINITI INSHP en rehthoek is een vierhoek met vier rehte hoeken. In een rehthoek: zijn de overstnde zijden evenwijdig; zijn de overstnde zijden even lng; zijn de digonlen even lng; delen de digonlen elkr middendoor. is een rehthoek. = = = = 90 is een rehthoek. // en // = en = = M = M = M = M M is het snijpunt vn de digonlen. M 0 igenshppen vn vierhoeken

61 M5 igenshppen vn vierhoeken (vervolg) FINITI Wiskundetl definitie en eigenshppen en vierknt is een vierhoek met vier even lnge zijden en vier rehte hoeken. is een vierknt. = = = = 90 en = = = vierhoek KLMN met M = 60 en K = L = N. K =... L =... N =... vierhoek XYZQ met X = 5 en Y = X en Z = Y. Y =... Z =... Q =... INSHP In een vierknt: zijn de overstnde zijden evenwijdig; zijn de digonlen even lng; delen de digonlen elkr middendoor; stn de digonlen loodreht op elkr. Oefeningen is een vierknt. // en // = M = M en M = M [] [] e ewijzen vn de eigenshppen vind je in les M8 en in het oefenoek: oef M Onderzoek de regelmt ij de som vn de hoeken in een veelhoek. Teken lle digonlen die vertrekken vnuit het hoekpunt. Vul de tel verder n. ntl hoekpunten F H F 977 MR Vn een vierhoek zijn drie hoekgrootten gegeven. ereken de grootte vn de vierde hoek. ntl driehoeken Som vn de hoeken Vul de tel n. Weetje In een regelmtige veelhoek zijn lle hoeken even groot en lle zijden even lng ntl hoekpunten ntl driehoeken wrin de veelhoek kn worden verdeeld som vn de hoeken grootte vn elke hoek in een regelmtige veelhoek 97 MR 97 ereken de hoekgrootten. Toon je erekening F MR ereken de onekende hoekgrootten in vierhoek met // en // en  =00. Mk eerst een shets. =... =... H n 5 ereken de ontrekende hoekgrootten in het trpezium. Verklr MR 98 = Wt moet je kunnen de eigenshppen vn de vierhoeken verwoorden de eigenshppen vn de vierhoeken geruiken igenshppen vn vierhoeken

62 M6 lssifitie vn vierhoeken Op verkenning Volgend shem leidt je nr de meest pssende nm vn een vierhoek. lke mus is een vogel mr niet elke vogel is een mus! eef de meest nuwkeurige enming vn de vierhoeken Is er een pr evenwijdige zijden NN Twee pr nliggende zijden even lng NN vierhoek Noteer de ijfers vn: Weetje en vierhoek wrvn twee pr nliggende zijden even lng zijn, is een vlieger. J vlieger J 5 lle trpeziums:... lle rehthoeken:... lle ruiten:... lle vliegers:... Zijn er twee pr evenwijdige zijden J NN trpezium 6 lle vierhoeken met loodreht op elkr stnde digonlen:... lle vierhoeken met even lnge digonlen:... Zijn lle zijden even lng NN Zijn er vier rehte hoeken J NN prllellogrm 7 J rehthoek Wt is de etekenis vn de pijlen tussen de vierhoeken Wrvoor stt de pijl tussen figuur en figuur 6 Zijn er vier rehte hoeken NN ruit Wrom stt er geen pijl tussen figuur 5 en figuur J Tussen welke twee figuren is de pijl getekend die stt voor de eigenshp vier rehte hoeken Zet de ijfers vn de vierhoeken in de juiste verzmeling. V = de verzmeling vn lle vierhoeken. V T = de verzmeling vn lle trpeziums. P = de verzmeling vn lle prllellogrmmen. T Ru = de verzmeling vn lle ruiten. Re = de verzmeling vn lle rehthoeken. P Ru Vi = de verzmeling vn lle vierknten. vierknt Vi Re igenshppen vn vierhoeken 5

63 M6 lssifitie vn vierhoeken (vervolg) 98 MR 98 Oefeningen 6 Om de deur vn de shtkmer te openen moet je op de juiste vierhoek drukken. Je het ehter mr een stukje vn de figuur meegekregen. Vul de onderstnde tel in en mk dn je keuze eef de meest orrete enming. en prllellogrm met een rehte hoek is een.... en prllellogrm met vier even lnge zijden is een.... en vierhoek met de eigenshppen vn een ruit en vn een rehthoek is een.... d en prllellogrm met even lnge digonlen is een.... e en ruit wrin twee opeenvolgende hoeken even groot zijn, is een MR f en prllellogrm wrvn twee opeenvolgende zijden even lng zijn, is een.... zeker geen de vierhoek wrop je moet drukken is nm vierhoek wrom 9 Symmetrishe vierhoeken. Teken lle symmetriessen in de symmetrishe vierhoeken MR 00-0 misshien een zeker een Vul in met één, twee, drie of vier. lk vierknt heeft symmetries(sen). lke rehthoek heeft ten minste symmetries(sen). 985 MR Wnneer heeft een tovenr zijn toverkrht nodig eef steeds een verklring. e tovenr heeft toverkrht nodig ls hij lle vierknten omzet nr rehthoeken.... lle rehthoeken omzet nr vierknten. lke ruit heeft ten minste symmetries(sen). lke vlieger heeft ten minste symmetries(sen). Wrom wordt 'ten minste' vermeld in ovenstnde uitdrukkingen... lle ruiten omzet nr vierknten. 6 igenshppen vn vierhoeken... d lle vierknten omzet nr ruiten.... Wt moet je kunnen vierhoeken lssifieren op sis vn eigenshppen vn hoeken en zijden vierhoeken lssifieren op sis vn de eigenshppen vn hun digonlen vierhoeken lssifieren op sis vn het ntl symmetriessen 7

64 M7 ewijs: de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek Op verkenning eigenshp e som vn de hoeken in een vierhoek is gelijk n 60 Reken uit. Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je nog zetten STP Verkennen Lees de eigenshp ndhtig. Welke meetkundige elementen komen erin voor STP... Noteer de eigenshp in symolen.... nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken STP ewijs igenshp de som vn de hoeken in een vierhoek is 60 egeven: is een vierhoek. Wt is gegeven Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. vrg ntwoord verklring Welke eigenshp (vn driehoeken) kun je geruiken om deze eigenshp te ewijzen Noteer deze eigenshp in symolen. Teken digonl. Hoeveel driehoeken ontstn er e digonl verdeelt in en en in en. Noteer in symolen de som vn de hoeken voor de twee driehoeken. Hoe groot is de som vn de hoeken vn de twee driehoeken Noteer dit in symolen. Te ewijzen: = 60 ewijs: Teken de digonl. Oefeningen Noem de hoeken die gevormd worden, en en. In geldt: + + = 80 (eig. som vn de hoeken in een driehoek) In geldt: + + = 80 (eig. som vn de hoeken in een driehoek) = = 60 ig. het optellen is ommuttief in q = 60 ig. het optellen is ssoitief in q ( + ) + + ( + ) + = 60 + = en + = = 60 0 ewijs dt de som vn de hoeken in een vijfhoek gelijk is n Mg je de grootte vn de twee delen vn hoek en vn hoek ij elkr optellen Welke eigenshppen vn de optelling he je geruikt Noteer dit in symolen. 8 igenshppen vn vierhoeken Wt moet je kunnen de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek ewijzen 9

65 M8 ewijs: de eigenshppen vn de zijden, hoeken en digonlen in een vierhoek STP Op verkenning eigenshp Vierhoek is een prllellogrm ls en slehts ls de overstnde zijden even lng zijn Verkennen Lees de eigenshp ndhtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor Mk een shets en duid de informtie n. Noteer en kleur de driehoeken wrvn je vermoedt dt ze ongruent zijn, elk in een ndere kleur. Welk ongruentiekenmerk kun je geruiken Noteer de gelijkheden. Is dit wt je moet ewijzen Indien niet, welke stp moet je dn nog zetten Vul n. In de eigenshp zie je de nottie ls en slehts ls. it etekent dt... STP ewijs eel : ls... igenshp ls vierhoek een prllellogrm is dn zijn de overstnde zijden even lng dn... eel : ls... egeven: is een prllellogrm. dn... L STP Je ewijst eerst deel (in het leerwerkoek) en dn deel (in het oefenoek). eigenshp ls vierhoek een prllellogrm is dn zijn de overstnde zijden even lng nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken Te ewijzen: = en = ewijs: Teken de digonl. Noem de hoeken die gevormd worden, en,. Voor en geldt: H = (eig. verwisselende innenhoeken vn // met snijlijn ) Z = (gemeenshppelijke zijde) H = (eig. verwisselende innenhoeken vn // met snijlijn ) Wt is gegeven vrg ntwoord verklring Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. uid wt ewezen moet worden in het rood n op de tekening. HZH ig. overeenkomstige zijden in ongruente driehoeken = en = Het ewijs vn deel vind je in je oefenoek: oef. 0. Hoe kun je ewijzen dt lijnstukken even lng zijn Hoe kun je twee ongruente driehoeken ekomen Teken dit. 0 igenshppen vn vierhoeken

66 M8 ewijs: de eigenshppen vn de zijden, hoeken en digonlen in een vierhoek (vervolg) STP eigenshp ls vierhoek een ruit is, dn stn de digonlen loodreht op elkr Verkennen Lees de eigenshp ndhtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor Wt is de onderlinge ligging vn [] en []... Formuleer de omgekeerde ewering. ls in een vierhoek de digonlen loodreht op elkr stn, dn is deze Noteer dit in symolen.... Is deze ewering een eigenshp... STP ewijs STP nlyseren: vooruitdenken terugdenken een pln mken ewijs in een ruit stn de digonlen loodreht op elkr egeven: is een ruit. vrg ntwoord verklring Wt is gegeven Wt leer je uit de definitie vn een ruit Noteer dit in symolen. uid het gegeven in het groen n op de tekening. Wt moet je ewijzen Noteer dit in symolen. uid wt ewezen moet worden in het rood n op de tekening. Hoe liggen de punten en ten opzihte vn de punten en Op welke rehte liggen de punten en Hoeveel rehten kun je tekenen door twee vershillende punten Te ewijzen: [] [] ewijs: Voor de ruit geldt: = (def. ruit) en = (def. ruit) Oefeningen (eig. vn de middelloodlijn) ligt op de middelloodlijn [] en is de middelloodlijn vn [] [] [] (eig. vn de middelloodlijn) ligt op middelloodlijn vn [] en rehte wordt epld door twee vershillende punten. ef. middelloodlijn ewijs dt in een prllellogrm de overstnde hoeken even groot zijn. r zijn vershillende mogelijkheden. Je kunt deze eigenshp ook met ongruentie ewijzen MR igenshppen vn vierhoeken Wt moet je kunnen de eigenshppen vn vierhoeken ewijzen

67 Prolemsolving In de figuur hiernst is de oppervlkte vn de ruit gelijk n 6 m. Hoe groot is de oppervlkte vn de rehthoek Them's Them Wiskunde, oeiend en fsinerend: is het toveren p. 6 e twee regelmtige zeshoeken zijn even groot. Welk deel vn het prllellogrm is lihtgekleurd _ 6 _ 5 Vn een gelijkzijdige driehoek kun je een trpezium mken door er een hoekje f te snijden. Vervolgens mk je nog zo n even groot trpezium en je legt dit omgekeerd tegen het eerste trpezium n zodt je een prllellogrm ekomt. e omtrek vn dit prllellogrm is 0 m meer dn de omtrek vn de eerste gelijkzijdige driehoek wr je mee egon. Wt is de omtrek vn die gelijkzijdige driehoek _ Them rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde p Kun je niet weten e driehoeken en zijn even groot. en zijn, en zijn. e oppervlkte vn vierhoek F is... keer zo groot ls de oppervlkte vn driehoek. _ F 5 en gelijkzijdige driehoek is verdeeld in een ruit, een kleine gelijkzijdige driehoek en twee trpeziums. e ruit heeft oppervlkte 8, de kleine gelijkzijdige driehoek heeft oppervlkte. Wt is de oppervlkte vn een vn de trpeziums , prolemsolving 5

68 Weetje Them - Wiskunde, oeiend en fsinerend: is het toveren en heel ijzondere verhouding in de meetkunde Over een vierknt, een driehoek, een irkel en een heel ijzondere verhouding In het vierknt zie je een gelijkenige driehoek en drin de ingeshreven irkel. ' Over een driehoek, een driehoek en een heel ijzondere verhouding In de gelijkenige driehoek : = 6. is de issetrie vn. Meet en ereken de verhouding: _ =... Wr zit in de vijfhoek een driehoek verorgen die dezelfde eigenshppen ezit ls driehoek K K'... Meet en ereken in de eerste figuur de verhouding. _ K K =... Meet en ereken in de tweede figuur 'K' _ K''. Wt is het resultt Over een knoop, een ster en een heel ijzondere verhouding Mk een gewone knoop in een reep ppier, trek hem voorzihtig n terwijl je hem plt drukt, en er vershijnt een pentgon. Wt is een synoniem voor het woord pentgon... ' We keren terug in de tijd Rond 00 voor hristus worstelt de riekse wiskundige ulides met een meetkundig proleem. Hoe kun je een lijnstuk in twee delen verdelen zodt de verhouding vn het grootste deel tot het kleinste deel gelijk is n de verhouding vn de som vn de delen tot het grootste deel Hoe lng moeten die twee delen dn zijn (ulides zelf sprk over: een lijn in uiterste en middelste reden verdelen ) Vertl dit proleem in wiskundetl. ulides zoekt een punt S op het lijnstuk zodt: _ = _ ontroleer op [] of het punt S op de juiste plts stt (op 0, m).... S ontroleer opnieuw op [] of het punt S op de juiste plts stt (op 0, m).... S Mk op de figuur het pentgon zihtr. In elk pentgon kun je een vijfpuntige ster tekenen (een pentgrm). Meet en ereken de verhouding: ereken _ S S =... _ S =... Hoe vind je op het lijnstuk de juiste plts voor dit speile punt S In de rehthoekige driehoek : = _. Mk in de driehoek de volgende onstrutie. S _ S =... S epl op het lijnstuk een punt dt het lijnstuk in dezelfde verhouding verdeelt. ulides ws een riekse wiskundige ( 5 v.. 65 v.). Vn zijn leven is niet veel meer ekend dn dt hij onderwees in lexndrië. Toen de koning hem vroeg of er geen eenvoudige ehndeling vn de meetkunde mogelijk ws, ntwoordde ulides: Sire, er is geen koninklijken weg nr de meetkunde. Zijn oek e lementen ehoort tot de mooiste en meest invloedrijke wetenshppelijke werken. e shoonheid ervn ligt in de logishe opouw vn de meetkunde en enkele ndere tkken vn de wiskunde. Het voldoet ook n de door de grote filosoof Plto gestelde eis Wiskundige kennis wordt lleen door denken verkregen en dient losgemkt te worden vn het mteriële. Het oek estt uit delen en egint met een ntl definities zols en punt is dtgene wt geen delen heeft en en lijn is een lengte zonder reedte. Veel vn de meetkunde uit zijn oeken geruiken we nu nog ltijd. Teken een irkeloog met middelpunt en strl. is het snijpunt vn deze oog met de zijde. Teken een irkeloog met middelpunt en strl. S is het snijpunt vn deze oog met de zijde. 6 Them - Wiskunde oeiend en fsinerend: is het toveren 7

69 Them - Wiskunde, oeiend en fsinerend: is het toveren (vervolg) ereken in de onstrutie de volgende verhoudingen. e verhouding tussen de lengten vn de volgende lijnstukken _ S S =... _ S =... Wt stel je vst... Omshrijf in woorden wt je net erekend en getekend het. e ulden Verhouding ontstt ls je een lijnstuk in twee delen verdeelt zodt de verhouding vn het grootste deel (Mjor) tot het kleinste deel (minor) gelijk is n de verhouding vn de som vn de delen (de lengte vn het gehele lijnstuk) tot het grootste deel. S verdeelt [] in de ulden Verhouding mjor S minor Het symool voor de ulden Verhouding is Φ. _ S S = _ S Weetje Φ =,680 en meer nuwkeurige wrde voor de ulden Verhouding is,680. it getl noemt men Phi (uitgesproken ls fie en een letter uit het rieks lfet). Het symool voor Phi is Φ, ter ngedhtenis vn de riekse ouwheer Phidis.» e lengte vn het lijnstuk is... dn de lengte vn het lijnstuk S.» e lengte vn het lijnstuk S is... dn de lengte vn het lijnstuk S. Je mkte zonet een heel elngrijke meetkundige onstrutie! Het punt S verdeelt het lijnstuk in de ulden Verhouding of ulden Snede. Nr dit punt S ws ulides en wren wij op zoek. Wr is Φ ereken in de ovenstnde feeldingen telkens de verhouding tussen de lengten vn het grootste en het kleinste lijnstuk. Lengte vn het grootste lijnstuk Lengte vn het kortste lijnstuk Verhouding vn de lengten Prthenon Mn vn Vitruvius vijfhoek vrouw Wt vlt je op in je erekeningen e verhouding endert telkens het getl: Toevl of niet Leonrdo d Vini en ndere kunstenrs zijn gefsineerd door wiskunde en door Phi. Zij zijn overtuigd dt het egrip shoonheid veel smenhng vertoont met de ulden Snede. ls we iets mooi vinden, zou de ulden Snede erin terug te vinden zijn ens ontroleren in de kls Meet en ereken de verhouding vn je totle lengte tot de fstnd vn je nvel tot de grond. Vergelijk je resultt met dt vn je klsgenoten. enderen jullie lihmsmten de ulden Verhouding Mijn totle lengte =... fstnd vn mijn nvel tot mijn voeten =... Verhouding =... e verhoudingen vn de lihmsmten vn mijn klsgenoten: Phi is overl...! Phi duikt op de meest onverwhte pltsen op. Het lijkt wel of het mgishe eigenshppen ezit Tl vn toepssingen vind je in de rhitetuur. V het Prthenon in thene Het gemiddelde vn deze verhoudingen is... e gulden rehthoek en rehthoek wrvn de zijden de ulden Verhouding heen, noemt men een gulden rehthoek. Sommige kunstenrs noemen de gulden rehthoeken opnieuw de mooiste rehthoeken die er estn. Ook in de shilderkunst vind je Φ vk terug. en mooi vooreeld zie je ij e mn vn Vitruvius vn Leonrdo Vini. Het pentgrm, de vijfpuntige ster, is één vn de oudste heilige symolen ter wereld. In de mgishe wetenshppen vn de Middeleeuwen ws het pentgrm ook een symool dt esherming ood tegen heksen en oze geesten. Spiegeltje, spiegeltje n de wnd Teken een gulden rehthoek. Neem voor de lngste zijde een lengte vn 8 m. ereken de lengte vn de kortste zijde vn deze gulden rehthoek.... Teken heel nuwkeurig de gulden rehthoek. 8 Them - Wiskunde oeiend en fsinerend: is het toveren 9

70 Them - Wiskunde, oeiend en fsinerend: is het toveren (vervolg) en gulden rehthoek is heel speil, hij lijkt wel een toverrehthoek Neem vn de gulden rehthoek een zo groot mogelijk vierknt f en reer dit vierknt. Is de overgeleven rehthoek ook een gulden rehthoek Reken dit n. oe dit nog eens opnieuw. Wt kun je zeggen vn de rehthoek die nu overlijft ls je deze stppen met steeds kleiner wordende rehthoeken lijft herhlen, merk je dt er een spirlvormig ptroon kn ontdekt worden. eze gulden spirl lijkt misshien wel sterk op de nutilusshelp ulden rehthoeken, vierknten en een ijzondere rij vn getllen Kijk nr de figuur: e figuur ontstt door telkens speifieke vierknten n elkr te rijgen. en héél ijzondere getllenrij Vervolledig de rij vn de mtgetllen vn de zijden vn de vierknten uit de vorige opgve Vul de rij n met de drie volgende getllen Hoe ontstn de getllen in deze rij eze ijzondere rij lijkt ook op te duiken ij de studie vn een ijzondere konijnenpopultie. en prtje jonge konijntjes wordt vruhtr n mnden en drn produeert zo n prtje elke mnd een nieuw prtje jonge konijntjes. Stel dt we met prtje jonge konijntjes eginnen, hoeveel konijnenprtjes zijn er dn n,,, mnden In dit verhl gn de konijntjes niet dood. e ste mnden he je lleen mr prtje. rn krijg je steeds de konijntjes die je l hd (dt is het vorige ntl) plus de nieuwe ykonijntjes die georen worden. koppel Je egint ij vierknt, de zijde heeft een mtgetl. n wordt vierknt getekend, vervolgens vierknt, vervolgens vierknt, vervolgens de vierknten 5 en 6. Vervolledig de figuur met vierknt 7. Je vervolledigde de figuur met een vierknt 7 en het eindresultt is een rehthoek. eze rehthoek endert een gulden rehthoek! Verklr. 5 koppel koppels... koppels koppels Vervolledig de tel: ntl mnden ntl konijnenprtjes Noteer de getllenrij vn het ntl konijnenprtjes:... Vervolledig de tel en verklr hoe je de twee ltste ijfers erekende. Nr. vn het vierknt (door jou getekend) 8 (niet getekend) 9 (niet getekend) Je ontdekte zonet een merkwrdige rij vn getllen. e rij vn Fioni is een getllenrij wrin elk getl (ehlve de eerste twee) gelijk is n de som vn de twee voorgnde getllen. Weetje e eroemde rij vn Fioni werd ongeveer 800 jr geleden Mtgetl vn een zijde (fhnkelijk vn het proleem kn deze rij in toepssingen eginnen met de getllen,,,, of 0,,,,, ) ontdekt door Leonrdo Fioni uit Pis in Itlië. 0 Them - Wiskunde oeiend en fsinerend: is het toveren

71 Them - Wiskunde, oeiend en fsinerend: is het toveren (vervolg) Where do you wnt to go tody Nr een idee vn Stéphne urnd,entre de Reherhes Mthémtiques,Université de Montrel. Met dnk n de ndin Mthemtil Soiety en de ssoition Mthémtique du Quée.Foto:Yves ouder it inititief kwm mee tot stnd dnkzij de tieve steun vn de Vlmse minister evoegd voor Wetenshpseleid en mkt deel uit vn het tiepln Wetenshpsinformtie. evoegd voor W etenshpseleid W orld Mthemtil Yer 000 en merkwrdig vernd ereken ver genoeg in de rij de verhouding vn twee opeenvolgende getllen uit de rij vn Fioni: _ =... 55_ = _ 55 =... Herhl deze erekening nog keer. Neem telkens de verhouding vn opeenvolgende getllen in de rij. Wt stel je vst en merkwrdig vernd! e verhouding vn twee opeenvolgende getllen, ver genoeg in de rij vn Fioni is gelijk n Phi of de ulden Verhouding. e Fioni-rij zit vol met eigenrdigheden lke optelsom vn tien opeenvolgende getllen uit de rij is deelr door elf. Proeer dit mr eens uit! ekijk de volgende foto. Wt zie je op de foto... Hoeveel groene spirlen tel je... Hoeveel gele spirlen tel je... Wt vlt je op... en kritishe noot. Je hoeft het heleml niet eens te zijn met de theorie dt de ulden Verhouding en Fioni overl nwezig zijn. Onder meer in het oek e ontstelling vn Pythgors, over de geshiedenis vn de goddelijke proportie vn lert vn der Shoot heeft de uteur toh wel een ndere kijk op het verhl. lijkr estt er ook een Fioni-gediht! it type gedihten is een eetje vergelijkr met de Jpnse hiku s. e lettergreepverdeling in een hiku is geseerd op priemgetllen en heeft 7 lettergrepen. In het Fionigediht is de lettergreepverdeling gelijk n de rij vn Fioni. it etekent meestl zes regels met telkens,,, enz. lettergrepen. Shrijf jouw Fioni-gediht! Fioni is overl Fioni duikt op heel wt pltsen op. Toevl of niet ekijk ndhtig de foto vn een pino. Vul de ontrekende getllen in de tekst n. en otf op een pino estt uit toetsen: witte toetsen en zwrte toetsen. e zwrte toetsen worden opgesplitst in groepjes vn en lleml Fioni-getllen! ekijk de ffihe vn de Vlmse Wiskunde Olym pide vn 000. Wt zie je op de foto Wrom eef een nder woord voor ohten.... Wrom geruikt de Vlmse Wiskunde Olympide deze ffihe denk je......vormen zonneloempitten ohten in de ene rihting en in de ndere Vlmse Wiskunde Olympide Wiskunde. Vn verwondering tot logish inziht. eleef het mee! Kijk lvst op en wedstrijd in smenwerking met de Ktholieke Universiteit Leuven, de Ktholieke Universiteit Leuven mpus Kortrijk, het Limurgs Universitir entrum, de Universiteit ntwerpen, de Universiteit ent, de Vrije Universiteit russel, de Vlmse Vereniging Wiskunde Lerrs, het elgish Wiskundig enootshp, Uitgeverij e Sikkel, Stndrd dutieve Uitgeverij, Rhomus. ron: W etenshp mkt knp en inititief vn de Vlmse minister V.U. Prof. Pul Igodt, Vlmse Wiskunde Olympide v.z.w., tienne Seln 5, 8500 Kortrijk. Them - Wiskunde oeiend en fsinerend: is het toveren

72 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde en erfenisproleem Toms en Teo, twee elgishe kinderen zijn heleml niet zeker of ze lter vn hun ouders een stuk grond zullen krijgen om een huis op te ouwen. In Ugnd, hoewel het lnd niet zo rijk is ls elgië, doen ouders dr heel hrd hun est voor. Jozeph en min uit Nmwendw, een dorpje in Ugnd, heen kinderen, twee zonen en een dohter: nthony, Jons en Mer. en vierde kind, Mrth, is zeer jong gestorven (ongeveer 89 kinderen per 000 sterven voor ze 5 jr zijn). nthony is tot 5 jr nr shool geweest, zijn roer Jons heleml niet. en jr shool lopen kost ongeveer 60 euro. Te veel geld voor deze fmilie! Mer, hun grote zus, is l getrouwd en ehoort nu tot een ndere fmilie (lees: zij krijgt geen grond). Jozeph en min willen heel grg hun twee zonen een stuk grond geven ij hun huwelijk. N hrd werken en spren kopen zij een stuk grond dt de vorm heeft vn een rehthoekig trpezium : = 50 m = 80 m = 0 m. e figuur is een feelding vn de grond op shl _ 000. Omdt eide zonen hun grond moeten kunnen ereiken vnf de weg esluiten ze de sheidingslijn loodreht op de twee evenwijdige zijden [] en [] te trekken en zo de oppervlkte in twee gelijke delen te verdelen. Vder Jozeph stelt ditml voor om de fstnd te verdelen in gelijke delen. weg Kliro - Nmwendw onstrueer de middelloodlijn vn []. Noem T het snijpunt vn de middelloodlijn met [] en U het snijpunt vn de middelloodlijn met [] reer het deel vn zoon (////) en vn zoon (\\\\) op de figuur hieroven Kleur het vershil tussen de twee oppervlktes. Noem het vershil S en ereken S. weg Kliro - Nmwendw e helft vn het vershil moet ik ij de ene weghlen, de helft vn het vershil moet er ij de ndere ijkomen redeneert Jozeph. Kun jij de oppervlkte vn de grond erekenen Noteer eerst de formule.... Jozeph wil de grond eerlijk verdelen tussen zijn twee zonen en stelt hen voor de sheidingslijn te trekken evenwijdig n de grenslijnen [] en [] en hlfweg de punten en. Krijgen Jons en nthony nu elk een even groot deel... ereken het vershil en reer dit op de figuur. Is dit een juiste redenering... Over welke fstnd moet lijnstuk TU evenwijdig (nr rehts) vershoven worden om de oppervlktes gelijk te mken Proeer dit ook op de tekening. enk n wt er geeurt ls TU opshuift. Wt geeurt er met het oppervlk voor zoon (///)... Wt geeurt er intussen met het oppervlk vn zoon (\\\)... ereken wr de juiste sheidingslijn moet komen en teken op de figuur de juiste verdeling vn de grond. Het rehthoekje dt erij moet komen noem je TURP weg Kliro - Nmwendw weg Kliro - Nmwendw Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde 5

73 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde (vervolg) ereken de oppervlkte vn de delen vn eide zonen. Mg je hieruit esluiten welk lnd het rijkst is Wrmee moet je nog rekening houden... d Hoe zou je in de prktijk (d.w.z. op het stuk lnd) de sheidingslijn onstrueren Je het enkel een stuk touw en een stok om de klus te klren. Het inkomen vn een gezin In Ugnd verdien je gemiddeld 00 per jr. In elgië verdien je (ruto) ongeveer per jr. ereken voor eide lnden de verhouding vn de grondprijs t.o.v. je inkomen. Hoeveel h kn een gezin in Ugnd kopen vn jrinkomen n een gezin in elgië Wt kun je esluiten In Ugnd:... In elgië:... Ugnd soort eter/slehter dn elgië. Omirkel je ntwoord. 5 Jons twijfelt en zegt dt de vorm wel een trpezium is, mr dt de hoek in misshien geen rehte hoek is. Hij stelt een ontrole voor: vnuit de hoekpunten en ps je een gelijke fstnd f op de evenwijdige grenslijnen [] en [] en noem je de punten respetievelijk N en L. n ontroleer je of de digonlen vn de ontstne vierhoek even lng zijn. eruikt Jons een juiste methode om te ontroleren of de hoek in een rehte hoek is Verklr. Teken de hndelingen die ze uitvoeren. d e shoolkosten Om een jr nr shool te gn etlt een gezin in Ugnd 60 per kind. Mr in Ugnd heeft men geen mooie shoolgeouwen, niet voldoende of geen omputers. In elgië etlt een gezin (vi de elstingen) ongeveer 5000 per jr per kind. Vergelijk opnieuw het gemiddelde inkomen met de jrlijkse shoolkosten in eide lnden. Wt kun je esluiten In Ugnd:... In elgië:... Hier liggen de verhoudingen ongeveer gelijk, mr een shoolgeouw, de didtishe uitrusting zijn in elgië veel eter. In Ugnd kunnen leerlingen misshien wel spelen op grote voetlvelden en in tuinen met nnsplnten en pssievruhten, mr hun sholen zijn enkel heel elementir uitgerust. en iliotheek, lo's en omputerloklen zijn er meestl niet. e enzinekosten enzine voor uto s kost in Ugnd even veel ls in elgië. uto s, fietsen en lle ndere niet inheemse goederen zijn in Ugnd meestl duurder dn in elgië. ikwijls zijn goederen er ook niet te verkrijgen (denk n wter, elektriiteit, gezondheidszorg, wegen, omputers ) esluit Nu je dit lleml weet, wr lijkt het voor jou het leukste om te wonen Voor welk lnd zou jij kiezen espreek dit met klsgenoten. en wterput oren weg Kliro - Nmwendw 6 e ouders hkken de knoop door en eslissen dt ze de grond zullen verdelen zols in oplossing. Ze zuhten: het wren zuur verdiende enten wrmee ze de grond kohten. Zuur verdiend Lees de volgende proleemstelling. Proleemstelling: is elgië rijker dn Ugnd of is Ugnd rijker dn elgië Vergelijk. e grondprijzen In Ugnd kost de grond ongeveer 00 per hetre. In elgië is dt 00 per m². Hoeveel etl je in elgië per hetre h is m. In elgië etl je per hetre, in Ugnd per hetre. In elgië is de grond ml dn in Ugnd! In Ugnd heeft slehts 50 % vn de evolking toegng tot drinkr wter. e shool Kidiki Prents Seundry Shool heeft een wterput nodig. elukkig worden de mogelijke pltsen wr je een wterput kunt oren opgespoord en doorgegeven. en lndmeter duidt de juiste plts voor het oren vn een put n door een steen in de grond te vernkeren. Hels spoelt in het regenseizoen de steen vn Kidiki weg en moet de werkmn Tmli de plts opnieuw zoeken. Hij telefoneert de lndmeter. ie geeft hem de pltsepling zols lndmeters dt doen. Tmli noteert lles snel op een stukje ppier, mr hels vergeet hij de eerste hoek te noteren die de lndmeter opgeeft. e pltsepling vn de lndmeter luidt ls volgt. Vertrek n het gemeentehuis (punt ) op de weg Kmuli-Nmwendw en kijk nr het oosten. Mk met deze rihting een hoek vn in tegenwijzerzin (deze hoek vergeet Tmli te noteren). in die rihting 00 m verder. Je ent nu in punt P. Vnf punt P g je verder onder een hoek vn 60, gemeten in tegenwijzerzin met het lijnstuk P. Leg 50 m f. Je stt nu in het punt W wr je de wterput kunt oren. Tmli kn de lndmeter niet meer ereiken (elektriiteitspnne) om de eerste hoek opnieuw te vrgen. Het shooljr gt eginnen. e tijd dringt. Help Tmli om de plek te zoeken wr de wterput moet komen. Ugnd soort eter/slehter dn elgië Omirkel je ntwoord. 6 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde 7

74 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde (vervolg) N 00m W O N rinkplts dieren Z oom W O SM mst Z weg Kliro - Nmwendw Tmli noteerde de eerste hoek niet. r zijn dus meerdere mogelijkheden. Volg de nduidingen vn de lndmeter en test die uit door mogelijke hoeken te tekenen. Lt de grootte vn de eerste hoek 0 zijn en teken de plts die erij hoort. Noem het punt (W). Neem voor de grootte vn de eerste hoek 5 en teken de plts die erij hoort. Noem het punt W. Kies voor de grootte vn de eerste hoek 60 en teken de plts die erij hoort. Noem het punt W. Kijk goed nr de vershillen en de overeenkomsten tussen de mogelijkheden die je proeerde. ls je l die mogelijke punten W ekijkt, kun je dn iets zeggen over hun ligging Kun je zeggen wr overl kn geoord worden ids ids Tmli herinnert zih wel nog dt de steen op de verindingslijn tussen de grote oom met de reigers en de gsm-zendmst ligt. Teken de verindingslijn tussen de gsm-mst en de oom. Lokliseer de plts wr Tmli moet oren. eide gidsen eplen met hun ntenne in welke rihting zij gorill eorges moeten zoeken. Volgens gids zit de gorill op 0 in tegenwijzerzin ten opzihte vn het noorden. Teken op ovenstnde figuur de lijn die vnuit de plts vn gids deze rihting (*) ngeeft. Weet gids wr de gorill ext zit Wilde dieren lokliseren en toeristish hoogtepunt in Ugnd is een ezoek n de erggorill s. e zoektoht nr de dieren door het ( ondoordringr ) oerwoud is één groot vontuur. en vn de zilverruggen, eorges, (00 kg wegend mnnetje) drgt een zendertje. y Nn ook. e gids eplt met een ntenne de rihting (*) wrin de dieren zih evinden, hij weet niet op welke fstnd ze zitten. In 006 kon de gids zeggen: in die rihting (*) moeten we zoeken. N een pr jren keert toerist Krel terug en nu weet de gids ovendien te zeggen: de gorill zit op een fstnd vn ongeveer km. Krel denkt n, mr egrijpt niet hoe de gids nu niet lleen de rihting (*) kn eplen, mr ook de fstnd. Tot er een tweede groep toeristen met een tweede gids opdgt. Krel ziet hoe eide gidsen met elkr in verinding stn vi hun gsm. Het wordt hem stiln duidelijk. Krel neemt een pln vn de omgeving en zet zih n het denken. Volg zijn denkptroon mee.... ids meet dt de gorill zih op 0 in wijzerzin ten opzihte vn het noorden evindt. Teken de lijn wrop de gorill te vinden is voor gids. Wr evindt zih de gorill Teken op de figuur. Vertrek nu vnuit een ndere positie voor gids. Stel dt gids zih op de krt m meer nr het noorden evindt. Teken op de krt in welke rihting (*) gids nu de gorill opspoort. Kn een gids de juiste positie vn de gorill s eplen ls hij lleen is (dit etekent: ls hij de plts vn een ndere gids niet kent en ook niet de rihting wrin de ndere gids de gorill meet) Welke informtie moeten de gidsen vi gsm n mekr doorgeven om de exte plts vn de groep gorill s te eplen (*) Zou een professor in de wiskunde hier ook telkens spreken over in die rihting... 8 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde 9

75 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde (vervolg) Register en enefietonert voor Kidiki Je shool orgniseert een enefietonert voor Kidiki Seundry Shool. e geluidsinstlltie vn de shool estt uit enorme grote luidspreker (woofer W) die de lge tonen uitstuurt innen een hoek α (zie figuur). Hogere tonen worden door twee kleinere luidsprekers S en S uitgezonden. Om het geluid optiml te horen: st je est op gelijke fstnd vn de enen vn de hoek wronder de woofer W geluid uitzendt; (voor de hogere tonen) st je est op gelijke fstnd vn de twee kleinere luidsprekers S en S. onstrueer op de figuur op welk pltsje P de orgnistoren voor jou zouden moeten reserveren. Welke strtegie geruik je om dit punt P te onstrueren Strtegie Verklring onstrutie S leerwerkoek pgin nliggende hoeken nziht 6 8 sishoeken 00 issetrie vn een hoek onstrueren 88 innenhoeken 5 innenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn 5, 56 ol uitenhoek driehoek 0 uitenhoeken 5 uitenhoeken n dezelfde knt vn de snijlijn 5, 56 ewijs vn de driehoeksongelijkheid 7 ewijs vn de eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek, ewijs vn de eigenshp vn de issetrie vn een hoek 95, 97 ewijs vn de eigenshp vn de digonlen in een ruit ewijs vn de eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 9, 9 ewijs vn de eigenshp vn de overstnde zijden in een prllellogrm ewijs vn de eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek 7 ewijs vn de eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek 9 ewijs vn de eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek 5 ewijs vn de eigenshp vn overstnde hoeken 6 ewijs vn de eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 67, 69 ewijs vn het vernd tussen de hoeken en zijden in een driehoek 6 Woofer W S 50 Them - rfenissen, wterputten, gorill's, een enefietonert en... meetkunde driehoeken onstrueren drieeld drihoek driing driehoeksongelijkheid eigenshp vn de sishoeken in een gelijkenige driehoek 00 eigenshp vn de issetrie vn een hoek 88 eigenshp vn de middelloodlijn vn een lijnstuk 86 eigenshp vn de som vn de hoeken in een driehoek 58 eigenshp vn de som vn de hoeken in een vierhoek 0 eigenshp vn een uitenhoek vn een driehoek 05 eigenshp vn overstnde hoeken 7 eigenshppen prllellogrm eigenshppen rehthoek eigenshppen ruit eigenshppen vn hoeken gevormd door evenwijdige rehten en een snijlijn 55, 56 eigenshppen vierknt F formule volume ol formule volume kegel formule volume pirmide grensvlk 8 I isometrish perspetief 9 K kegel M middelloodlijn vn een lijnstuk onstrueren 87 N α leerwerkoek pgin vlièreperspetief entrum vn een driing lssifitie driehoeken lssifitie vierhoeken omplementire hoeken ongruente driehoeken ongruente figuren ongruente veelhoeken ntuurlijk perspetief nevenhoeken 0 6 O overeenkomstige hoeken overeenkomstige zijden overstnde hoeken overstnde zijden 5, , P prllellogrm pirmide puntspiegeling 0 register 5