K4 Relativiteitstheorie

Transcriptie

1 K4 Reltiviteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen bsisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 De golflengte vn rdiostrling is groter dn die vn liht. b Uit λ f volgt dt de frequentie vn de fotonen vn rdiostrling lger is dn die vn de fotonen vn liht en uit E f h f volgt dt de energie vn de fotonen vn rdiostrling ook lger is dn die vn de fotonen vn liht. f λ in E f h f geeft E f h λ 6, , ,3 0 9 J In het linker digrm zie je dt de bl op 0 m fstnd vn Thoms (vertile lijn) is op 0,75 s en in het rehter digrm zie je dt de bl en Thoms op 0,75 s op gelijke fstnd vn Vinent zijn (de lijnen snijden elkr). b In het linker digrm zie je dt Vinent op 0 m fstnd vn Thoms is op,0 s en in het rehter digrm zie je dt Thoms op 0 m fstnd vn Vinent (vertile lijn) is op,0 s. Jouw referentiesysteem beweegt met je mee, dus ben jij zelf op elk moment op x 0 in je eigen referentiesysteem. b Op het moment vn psseren ben je met je fiets preies bij de stilstnde wrnemer, dus is voor de wrnemer op het trottoir in zijn referentiesysteem ook x 0 op het moment vn gooien. J, in beide systemen loopt de tijd even snel, dus is het tijdstip vn vngen voor beide wrnemers gelijk. d De wrnemer ziet de bl voorbijkomen met een horizontle snelheid vn 4,0 m/s terwijl de bl met een snelheid vn 3,0 m/s omhoog wordt gegooid. De totle snelheid vn de e f bl is dus groter dn 4,0 m/s. De beginsnelheid vn de bl voor de wrnemer is te berekenen met de stelling vn Pythgors: v 4, ,0 2 5,0 m/s. Door jou: door de wrnemer: 4 Vnuit het referentiesysteem vn de fles zie je de boot vn de fles f verwijderen met een snelheid vn,5 m/s gedurende 5 minuten. Vervolgens zie je de boot nr de fles toe komen met dezelfde snelheid vn,5 m/s, dus duurt het weer 5 minuten voordt de boot terug bij de fles is. In totl is de fles dn 0 minuten fgedreven vn de brug en in die tijd 300 m stroomfwrts gerkt. De stroomsnelheid vn de rivier is dus v 300 0,5 m s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin vn 25

2 5 6 3, % 0,07 % b Lihtjr en lihtseonde zijn llebei fstnden. ls m s v t 0% 60 6 m 6 ls 7 Om reht over te steken moet Joop een zijwrtse snelheidsomponent vn,0 m/s hebben, zie figuur. De omponent loodreht op de rivier is dn v oversteek,5 2,0 2,2 m/s t 89 s,5 minuut. s 00 v,2 8 v shijnbre wind 6,9 m/s b α 2 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 2 vn 25

3 K4.2 LICHTSNELHEID EN ETHER 9 [W] Interferentie 0 [W] Experiment vn Fizeu Eigen ntwoord vn de leerling 2 Wr of niet wr? Niet wr: De lihtsnelheid is fhnkelijk vn het medium. b Niet wr: Alle elektromgnetishe strling gt met de lihtsnelheid. Niet wr: De lihtsnelheid is niet fhnkelijk vn de snelheid vn de bron of de wrnemer, dus de wrnemer in het ruimteship meet gewoon de lihtsnelheid. 3 Als de lihtsnelheid vst stt en de eenheid vn tijd wijzigt door het nuwkeuriger beplen vn de frequentie, zl de eenheid vn lengte ook ngepst moeten worden omdt nders de lihtsnelheid niet dezelfde wrde kn blijven. 4 Het duurt 22 minuten voor het liht om twee keer de fstnd rde-zon te overbruggen. De snelheid vn het liht werd lter door Huygens berekend op km/s, dus d v t 2, ,97 0 m r 2 d,5 0 m. 5 Lihtstrl gt twee keer met de stroom mee terwijl lihtstrl 2 twee keer tegen de stroom in beweegt, dus werd verwht dt rondgng sneller zou zijn. 6 Met behulp vn de grote dritfels ws het eenvoudig om de hele opstelling te drien zodt de rihting vn de etherwind door de opstelling zou vernderen. b In de bk met kwik zou de opstelling vrijwel zonder wrijving met onstnte snelheid kunnen ronddrien. Bij gebruik vn wieltjes zou de zwre opstelling veel wrijving ondervinden en de snelheid moeilijker onstnt gehouden kunnen worden. 7 Als de spiegel over een hoek α is gedrid, is de hoek vn invl voor de lihtstrl die terugkomt vn punt P ook over een hoek α gedrid en dus is de hoek vn terugktsing ook α groter geworden en drmee is het hoekvershil tussen de lihtstrl die nr Q gt en de oorspronkelijk invllende lihtstrl die vn D komt gelijk n 2α. b Alleen ls de ronddriende spiegel in een beplde stnd stt, zodnig dt de in spiegel A weerktste lihtstrl ergens op de ronde spiegel B vlt zl er een lihtstrl worden teruggektst op spiegel A en is er een lihtpunt te zien in punt Q. Als spiegel A bijvoorbeeld met de hterknt nr D is geriht kn er geen lihtstrl worden weerktst en is er niets te zien in punt Q. De tijd die het liht doet om de fstnd tussen M en spiegel B heen en weer f te leggen blijft steeds hetzelfde en dus drit de spiegel steeds evenveel verder in die tijd zodt α steeds gelijk is en drmee ook de plts Q wr de lihtstrl tereht komt. d Als de rottiesnelheid vn het spiegeltje toeneemt is de spiegel verder gedrid in de tijd wrin het liht vn spiegel A nr spiegel B en terug reist en dus is α dn groter. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 3 vn 25

4 8 De tijd wrin het liht vn spiegel A nr spiegel B reist en terug is t 2r. In deze tijd drit de spiegel over een hoek α. De spiegel drit 360 in T seonden, dus in t seonden drit de spiegel α t T 2r 360 α T Vul t 2r 2r in deze formule in: α T Als de reistijd een geheel ntl keer de periodetijd lnger is vershilt de weglengte een geheel ntl golflengtes en zullen de golven in fse lopen en elkr versterken. b Bij verzwkking moet het weglengtevershil een oneven ntl keer de hlve golflengte zijn en dus moet de reistijd een oneven ntl keer de hlve periodetijd vn de lihtgolven zijn. Bij een stroomsnelheid 0 zou de reistijd gelijk moeten zijn. Door nu de stroomsnelheid geleidelijk toe te lten nemen zou de reistijd bij iedere gemeten versterking een hele periodetijd lnger zijn. d Mihelson en Morley konden wel vststellen hoeveel keer de periodetijd vn het gebruikte liht het onderlinge vershil in reistijd is door tijdens de driing over 90 het ntl keren te tellen dt er versterking optreedt. Elke keer dt er versterking optreedt neemt de reistijd met periodetijd toe. Gebruik de formule die bij vrg 8 is fgeleid met α 0,740 0,370 en T ,0039 s. Dit geeft 2, ,370 0, m/s. b Uit de tndwielverhouding en de drisnelheid vn het ngedreven tndwiel is te berekenen hoe snel de spiegel drit. De hoek α is te berekenen met tn β MD QD wrbij α β. Als MD groot is, zl QD 2 ook groot zijn en zl de reltieve fleesfout vn QD klein zijn. 2 De snelheid vn de wtertxi ten opzihte vn de knt is op de heenweg mr 2 3,0 9 m/s terwijl die op de terugweg 2 + 3,0 5 m/s is. b Heenweg: t s, s en terugweg: t, s, dus duurt de v 9 5 totle reis 267 s. Bij stilstnd wter zou de totle reis t 2, s duren en dt is korter dn bij stromend wter. Zie figuur, v oversteek,6 m/s 2 d t s v 2,5 03,6 258 s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 4 vn 25

5 e f,5 km heen en terug in de stroomrihting duurt lnger dn,5 km heen en weer dwrs op de stroomrihting. In het experiment vn Mihelson en Morley zou het liht meegesleept worden met de ether. De ether drit mee met de rde zodt er een soort etherwind ontstt. Het liht dt heen en weer beweegt in de rihting vn de etherwind zou er lnger over doen dn het liht dt dwrs op de etherwind beweegt. 22 De rde drit in één jr rond de zon, dus v 2π r T opgve vermeld). 2π, ,0 04 m/s 30 km/s (en niet 4,8 km/s zols in de b De rde drit in één dg om zijn s, dus v omtrek is minder dn 0,5 km/s. T 4, m/s en dt De verwhte etherwind is 0,5 km/s en dt is 0, % 0,0002% vn de 3,0 08 lihtsnelheid (en niet 0,002% zols in de opgve vermeld). d De periodetijd is te berekenen met behulp vn λ T λ 6, ,0 T 3, s e f (en niet,0 0-5 s zols in de opgve vermeld). Met behulp vn een soortgelijke berekening ls in opgve 2 en een drisnelheid vn de rde vn 30 km/s is te berekenen dt het verwhte tijdvershil tussen beide wegen 3, ,7 0 6 s is (en niet 9, 0 9 s zols in de opgve vermeld). Dt is t 3,7 0 6 T 2, ,8 keer de periodetijd vn het gebruikte liht. Als de opstelling 90 wordt gedrid is het lsof S en S2 verwisseld worden. Het tijdvershil zou dn vernderen vn t (t t 2 ) nr (t 2 t ) t. Een vershuiving vn +Δt nr Δt is een vershuiving vn 2 Δt. Dus zouden ze de lihtsterkte 2x zo vk zien vernderen vn liht nr donker ls bij vrg e berekend. g De lihtintensiteit zou dn 2 0,8 0,36 periode vernderen bij een driing over 90. Dt is moeilijk te zien en drom is een hoge nuwkeurigheid vn opstelling en meetmethode nodig. 23 [W] Bepling vn de lihtsnelheid door Fizeu en nderen 24 [W] Lihtsnelheid beplen in een mgnetron K4.3 TIJDREK EN LENGTEKRIMP 25 Wr of niet wr? Niet wr: De beweging vn de rde om de zon is geen eenprig rehtlijnige beweging dus is dit geen inertilsysteem. b Wr Niet wr: Er is een krht nodig om de stelliet in zijn bn te houden, dus is een stelliet geen inertilsysteem. d Niet wr: Tijddilttie wordt lleen gemeten in een nder referentiesysteem. e Niet wr: In zijn eigen referentiesysteem zl de pols vn de stronut hetzelfde blijven. f Niet wr: Een stronut in een ruimtevrtuig dt met grote snelheid lngs de rde vliegt ziet een fgepltte rde. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 5 vn 25

6 26 27 De lihtsnelheid heeft voor Ankie en Bernrd dezelfde wrde. b De snelheid vn een elektron heeft voor Ankie een ndere wrde dn voor Bernrd. Het getl vn Avogrdo heeft voor Ankie en Bernrd dezelfde wrde. Je meet de snelheid vn een voorwerp ltijd ten opzihte vn een referentiesysteem. Ten opzihte vn een nder referentiesysteem zl je een ndere snelheid meten. b Zowel ls je stilstt ls wnneer je met een eenprige snelheid beweegt is de nettokrht nul op je, dus kun je het vershil niet voelen Bij een vertile lihtklok beweegt een lihtflits in de rihting loodreht op de rihting wrin het systeem wrin die lihtklok is gepltst beweegt. b Met tijddilttie wordt bedoeld dt voor een wrnemer in een bepld referentiesysteem lle proessen lngzmer lijken te lopen in een nder referentiesysteem dt zih met grote snelheid beweegt ten opzihte vn het referentiesysteem vn de wrnemer. Om tijddilttie te kunnen meten moet je experimenten doen met snelheden in de buurt vn de lihtsnelheid en die zijn niet gemkkelijk te doen. d Alleen ls de lihtsnelheid in beide inertilsystemen gelijk is en dezelfde ntuurwetten gelden in beide systemen zl dit gevolgen kunnen hebben voor de tijd en de fstnd. Bij een horizontle lihtklok beweegt een lihtflits in dezelfde rihting ls het systeem wrin de lihtklok is gepltst. b Met lengteontrtie wordt bedoeld dt voor een wrnemer in een bepld referentiesysteem de lengtes kleiner lijken in een nder referentiesysteem dt zih met grote snelheid ten opzihte vn de wrnemer beweegt. Lengteontrtie is te meten n het vervl muonen. De muonen die hoog in de dmpkring ontstn zouden llng lleml vervllen zijn op het moment dt ze de rde bereiken, mr toh blijken ze de rde te bereiken. Dit komt omdt de fstnd tot de rde voor de muonen kleiner lijkt dn voor een wrnemer op rde. Tijdens hun reis vn 0 km wordt het ntl muonen blijft dn ( 2 )5,5 00 % 0,0027 % vn de muonen over. 5,5 x gehlveerd. Er 0 b,0 km 0 Elke 660 m hlveert het ntl muonen dus n,0 km is meer dn de helft vn de muonen vervllen. d N 0 km in de dmpkring zou er volgens de klssieke theorie vrijwel geen enkel muon meer over zijn, mr toh bereiken veel muonen het rdoppervlk. Dit is te verklren door de tijddilttie voor de muonen. 3 Eigen ntwoord vn de leerling 32 De snelheid vn de jodiumkernen komt in de buurt vn de lihtsnelheid, dus zl er voor de jodiumkernen sprke zijn vn tijddilttie en is de hlveringstijd vn de jodiumkernen groter. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 6 vn 25

7 33 Voor wrnemer B loopt de klok gewoon goed, mr voor wrnemer A lijkt het of de klok vn wrnemer B te lngzm loopt. b Hoe groter het onderlinge snelheidsvershil, hoe groter de tijddilttie, dus ls het snelheidsvershil tussen A en C groter is dn tussen B en C loopt voor C de klok vn A lngzmer dn de klok vn B. Als de onderlinge snelheid tussen C en A groter is dn de onderlinge snelheid tussen C en B moet de snelheid vn B tussen die vn A en C in zitten. De onderlinge snelheid tussen A en C is dus groter dn de onderlinge snelheid tussen A en B zodt voor A de klok vn C lngzmer loopt dn de klok vn B. 34 L v2 2 L. Als de snelheid groter is dn de lihtsnelheid, dn is v > en dn zou v2 >. Er komt dn een negtief getl onder het wortelteken te stn en dn is er 2 geen L te berekenen. b t t. Als de snelheid groter is dn de lihtsnelheid, dn is v > en dn v2 2 zou v2 >. Er komt dn een negtief getl onder het wortelteken te stn en dn is er 2 geen t te berekenen. 35 De 00 m lijkt voor jou ook 50 m, dus je vliegt in lengterihting over het veld. L L γ γ 2,0 invullen in γ geeft γ v2 2 2,0 v2 v2 2 0,502 v 2 ( 0,50 2 ) 2 (3,0 0 8 ) 2 ( 0,50 2 ) 2,6 0 8 m/s. 36 b In bewegingsrihting is L v2 2 L (30 03 ) ,274 07, ,94 m, dt is, m. Loodreht op bewegingsrihting vindt er geen lengteontrtie plts dus is de dimeter gewoon, m. 37 L 0 m in L γ L geeft 0 γ 5 γ,5 v2 2,5 v 2 (,5 ) (3,0 08 ) 2 (,5 ) 2,2 08 m/s. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 7 vn 25

8 38 v 0,50 γ v2 2 (0,50 )2 2 0,50 2,55 t 20 s t γ t, s,4 0 2 s De muonen kunnen niet sneller dn de lihtsnelheid gn. Stel nu dt v s v t t /2 3, , ,6 0 2 m 0,66 km. b Als de muonen met de lihtsnelheid zouden gn, dn is t s 9,5 03 3,2 2 3, s. De muonen zullen minder snel gn dus is dit de mximle hlfwrdetijd. t s v /3,6 2,88 03 s 48 min b t s v + s 2 v /3, /3,6 3,0 03 s 50 min De vergelijking met de lihtklok gt niet op wnt het liht kn niet sneller gn op de heenreis en lngzmer op de terugreis. d Volgens eigen wrneming vn de mn op de boot: t s s. v e f Volgens de wrnemer op de knt zijn de loopsnelheden vershillen: 7 m/s en 3 m/s mr de f te leggen weg verndert ook omdt de boot met 2 m/s verder vrt. Dus op de heenweg moet de mn m fleggen en op de terugweg m. De totle tijd is dn: t s + s s. v v De vergelijking met de lihtklok gt hier niet op omdt de mn niet sneller mr juist lngzmer loopt dn dt de boot vrt. In het dgelijks leven kun je de vershillende snelheden gewoon bij elkr optellen of vn elkr fhlen, mr bij de lihtsnelheid kn dit niet. 5 4 r rde 6, m dus de strl vn de grootirkel is R r rde , , , m s 2π R 2π 6, , m. b t s 4,009 07,80 v 800/3,6 05 s 50, h γ, v2 (800 3,6 2 ) t t (γ ) t 0, , s ( 50 ns). 42 Het tijdvershil dt gemeten zou worden is ontzettend klein. Om de kns op een meetfout te minimliseren werden er meerdere klokken gebruikt. 43 R r rde , , , m en T 2 h v 2π R 3,9 0 3 m/s 3,9 km/s b γ v2 2 T 2 π 26, (3,9 03 ) 2 (3,0 0 8 ) 2, ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 8 vn 25

9 N uur is t γ t, , s. De klok loopt dus s 0,4 μs hter. d L L ( ) L ( ) 20,2 γ, ,0202 m e De fstnd (L) tot de stelliet is groter dn km, dus is de fout ook groter. Zie figuur. K4.4 RUIMTETIJDDIAGRAM EN GELIJKTIJDIGHEID 44 Wr of niet wr? Wr b Niet wr: In een ruimtetijddigrm betekent een beweging in de negtieve ruimte dt het voorwerp in negtieve rihting beweegt. Niet wr: ls is ongeveer 300 miljoen meter. d Wr e Niet wr: In een ruimtetijddigrm is de eenheid vn ruimte de lihtseonde en de eenheid vn tijd de seonde. 45 In een ruimtetijddigrm stt lngs de vertile s de tijd. b De tijd kn lleen mr vooruit gn dus in een ruimtetijddigrm kn een wereldlijn niet vn boven nr beneden lopen (wel vn beneden nr boven). d e Het lihtsignl legt in s een fstnd vn ls f, dus is de helling vn de wereldlijn vn het lihtsignl preies en de hoek Bij de horizontle s hoort de plts (in ls). b Omdt er met heel grote snelheden gewerkt wordt, zouden er bij een normle shlverdeling lngs de ruimte-s heel grote wrden moeten stn. Bovendien beweegt bij de verdeling vn s en ls per hokje een lihtsignl zih ltijd lngs een digonl in het ruimtetijddigrm. Bij een stilstnde wrnemer hoort een vertile lijn. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 9 vn 25

10 d Een voorwerp met een snelheid vn 0,60 legt een fstnd vn 0,60 ls f in s. De helling vn deze lijn is dn /0,60. Een voorwerp met een snelheid vn 0,80 heeft een helling /0, N de knik loopt de lijn minder stijl, dus neemt de snelheid toe. b N 3 s is een fstnd fgelegd vn ls, dus is de snelheid. 3 N de knik wordt in 3 s een fstnd vn 2 ls fgelegd, dus is de snelheid 2 0,67. 3 d De snelheid vn B is hoger dn de lihtsnelheid en dt kn niet. Gebeurtenis A vindt op 3 s plts en gebeurtenis B op s. b Gebeurtenis A vindt ls vn de oorsprong plts en gebeurtenis B vindt 2 ls vn de oorsprong plts. d J, iemnd kn bij beide gebeurtenissen nwezig zijn geweest wnt A bevindt zih in de lihtkegel vn B. e Teken een lijn door A en B, zie figuur. f De snelheid is nr links dus in negtieve rihting. In 2 s wordt een fstnd vn ls fgelegd, dus is de snelheid v 2. g De lihtkegels vn de gebeurtenissen A en B rken ook de plts wr de wrnemer is, dus de wrnemer in de oorsprong kn deze gebeurtenissen llebei wrnemen ls de wrnemer mr lng genoeg in de oorsprong blijft. h Het liht dt komt vn gebeurtenis B zl op t 3 s bij de wrnemer zijn, dus neemt de wrnemer gebeurtenis B 2 s lter wr. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 0 vn 25

11 49 Zie de rode pijl in de figuur rehts b Zie de bluwe pijl in de figuur rehts Zie de groene pijl in de figuur rehts 50 De lihtsnelheid in het wter is 0,75 dus n 4 s is het lihtsignl 3 ls verpltst. Zie de figuur hieronder. 5 Zie de bluwe lijn in de figuur rehts b Zie de rode lijn in de figuur rehts 52 [W] Afleiding vn de formule voor het optellen vn reltivistishe snelheden 53 Eigen ntwoord vn de leerling 54 Lijn b is de wereldlijn vn Tim. b Lijn e is de tijdlijn vn Tim. Lijn hoort bij een lihtsignl. 55 Wrnemer A zendt een lihtsignl nr wrnemer B, dt wrnemer B onmiddellijk terugktst. Hierdoor weet wrnemer A de fstnd tot wrnemer B. Hiern synhroniseren B en C hun klokken: wrnemer B zendt een lihtsignl nr wrnemer C die het ontvngt op tijdstip tc en meteen stuurt wrnemer C de stnd tc vn zijn klok met een lihtsignl terug nr wrnemer B. Wrnemer B geeft nu zijn tijd tc door n wrnemer C zodt wrnemer C zijn klok bij kn stellen met tc -tc. Tot slot zendt wrnemer B nog een keer een lihtsignl met de stnd vn zijn klok nr wrnemer A. Omdt wrnemer A weet hoe lng dit onderweg ws kn wrnemer A zijn klok ook gelijk zetten met die vn wrnemer B. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin vn 25

12 b Zie figuur 56 Alle punten op de tijdlijn vn Snder vinden voor Snder gelijktijdig plts, dus moet de prse lijn in figuur 4 de ruimte-s vn Snder zijn. b In een rehthoekige driehoek is het lijnstuk dt het hoekpunt vn de rehte hoek verbindt met het midden vn de tegenoverliggende zijde gelijk n de helft vn die zijde. Als we dit toepssen in driehoek OAB betekent dit dt OC AC. Driehoek OAC is dn een gelijkbenige driehoek, dus is COA CAO α, dus is de hoek tussen de wereldlijn vn een lihtsignl en de ruimte-s even groot ls de hoek tussen de wereldlijn vn een lihtsignl en de tijd-s. Zie onderstnde figuur (figuur 37). Elke tijdsduur in het systeem vn Snder is een ftor γ groter dn gerekend in het systeem vn Yvonne. De zijde vn een ruit vn de shlverdeling vn het systeem vn Snder is dus een ftor γ lnger dn de overeenkomstige zijde vn een rehthoek vn het systeem vn Yvonne. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 2 vn 25

13 57 Voor Snder lijkt het of Yvonne nr hteren beweegt, dus beweegt Yvonne met dezelfde snelheid in de negtieve ruimte-rihting. De wereldlijn en de tijdlijn vn Yvonne zijn dn de in de tijd-s gespiegelde wereldlijn en tijdlijn vn Snder. b Nu is elke tijdsduur in het systeem vn Yvonne een ftor γ groter dn gerekend in het systeem vn Snder, dus is een zijde vn een ruit vn de shlverdeling vn het systeem vn Yvonne een ftor γ lnger dn de overeenkomstige zijde vn een rehthoek vn het systeem vn Snder De drie stippen bevinden zih op dezelfde tijdlijn vn het systeem vn het ruimteship, dus vinden deze 3 gebeurtenissen gelijktijdig plts. b De helling vn de wereldlijn vn het ruimteship is preies 2x zo steil ls die vn de lihtflits (het ruimteship legt ls f in 2 s), dus is de snelheid vn het ruimteship de helft vn de lihtsnelheid. Als het projetiel zih rehts vn de wereldlijn vn de lihtflits zou bevinden, zou de snelheid vn het projetiel groter zijn dn de lihtsnelheid en dt is onmogelijk. De lihtflits heeft er 44 s over gedn, dus 22 s heen en 22 s terug. Het ruimtesttion P is 22 ls verwijderd vn ruimtesttion Q. Dt is 22 3, ,6 0 9 m. b Toen de klok in Q 2.30 uur ngf, hd de klok in P ook 2.30 uur n moeten geven, mr deze gf 2.22 uur n. De klok in P moet dus 8 s vooruit gezet worden. 60 Ev legt ls f in 3 s, dus v 3. b Zie de figuur rehts Zie de figuur rehts d De volgorde wrin Ev de gebeurtenissen ziet is A C B. e γ f v ( 3 ) ,06. Aflezen t B 2,0 s t B γ t B,06 2,0 2, s. Aflezen t C,7 s t C γ t C,06,7,8 s. Spiegel eerst de wereldlijnen vn figuur 44 in de tijds en verwissel de nmen. In het systeem vn Ev is t B 2, s, teken een tijdlijn vnf dit punt, het snijpunt met de wereldlijn vn Bert geeft punt B. Punt C ligt op de tijdlijn vn Ev op,8 s. De fstnd tot het systeem vn Ev is 4 γ,06 4 3,8 ls. Zie de figuur rehts. 6 Voor Yvonne vindt N plts op 2,4 s en F op 3,0 s dus is Fenn n Nor de kmer in gekomen zodt Nor het geld gestolen kn hebben voordt Fenn de kmer in kwm. b Volgens de tijdlijn vn Snder is Fenn eerder in de kmer dn Nor dus kn Nor het geld niet gestolen hebben voordt Fenn de kmer in kwm. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 3 vn 25

14 d De gebeurtenissen N en F liggen buiten elkrs lihtkegel dus kn Nor het geld niet vn Fenn gestolen hebben. e Als Nor de mogelijkheid hd om het geld vn Fenn te stelen, zou F binnen de voorwrtse lihtkegel vn N moeten liggen. 62 b d ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 4 vn 25

15 63 γ b v2 2,25 dus in het referentiesysteem vn Pollux zit er,25 s 0,602 tussen twee opeenvolgende lihtflitsen vn Cstor. d In het systeem vn Cstor zit er 3,2,6,6 s tussen twee ontvngen bluwe lihtsignlen bij Pollux. In het systeem vn Pollux is dt γ,6,25,6 2,0 s. e Zie de figuur hieronder f In het systeem vn Cstor zitten er 8,0 4,0 4,0 s tussen de twee ontvngen groene lihtsignlen. 64 De snelheid vn het ruimteship is 0,50 dus γ v2 2 0, ,5. b Lees het tijdstip bij A in het systeem vn het ruimtesttion f op de vertile s: t A 3,0 s. Gebruik de gmmftor om dit tijdstip om te rekenen nr het systeem vn het ruimteship: t A γ t A,5 3,0 3,5 s. Zie de figuur rehts d Bepl het snijpunt vn de getekende tijdlijn met de vertile s. Het tijdstip dt bij punt B in het ruimtesttion hoort is t B 4,5 s. Voor het ruimteship is dt t B γ t B,5 4,5 5,2 s. e De fstnd voor het ruimteship is te berekenen met x C x C 4,0 3,5 ls. γ,5 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 5 vn 25

16 65 De wereldlijnen vn wrnemer A en B lopen evenwijdig n elkr. Ze bewegen dus met dezelfde snelheid en hun onderlinge fstnd is onstnt. b Op t 0 s is A bij C en B op een fstnd vn 3,0 ls, dus is hun onderlinge fstnd 3,0 ls. De wrnemers leggen,0 ls f in 3,0 s dus hun snelheid is v 3, ,0 0 8 m/s. d γ e 9 v2 2 ( 3 )2 8,06. In het systeem vn C is de fstnd AB 3,0 ls. Dt is in het systeem vn A en B: γ AB,06 3,0 3,2 ls. Zie de figuur hieronder f Aflezen t B 3,0 s t B γ t B,06 3,0 3,2 s 66 De wrnemer legt 3 ls f in 5 s, dus is de snelheid v 3 5 γ v ( 3 )2 5 6,25. b t 2,0 s en t γ t geeft t t 2,0,6 s γ,25 d ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 6 vn 25

17 e Voor de wereldlijnen in het stilstnde systeem vindt er lengteontrtie plts, dus ls x 2,0 ls, dn is dt op de ruimte-s vn het stilstnde systeem x x 2,0,6 ls. γ,25 67 Voor het projetiel in voorwrtse rihting is u 0,60 en v 0,50 w u+v + u v (0,60+0,50) 0, ,60 0,50 Voor het projetiel in hterwrtse rihting is u 0,60 en v 0,50 w u+v + u v (0,60 0,50) 0,4. 2 0,60 0,50 b Teken eerst de tijd-s en ruimte-s vn het ruimteship en de wereldlijn vn een lihtflits. Teken vnf een punt op de tijd-s vn het ruimteship een tijdlijn en meet hierlngs de fstnd tot de wereldlijn vn de lihtflits. De snelheid vn het projetiel is 0,5 ten opzihte vn het ruimteship, dus nu kun je beplen wr op de tijdlijn het projetiel is. Bij de voorwrtse lnering bevindt dit punt zih rehts vn het ruimteship (zie de linker figuur) en bij de hterwrtse lnering bevindt dit punt zih links vn het ruimteship (zie rehter figuur). De snelheid bij voorwrtse lnering is 7,0 lnering is de snelheid,0 7, 8,2 0,4. 0,85 en bij hterwrse 68 Dit is wel mogelijk: de ouders zijn minder verouderd dn hun kinderen en wel zo veel minder dt het leeftijdsvershil dt n het begin vn de reis bestond (meer dn) teniet gedn is. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 7 vn 25

18 69 Nee, dt kn niet. De tweelingprdox stt toe dt het verouderen lngzmer loopt, het is niet toegestn om terug in de tijd te gn. K4.5 NIETS SNELLER DAN HET LICHT 70 Wr of niet wr? Niet wr: Protonen kunnen niet hrder dn de lihtsnelheid gn. Bij ndering vn de lihtsnelheid neemt de mss vn de protonen sterk toe. b Niet wr: In een deeltjesversneller nemen de snelheid en de mss vn de deeltjes toe. Niet wr: De rustmss vn een proton is, u. d Wr 7 Bij gebruik vn een weegshl stt het voorwerp (vrijwel) stil dus bepl je dn de rustmss vn het voorwerp. b In het dgelijks leven zijn de snelheden vn voorwerpen erg klein ten opzihte vn de lihtsnelheid en is de mss vrijwel gelijk n de rustmss vn het voorwerp. De rustmss vn het elektron is bekend en zijn snelheid kun je meten. Met behulp vn de gmmftor is vervolgens de mss vn het reltivistish elektron te berekenen wnt m γ m In wter gt het liht lngzmer dn in vuüm dus kunnen deze deeltjes in het wter sneller gn dn het liht zonder in tegensprk te zijn met de theorie vn Einstein. 73 Zie de figuur rehts b Zie de figuur rehts Zie de figuur rehts d Zie de figuur rehts e f Zie de figuur rehts v AB 0,95 AC g v DE 0,95 DF h De snelheid wrmee RS zih verwijdert vn RS2 is gelijk n de snelheid wrmee RS2 zih vn RS verwijdert. 74 [W] Afleiding vn de formule voor de onderlinge snelheid vn reltivistish bewegende deeltjes 75 Eigen ntwoord vn de leerling ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 8 vn 25

19 76 F mpz m v2, dus door r te vernderen kun je de benodigde middelpuntzoekende r krht npssen. b Om de benodigde middelpuntzoekende krht te verkleinen moet r groter gemkt worden. 77 Als de ene ster nr je toe drit, drit de ndere ster vn je f en ls de snelheid wrmee de ster nr je toe drit groter is dn de snelheid wrmee de dubbelster vn je f beweegt zie je een bluwvershuiving vn deze ster en een roodvershuiving vn de ster die vn je f beweegt. b Een verre dubbelster beweegt sneller vn je f, dus zie je in plts vn een bluwvershuiving en een roodvershuiving twee vershillende roodvershuivingen. Omdt de periodetijd vn de twee sterren gelijk is, is de periode vn de twee roodvershuivingen ook gelijk. Als de sterren in een vlk loodreht op de zihtlijn bewegen drien de sterren niet steeds nr je toe en vn je f, dus zie je geen flutuerende roodvershuiving mr lleen mr een onstnte roodvershuiving die veroorzkt wordt doordt de dubbelster zih vn je verwijdert met een beplde snelheid. d Als de dubbelster ver weg stt zijn de twee fzonderlijke sterren niet te ondersheiden en omdt er geen flutuerende roodvershuiving is te zien is de dubbelster dr ook niet n te herkennen. 78 γ v2 0, ,67 en vn een proton is m 0, kg en E 0 938,27 MeV m γ m 0,67, , kg en E γ E 0,67 938,27 0 6,6 0 9 ev. 79 E m 2 8, (3,0 0 8 ) 2 7,2 0 0 J γ m 8, ,78 en γ v2 m 0, v2 2 γ 2 2 v γ 2 3,0 08 4,78 2 2,9 08 m/s. 80 Vn een proton is E MeV E γ E 0, MeV. Dus er moet E E MeV worden toegevoegd. 8 γ + 2 v ,02,005 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 9 vn 25

20 b γ werkelijk v2 2 0, ,00504 De fwijking is,00504,005 00% 0,004%.,00504 E γ m 0 2 ( + v2 2 2) m 0 2 m m 2 0 v 2 d Voor niet-reltivistishe snelheden geldt: E totl m 2 + E k m 2 + m v2 2 wrbij m de rustmss m 0 is dus dit komt overeen met de bij vrg fgeleide formule u 0,6 en v 0,6 geeft w u+v + u v (0,6+0,6) 0, ,6 2 b J, er is ommunitie mogelijk tussen de stellieten wnt de onderlinge snelheid is kleiner dn de lihtsnelheid. Voor een elektron en een positron is E 0 0,5 MeV dus is er voor de retie vn een elektron-positron-pr een foton nodig met een energie vn 2 0,5,02 MeV, J nodig. b Uit Bins, tbel 9B volgt dt strling met een energie vn,0 MeV behoort tot de zhte gmmstrling. 84 Oriënttie: Uit het gegeven dt de het liht er 8 minuten over doet om de rde te bereiken is de fstnd tussen de zon en de rde te berekenen. Deze fstnd is ook de strl vn het boloppervlk (4π R 2 ) wrover de energie vn de zon zih verdeelt, dus hiermee is de totle uitgestrlde energie vn de zon per seonde te berekenen. Met de formule vn Einstein (E m 2 ) is deze energie om te rekenen nr mss. Uitwerking: R De uitgestrlde energie per seonde is nu: E, π R 2, π (480 ) 2 4, Omgerekend nr mss: m E 2 4, 09 kg. 85 E 0 0,5 MeV (zie Bins tbel 7) b γ 0,0 0,995 2 E γ E 0 0,0 0,5 5, MeV v2 2 E k E E 0 5, 0,5 4,6 MeV d γ 5,8 0,998 E γ E 2 0 5,8 0,5 8, MeV v2 2 E k E E 0 8, 0,5 7,6 MeV 86 m < 2 ev 2 2,6 0 9 (3,0 0 8 ) 2 3, kg 87 v s t 2,5 Mlj 4 Gj 2,5 06 3, m/s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 20 vn 25

21 b De snelheid is 0,007% vn de lihtsnelheid dus kn de klssieke benderingsformule voor het dopplereffet gebruikt worden: v λ λ λ v 2 05 λ ,4 nm. De Andromednevel beweegt nr ons toe dus de golflengte vn de wterstoflijn vershuift nr het bluw: λ 656 0,4 655,6 nm. 88 [W] Reltivistishe effeten bij versnellers en mogelijke oplossingen K4.6 AFSLUITING 89 Eigen ntwoord vn de leerling 90 Mihelson en Morley deden hun experiment om n te gn of de lihtsnelheid misshien fhing vn de rihting wrin liht loopt. Dit bleek niet zo te zijn en dus bleek het bestn vn de ether niet n te tonen. b Volgens Einstein heeft de lihtsnelheid een bsolute wrde. Een referentiesysteem is een ssenstelsel ten opzihte wrvn bewegingen worden beshreven. d Inertilsystemen zijn referentiesystemen die onderling eenprig rehtlijnig bewegen. e In een s,t-digrm wordt de tijd stndrd op de horizontle s gepltst, in een f ruimtetijddigrm geeft de horizontle s de ruimte (plts) weer en de vertile s de tijd. Bij twee inertilsystemen die ten opzihte vn elkr bewegen is er sprke vn lengteontrtie: voor een wrnemer in het ene systeem zijn lle lengtes in het ndere systeem in de bewegingsrihting korter. Een experimentele bevestiging hiervoor is de onverwht lnge hlfwrdetijd vn muonen in de dmpkring. Voor de muonen is de fstnd tot het rdoppervlk veel kleiner ls gezien door een wrnemer op rde. g Bij twee inertilsystemen die ten opzihte vn elkr bewegen is er sprke vn tijddilttie: voor een wrnemer in het ene systeem loopt de klok in het ndere systeem trger. Ook hier is de verklring vn de onverwht lnge hlfwrdetijd vn muonen in de dmpkring vn de rde een bevestiging vn het bestn vn tijddilttie. Voor een wrnemer op rde loopt de klok in het systeem vn de muonen tien of meer keer zo lngzm ls de klokken op rde. In 97 is tijddilttie ook ngetoond door Keting en Hfele die een pr toomklokken pltsten in een strlvliegtuig dt een rondje om de rde vloog. N terugkomst bleken de toomklokken in het vliegtuig hter te lopen ten opzihte vn de toomklokken die op rde wren gebleven. h Voor het optellen vn reltivistishe snelheden geldt de volgende formule: w u+v + u v 2. Hierin is v de onderlinge snelheid vn beide inertilsystemen, u de snelheid vn een voorwerp in het ene systeem, w de snelheid vn dit voorwerp gezien door een wrnemer in het ndere systeem en de lihtsnelheid (lles in m/s). i Een ndere mnier is het optellen vn de snelheden met behulp vn een ruimtetijddigrm, zie hiervoor voorbeeld 0 op bldzijde 35 vn het ktern. Met snelheden zijn reltief wordt bedoeld dt snelheden ltijd worden gemeten ten opzihte vn een referentiestelsel. Meting ten opzihte vn een nder referentiestelsel kn een ndere snelheid opleveren. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 2 vn 25

22 j De klssieke mnier vn snelheden optellen is: w u + v. Hierin is v de onderlinge snelheid vn beide voorwerpen, u de snelheid vn het ene voorwerp en w de snelheid vn het ndere voorwerp gezien door een wrnemer in het ndere systeem (lles in m/s). k J, de tijddilttie die een ndere wrnemer wrneemt geldt voor lle proessen. l Voor de persoon zelf loopt de klok volkomen norml en dus ook zijn hrtslg. m In de reltiviteitstheorie wordt vk met grote snelheden gewerkt. Om te vermijden dt er lngs de ruimte-s heel grote wrden moeten stn en om de lihtsnelheid ook visueel onstnt te lten zijn gebruiken we bij de horizontle s de lihtseonde (ls) ls eenheid in plts vn de meter. n Een gebeurtenis hoort bij één plts en één tijdstip, het is dus een punt in een ruimtetijddigrm. o Een wereldlijn is de lijn in een ruimtetijddigrm die hoort bij een eenprig rehtlijnig bewegend voorwerp (een rehte lijn shuin omhoog). p Op een tijdlijn in een ruimtetijddigrm vinden lle gebeurtenissen op hetzelfde tijdstip plts. q De ruimte-s is een tijdlijn die door de oorsprong loopt. Alle tijdlijnen vn een inertilsysteem lopen evenwijdig n elkr dus lopen de tijdlijnen ook evenwijdig n de ruimte-s. r s Gebeurtenissen die op dezelfde tijd gebeuren voor een beplde wrnemer moeten op de tijdlijn liggen vn deze wrnemer, wnt op deze lijn vinden lle gebeurtenissen op hetzelfde tijdstip plts. Bekijk een ruimtetijddigrm (bijvoorbeeld figuur 37) vn wrnemer met drin een ruimte- en tijds vn een tweede wrnemer die met een beplde snelheid beweegt ten opzihte vn wrnemer. Hierin mken de ruimte- en tijds vn wrnemer 2 llebei dezelfde hoek met de ssen vn wrnemer, én met de wereldlijn vn een lihtsignl, dus is de wereldlijn vn een lihtsignl in beide oördintenstelsels de bissetrie. t Bij een onstnte krht op een voorwerp zl de snelheid in het begin gelijkmtig toenemen, mr zodr de snelheid in de buurt vn de lihtsnelheid komt blijkt niet lleen de snelheid mr ook de mss vn het voorwerp toe te nemen. Het voorwerp krijgt dn een grotere trgheid en is drdoor moeilijker te versnellen en dus zl de snelheid dn steeds minder snel toenemen. u Equivlentie vn mss en energie betekent dt mss en energie in elkr om te zetten zijn. Je kunt mss in energie omrekenen met de formule vn Einstein: E m 2. v De rustmss m 0 is de mss die een voorwerp heeft ls het voorwerp geen snelheid heeft. Bij grote snelheden neemt de mss vn een voorwerp toe met de gmmftor volgens m γ m 0. Je noemt deze mss m de reltivistishe mss. w J, in wter is de snelheid vn het liht 75% vn de lihtsnelheid in vuüm, dus dn is het mogelijk dt een deeltje sneller gt dn het liht in dt wter. x Uit de steilheid vn een wereldlijn is de snelheid vn het voorwerp ten opzihte vn het referentiesysteem f te leiden, dus ls meerdere wereldlijnen evenwijdig lopen zullen deze dezelfde snelheid ten opzihte vn het referentiesysteem hebben. y In een ruimtetijddigrm stt op de horizontle s niet de fstnd in meters, mr in lihtseonde (de fstnd die het liht flegt in s). Om de fstnd in meters te krijgen zou je de fgelezen wrde met de lihtsnelheid moeten vermenigvuldigen. De mteriële snelheid die je in een ruimtetijddigrm beplt is dus een snelheid uitgedrukt in verhouding tot de lihtsnelheid. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 22 vn 25

23 9 De gent en de uto zijn twee inertilsystemen die zih met een beplde snelheid ten opzihte vn elkr bewegen en dn treden er reltivistishe effeten op. b De snelheid die de gent meet is de snelheid in het inertilsysteem vn de gent, terwijl de snelheidsmeter in de uto de snelheid in het inertilsysteem vn de uto weergeeft. De snelheid vn de uto is ongeveer 00 km/h, dt is 28 m/s, dus γ v (3,0 0 8 ) 2, d Het reltivistish effet is veel kleiner dn een pr km/h t s ,7 v 0,995 3, s b n t t 2 6, , n 2 30,5 0 9 x verzwkt d γ 0,0 0,995 2 e f v2 2 t γ t 2 2 0,0 2,2 22 μs n t 6, ,0 t n 2 3,0 8,0x verzwkt 2 w u+v + u v (5/8+0,50) 0,86 2 +(5/8) 0,50 b Zie de figuur hieronder. AB AC 5 8 De snelheid vn de bluwe lijn is in het referentiestelsel w 6 0, w u+v + u v ( ) b De snelheid vn de vluhtuto is 3 4 zullen ze ontsnppen ,7 7 6 dus gn de boeven sneller dn de kogel en ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 23 vn 25

24 Als de politie met ten opzihte vn de grond gt, zl de grond met ten 2 2 opzihte vn de politie gn. Op deze mnier zijn lle snelheden in het vk linksonder te beplen. Voor de tweede rij (ten opzihte vn de politie) geldt: De snelheid vn de grond ten opzihte vn de politie is en de snelheid vn de boeven ten opzihte vn de 2 dus is de snelheid vn de boeven ten opzihte vn de politie: grond is 3 4 w u+v + u v ( ) , Voor de derde rij (ten opzihte vn de boeven) geldt: De snelheid vn de grond ten opzihte vn de boeven is 0,75 en de snelheid vn de kogel ten opzihte vn de grond is 0,7, dus is de snelheid vn de kogel ten opzihte vn de boeven: w u+v + u v 2 ( ) , snelheid vn grond politie boeven kogel ontsnppen de boeven? ten opzihte vn grond j politie j boeven j kogel j 95 Zie de figuur hieronder ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 24 vn 25

25 96 De rde lijkt pltter door de lengteontrtie. L γ L γ L L 0,8 5,3 2,04. γ v2 v2 2 γ 2 v γ2 2,042 0, r m v r B e v 0, , ,5 0 8 m/s B e m 9, 0 3 b v 2,7 0 8 m/s γ 2,3 m γ m 0 2,3 9, 0 3 2, 0 30 kg v2 2,72 3,0 2 2 d E m 2 2, 0 30 (3,0 0 8 ) 2,9 0 3 J,2 MeV e E k 2 m v2 2 2, 0 30 (2,7 0 8 ) 2 7,6 0 4 J 0,48 MeV E k 0,48 + 0,08 0,56 MeV ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pgin 25 vn 25