Eindexamen vwo wiskunde B pilot I

Transcriptie

1 Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - -

2 nfhnkelijk vn Voor elke wrde vn ( 0 ) figuur is een functie f gegeven door f ( ) ( ) e. In figuur zijn de grfieken vn f en f 6 weergegeven. f Voor elke wrde vn ( 0 ) heeft de grfiek vn f een punt P met een horizontle rklijn. 5p Toon n dt l deze punten P op één lijn liggen. De grfiek vn f snijdt de -s in punt (,0) en de -s in punt B (0,). Zie figuur. f 6 figuur B f De grfiek vn f verdeelt driehoek B in twee delen. 5p Toon n dt de verhouding vn de oppervlkten vn deze twee delen onfhnkelijk is vn. www. - -

3 Het stndrd proefgls Bij het proeven vn wijn kn de vorm vn het gls ongewenste effecten geven. Zo zl de wijn er in een breed gls donkerder uitzien dn in een sml gls. De breedte vn het gls heeft ook invloed op de geur vn de wijn. Drom is voor het proeven vn wijn een stndrd proefgls ontwikkeld: het IS Stndrd Wine Tsting Glss. De eisen die n dit stndrd proefgls worden gesteld, zijn vstgelegd in een IS-rpport. n de hnd vn de gegevens in dit rpport heeft een technisch tekenr een model vn het stndrd proefgls getekend. Een zijnzicht vn dit model zie je in figuur. figuur m dit model te mken heeft de tekenr drie wiskundige functies gebruikt. De bijbehorende grfieken beschrijven de buitenknt vn het gls. Door deze grfieken om de -s te wentelen, ontstt een model vn het stndrd proefgls. In figuur zijn de drie grfieken en hun spiegelbeelden in de -s getekend. figuur 40 (0,0; 3,5) C(87,5; 3,5) 0 D(55,0; 3,0) B(55,3; 4,5) ,45 Kromme B is de grfiek vn de functie f met f( ) 4,5 8,0 e op het domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f () en in mm. Door kromme B te wentelen om de -s ontstn de buitenknt vn de voet en de steel vn het wijngls. De voet en de steel zijn mssief. 4p 3 Bereken het volume vn de voet en de steel smen. Rond je ntwoord f op een geheel ntl cm 3. www

4 m CD te tekenen wordt een bergprbool gebruikt met C ls top. 5p 4 Stel een formule op voor kromme CD. figuur 3 In figuur 3 zijn opnieuw de drie grfieken en hun spiegelbeelden in P C(87,5; 3,5) de -s getekend. Voor het proeven vn wijn wordt een gls bij voorkeur met 50 ml wijn B(55,3; 4,5) V gevuld. Drom wil de tekenr in figuur 3 het punt ngeven tot wr het stndrd proefgls gevuld moet worden om 50 ml wijn te bevtten. Dit punt P ligt op kromme BC. Kromme BC is de grfiek vn de functie g met g ( ) op het domein [55,3; 87,5]; hierbij zijn g() en in mm. In figuur 3 is het vlkdeel V grijs gemkt dt wordt begrensd door de verticle lijnen door B en door P, de -s en kromme BP. ls V wordt gewenteld om de -s, heeft het omwentelingslichm dus een inhoud die overeenkomt met 50 ml. Hierbij wordt de dikte vn het gls verwrloosd. 6p 5 Bereken met behulp vn primitiveren de -coördint vn P. Rond je ntwoord f op een geheel getl. www

5 Lijn en cirkel Gegeven is de cirkel met middelpunt M (, 0) en strl. De niet-verticle lijn k gt door het punt P (0, 4), rkt de cirkel in het punt Q en snijdt de positieve -s in het punt S. Zie figuur. figuur P k Q M S 6p 6 Bereken ect de -coördint vn S. De lijn m met vergelijking p met p 0 snijdt de cirkel behlve in in een punt, zodnig dt 3. Zie figuur. figuur m M 8p 7 Bereken ect de wrde vn p. www

6 Tussen twee sinusgrfieken De functies f en g zijn gegeven door f ( ) sin en g ( ) sin( π). In figuur zijn de grfieken vn f en g getekend op het domein [0, π]. De grfieken vn f en g snijden elkr op dit domein bij in het punt en bij 4 in het punt B. Zie figuur. figuur 3 π 3 π 3 g V f - B V is het vlkdeel dt tussen en B wordt ingesloten door de grfieken vn f en g. 4p 8 Bereken met behulp vn primitiveren de oppervlkte vn V.. In figuur zijn de grfieken vn f, g en h getekend op het domein [0, π]. De functie h is gegeven door h ( ) f( ) g ( ) figuur g h f - B 4p 9 Bereken ecte wrden vn en b zo dt f g sin( b). ( ) ( ) te herleiden is tot www

7 Drie vierknten in een rechthoek In een rechthoek vn 0 bij 30 liggen drie vierknten: linksonder, B rechtsonder en C rechtsboven. Vn elk vierknt vlt een vn de hoekpunten smen met een vn de hoekpunten vn de rechthoek. en B liggen tegen elkr n, en B en C ook. Het deel vn de rechthoek dt niet bedekt is door de vierknten noemen we D. Zie figuur. figuur D C 0 B 30 ls de lengte vn de zijde vn vierknt gekozen is, liggen de fmetingen vn de delen B, C en D vst. In figuur is, bij een keuze vn 3 voor de zijde vn vierknt, vn elk deel de oppervlkte ngegeven. figuur Er is een lengte vn de zijde vn vierknt wrvoor de oppervlkte vn D miml is. 9p 0 Bereken ect deze lengte. www

8 Lus Een punt beweegt in het -vlk volgens de bewegingsvergelijkingen t () t t () tt ( ) Hierin is t de tijd. De bn vn het punt heeft de vorm vn een lus. Het punt bevindt zich op de tijdstippen t en t in de oorsprong. In heeft de bn vn het punt twee rklijnen. Het bewegende punt psseert chtereenvolgens twee punten en B wr de rklijn n de bn evenwijdig is met één vn de rklijnen in. Zie de figuur. figuur B De benodigde tijd om vn nr te bewegen, de benodigde tijd om vn nr B te bewegen en de benodigde tijd om vn B nr te bewegen, zijn lle drie even lng. 6p Toon dit n. Lijn door perfortie De functie b b ( ) b f b met b en b. Voor elke wrde vn b 0 heeft de grfiek vn f b een perfortie. 7p Bereken ect de wrde(n) vn b wrvoor deze perfortie op de lijn met vergelijking 4 ligt. www

9 Verschoven plten p de foto s hieronder zie je een kunstwerk vn de Friese kunstenr Ids Willemsm bij het voormlige rbeidsbureu in Heerenveen. foto foto Het kunstwerk bestt uit een ntl nst elkr gepltste ijzeren plten vn gelijke lengte. De voorste plt op foto stt verticl op de grond tegen een muurtje. De stnd vn de volgende plten is ontstn door zo n plt eerst verticl tegen het muurtje te pltsen en drn de onderknt over de grond te verschuiven in de richting loodrecht op het muurtje. De plten steunen steeds op de bovenknt vn het muurtje. m te voorkomen dt voorbijgngers zich stoten n het kunstwerk, willen we weten hoe ver de bovenknt vn een verschoven plt miml in horizontle richting kn uitsteken. In deze opgve kijken we nr een model met één plt met lengte 80 cm die steeds schuiner tegen een muurtje met hoogte 35 cm komt te stn. In dit model wordt de plt voorgesteld door een lijnstuk PQ. Zie de figuur op de volgende bldzijde. Het punt wr PQ op de bovenrnd vn het muurtje steunt, noemen we. We brengen een ssenstelsel n met de -s horizontl door P en de -s verticl door. Lngs beide ssen nemen we ls eenheid cm. De coördinten vn zijn dus (0, 35). www

10 In de verticle beginstnd vn PQ bevindt punt P zich in de oorsprong en is Q het punt (0, 80). Punt P wordt over de -s nr links geschoven, terwijl lijnstuk PQ door punt blijft gn. In de figuur zijn de beginstnd, een tussenstnd en de eindstnd vn lijnstuk PQ getekend. figuur beginstnd Q tussenstnd eindstnd 80 Q =P P 35 p q Q P 80 Q= 35 De loodrechte projectie vn Q op de -s noemen we Q'. De fstnd vn P tot de oorsprong noemen we p en de fstnd vn Q' tot de oorsprong noemen we q. Zie de figuur. Uitgnde vn de getekende tussenstnd kn q, met behulp vn gelijke verhoudingen in gelijkvormige driehoeken, ls volgt worden uitgedrukt in p: 80p q p p 5 4p 3 Toon n dt deze formule juist is. ls we q beschouwen ls functie vn p, dn geldt voor de fgeleide: q' ( p) ( p 5) p 5 4p 4 Toon dit n. 6p 5 Bereken ect het mimum vn q. www