Bijlage 2 Gelijkvormigheid

Transcriptie

1 ijlge Gelijkvormigheid

2 eze bijlge hoort bij het hoofdstuk e krcht vn vectoren juli 0 Opgven gemrkeerd met kunnen worden overgeslgen. Uitgve juli 0 olofon 0 ctwo uteurs d Goddijn, Leon vn den roek, olf vn den Hombergh Met medewerking vn Josephine uskes, Richrd erends, Sieb Kemme, ick Klingens Illustrties Op dit werk zijn de beplingen vn retive ommons vn toepssing. Iedere gebruiker is vrij het mterilen voor eigen, niet-commerciële doeleinden n te pssen. e rechten blijven n ctwo. ijlge Gelijkvormigheid

3 Gelijkvormigheid Twee figuren zijn gelijkvormig ls de ene figuur een vergroting is vn de ndere, eventueel n spiegeling. (Een verkleining is een vergroting met fctor tussen 0 en.) e twee driehoeken en PQR hieronder zijn gelijkvormig. P R We noteren dt zó: QPR. We spreken f dt we de volgorde vn de hoekpunten in deze nottie zó nemen dt corresponderende hoekpunten op corresponderende pltsen stn. Hier: correspondeert met Q, correspondeert met P, correspondeert met R. Q 6 Q P Gegeven driehoek met zijden, en, verder een lijnstuk PQ met lengte 6 cm.. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. b. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. c. Teken een driehoek PQR zó, dt PQR. ereken de lengte vn de zijden PR en QR. b α γ c β Nottie In driehoek noteren we: de zijde tegenover hoek met, de zijde tegenover hoek met b, de zijde tegenover hoek met c, de hoek met hoekpunt met α, de hoek met hoekpunt met β en de hoek met hoekpunt met γ. Gelijkvormigheid

4 ls PQR, dn is de vergrotingsfctor p. Mr ook b q en c r, dus p q r = =. b c In de onderbouw heb je gezien dt twee driehoeken gelijkvormig zijn ls de hoeken vn de ene driehoek even groot zijn ls de corresponderende hoeken vn de ndere driehoek. it geldt niet voor vierhoeken. Lt dt met een voorbeeld zien. In het volgende lten we zien dt je verhoudingen nders kunt schrijven. We gn net ls in hoofdstuk op twee mnieren te werk: én lgebrïsch én meetkundig. Een rechthoek wordt door een digonl verdeeld in twee stukken met gelijke oppervlkte. Gebruik dit om n te tonen dt de twee grijze rechthoeken gelijke oppervlkte hebben. In het pltje hieronder is een horizontle hlve lijn h en een verticle hlve lijn v getekend met gemeenschppelijk beginpunt. is een rechthoek met een zijde op h en een zijde op v. v h Neem het pltje over.. Teken drie rechthoeken met een zijde op h en een zijde op v die gelijkvormig zijn met en net ls de verticle zijde korter hebben dn de horizontle zijde. b. Wt merk je op over de hoekpunten rechtsboven vn de rechthoeken? ijlge Gelijkvormigheid

5 ekijk nog eens het pltje vn opgve. e zijden vn de ene witte rechthoek zijn en b, die vn de ndere witte rechthoek c en d.. ruk de oppervlkte vn de grijze rechthoeken in, b, c en d uit. c d b b d b. Er geldt ook: =. Wrom? c b d lijkbr komt de gelijkheid = op hetzelfde neer ls c d = bc. b d oor beide leden vn de gelijkheid = met hetzelfde c getl te vermenigvuldigen kun je dt ook inzien. c. Met welk getl (uitgedrukt in, b, c en d)? b d c d = komt ook op hetzelfde neer ls = c b d. Hoe kun je dt lten zien? lgebrïsch en meetkundig? 6 Veronderstel dt wel of niet-roken niet fhngt vn het feit of iemnd mn of vrouw is. In een enquête werd gevrgd of de persoon mn of vrouw ws en of hij/zij rookte. e resultten stn in de volgende tbel: mn vrouw roker 0 90 niet roker 00 Hierin lees je onder ndere f dt er 0 vn de ondervrgden mnnen zijn die roken.. Welk getl verwcht je op lege plts? b. Geef twee mnieren om dt getl te berekenen. In opgve 6 kun je zeggen: de getllen in de kolommen hebben gelijke verhouding. Je kunt ook zeggen: de getllen in de rijen hebben gelijke verhouding, mn vrouw roker b niet roker c d Gelijkvormigheid

6 e getllen in de kolommen hebben dezelfde verhouding c d betekent: =. b e getllen in de rijen hebben dezelfde verhouding betekent: =. b d c c d b d = = d = bc b c Hierbij zijn, b, c en d getllen 0. c d = vervngen door d = bc noemt men wel: b kruislings vermenigvuldigen. 7 In driehoek geldt: =, = en =. Vn driehoek KLM is gegeven: K=. Verder geldt: KL:=KM:.. Teken driehoek. Neem de cm ls eenheid. b. Gegeven is: KL=. ereken KM en teken driehoek KLM. Geldt: KLM? c. Gegeven is: KL= ereken KM en teken driehoek KLM. Geldt: KLM? riehoek hiernst heeft een rechte hoek in. Voor de zijden: zie figuur. riehoek KLM heeft een rechte hoek in K en KM=6. Verder geldt: KM:=KL:.. ereken de zijden KL en LM. b. Zijn de driehoeken KLM en gelijkvormig? Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls ze twee hoeken even groot hebben; ls ze één hoek even groot hebben en de zijden die die hoek vormen in de ene driehoek dezelfde verhouding hebben ls die zijden in de ndere driehoek. l eerder hebben we opgemerkt: ls KLM, dn k l m = =. it komt op hetzelfde neer ls: b c : b : c = k : l : m ijlge Gelijkvormigheid

7 M l k K m L Gelijkvormigheid KLM = K en = L KLM = K en b:c=l:m b KLM k l m = = : b : c = k : l : m b c c Hoe mk je gelijkvormige driehoeken? Teken een stel evenwijdige lijnen: Teken drover heen twee snijdende lijnen: Je krijgt een ptroon vn gelijkvormige driehoeken t je gelijkvormige driehoeken krijgt, zie je ls volgt. (We herhlen dit uit de onderbouw.) F- en Z-hoeken r r p q p q e lijnen p en q zijn evenwijdig. n zijn de hoeken met het puntje erin gelijk. Gelijkvormigheid

8 P Q Q P Specile gevllen vn gelijkvormigheid Zie het pltje hierboven. Omdt de lijnen PQen evenwijdig zijn, geldt: PQ e figuur rechts noemen we wel zndloper. E 9 Zie pltje. is een rechthoekige driehoek. Hoek E is recht. ereken E. S E 0 Zie pltje. is een rechthoek vn bij. Op ligt E zó, dt E=. Het snijpunt vn E en is S.. ereken S ect. b. G met een berekening n of hoek S recht is. P In het pltje hiernst is gegeven: P:P=:7. r r r Er zijn getllen en b zó, dt p = + b b ereken de getllen en b. O Gegeven twee gelijkvormige driehoeken met zijden, en en, 6 en. y 6 ereken en y. Tip. Er zijn nog twee ndere driehoeken gelijkvormig. Schrijf vervolgens een stelsel vn twee vergelijkingen in en y op, en los dt op. ijlge Gelijkvormigheid 6

9 In een rechthoekige driehoek is een vierknt getekend, zie pltje hiernst. e rechthoekszijden zijn en. ereken de zijde vn het vierknt ect. Gulden rechthoek Een gulden rechthoek heeft de volgende eigenschp. ls je er een vierknt vnf knipt, zie pltje, houd je een rechthoek over die gelijkvormig is met de oorspronkelijke rechthoek. Verhouding vn lengte en breedte in een gulden rechthoek e korte zijde vn de linker rechthoek nemen we en de lnge zijde.. ruk de zijden vn de rechthoek die je overhoudt in uit. b. Toon n: de rechthoek links is een gulden rechthoek =0. c. Los de vergelijking ect op. Hoe groot is de zijde? e lnge zijde vn de rechthoek is dus +, dit noemen we het gulden snede getl. e gulden rechthoek vind je terug in kunst, ntuur en rchitectuur. Men beweert dt deze vorm vn lle rechthoeken de mooiste is. Le orbusier mkte bijvoorbeeld gebruik vn de gulden snede bij het ontwerpen vn gebouwen. e verhouding tussen de zijde en de digonl in een regelmtige vijfhoek Hiernst is een regelmtige vijfhoek getekend met een digonl. e zijde heeft lengte en de digonl lengte. We tekenen er nog twee digonlen bij. Het snijpunt vn de digonlen E en is S. Gelijkvormigheid 7

10 E S. ruk de zijden vn de driehoeken ES en S in uit. Tip. ES is een ruit. b. Gebruik gelijkvormigheid om een vergelijking voor op te schrijven. c. ereken. e verhouding tussen de digonl en de zijde vn een regelmtige vijfhoek is het gulden snede getl. 6 Voor driehoek geldt: =. Verder ligt er op zijde een punt zó, dt ==.. ereken de hoeken vn driehoek. Tip. Noem =α en druk lle hoeken in de figuur uit in α. b. ereken de verhouding :. Tip. Gebruik gelijkvormigheid. b 7 In driehoek snijdt de bissectrice vn hoek de zijde in. n geldt: :=b:. ewijs dit. Tip. Verleng. Teken door een lijn evenwijdig n lijn. S α δ R β Hiernst stt een vierhoek met zijn digonlen.. Lt zien: ls α=β, dn γ=δ. b. ls α=β, wt merk je dn op over SRQ QPS? γ P Q 9 Vermenigvuldigen, delen en omgekeerde nemen Gegeven drie lijnstukken vn lengte, en b.. Hoe mk je een lijnstuk vn lengte b? Tip. Gebruik een zndloper. b. Hoe mk je een lijnstuk vn lengte b? ijlge Gelijkvormigheid

11 ntwoorden. PR = 6 =, QR = 6 = 7 b. PR = 6 =, QR = 6 0 = c. PR = 6 =, 6, QR = 6 =, t zou bijvoorbeeld betekenen dt lle rechthoeken gelijkvormig zijn. q r u p s t Noem die oppervlktes p, q, r, s, t en u. n: p+q+r=s+t+u, p=s en r=u, dus q=t. b. ie liggen op lijn.. Linksboven: d en rechtsonder bc. b. t is de helling vn de rechthoek linksonder respectievelijk rechtsboven. c. c d. lgebrïsch: ls je beide leden vn de eerste gelijkheid met c vermenigvuldigt en de beide leden vn de tweede vergelijking met b dn krijg je in beide gevllen d=bc. Meetkundig volgt het uit de gelijkvormigheid vn de twee witte rechthoeken b en M b. :=KM:, dus KM= J K L ntwoorden 9

12 c. KM=7 M 7 J K L. KL:=LM:, dus 6:=LM:, dus LM= en KM= 7 b. Nee E 9 = 0 + = 6 en E = = 0 us E=. 0. E = + =. riehoek SE is gelijkvormig met S. us S:ES=:E=:, dus S =. b. = + = en S = = = en S + S = + 6 =, dus j. Of (bijvoorbeeld): de driehoeken E en S hebben hoek hetzelfde en S:=:E, dus E S, dus S= E=90. O Q P Trek de lijn door P evenwijdig O. n is driehoek QP 7 gelijkvormig met driehoek O. us Q = 0 O en dus OQ 0 = O. Trek ook de lijn door P evenwijdig O en noem het snijpunt met O: R. n is 7 us = en b =. 0 0 OR 0 7 = O. Zie pltje. 6 y T e grijze driehoeken zijn gelijkvormig, dus =. Mr dn T T (twee hoeken gelijk). ijlge Gelijkvormigheid 0

13 us: T T = y + = + 7 en T T = dus: y + = en = 7 y. us: y + = 7 7 y + 6, dus y=, en =,. y 7 =, e grijze driehoek is gelijkvormig met de hele driehoek, dus: = = =. en b. e witte rechthoek links is gelijkvormig met de witte rechthoek rechts, dus: = = c. = + of =. Omdt > 0, is = +. E S. //E en E// vnwege symmetrie, dus ES is een prllellogrm, zelfs een ruit. us ES=S= en S=S=. E ES b. = = = 0 S c. Zie de vorige opgve: = + 6. =α, dn =α en =α (buitenhoek vn driehoek. us =α, dn ook =α. Hoekensom in driehoek geeft: α=0, dus α=6. e hoeken zijn dus 7, 7 en 6 grden. b. Stel =, en =, dn ===, dus =. e gelijkvormigheid vn de driehoeken en geeft: =, dus we krijgen weer: =, zie vorige opgve dus de verhouding is: ( ): : = +. Je zou ook kunnen vinden (dt is hetzelfde): : ( ) zie bijlge., ntwoorden

14 b 7 Noem E het snijpunt vn de lijnen en de lijn door evenwijdig met. n zijn de hoeken E en E even groot (Z-hoeken), dus E=b. e gelijkvormigheid vn de driehoeken en E geeft: = E us =. b E S α δ T R β. Zie pltje: STP RTP (twee gelijke hoeken), dus PT:TQ=ST:TR. Omdt ook de hoeken STR en PTQ even groot zijn, zijn dn ook de driehoeken STR en PTQ b. SRQ + SPQ = β + SRP + SPR + γ = α + SRP + SPR + δ = PSR + SRP + SPR = 0. γ P Q 9. Teken een willekeurige driehoek S met S= en S=. Teken op het verlengde vn S bij S zó, dt S=b. e lijn door evenwijdig n snijdt lijn S in X. n heeft SX lengte b; g dt n. b S b. Teken nu op het verlengde vn S bij S, zó dt S = b. e lijn door evenwijdig n snijdt lijn S in X. n heeft SX lengte b ; g dt n. X b S X ijlge Gelijkvormigheid