KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

Transcriptie

1 KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden Oefeningen met oplossingen September 0 C. Biront met medewerking vn D. De Bock, A. Gheysen, A. Leremns en T. Moons

2 Verntwoording Als je hndelswetenschppen studeert, zl je vk geconfronteerd worden met cijfermteril. De geproduceerde hoeveelheid vn een goed, de prijs vn dt goed, de totle, gemiddelde en mrginle kosten, zijn lleml grootheden die met getllen uitgedrukt worden en wrmee gerekend kn worden, m..w. kwntittieve grootheden. In heel wt situties zijn de concrete getlwrden vn die grootheden niet gegeven omdt het vernderlijken (vribelen) of prmeters zijn. In dt gevl worden die grootheden voorgesteld door letters (hoeveelheid: q, prijs: p, ). Om de verbnden tussen die grootheden weer te geven, ontstn uitdrukkingen met letters (die getllen voorstellen). We spreken vn lgebrïsche uitdrukkingen. Om die verbnden verder te nlyseren moet met die lgebrïsche uitdrukkingen gerekend worden. Om dt te kunnen, moet je over lgebrïsche vrdigheden beschikken. In deze tekst herhlen we een ntl bsisregels vn de elementire lgebr. Drn illustreren we het gebruik vn die regels met een ntl voorbeelden. Tot slot geven we opgven (met de eindoplossingen) zodt je zelf kn oefenen. Door die oefeningen te mken leer je de juiste regels vn de lgebr toepssen en verwerf je de lgebrïsche vrdigheden die ls voorkennis voor je studie hndelswetenschppen vereist zijn. We willen beklemtonen dt de lgebrïsche vrdigheden geen doel op zich zijn mr een middel om o.. (bedrijfs)economische en sttistische problemen te nlyseren. De cursussen wiskunde in de opleiding hndelswetenschppen zijn dn ook heleml niet te vergelijken met deze tekst. Ze zijn veel meer op toepssingen gericht. Deze tekst bevt (een deel vn) de noodzkelijke voorkennis. Het woord Algebr is fgeleid vn het Arbisch woord Al-Jbr uit het rond 80 geschreven werk Hisb l-jbr w'l-muqbl vn Abu J'fr Muhmmd ibn Mus l- Khwrizmi. Met elementire lgebr bedoelen we het rekenen met letters en het mnipuleren en oplossen vn vergelijkingen. In de hedendgse wiskunde heeft het woord Algebr een ruimere en bstrctere betekenis gekregen.

3 . Uitwerken vn hkjes en buiten hkjes brengen VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING EN HAAKJES Het TEGENGESTELDE vn een getl verkrijg je door DAT GETAL TE VERMENIGVULDIGEN MET. Een AFTREKKING kn je herleiden tot een OPTELLING, een DELING tot een VERMENIGVULDIGING. : b b b b b b VERMENIGVULDIGINGEN moet je VÓÓR OPTELLINGEN uitvoeren. HAAKJES kunnen die volgorde vernderen. Je moet ze EERST uitwerken wrbij je weer VERMENIGVULDIGINGEN VÓÓR OPTELLINGEN moet uitvoeren. Voorbeelden REKENREGELS Als, b, c en d reële getllen zijn dn geldt: b c d b c d b c d... b c d... In een som vn meerdere termen (gedurige som) mg je om het even wr hkjes invoeren en weglten. b c d c d b... b c d... In een som vn meerdere termen (gedurige som) mg je de volgorde vn de termen om het even hoe wijzigen.

4 Uiteindelijk betekent dit dus: b c d b c d d c b... c d b... In een som vn meerdere termen (gedurige som) mg je de volgorde vn de termen om het even hoe wijzigen en mg je om het even wr hkjes invoeren en weglten. Als, b, c en d reële getllen zijn dn geldt: b c d b c d b c d... b c d... In een product vn meerdere fctoren (gedurig product) mg je om het even wr hkjes invoeren en weglten. b c d c d b... b c d... In een product vn meerdere fctoren (gedurig product) mg je de volgorde vn de fctoren om het even hoe wijzigen. Uiteindelijk betekent dit dus: b c d b c d d c b... c d b... In een product vn meerdere fctoren (gedurig product) mg je de volgorde vn de fctoren om het even hoe wijzigen en mg je om het even wr hkjes invoeren en weglten. Als, b, c en d reële getllen zijn dn geldt ook: Voorbeelden b c b c b c c bc b c d c d b c d c d bc bd b b b b b. 7 b c d 7 b c d b c d 7 b c d 7 b c d b 0b b b b

5 . b b b b b b b b b Prktische regel: ls er een minteken voor een hkje stt mg je de hkjes en dt minteken weglten op voorwrde dt je lle tekens binnen de hkjes verndert c b 5 d 6 c b 5 d 5. 6 c b d 6 c b d b c d 5 b x y 5 b x y 5 b x y 0 6 6b 6x 4y 0 6 6b 6x 4y 9 6 6b 6x 4y Bij meerdere pren hkjes begin je best met het uitwerken vn de binnenste hkjes. 5b 4c 5 b 5 5b b 4c b 4c 8 7b 4c 7. x y 6 58x 5y 7 6x 9y 8 40x 5y 5 6x 40x 9y 5y x 4y 7 8. p s b b p bp s bs 6b p bp s bs 9. In de vorige voorbeelden hebben we telkens hkjes weggewerkt. In veel toepssingen is het net nuttig om zoveel mogelijk fctoren buiten hkjes te pltsen: bc 6c 0bc c b c c 0b c b 0b 4

6 Oefeningen. Werk de hkjes uit en vereenvoudig. () x y z (b) r s s r (c) r s r r s b b (d) (e) b c b c. Plts zoveel mogelijk fctoren buiten hkjes. () 5xyz 5xz 50z (b) pr prst 4prt prs. Vul n door de ngeduide fctor buiten hkjes te brengen, vereenvoudig die fctor en plts indien mogelijk nog meer fctoren buiten hkjes. () 4 b( x y) 4 8b x y z b... (b) y 6z b c y 6z b4y z y z (c) Oplossingen. () x y z 5 p r s t pq r s t r s t r s t (b) 5 (c) 8r 6s 68 (d) 4 b 80 (e) b c c bc. () 5z xy 5x 0 (b) pr 4st 8t s. () b x 8y z (b) y z b c (c) r s t p pq 5

7 . Rekenen met breuken REKENREGELS Als, b, c en d reële getllen zijn (en de getllen in de noemer verschillend vn nul zijn), dn geldt: c b b c b b b Teller en noemer mg je met eenzelfde getl vermenigvuldigen of door eenzelfde getl delen. b b c c c c d c b d bc b d b d d b bd b b c b c b c c c c c Breuken optellen: gelijknmig mken (gelijke noemers) en de tellers optellen. c c c b d b d bd b b b c c c b b b b c c c c b b b b c c c c Breuken vermenigvuldigen: tellers vermenigvuldigen met elkr én noemers vermenigvuldigen met elkr. 6

8 b d d c b c bc d b b c c b c bc c c b b b b c c Delen door een breuk: vermenigvuldig met de omgekeerde breuk Voorbeelden b 5 x z y z b x y y 5x 0z y 5 x z 5x y z 0z x y 5xz 6yz bxy 0xyz. 4. rs 4ps p s s r p r p r r p rs p s rs p s r r p s s p s s r p s r r r r x x x y x y xy x y y y y y y y y y 5. De breuk uit vorig voorbeeld kn eenvoudiger ls volgt berekend worden: x x y xy y y y y y y xy y 7

9 Oefeningen Herleid tot één breuk (met één enkele breukstreep). Vereenvoudig indien mogelijk. Werk de tellers en de noemers uit x y x y z z x y b z x y z b c p 4p x y x y 5 b c d b Oplossingen x x z z x bx y by 6z cx cy z bz x y x y 5 5b bd d bc bd 8

10 . Mchten met gehele exponenten DEFINITIES Als een reëel getl is en n een ntuurlijk getl verschillend vn 0 en geldt: n n fctoren n 0 n ( 0) ( 0) VOLGORDE OPTELLING, VERMENIGVULDIGING, MACHTSVERHEFFING EN HAAKJES MACHTEN hebben VOORRANG op VERMENIGVULDIGINGEN. VERMENIGVULDIGINGEN hebben VOORRANG op OPTELLINGEN. Als er HAAKJES voorkomen, moet je die EERST uitwerken. Voorbeelden is voor gelijk n:

11 REKENREGELS Als en b reële getllen zijn en r en s gehele getllen dn geldt (indien nodig wordt verondersteld dt en/of b verschillend zijn vn 0): Voorbeelden r s r s r s r s r rs rs r r r b b b r r b x y x y y x y 5 5 x x y y x y y x y 6 x y 5 6y 6y x y 6xy x y x x y x x y x y x y x 8x y 5y x y 5x 5y x 8x x y 5y x 5y y x 5y 6 x 6xy 0xy 5y x y x x x y y x y y 5x 5y 6 6xy 0xy 5y 5y 5x 5y 4xy 6 0

12 Oefeningen Vereenvoudig zover mogelijk. Schrijf het resultt ls één breuk en zonder negtieve exponenten xy xy x b b 4 x x y x x y 4 y y x ( x) y y x (Bij meerdere pren hkjes gebruiken we soms verschillende soorten hkjes.) Oplossingen xy xy b 8 b 9 b 9 b 6x 5 xy 0 xy 8 6 xy y 6

13 4. Merkwrdige producten en ontbinden in fctoren REKENREGELS Als, b, en c reële getllen zijn dn geldt: b c b c b c c bc Als en b reële getllen zijn, dn gelden de volgende MERKWAARDIGE PRODUCTEN: b b b b b b b b b b b b b Een uitdrukking UITWERKEN betekent dt je ze ls een SOM schrijft. Bovenstnde formules toepssen vn links nr rechts is dus uitwerken. Een uitdrukking ONTBINDEN betekent dt je ze ls een PRODUCT schrijft. Bovenstnde formules toepssen vn rechts nr links is dus ontbinden. Voorbeelden vn uitwerken. x x x 4x 5 x y x y 6x 4x 4x 4x 5 5 x y 6x 4x 6x 40x 5 x y 4x 9x y 40x 5. b b b ( b) b b b b b b b b b b b b b b b b b. x y y x y x y x y x 4y x 5 5 9

14 b b b 4 4. b b b b b b b b 4 b b b b 6 b b b 4 4b b 6 b b b 4 4b b 6 4b b b 6 Voorbeelden vn ontbinden. x x 8 x 6x 9 x x x. 4 b b b b 4 b 9. 4b 4b b 4b 4b b b b b b b b x x 4. x x x x x x x x x x 5. y y y y y y 4 x x x x x x x x x x x y y y y y

15 5. Herhlingsoefeningen Vn de oplossingen worden soms twee vormen gegeven die n elkr gelijk zijn. Het volstt in eerste instntie minstens één vn die vormen te vinden (of nog een ndere die er ook n gelijk is). Bij het vergelijken vn je ntwoord met de opgegeven oplossing, moet je dn kunnen verklren wrom de ndere vorm(en) ook correct is (zijn).. Elk vn de uitdrukkingen in de linkerkolom is gelijk n precies één uitdrukking in de rechterkolom. Plts de gelijke uitdrukkingen bij elkr.. b b A. b b b. b B. b b c. d. e. b b b b C. b b D. b b E. b f. b b F. b g. b b G. b h. b H. b b i. b I. b b b j. b b J. b. Werk uit. Gebruik indien mogelijk merkwrdige producten. () x 5y x x y x y (b) b 8 (c) x x x x 4 (d) xy (e) p q p q (f) 4 (g) y x y x 4

16 . Ontbind in fctoren. () (b) 0xy 0xy z 5xy z b b b 6 4 x y (c) x y (d) x y x y 4x y x y (e) (f) 4r s 6rs 5 5x y z 5x z 40x y z (g) 5 b 0 b (h) (i) (j) (k) 5x 40x 80x 4 6A 5 p p p x y bx by 4. Vul de juiste fctor op de puntjes in. 9 () 5 9 (b) b b b 4x 4 (c) x 4x x x 5. Schrijf ls één enkele breuk en ontbind teller en noemer vn deze breuk zoveel mogelijk in fctoren. () (b) y xy xy y x 5

17 (c) (d) (e) (f) b c b b b c x 5 y z yz x 5 4x 4 xy x xy x 5 x (g) 5 5 x 5 (h) 5s s (i) s s s (j) b b b b b (k) b b (l) (m) x x 5 x x y x y x x y y 6

18 6. De uitdrukking x y is gelijk n één vn de onderstnde uitdrukkingen. An welke? Verklr uw ntwoord. () (b) (c) (d) (e) x y x 4y x y x 4y x y xy x y Oplossingen. en H; b en E; c en C; d en G; e en B; f en I; g en J; h en A; i en D; j en F. () (b) (c) (d) (e) (f) (g) x 0xy 4y 4x b 0 b 8 6x 5x x x x y p 5 4 6xy 9 4 4q x x y y 4 4. () 5xy 4y 6z 5z b b (b) b b b 4b x y x y x y 9x 9y 9 9 (c) (d) x y x y x y x y x y x y 4 (e) 4rs r 4s (f) 5x z 4 5y x z 4 8xy (g) 5 b 4 4b (h) 5x x 4 (i) 6A5 6A 5 (j) p p (k) x y x y b 7

19 4. () b b 4 0 0x x 5 x (b) (c) 5. () (b) x xy (c) (d) c b b c x 5 yz 4x (e) y (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x 5 8x x 5 x 5x x 5 4 4s s 4s s b b x 6x 0 x s 6. De uitdrukking onder (e). Verklring: x y x y x x y y 8