2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.

Transcriptie

1 Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht Uitwerkingen hoofdstuk Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos α = 0, α = cos 0, = 78,5 b. sin α = 0, α = sin 0, =,5 e. tn α = α = tn = 8,4 c. cos α = 0,8 α = cos 0,8 = 6,9 f. tn α = α = tn = 7,6. Gegeven is de driehoek vn figuur 0.0. Gevrgd worden hoek β en de zijden en c A c Figuur 0.0 β B A D B Hoek β = 80 ( ) = 45. Trek de hoogtelijn D vnuit, dn geldt: AD = = 0 en BD = 90 β = 45. We hebben nu AD met de verhoudingen : : en druit volgt: AD = en D = A 60 D D 45 B In BD zijn de verhoudingen : : (ofwel : : ) en met D = volgt: BD = D = en B = BD = = 6 Resultt: = 6, c = AD + DB = + en β = 45.

2 Uitwerkingen 0... De grfieken vn y = sin x en y = cos x in één figuur, met 0 x 90 en op de x-s 0 ls eenheid: y = sin x y = cos x ( ) 4. Bewijs (zie nevenstnd figuur): tn α = c = b ( ) = sin α c cos α b α b c 5. Bij deze opgve wordt gebruikgemkt vn figuur 0.0b uit het boek: b 90 α A c B Uit sin α = c, cos α = b c, tn α = b volgt: c = Hiermee zijn de opgven ls volgt op te lossen: sin α, c = b, = b tn α en b = cos α tn α.. α = 50 en b = 0 c = b cos α = 0 cos 50 5,56 en = b tn α = 0 tn 50,9 b. α = 55 en b = 0 c = b cos α = 0 cos 55 7,4 en = b tn α = 0 tn 55 4,8 c. cos α = 0,8 en b = c = b cos α = 0,8 =,75 en = c b =,75 =,5 d. sin α = 0,6 en = 4 c = sin α = 4 0,6 = 6 en b = c = e. tn α = en = b = tn α = 4 f. = 4 en b = c = + b = 4 + = 5 = 9 4 = 4 en c = + b = = (6 ) 4 = 5 + ( 9 4 ) = = 5 6 = 5 4 = 4

3 Uitwerkingen Gegeven is de scherphoekige driehoek in figuur 0.0c. Toon n: c = b cos α + cos β Bewijs: Zie de nevenstnde figuur. Trek de hoogtelijn D uit op AB. Dn geldt: cos α = AD b en cos β = BD Dus ook: AD = b cos α en BD = cos β Hieruit volgt: c = AD + BD = b cos α + cos β γ γ b b A α c β B A α c D β B Figuur 0.0c

4 4 Uitwerkingen Vn een driehoek zijn de lengtes vn de zijden 7, 4 en 5. Bepl de hoeken vn de driehoek. γ b α c β Noem de zijden, b en c (zie de figuur), met = 7, b = 4 en c = 5. De cosinusregel geeft voor zijde : = b + c bc cos α 7 = cos α 49 = cos α cos α = 5 00 = 0,96 Omdt α een scherpe hoek is, volgt hieruit: α = cos 0,96 = 6,. Voor zijde b geldt: b = + c c cos β 4 = cos β 576 = cos β cos β = = 0,8 Omdt β een scherpe hoek is, volgt hieruit: β = cos 0,8 = 7,7. Ten slotte zijde c: c = + b b cos γ 65 = cos γ cos γ = 0 Blijkbr geldt γ = 90! Het resultt is α = 6,, β = 7,7 en γ = 90. Dit klopt met de som vn de hoeken in een driehoek: α + β + γ = 6, + 7, = 80. Ook geldt + b = c (de stelling vn Pythgors), dus γ is inderdd exct een rechte hoek.

5 Uitwerkingen Vn AB is =, c = 5 en β = 45. Bereken zijde b, hoek α, de lengte vn de hoogtelijn uit en de oppervlkte vn de driehoek. Oplossing: Teken AB met drin de gegevens en teken ook de hoogtelijn h uit : b = h A α c = 5 45 B We berekenen b met de cosinusregel: b = + c c cos β = cos 45 = = 4,44 Dus b = 4,44 = 0,70 Nu kun je α berekenen met de sinusregel: sin α = b sin α sin 45, ofwel = sin 45 b en dt geeft: sin α = sin 45 b = 0,70 = 0,79 De rekenmchine geeft α = sin 0,79 = 5,. De oppervlkte vn een driehoek is gelijk n de hlve hoogte ml de bsis. Voor de hoogte h geldt: h = sin 45 = 6 en de bsis c = 5, dus: oppervlkte AB = h c = 5 = 45 6,64

6 6 Uitwerkingen 0... Lt zien dt voor γ = 90 uit de cosinusregel de stelling vn Pythgors ( + b = c ) volgt. Bewijs: Er geldt cos 90 = 0 en de cosinusregel geeft in dt gevl: c = + b b cos γ = + b 0 = + b En dt is de stelling vn Pythgors. 4. In figuur 0.4 stt een kubus getekend met ribbe. Gevrgd wordt om de lengte vn de digonl HB exct te berekenen. Teken drtoe eerst het vierknt ABD en bereken de lengte vn BD. Teken drn de rechthoek DBF H en bereken dn de lengte vn digonl HB drvn. Bereken ten slotte met behulp vn je rekenmchine de hoeken HBD en DHB. H G E F D A Figuur 0.4 B Oplossing: Zie de onderstnde figuren. De lengte vn BD volgt uit de stelling vn Pythgors: BD = AB + AD = + = Dus BD =. De lengte vn HB volgt ook uit de stelling vn Pythgors: HB = DB + DH = + = Dus HB =. HBD = tn = tn 5, en DHB = tn 54,7. D H F A B D B

7 Uitwerkingen α = π b. β = π c. γ = 6 π β = π α = π γ = 8 α = 0,5 O O Figuur γ = 6 π β = Figuur De hoeken zijn in figuur getekend. Hoek α correspondeert met 60, hoek β met 0. Hoek γ krijg je door met de klok mee nderhlf keer rond te drien plus nog 6 π (= 0 )... α = 0,5 b. β = c. γ = 8 De hoeken zijn in figuur getekend. Merk op dt γ π = 8 π,7 ( 98 ). Gegeven is een cirkelsector met middelpuntshoek π en strl cm. Teken deze sector en bepl de lengte vn de boog en de grootte vn de sectoroppervlkte. π O R = cm Figuur Zie figuur De lengte vn de boog is φ R = π = π cm (,4 cm). De sectoroppervlkte is φ R = π = π cm ( 4,7 cm ).

8 8 Uitwerkingen In de eenheidscirkel zijn de gevrgde hoeken ngegeven: 4 π 4 π 6 π 0 (4π) 6 π 5 π π ( π) Dit leidt tot de onderstnde tbel. In het boek stn bij het ntwoord op deze opgve drie fouten in de tbel: sin(5 π) = sin( π) = (en niet ) sin( 6 π) = sin(5 π) = sin( π) = (en niet ) tn( 6 π) = sin( 6 π) cos( 6 π) = = (en niet ) De correct ingevulde tbel: x π 0 4 π 5 π 6 π 4 π 6 π 4π π sin x 0 0 cos x 0 tn x 0 0

9 Uitwerkingen Gegeven is figuur 0.8. Punt P ligt in het xy-vlk op een cirkel met strl rond de oorsprong. De hoek tussen OP en de positieve x-s is 0,5. Bepl de coördinten vn P. 0 0,5 P y P 0 0,5 P x P Figuur 0.8 Oplossing: Zie de figuur ernst: x P is de projectie vn P op de x-s en y P is de projectie op de y-s. Dn is x P = cos 0,5,6 en y P = sin 0,5,44, dus P = (,6,,44).

10 0 Uitwerkingen De grfiek vn y = sin x is een stndrdgrfiek, die je zo moet kunnen tekenen: y = sin x π π π π 0 π π π π b. De grfiek vn y = sin x ontstt uit de grfiek vn y = sin x door deze met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken. Je zou kunnen zeggen dt sin x twee keer zo snel loopt ls sin x. De grfiek vn y = + sin x ontstt uit die vn y = sin x door deze over een fstnd nr boven te schuiven. 4 y = + sin x π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken en drn over een fstnd nr boven te schuiven.

11 Uitwerkingen 0.5. c. De grfiek vn y = sin x ontstt uit de grfiek vn y = sin x door deze met een fctor in de y-richting uit te rekken. Alle y-wrden worden keer zo groot. y = sin x π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor ten opzichte vn de y-s in te drukken en drn met een fctor in de y-richting uit te rekken. d. Herschrijf de functie: y = sin(x π) = sin (x 4 π) De grfiek vn y = sin (x 4 π) ontstt uit die vn sin x door deze over een fstnd 4 π nr rechts te verschuiven. y = sin(x π) π π π π 0 π π π π Het resultt is dus ontstn door eerst de grfiek vn de sinus met een fctor in te drukken en drn over een fstnd 4π nr rechts te verschuiven.

12 Uitwerkingen Bij de onderstnde ntwoorden lten we de nduiding (k geheel) of (k Z) weg. Wr de letter k wordt gebruikt is steeds een geheel getl, een geheel veelvoud bedoeld. Dus k kn de wrden 0,,,,, nnemen... sin x = 0 {zie de grfiek vn de sinus} x = kπ Met de stndrdmethode krijg je x = 0 + kπ x = (π 0) + kπ en dt is equivlent met x = kπ x = π + kπ. Dit levert dezelfde verzmeling oplossingen op ls x = kπ. b. sin x = {zie de grfiek vn de sinus} x = π + kπ Met de stndrdmethode krijg je x = π + kπ x = (π π) + kπ. Omdt π π = π levert de tweede term hiervn geen nieuwe oplossingen op. c. cos x = 0 {zie de grfiek vn de cosinus} x = π + kπ Met de stndrdmethode krijg je x = π + kπ x = π + kπ en dt is hiermee equivlent. d. cos x = 0,5 {stndrdmethode, gebruik cos π = 0,5} x = π + kπ x = π + kπ e. tn x = 0 {stndrdmethode, gebruik tn 0 = 0} x = kπ f. tn x = {stndrdmethode, gebruik tn π = } x = π + kπ

13 Uitwerkingen sin(x + ) = 0 { sin x = 0 heeft x = kπ ls oplossing} x + = kπ {breng nr rechts} x = + kπ {deel door } x = + kπ b. + cos x = {breng nr rechts} cos x = {gebruik cos π = } x = π + kπ x = π + kπ {deel door } x = π + kπ x = π + kπ c. cos x = {gebruik cos 6 π = } x = 6 π + kπ x = 6π + kπ {ml } x = π + 4kπ x = π + 4kπ d. cos( x) = 0,5 {gebruik cos π = 0,5} x = π + kπ x = π + kπ { nr rechts} x = + π + kπ x = π + kπ {deel door, kπ of +kπ mkt niet uit} x = π + kπ x = + π + kπ e. tn x = {stndrdmethode, gebruik tn 4 π = } x = 4π + kπ {deel door } x = π + kπ f. tn x = {deel door } tn x = {stndrdmethode, gebruik tn 6 π = } x = 6π + kπ {deel door } x = 8 π + kπ

14 4 Uitwerkingen sin x = 0, { sin 0, = 0,0} x = 0,0 + kπ x = π 0,0 + kπ b. sin x = geen enkele x voldoet, wnt sin x c. cos x = 5 { cos 5 =,77} x =,77 + kπ x =,77 + kπ d. cos x =,5 geen enkele x voldoet, wnt cos x e. tn x = 00 { tn 00 =,56} x =,56 + kπ f. tn x = 0, { tn 0, = 0,0} x = 0,0 + kπ 4.. sin x = {sin 4 π = } x = 4 π + kπ x = π ( 4π) + kπ x = 4 π + kπ x = 5 4 π + kπ In de eerste reeks oplossingen (x = 4π + kπ) krijg je lleen voor k = 0 en k = wrden in het intervl [ π,π] en wel x = 4 π en x = 4 π. Voor bijvoorbeeld k = krijg je 4 π en voor k = krijg je 4π en die liggen buiten [ π,π]. In de tweede reeks oplossingen (x = 5 4π + kπ) krijg je lleen voor k = en k = 0 wrden in het intervl [ π,π] en wel x = 4 π en x = 4 π. Voor bijvoorbeeld k = krijg je 4 π en voor k = krijg je 5 4 π. Op het intervl [ π,π] zijn de oplossingen: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π De werkwijze is: kies gehele wrden voor k rond 0 (k = 0,,,,, ) en bekijk per uitkomst of het resultt nog in het intervl [ π,π] ligt.

15 Uitwerkingen b. cos x = {cos 4 π = } x = 4 π + kπ x = 4 π + kπ Invullen vn k = 0,, levert: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π c. sin x = {sin 6 π = } x = 6 π + kπ x = π ( 6π) + kπ x = 6 π + kπ x = 5 6 π + kπ Invullen vn k = 0 en k = levert: x = 5 6 π x = 6 π x = 6 π x = 5 6 π d. cos x = { cos =,} x =, + kπ x =, + kπ k = x =, π, 6,8 = 5,05 x =, π (vervlt, buiten [ π,π]) k = 0 x =, x =, k = x =, + π (vervlt, buiten [ π,π]) x =, + π, + 6,6 = 5,05 De oplossing is: x = 5,05 x =, x =, x = 5,05 e. tn x = {tn 4 π = } x = 4 π + kπ k = x = 4 π k = x = 4 π k = 0 x = 4 π k = x = 4 π De oplossing is: x = 4 π x = 4 π x = 4 π x = 4 π f. tn x = {tn 6 π = } x = 6 π + kπ k = x = 5 6 π k = x = 5 6 π k = 0 x = 6 π k = x = 6 π De oplossing is: x = 5 6 π x = 5 6 π x = 6 π x = 6 π

16 6 Uitwerkingen sin x = sin 8 π x = 8 π + kπ x = π 8 π + kπ x = 8 π + kπ x = 5 8 π + kπ b. cos x = cos 9 π x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ c. sin x = sin(4x + ) x = 4x + + kπ x = π (4x + ) + kπ x = + kπ 5x = π + kπ x = + kπ x = π + 5 kπ (Merk op dt je voor kπ ook +kπ mg schrijven, k doorloopt de gehele getllen) d. cos(x ) = cos( x) x = x + kπ x = ( x) + kπ x = x + kπ x = + x + kπ 4x = + kπ 0 = 0 + kπ De tweede term is juist voor k = 0, ongecht de wrde vn x: elke wrde vn x voldoet n deze vergelijking. (Inderdd geldt cos(x ) = cos( + x) = cos[ ( x)] = cos( x), wnt cos w = cos( w)) onclusie: elke x R voldoet. e. tn x = tn 0 π x = 0 π + kπ f. tn x = tn x x = x + kπ x = kπ

17 Uitwerkingen sin x = sin 8π {gebruik sin( w) = sin w} sin x = sin( 8 π) x = 8 π + kπ x = π ( 8π) + kπ x = 8 π + kπ x = 8 π + kπ b. cos x = cos 9π {gebruik cos(w + π) = cos w} cos x = cos( 9 π) x = 9 π + kπ x = 9 π + kπ c. sin x = 4 {stndrdvergelijking z = A} sin x = sin x = {sin 6 π = en sin( 6 π) = } x = 6 π + kπ x = 5 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ x = 6 π + kπ d. cos x = cos x {herleid op 0} cos x cos x = 0 {ontbind in fctoren} cos x(cos x ) = 0 {product is 0} cos x = 0 cos x = {zie de grfiek vn de cosinus} x = π + kπ x = kπ e. sin x = cos x {gebruik sin w = cos(w π)} cos(x π) = cos x x π = x + kπ x π = x + kπ x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ x = 6 π + kπ f. cos x = cos x {substitutie cos x = y} y = y {herleid op 0} y + y = 0 {los op met de bc-formule, discriminnt is 9} y, = ± 4 y = y = {y = cos x} cos x = cos x = {cos π = en cos π = } x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ

18 8 Uitwerkingen sin(x y) = sin(x + ( y)) {somregel voor de sinus} = sin x cos( y) + cos x sin( y) {cos( y) = cos y en sin( y) = sin y} = sin x cos y + cos x sin y = sin x cos y cos x sin y b. cos(x y) = cos(x + ( y)) {somregel voor de cosinus} = cos x cos( y) sin x sin( y) {cos( y) = cos y en sin( y) = sin y} = cos x cos y sin x sin y = cos x cos y + sin x sin y c. tn(x y) = tn(x + ( y)) {somregel voor de tngens} = = tn x + tn( y) tn x tn( y) tn x tn y + tn x tn y {tn( y) = tn y}.. sin(x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x + cos x 0 = sin x b. sin(x π) = sin x cos( π) + cos x sin( π) = sin x + cos x 0 = sin x c. cos(x + π) = cos x cos π sin x sin π = cos x sin x 0 = cos x d. cos(x π) = cos x cos( π) sin x sin( π) = cos x sin x 0 = cos x Deze formules drukken uit dt verschuiven vn de grfieken vn de sinus en de cosinus over π nr links of nr rechts een spiegeling in de x-s vn deze grfieken geeft. Dt de ntwoorden vn de onderdelen. en b. en vn de onderdelen c. en d. onderling gelijk zijn, komt omdt de rgumenten (dt zijn de wrden wrvoor je de functie berekent) precies π verschillen. Zo hd je voor de fleiding vn onderdeel b. ook kunnen kiezen voor: sin(x π) = sin((x + π) π) = sin(x + π) = sin x

19 Uitwerkingen sin(x + π) = sin x cos π + cos x sin π = sin x 0 + cos x = cos x b. sin(x π) = sin x cos( π) + cos x sin( π) = sin x 0 + cos x = cos x c. cos(x + π) = cos x cos π sin x sin π = cos x 0 sin x = sin x d. cos(x π) = cos x cos( π) sin x sin( π) = cos x 0 sin x = sin x 4. tn(x + 4 π) = tn x + tn 4 π tn x tn 4 π = tn x + tn x = + tn x tn x = + sin x cos x sin x cos x = cos x + sin x cos x sin x 5. Gegeven: tn x = sin x cos x Te bewijzen: tn x = tn x tn x Bewijs: = = = = tn x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x tn x tn x {gebruik tn x = sin x cos x } {verdubbelingsformules vn sinus en cosinus} {deel teller en noemer door cos x } {gebruik tn x = sin x cos x } tn x = + sin x cos x = cos x cos x + sin x cos x = cos x + sin x cos = x cos x b. sin(x 4 π) = [ sin x cos( 4 π) + cos x sin( 4 π)] = [ ] sin x + cos x = sin x cos x c. cos(x 4 π) = [ cos x cos( 4 π) sin x sin( 4 π)] = [ ] cos x sin x = sin x + cos x d. Delen vn de linkerzijde en rechterzijde vn onderdeel b. door die vn onderdeel c. geeft het resultt.