WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

Transcriptie

1 WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot

2 INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel ) 8 H. : Het rekenen met breuken (deel ) 6 H. 5: Het rekenen met breuken (verdieping) H. 6: Lineire vergelijking / lineire functie 9 H. 7: Twee vergelijkingen met twee onbekenden 6 H. 8: Kwdrtische vergelijking / kwdrtische functie 55 H. 9: Het getl e / Logritmen 65 H. 0: Goniometrie 75 H. : Differentilrekening 90 H. : Toepssingen differentilrekening 97 Bijlge: Series (etr oefenvrgstukken met uitwerkingen) MAC, Leeuwrden

3 H. Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren. Hkjes wegwerken In wiskundige uitdrukkingen komen vk hkjes voor. In deze prgrf komen de rekenregels n de orde met betrekking tot het wegwerken vn hkjes bij vermenigvuldigingen. Regel : b c b c Voorbeelden: y y. b. 5 y y y. Dit ntwoord wordt meestl geschreven ls: y b. p y 6 y 5z 8 y 0z. b. y 8z 5 5. b. y5y Regel : bc d c d b c b d Voorbeelden: b. 5 y y y y y y y. Dit ntwoord wordt meestl geschreven ls: b. y y y y

4 . Merkwrdige producten Het uitwerken vn hkjes kn in sommige gevllen worden versneld door gebruik te mken vn de volgende merkwrdige producten. Merkwrdig product : b b b Verntwoording vn deze lgemene regel: b b b b b b Voorbeelden: 6. b. y y. 5y 5y 5y 5y b. 7b 7b Merkwrdig product : b b b Verntwoording vn deze lgemene regel: b b b b b b b b Voorbeelden: 8 6. b. y 5b 5b 5b 0b 5b. b. y Merkwrdig product : b b b

5 Verntwoording vn deze lgemene regel: b b b b b b b b Voorbeelden:. b. y 6 5p q 5p 5pq q 5p 0 pq q. b. y. Ontbinden in fctoren Het omgekeerde vn hkjes wegwerken noemen we ontbinden in fctoren. Hierbij wordt een wiskundige uitdrukking, wrin geen hkjes stn, omgezet in een uitdrukking met hkjes. De volgende regels zijn drbij behulpzm. Regel : b c b c De termen b en c bevtten beiden dezelfde fctor. Door deze fctor buiten hken te hlen wordt de vorm b c ontbonden in fctoren. In feite is deze regel het omgekeerde vn regel uit prgrf.. Voorbeelden:. 5 5y 5 y b. 6 6b. 5p q 5p q b. 6 y. y 5 y 5 b. 5b 0by 5b. b. y y

6 Regel : b b b Met deze regel kn het verschil vn twee kwdrten worden ontbonden in fctoren. In feite is deze regel het omgekeerde vn het merkwrdig product uit prgrf.. Voorbeelden: b. y b. 5b 6 Regel : b c p q Met deze regel kn de kwdrtische vorm b c worden ontbonden in fctoren. Hiervoor zoeken we onbekende (gehele) getllen p en q, wrvoor geldt: de som vn p en q is gelijk n b, het product vn p en q is gelijk n c. Voor de onbekende getllen p en q geldt dus: p q b p q c De verntwoording vn deze regel krijgen we ls we de hkjes in regel wegwerken: Zodt: b c p q p q p q q p pq p q p q Hieruit kunnen we concluderen, dt p q overeenkomt met b, en dt pq overeenkomt met c. Opmerking: De methodiek vn regel is niet ltijd mogelijk (zie voorbeeld )!! Voorbeelden:. Ontbind in fctoren: 5 6 Voor het ontbinden vn deze vorm in fctoren zoeken we dus gehele getllen p en q wrvoor geldt: de som p q is gelijk n 5, het product pq is gelijk n 6. 5

7 Bij het zoeken nr deze getllen p en q beginnen we ltijd met het product, omdt er mr enkele combinties vn getllen zijn die vermenigvuldigd 6 opleveren. Drn beplt de som vn deze getllen, welke combintie de juiste is. De methode in onderstnde tbel kn drbij helpen. Het product vn p en q is + 6 De som vn p en q is + 5 p en q 6 Som 7, klopt niet p en q 6 Som 7, klopt niet p en q Som 5, klopt p en q Som 5, klopt niet Dus: 5 6 b. Ontbind in fctoren: y 0y. Ontbind in fctoren: 8 De tbel wordt nu: Het product vn p en q is - 8 De som vn p en q is - p en q 8 Som 7, klopt niet p en q 8 Som 7, klopt niet p en q Som, klopt p en q Som, klopt niet Dus: 8 b. Ontbind in fctoren: 8. Ontbind in fctoren: 0 De tbel wordt nu: Het product vn p en q is + 0 De som vn p en q is - p en q 0 Som, klopt niet p en q 0 Som, klopt niet p en q 5 Som 7, klopt niet p en q 5 Som 7, klopt niet Conclusie: omdt we geen gehele getllen p en q kunnen vinden, flt deze methode. 6

8 . VRAAGSTUKKEN.. Serie Vrg : Werk de hkjes weg.. 6 y. y. pp y y Vrg : Werk de hkjes weg door gebruik te mken vn merkwrdige producten m m. p 5. y Vrg : Ontbind in fctoren.. 9 y. y

9 ANTWOORDEN serie : Vrg :. 6y. y p 5 p. y y 8 Vrg :.. 5. p 0 p 5. m 9 6y y 9 Vrg :. y. y

10 .. Serie Vrg : Werk de hkjes weg.. 6 y. 5y. y 5. k k 5. p p 6. y y Vrg : Werk de hkjes weg door gebruik te mken vn merkwrdige producten y y. y 5. 6p Vrg : Ontbind in fctoren y. y p 6 6. p p 8. 9 y 5y 6 6 9

11 H. Mchten k De wiskundige uitdrukking noemen we een mcht vn. In deze uitdrukking wordt het grondtl en k de eponent genoemd. Als k, dn wordt de vierde mcht vn genoemd.. Mchten met een positieve, gehele eponent k Definitie: voor ieder getl en elk positief geheel getl k geldt: k Het getl wordt hierbij k keer met zichzelf vermenigvuldigd. Voorbeelden: y y y y y y Regel : m n m n Controle vn deze lgemene regel: 5 Voorbeelden: Schrijf de volgende uitdrukkingen ls één mcht. b.. b Regel : Controle vn deze lgemene regel: m n mn 5 0

12 Voorbeelden: Schrijf de volgende uitdrukkingen ls één mcht. b p p n n nn p p n b. y y 5n n Regel : m n m n Controle vn deze lgemene regel: Voorbeelden:. b. y 5. b. 0 6 Schrijf de volgende uitdrukkingen ls één mcht 8 Regel : m m m b b Controle vn deze lgemene regel: b bbb bbb b Voorbeelden: Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk ls één mcht of een product vn mchten b b 8b. b.

13 . b. y 9 8. b b b b. 6 y Regel 5: b m b m m Controle vn deze lgemene regel: b b b b bbb b Voorbeelden: Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk:. b.. b.. b. 6 b b b y b b b y b b b y 6

14 Regel 6: 0 Controle vn deze lgemene regel: Voorbeelden: y 0 5. Mchten met een negtieve, gehele eponent k Regel 7A: m m Controle vn deze lgemene regel: N verwisseling vn termen kunnen we regel 7A ook schrijven ls: Regel 7B: Voorbeelden: m m Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten.. b b. 6

15 . 8 8 b. y. b. 5. 5b. b y b Opmerking: Regels t/m 5 gelden ook voor mchten met negtieve eponenten!!! Voorbeelden: Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten. b.. b.. b. 5 5 (Regel ) p 8 5 p 5 5 (Regel, drn regel 7A) y 7 y (Regel ) 6. b. p (Regel, drn regel 7A) 6 6

16 . VRAAGSTUKKEN.. Serie Vrg. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten:.. 5. y. 6 y p 6 7 p y y b b y 5 0. y p p n n Vrg. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten:.. y y 6. b c 8. y y 5 b.. b 6 5

17 ANTWOORDEN serie : Vrg y. p 5. p 6. y b 9. b 7 8y p p n n Vrg y y b c y 9. y 0. b 5.. b 6 6

18 .. Serie Vrg. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten:. y y m 8 m. 5. p 5 p p 8. p 9. y y y 7. y y p p. 6 b 0 Vrg. Schrijf de volgende uitdrukkingen zo eenvoudig mogelijk zonder negtieve eponenten: 5... p. y 5. y c 8. 5 m y b 7 y.. p 9 y 5 7. b 5. y 7

19 H. Het rekenen met breuken (deel ). Inleiding Breuken komen we in het dgelijkse leven veel tegen. Voorbeelden vn breuken zijn: 8,,, 5 p y T Formeel beschreven is een breuk een getl met de volgende structuur: N Hierbij noemen we T de teller vn de breuk, terwijl we N de noemer vn de breuk noemen. In principe is een breuk een deling: je deelt de tellert door de noemer N. Op deze wijze kun je de decimle wrde vn een breuk berekenen. Bijvoorbeeld: 8 0,5 5 In dit hoofdstuk worden een ntl eigenschppen vn breuken behndeld. Regel : A p. A wrbij p 0 B p. B In woorden: de wrde vn een breuk verndert niet, ls we de teller en de noemer met hetzelfde getl vermenigvuldigen. Voorbeelden: De breuken 8 5 en 6 0 hebben dezelfde wrde y y y De breuken 5 y en 5 y hebben dezelfde wrde. A Regel : A q wrbij q 0. B B q In woorden: de wrde vn een breuk verndert niet, ls we de teller en de noemer door hetzelfde getl delen. 8

20 Voorbeelden: De breuken 0 en De breuken 6 en 8 hebben dezelfde wrde. hebben dezelfde wrde. Regel : A A A B B B Voorbeelden: y y. Het vereenvoudigen vn een breuk wrbij de teller vn deze breuk ook een breuk is Regel : A B C A B C Voorbeelden: b. 7. y y y b. 5 b c 9

21 . y b. 5 y. Het vereenvoudigen vn een breuk wrbij de noemer vn deze breuk ook een breuk is Regel 5: A B C AC B Voorbeelden:. 6 b y 6y b. y 5 b c. 6 6 b. y 5 5y. Het delen vn een breuk door een ndere breuk Regel 6: A B C D A D BC Voorbeelden: b

22 . m 5k 0k 5k 6b m 6b 8mb 9mb 5k b. 8c 5r d 0s. y y = y d b. s d s.5 Het vermenigvuldigen vn breuken Wnneer breuken met elkr worden vermenigvuldigd, dn kunnen we direct de tellers met elkr vermenigvuldigen en ook de noemers met elkr vermenigvuldigen (zie regel 7). We hoeven dus niet eerst de breuken gelijknmig te mken zols bij het optellen vn breuken (zie H..). Regel 7: : A C AC B D B D Voorbeelden: b b. y y b. y y y b. c b

23 y 8 y 8 8y b. b b 5. ( )( ) ( )( ) 5b. y y y y 6. b 8 6b b c c c 6b. 0 y y p 0

24 .6 VRAAGSTUKKEN.6. Serie Vrg : Vereenvoudig:. y 6. y.. 8 b 5. 8 b 6. bc d c bd 7. bc bc 8. bc bc Vrg : Herleid tot breuk en vereenvoudig drn indien mogelijk:. p. y k k. m b b. 5. y k k m 5 m c b 8. b b c

25 ANTWOORDEN serie : Vrg :. y. y.. b 5. 6b 6. b Vrg :. p y. k m.. 6 y k 8 k 5m m 8. b

26 .6. Serie Vrg : Vereenvoudig:. 5. y. y y. 5. b c 6. y 6 y 7. y 6 y 8. 6 km km 6 9. b bc 0. 8 y z 8y z Vrg : Herleid tot breuk en vereenvoudig drn indien mogelijk:. 5. y 6. b b. 5. k k k k 6. b b y y 8. 6 p p 6 9. c b bc 5 6y 0. b c y 5

27 H. Het rekenen met breuken (deel ). Het optellen vn breuken Wnneer breuken bij elkr opgeteld worden, moeten ze eerst gelijknmig gemkt worden, d.w.z. we moeten ervoor zorgen dt ze gelijke noemers krijgen. Uiterrd hoeft dt lleen mr, ls ze nog niet gelijknmig zijn. Als we de gelijknmigheid bereikt hebben, kunnen we de breuken bij elkr optellen door de tellers vn deze gelijknmige breuken bij elkr op te tellen (zie regel 8). Regel 8: A B A B N N N Voorbeelden :. 5 8 b b. 6 p p b b y 5 8y 5 y y y y 5b. b 5c. Twee prllelle weerstnden R en R kunnen vervngen worden door één weerstnd R. Deze vervngingsweerstnd wordt bepld m.b.v. de volgende formule: R R R Bereken deze vervngingsweerstnd R. 6

28 6. 6b. p 5 p 5 p 5p 0 p p p p p p p p p p p 5p 0 8p 0 p p 5 p p 6c Dit vrgstuk kunnen we op mnieren npkken: 6 e mnier: e mnier: b y y y y y y 8b b. 5 b c 7

29 . Het vereenvoudigen vn een breuk wrbij in teller of noemer een breuk voorkomt ls onderdeel vn die teller of noemer Het doel hierbij is om de breuk, die in de teller of de noemer stt, weg te werken. Voorbeelden:. 5 Dit vrgstuk kunnen we op mnieren npkken: e mnier: eerst de teller vereenvoudigen, dn de breuk vereenvoudigen e mnier: teller en noemer met hetzelfde getl vermenigvuldigen om de breuk in de teller weg te werken b y y y y Hier is de e mnier toegepst. b. b. Hier is de e mnier toegepst. 8

30 b. c d. k k k k k k k k k k k k Hier is de e mnier toegepst. b. 5 m m 5. b b b 5 b 5 b 5 b 5 b 5 b b b b Hier is de e mnier toegepst. 5b. 5 y 6. b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b Hier is de e mnier toegepst. 6b. 5 c d d c 9

31 . VRAAGSTUKKEN.. Serie Vrg : Herleid tot breuk en vereenvoudig drn indien mogelijk: b b b b c 8. c c 7. Vrg : Vereenvoudig:.. b. y y y 6. b b 7. b 8. c d d c 0

32 ANTWOORDEN serie : Vrg : b b b c Vrg :.. b b. y y y y y 6. b b 7. b b b 8. d c c d

33 .. Serie Vrg : Herleid tot breuk en vereenvoudig drn indien mogelijk:. 5. y y y 5.. b b b k k 7. y y 8. m m m m 9. b c d 0. Uit de ntuurkunde kennen we de zgn. lenzenformule: b v f Hierin geldt: f: brndpuntsfstnd vn de spiegel v: voorwerpsfstnd (d.w.z. de fstnd vn het voorwerp tot de spiegel) b: beeldfstnd (d.w.z. de fstnd vn het beeld tot de spiegel) Je neemt een holle spiegel met een brndpuntsfstnd vn +50 cm en je gt 0 cm vóór deze spiegel stn. Bereken de fstnd vn je beeld tot de spiegel, en geef ook n of je beeld zich vóór of chter de spiegel bevindt. Vrg : Vereenvoudig: p p

34 . b. k k k 5. c d c d 6. y y 7. m k k m 8. c b 9. 5 y 0. 5 k m m k

35 H. 5 Het rekenen met breuken (verdieping) In dit hoofdstuk komen breuken n de orde, welke een verdieping zijn vn de stof uit H. en H.. Bij de vereenvoudiging vn deze breuken volgen we een specile npk, welke in de volgende voorbeelden wordt gedemonstreerd. Om enige ordening in de vrgstukken n te brengen onderscheiden we een ntl typen. Type : De breuk wordt vereenvoudigd door de teller en/of de noemer vn die breuk te ontbinden in fctoren. Voorbeelden:. b. c b. 6 5 Type : De breuk wordt vereenvoudigd door het omkeer-principe toe te pssen (zie regel 9). Regel 9: A B B A Voorbeelden vn regel 9: y y.

36 Voorbeelden vn type :. b.. b. y y y y 5 y y 5 y 5 y y y Type : Het optellen vn of breuken, wrbij de noemers overeenkomstige fctoren bevtten. Voorbeelden:. b. c. 5 5 y y y y 6 5

37 5. VRAAGSTUKKEN 5.. Serie Vereenvoudig: y y y y. b b. 5. p p p( p ) y y y ( ).. 6 ( )( ). y ( y). ( )( ) b. b ( b) 6

38 ANTWOORDEN serie :.. y y p p y y y.. b 7

39 5.. Serie Vereenvoudig:.. y y y y y 5 y y5 8. ( ) 9. ( )( ) 0. y ( y) p p. ( p) p y. y ( y) 8

40 H.6 Lineire vergelijking / lineire functie 6. Lineire vergelijking Een lineire vergelijking (of e grdsvergelijking) is een vergelijking vn de vorm: m n 0 ( ) ( ) In deze vergelijking is de onbekende, terwijl m en n constnten zijn. Omdt de onbekende de eponent heeft, noemen we dit een lineire vergelijking. Een lineire vergelijking kunnen we oplossen door de termen met nr het linkerlid en de overige termen nr het rechterlid te brengen. Voorbeeld : Los op: 8 0 Oplossing: Voorbeeld b: Los op: 5 7 Voorbeeld : Los op: ( ) ( ) Oplossing: ( ) ( ) Voorbeeld b: Los op: ( ) ( ) 6. Lineire functie Algemeen: een functie is een voorschrift om volgens een beplde regel uit een gegeven getl een nder getl, de functiewrde, te mken. In dit hoofdstuk beperken wij ons tot de lineire functie. Een lineire functie (of e grdsfunctie) is een functie vn de vorm: f ( ) m. n In plts vn f ( ) m. n gebruiken we ook de nottie: y m n In deze functie is de (onfhnkelijke) vribele, terwijl m en n constnten zijn. Omdt de vribele de eponent heeft, noemen we dit een lineire functie. 9

41 Een voorbeeld vn zo n lineire functie is: f ( ) De grfiek vn een lineire functie is een rechte lijn. In y m n wordt m de richtingscoëfficiënt vn de rechte lijn genoemd, fgekort ls r.c. en rico genoemd. De richtingscoëfficiënt m geeft de helling vn de lijn weer. Bij een positieve m hoort een stijgende grfiek, bij een negtieve m een dlende grfiek. Voorbeeld : Teken de grfiek vn de functie y Oplossing: Het snijpunt met de X-s vinden we uit: y 0 0 Dus: S X ( -, 0) Opmerking: Door in de lineire functie y = 0 te stellen, hebben we een lineire vergelijking in gekregen!! Het snijpunt met de Y-s: 0 y Dus: S Y (0, ) Voorbeeld b: Teken de grfiek vn de functie y 6 Voorbeeld : Bereken de richtingscoëfficiënt vn de lijn y 6 en het snijpunt vn deze lijn met de Y-s. Oplossing: Eerst gn we y 6 herschrijven in de vorm y m. n : y 6 y 6 y Dus: r.. c m Het snijpunt met de Y-s is S Y (0, ) 0

42 Voorbeeld b: Bereken de richtingscoëfficiënt vn de lijn 7y en het snijpunt vn deze lijn met de Y-s. Voorbeeld 5: Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door A(, ) en B(, 5) Oplossing: B l A C De richtingscoëfficiënt m kunnen we beplen uit: BC yb yc yb ya 5 m AC C A B A De lijn l heeft dus ls vergelijking y. n () De onbekende n vinden door de coëfficiënten vn óf A óf B in te vullen in (). Nemen we bijvoorbeeld A(, ) dn wordt (): n n Dus de vergelijking vn l wordt: y Voorbeeld 5b: Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door A(, -) en B(-, ) Voorbeeld 6: Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door P(, -) en Q(-, -) Oplossing: De richtingscoëfficiënt m kunnen we beplen uit: yq yp ( ) m 6 Q P 0 De lijn l heeft dus ls vergelijking y 0. n () P invullen in () geeft: 0 n n Dus de vergelijking vn l wordt: y

43 Voorbeeld 6b: Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door P(, -) en Q(5, ) Er zijn situties wrbij voor twee rechte lijnen een bijzondere eigenschp geldt. Twee rechte lijnen, l en l,kunnen evenwijdig n elkr zijn. Nottie: l // l. Ook kunnen de lijnen l en l elkr loodrecht snijden. Nottie: l l. Als gegeven is: l : y m n l : y p q dn gelden de volgende eigenschppen: Eigenschp : ls l // l, dn : m = p Eigenschp : ls l l, dn : m.p = - Voorbeeld 7: Gegeven de lijn l : y 9 en het punt A(5, ). Bepl de vergelijking vn de lijn l door A en evenwijdig n l. Oplossing: 9 De vergelijking vn l is te schrijven ls y De richtingscoëfficiënt vn l is dus en dit is gelijk n de richtingscoëfficiënt vn l. De vergelijking vn l wordt: y q Hieruit kunnen we q oplossen door A(5, ) in te vullen in (): 5 q q 7 en dus wordt de vergelijking vn l : y 7 Voorbeeld 7b: Gegeven de lijn l : y 5 en het punt A(-, - ). Bepl de vergelijking vn de lijn l door A en loodrecht op l. Voorbeeld 8: Gegeven zijn de lijnen l : y 7 en l : y Bepl de coördinten vn het snijpunt vn l en l.

44 6. VRAAGSTUKKEN 6.. Serie. Los de volgende vergelijkingen op in : ( is de verzmeling vn lle reële getllen) ) 6 b) 5 ( ) ( ) c) 5 p p d) ( ) ( ). Bereken vn de volgende lijnen in het vlk de richtingscoëfficiënt m, het snijpunt met de X-s en het snijpunt met de Y-s. ) 5y b) y c) 5y 7 d) y. ) Bepl de vergelijking vn de rechte lijn door P(-, -) met richtingscoëfficiënt m b) Dezelfde vrg voor P(-, -) en m 0. ) De grfiek vn de functie y m 6 gt door het punt P met coördinten (-, -). Bereken m. b) De lijn y m is evenwijdig n de rechte door de punten A(, -) en B(-, ). Bepl de vergelijkingen vn beide lijnen. c) Gegeven is de lijn l met de vergelijking 5y Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door het punt P (, ) en die evenwijdig is n l. d) Gegeven is de lijn l met de vergelijking y 7 Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door het punt Q(6, ) en die loodrecht stt op l.

45 ANTWOORDEN serie :. ) =,5 b) = 5 c) p = 0,5 d) =,5. ) r.c. = m = S (X-s): S (Y-s): 5, of S X (, 0 ) y 0,8 of S 5 Y ( 0, ) 5 b) r.c. = m = S (X-s): 0,75 of S X (, 0 ) S (Y-s): y,5 of S Y ( 0, ) c) r.c. = m = 0 S (X-s): géén snijpunt met X-s 7 S (Y-s): y, of S 5 Y ( 0, 7 ) 5 d) r.c. = m = S (X-s): = 0 of S X (0, 0 ) S (Y-s): y = 0 of S Y ( 0, 0). ) y b) y. ) m = 8 b) L : y AB: y c) d) y y 6 5 5

46 6.. Serie. Los de volgende vergelijkingen op in : ( is de verzmeling vn lle reële getllen) ) b) ( ) ( ) c) 5( ) ( 5) ( ) d) ( ) ( ) 6. Bereken vn de volgende rechte lijnen de richtingscoëfficiënt m, het snijpunt met de X-s en het snijpunt met de Y-s. ) y 7 b) 5y c) y d) 5 y. ) Bepl de vergelijking vn de rechte lijn door P(, 0) met richtingscoëfficiënt m b) Dezelfde vrg voor P(, -) en m. ) De lijn y m is evenwijdig n de rechte door de punten A(, -) en B(-, ). Bepl de vergelijkingen vn beide lijnen. b) Gegeven is de lijn l met de vergelijking 5y Bepl de vergelijking vn de rechte lijn l, die gt door het punt P(, -) en die loodrecht stt op l. c) De rechte lijn met vergelijking y stt loodrecht op de lijn y m n die door het punt A(, ) gt. Bereken m en n. 5. ) Bereken het snijpunt vn de lijnen l en l met de vergelijkingen y respectievelijk y b) De richtingscoëfficiënt vn de rechte lijn l : y m n is twee keer zo groot ls de richtingscoëfficiënt vn de lijn l : y. Het snijpunt vn beide lijnen ligt op de Y-s. Bepl m en n. 5

47 H. 7 Twee vergelijkingen met twee onbekenden In 6. hebben we ons beziggehouden met vrgstukken vn de vorm: 8 In de wiskunde noemen we dit een (lineire) vergelijking met onbekende. Het oplossen vn deze vergelijking levert ons een wrde vn op. Hier:. Drnst kennen we ook vergelijkingen met onbekenden. Een voorbeeld drvn is: y 0 5y 7 () noemen we ook wel een stelsel vergelijkingen. Hierin zijn en y de onbekenden. Het oplossen vn dit stelsel levert ons wrden vn en y op. Een nder voorbeeld vn zo n stelsel vergelijkingen is: y y In prgrf 7. beperken we ons tot stelsels met lineire vergelijkingen met onbekenden en y. dit betekent, dt de beide onbekenden en y de eponent hebben. Stelsel () is dus een voorbeeld vn zo n stelsel!! In prgrf 7. behndelen we ook enkele voorbeelden vn stelsels met lineire vergelijkingen met onbekenden. 7. Twee lineire vergelijkingen met twee onbekenden Voorbeeld : Los op: y y Voor het oplossen vn dit stelsel kennen we oplossingsmethoden. Methode : De substitutie-methode Bij deze methode lossen we (of y) op uit vergelijking (), en vullen dn deze oplossing (of y) in vergelijking () in: Uit () volgt: y 5 Invullen ( = substitueren) vn (5) in () geeft: y y 6 6

48 (6) is nu een lineire vergelijking met onbekende y. Verder oplossen vn (6) levert dn (zie ook 6.): y y 6 y y y 5 y 5 Invullen vn y 5 in () levert de oplossing voor : y 5 7 De oplossing vn het stelsel is dus: 7 y 5 Methode : De elimintie-methode Bij deze methode proberen we y (of ) op de volgende wijze uit het stelsel te verdrijven ( = elimineren): We vermenigvuldigen vergelijking () met het getl, en vergelijking () met het getl : y 6y 9 7 y 6y 8 Als we nu de vergelijkingen (7) en (8) vn elkr ftrekken, wordt de vribele y geëlimineerd: 6y 9 6y _ 7 7 Invullen vn 7 in () levert de oplossing voor y: y 7 y y 0 y 5 De oplossing vn het stelsel is dus: 7 y 5 Opmerking: In 6. hebben we gezien, dt we vergelijkingen () en () kunnen herschrijven: y y y 9 y y y 0 7

49 (9) en (0) zijn geschreven in de vorm: y m n, d.w.z. (9) en (0) stellen lineire functies voor. De grfieken vn (9) en (0) zijn dus rechte lijnen: 9 l : y 0 l : y In onderstnde figuur zijn deze lijnen l en l getekend: l l S De lijnen l en l snijden elkr in het punt S. De coördinten vn dt snijpunt zijn: S 7, 5 y S S 7 5 Dit komt overeen met de oplossing vn het stelsel vergelijkingen () en (): 7 y 5 Conclusie: Het oplossen vn een stelsel vn lineire vergelijkingen met onbekenden komt overeen met het zoeken vn het snijpunt vn rechte lijnen. Voorbeeld : Los op: y y 5 8

50 Oplossing: We pssen de substitutie-methode toe: Los op uit (): y Substitueer () in (): y y 5 y oplossen uit () geeft: y y 5 y y 5 5??? Dit betekent dt het stelsel () en () géén oplossing heeft!! We noemen zo n stelsel dn strijdig. Als we de vergelijkingen () en () schrijven in de vorm: y m n, dn zien we wt er n de hnd is met dit stelsel: y y 5 y 5 y 5 y 6 De grfieken vn (5) en (6) zijn rechte lijnen: 5 l : y 6 l : y 5 In onderstnde figuur zijn deze lijnen l en l getekend: 5 l l De lijnen l en l zijn evenwijdig n elkr. Ze snijden elkr dus niet, zodt er géén snijpunt is. Drom heeft het stelsel () en () ook géén oplossing. 9

51 Voorbeeld : Los op: 6y 7 96y 8 Oplossing: We pssen de elimintie-methode toe: We gn uit het stelsel (7) en (8) elimineren. Drvoor gn we (7) vermenigvuldigen met het getl 9, en (8) met het getl 6: 6 y 9 5 6y y 6 5 6y 6 0 Als we nu (9) en (0) vn elkr ftrekken, wordt de vribele geëlimineerd: 56y 6 56y _ Evenls in voorbeeld vinden we ook nu geen oplossing vn het stelsel (7) en (8). Alleen is hier wt nders n de hnd: In () zien we dt beide vergelijkingen vn de vorm 56 y 6 zijn. Beide vergelijkingen zijn dus precies n elkr gelijk. In dt gevl noemen we het stelsel (7) en (8) fhnkelijk. Als we ook in dit voorbeeld de vergelijkingen (7) en (8) herschrijven in de vorm y m n, dn krijgen we de rechte lijnen: 7 l : y 8 l : y De lijnen l en l vllen dus smen, in feite is er sprke vn slechts één rechte lijn. In onderstnde figuur is deze lijn getekend: l l 50

52 7. Drie lineire vergelijkingen met drie onbekenden In de prktijk zijn er vk ook stelsels vn n vergelijkingen met n onbekenden. Als we bijvoorbeeld kijken nr lijn of vlk in de ruimte, hebben we te mken met drie ssen: de X-, Y- en Z-s. In deze prgrf behndelen we enkele voorbeelden vn stelsels met lineire vergelijkingen met onbekenden. Om deze stelsels op te lossen kunnen we de substitutie-methode en/of de elimintie-methode gebruiken. Vk is het een combintie vn de beide methoden. Voorbeeld : y z 0 y z y z Oplossing: Met behulp vn de elimintie-methode kunnen we zowel ls z uit het stelsel () en () elimineren. y z 0 y z y 6 y _ Deze uitkomst kunnen we invullen in vergelijkingen () en (): y z 0 () z 0 z 7(5) y y z () 6 z z 9(6) y (5) en (6) vormen smen een stelsel vn lineire vergelijkingen met onbekenden. Hieruit kunnen we z elimineren: z 7 z 9 _ Invullen vn in (5) levert de oplossing voor z: z 7 z 7 z 6 De oplossing vn het stelsel is dus: y z 6 Voorbeeld b: Voorbeeld c: y z 7 y z y z 7 z y y z y z 7 5

53 7. VRAAGSTUKKEN 7.. Serie. Los de volgende stelsels vergelijkingen op met de substitutie-methode:. y 7 y b. y y 7 c. b 7 b. Los de volgende stelsels vergelijkingen op met de elimintie-methode:. y y 6 b. pq pq 6 c. y 8 5y. Los de volgende stelsels vergelijkingen op:. 5y 9 y b. 5b 8 6b 5 c. k m k 6m d. y 0 y e. 5y 7 85y f. 8y y 5

54 5 ANTWOORDEN serie :.. y b. 5 y c. 7 b.. 5 y b. 0 p q c. y.. y b. b c. Stelsel is strijdig d. y e. 9 6 y f. Stelsel is fhnkelijk

55 7.. Serie. Los de volgende stelsels vergelijkingen op met de substitutie-methode:. y 0 5y 6 b. p7q 5 p q c. y 7 5 y. Los de volgende stelsels vergelijkingen op met de elimintie-methode:. 5b b 6 b. 65y 76y c. 7k 5 p k 7 p. Los de volgende stelsels vergelijkingen op:. y y y 5 b. y c. n9t 5 n t d. y y 0 e. 9b5c 6b0c 8 f. y 5 y 5 5

56 H. 8 Kwdrtische vergelijking / kwdrtische functie 8. Kwdrtische vergelijking Een kwdrtische vergelijking (of e grdsvergelijking) is een vergelijking vn de vorm: b c 0 Ook wordt een kwdrtische vergelijking wel een vierkntsvergelijking (kortweg v.k.v.) genoemd. In deze vergelijking is de onbekende, terwijl, b en c constnten zijn. Omdt de onbekende de eponent heeft, noemen we dit een kwdrtische vergelijking. Een voorbeeld vn zo n kwdrtische vergelijking is: 0 Opmerking: Voor het oplossen vn een kwdrtische vergelijking moet deze vergelijking eerst op nul worden herleid, d.w.z. dt lle termen links vn het = teken stn. In het rechterlid stt dn het getl nul. Er zijn methoden om een kwdrtische vergelijking op te lossen:. Ontbinden in fctoren: Voorbeeld : Los op in : 7 0 Oplossing: In H. hebben we l gezien dt we voor het ontbinden (vn het linkerlid) moeten zoeken nr getllen wrvn het product en de som 7 is. Dus: 7 0 ( )( ) 0 Dus de oplossing is: ( ) 0 of ( ) 0 Voorbeeld b: Los op in : 0. bc-formule of wortelformule: De v.k.v. b c 0 kent een zgn. discriminnt D. Deze discriminnt kunnen we berekenen met de formule: D b c 55

57 De oplossingen vn de v.k.v. zijn dn te berekenen met de bc-formule:, b D Voorbeeld : Los op in : 0 Oplossing: In deze v.k.v. geldt: =, b =, c = We berekenen eerst de discriminnt D: D b c Dn berekenen we de oplossingen vn de v.k.v. met de bc-formule: b D 8, 8 Dus: 8 0,59 of 8, Deze v.k.v. heeft dus oplossingen!! Voorbeeld b: Los op in : 0 Niet in lle gevllen heeft een v.k.v. oplossingen. Dit hngt f vn de wrde vn de discriminnt D. We onderscheiden gevllen:. D > 0 v.k.v. heeft verschillende reële oplossingen: b D b of D. D = 0 v.k.v. heeft gelijke reële oplossingen: b. D < 0 v.k.v. heeft geen reële oplossingen, wnt negtief getl kn niet in 56

58 Voorbeeld : Los op in : Oplossing: In deze v.k.v. geldt: =, b = - 0, c = 5 We berekenen eerst de discriminnt D: D b c Dus de v.k.v. heeft gelijke reële oplossingen: b 0 5 Voorbeeld b: Los op in : 9 0 Voorbeeld : Los op in : 65 0 Oplossing: In deze v.k.v. geldt: =, b = - 6, c = 5 De discriminnt D is: D b c ( 6) Omdt de discriminnt negtief is heeft de v.k.v. geen reële oplossingen. Voorbeeld b: Los op in : Kwdrtische functie Een kwdrtische functie (of e grdsfunctie) is een functie vn de vorm: f ( ) b c In plts vn f b c gebruiken we ook de nottie: y b c In deze functie is de (onfhnkelijke) vribele, terwijl, b en c constnten zijn. Omdt de vribele de eponent heeft, noemen we dit een kwdrtische functie. Een voorbeeld vn zo n kwdrtische functie is: f ( ) De grfiek vn een kwdrtische functie is een prbool, zols we o.. in het voorbeeld 5 kunnen zien. 57

59 Een mnier om de grfiek te tekenen zou kunnen zijn om een tbelletje te mken vn wrden vn met bijbehorende y-wrden (= functiewrden vn ). Om niet lukrk mr wt wrden vn te proberen, verdient het nbeveling om systemtisch elementen vn de kwdrtische functie te onderzoeken:. Snijpunten met de X-s. Snijpunten met de Y-s. Symmetries, en druit volgend de top vn de prbool Anvullend kunnen dn nog enkele punten worden berekend in een tbelletje zols we in voorbeeld 5 zullen zien. Voorbeeld 5: Teken de grfiek vn de functie y Oplossing:. De snijpunten met de X-s (de nulpunten ) vinden we uit: y 0 0 Door in de kwdrtische functie y = 0 te stellen, hebben we een kwdrtische vergelijking in gekregen!! Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in fctoren (zie 8.): ( )( ) 0 Dus de oplossing is: 0 óf 0 De nulpunten zijn dn: N (, 0) en N (-, 0). Het snijpunt met de Y-s vinden we uit: 0 y f (0) S y (0, ). De symmetries ligt midden tussen N en N, dus De top vn de prbool: T(, f ()) T(, ) s Anvullend kunnen we nu nog bijvoorbeeld beplen: f() 5 dus het punt (, 5) f( ) 5 dus het punt (-, 5) We noemen de grfiek vn deze functie een dlprbool. 58

60 Voorbeeld 5b: Teken de grfiek vn de functie y 0 8 Voorbeeld 6: Teken de grfiek vn de functie y Oplossing:. De snijpunten met de X-s (de nulpunten ) vinden we uit: y 0 0 Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. ontbinden in fctoren: 0 Dus de oplossing is: 0 of 0 De nulpunten zijn dn: N (0, 0) en N (, 0). Het snijpunt met de Y-s is derhlve S y (0, 0). Symmetries: s 0 De top vn de prbool: T(, f ()) T(, ) En nvullend: 6 f() 6 dus (6, -6) f( ) 6 dus (-, 6) We noemen de grfiek vn deze functie een bergprbool. 59

61 Voor de kwdrtische functie f b c gelden de volgende eigenschppen: Eigenschp : Als 0 Als 0 dlprbool bergprbool Eigenschp : Vergelijking vn de symmetries: s b Eigenschp : Top vn de prbool: T, b b f Voorbeeld 7: Gegeven zijn: lijn l: y8 prbool p: y 5 Toon n dt de lijn l de prbool p rkt. Bereken ook de coördinten vn dt rkpunt. Oplossing: We vinden de eventuele snijpunten vn l en p door de functies vn de lijn l en de prbool p n elkr gelijk te stellen: 8 5 Dit is een v.k.v. die we eerst op nul moeten herleiden: Deze v.k.v. lossen we op m.b.v. de bc-formule (zie 8.). Dus eerst de discriminnt berekenen: D b c Er is dus mr één punt dt de lijn l en de prbool p gemeen hebben, zodt l en p elkr rken in het rkpunt R. De -coördint vn het rkpunt R vinden we door de v.k.v. () op te lossen: b 6 60

62 De y-coördint vinden we door substitutie vn in de vergelijking vn de lijn l (substitutie in p kn ntuurlijk ook): y De coördinten vn het rkpunt zijn dn: R(-, -0) In onderstnde figuur zijn de grfieken vn l en p getekend. l p Voorbeeld 7b: Gegeven zijn: lijn l: y 5 prbool p: y Bereken de coördinten vn de snijpunten vn l met p. 6

63 8. VRAAGSTUKKEN 8.. Serie. Los de volgende vergelijkingen op in : ) b) c) d) e) Bepl de coördinten ( t,y t ) vn de top vn de volgende prbolen: ) b) c) y y ( ) y 8. Teken de grfieken vn de functies f en g in één figuur en bereken hun snijpunten: ) b) c) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ). ) Voor welke reële getllen p heeft de grfiek vn f ( ) p één snijpunt met de X-s? b) De rechte l: y rkt de prbool p: y Bereken en de coördinten vn het rkpunt. 6

64 ANTWOORDEN serie :. ) 6 b) 6 c),76 7,6 d) Géén (reële) oplossingen (discriminnt is negtief) e),5,5 (discriminnt is nul). ) T ( 0, - ) b) T (, ) c) T (, - 8 ).).b) snijpunten: S (-, 0) en S (, ) snijpunt: S (, 0 ).c) snijpunten: S (, ) en S ( -, 7 9 ). ) p of p b) k en rkpunt R (-.5, - 0.5) 9 6

65 8.. Serie. Los de volgende vergelijkingen op in : ) b) c) d) e) Bepl de coördinten ( t,y t ) vn de top vn de volgende prbolen: ) b) c) y 7 y ( ) y. Teken de grfieken vn de functies f en g in één figuur en bereken hun snijpunten: ) b) c) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) 5 ) Voor welke reële getllen p heeft de grfiek vn één snijpunten met de X-s? f ( ) p b) Voor welke reële getllen p heeft de grfiek vn één snijpunt met de grfiek vn g p ( ) f ( ) 6

66 H. 9 Het getl e / Logritmen 9. Het getl e Het getl e is een specil getl in de wiskunde, net zols het getl π. Het is ls volgt gedefinieerd: e 5 Als we dit uitrekenen, dn wordt de wrde vn het getl e: e, En fgerond op decimlen: e,7 9. De eponentiële functie De eponentiële functie is een functie vn de vorm: f g In deze functie is de (onfhnkelijke) vribele, terwijl g een constnte is. Omdt de vribele in de eponent stt, noemen we dit een eponentiële functie. In een eponentiële functie noemen we g het grondtl en de eponent. We eisen dt het grondtl g groter dn 0 is, oftewel: g 0 Voorbeelden vn eponentiële functies zijn: f( ) f( ) 0 Een specile eponentiële functie is: f( ) e Om de grfiek vn f e te tekenen, beplen we eerst enkele punten vn deze grfiek: : y f 0, A, 0. e e 0 e e e e : y f 0,7 B, : y f 0 C 0, : y f,7 D,.7 : y f 7,9 E, 7.9 : y f 0,09 F,

67 Als we de punten getekend hebben, dn tekenen we de grfiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultt is dn: f e Voorbeeld : Teken de grfiek vn functie f e. Oplossing: We beplen weer eerst enkele punten vn deze grfiek: e e e 0 e e e : y f 0,09 A, 0.09 : y f 7,9 B, 7.9 : y f,7 C,.7 0 : y f 0 D 0, : y f 0,7 E, 0.7 : y f 0, F, 0. Als we de punten getekend hebben, dn tekenen we de grfiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultt is dn: f e Opmerking: Dit is ook de grfiek vn de functie f e 66

68 9. Logritmen Definitie logritme: Of nders gezegd: g c log is een getl c, zodnig dt g g log c c g. In de logritmische vorm eponent. g log c noemen we g het grondtl, het rgument en c de Het grondtl g moet n de volgende eisen voldoen: g 0 en g Het rgument moet n de volgende eis voldoen: 0 Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmchine) de volgende uitdrukkingen:. b. log8 Oplossing: 5 log 5 log8, omdt 8. b. log6 Oplossing: 0 log000 log6, omdt 6 Eigenschppen voor logritmen: Eig. g log( b) g log g log b Eig. g log g log g log b b Eig. g log p p. g log g Eig. log g g Eig. 5 log 0 67

69 Voorbeelden: Herleid de volgende uitdrukkingen tot logritme:. b. log( ) log( 5) Oplossing: M.b.v. eigenschp : log( ) log( 5) log( )( 5) log( 7) log( ). b. log( ) log( 5) Oplossing: M.b.v. eigenschp : log( 7) log( ) log( ) log( 5) log 5. b. 5 5 log log( ) Oplossing: Eerst eigenschp : 5 5 log log( ) 5 5 log( ) log( ) Dn eigenschp : 5 5 log log( ) 5 5 log( ) log( ) 5 log ( ) log( ) log( ) Specile grondtllen bij logritmen: Er zijn bij logritmen grondtllen die llebei veel voorkomen. Dt zijn het grondtl 0 en het grondtl e. Omdt ze zoveel gebruikt worden, heeft de bijbehorende logritme een specile nottie gekregen. Bij grondtl 0 schrijven we in plts vn 0 log meestl: log. Dit noemen we de Briggse logritme. e Bij grondtl e schrijven we in plts vn log ltijd: ln. Dit noemen we de ntuurlijke logritme. De 5 eigenschppen voor logritmen zijn uiterrd ook vn toepssing op ntuurlijke logritmen. Voorbeeld: ln lny ln 6 y 68

70 Voorbeelden: Bereken (zonder rekenmchine) de volgende uitdrukkingen:. log00 Oplossing: log00 log0.log0 b. log 6 0. b. ln e lne Oplossing: e e ln.ln 9. De logritmische functie De logritmische functie is een functie vn de vorm: g f log Als g gelijk is n e, dn schrijven we: f ln Om de grfiek vn f ln te tekenen, beplen we eerst enkele punten vn deze grfiek: 0,5: y f 0,5 ln 0,5 0, 69 A 0.5, 0.69 : y f ln 0 B, 0 : y f ln 0,69 C, : y f 5 ln 5,6 D 5,.6 0 : y f 0 ln 0,0 E 0,.0 00 : y f 00 ln 00,6 E 00,.6 Als we de punten getekend hebben, dn tekenen we de grfiek er zo goed mogelijk doorheen. Het resultt is dn: f ln 69

71 9.5 Rekenregel voor de verndering vn het grondtl bij logritmen Eigenschp 6: log b g g log b log Met deze regel kunnen we het grondtl vn een logritme vernderen in grondtl g. Voorbeelden:. Bereken de logritme log5 door over te gn op grondtl 0. Oplossing: 0 log 5 0, log 5, 0 log 0,00 b. Bereken de logritme 5 log door over te gn op grondtl e. 9.6 Eponentiële vergelijking Een eponentiële vergelijking is een vergelijking vn de vorm: f( ) b Omdt de vribele in de eponent stt, noemen we dit een eponentiële vergelijking. Dergelijke vergelijkingen gn we oplossen door n beide knten vn het = -teken de ntuurlijke logritme te nemen. Voorbeelden: Los de volgende vergelijkingen op:. 6 Oplossing: Neem de ntuurlijke logritme vn het linker- en het rechterlid: 6 ln( ) ln 6 Dn eigenschp vn de logritmen:.ln ln6 Vervolgens oplossen: ln 6,798 ln 0,69,585 70

72 b.. 5 Oplossing: ln(5 ) ln ( ) ln5 ln ln ln 5 0, 69,609 0,, b Oplossing: 5 ln(6 ) ln 9 ( 5) ln6 ln9 ln9 5 ln 6,97 5,798 5, 6, 6 5,77,887 b. 5 7

73 9.7 VRAAGSTUKKEN 9.7. Serie Bereken (zonder rekenmchine) de volgende uitdrukkingen:.. log 7. 9 log 9. log log Herleid de volgende uitdrukkingen tot logritme: 5. log( ) log y 6. ln k ln m ln p 7. 5 log log y 8. ln ln y ln y 9. log. log y. log Reken de volgende logritme uit door over te gn op grondtl 0: log 7. Reken de volgende logritme uit door over te gn op grondtl e: 6 log Los de volgende vergelijkingen op:

74 ANTWOORDEN serie : log y ln k p m 7. log y 8. ln y 9. 5 log y 0.,77. 0,6.,9.,58., 7

75 9.7. Serie Bereken (zonder rekenmchine) de volgende uitdrukkingen:.. 5 log5. log 8. 8 log6 log 9 Herleid de volgende uitdrukkingen tot logritme: 5. log log y 6. ln ln 5 p ln p log y7. log( z ) 8. ln ln y ln y 9. log. log log 0. Reken de volgende logritme uit door over te gn op grondtl 0: log. Reken de volgende logritme uit door over te gn op grondtl e: 5 log8 Los de volgende vergelijkingen op:

76 H. 0 Goniometrie 0. Bsisbegrippen Regelmtig voeren we berekeningen uit, wrin één of meerdere hoeken voorkomen. Voor een scherpe hoek α kunnen we goniometrische verhoudingen definiëren. Deze lten zich het gemkkelijkst flezen in de rechthoekige driehoek ABC (de hoek bij C is recht): B c ααααα C b A α We definiëren:. De sinus vn de hoek α (nottie: sin α): overstnde zijde sin sin.. () schuine zijde c. De cosinus vn de hoek α (nottie: cos α): nliggende zijde b cos cos.. () schuine zijde c. De tngens vn de hoek α (nottie: tn α): overstnde zijde tn tn.. () nliggende zijde b Opmerking Uit de definitie vn sin α, cos α en tn α volgt: sin tn. () cos Voor elke rechthoekige driehoek geldt de stelling vn Pythgors: b c. (5) 75

77 Voorbeeld : Bepl in onderstnde figuur de lengte vn de schuine zijde c. Bepl drn voor hoek α de sinus, de cosinus en de tngens. Oplossing: Pythgors: c 96 c 5 c c 5 c α sin cos tn 5 5 Voorbeeld b: Bepl in onderstnde figuur de lengte vn de rechthoekszijde b.bepl drn voor hoek de sinus, de cosinus en de tngens. 5 b Een hoek drukken we uit in grden. Zo komt een rechte hoek overeen met 90. Als de grootte vn een hoek bekend is, dn kn de sinus-wrde, de cosinus-wrde en de tngens-wrde vn die hoek met de rekenmchine worden bepld. Voorbeeld : G uit vn een hoek α vn 0, dus: α = 0 Dn kunnen we met de rekenmchine berekenen: sin sin 0 0,6 cos cos 0 0,766 tn tn 0 0,8 Voorbeeld b: G uit vn een hoek vn 55. Bereken: sin, cos en tn 76

78 Voorbeeld : In onderstnde rechthoekige driehoek is zijde = en hoek α = 5 Bereken de zijden b en c. Bereken ook de hoek. c b α Oplossing: sin 5 0,576 c 6,97 c c 0,576 tn 5 0, 700 b 5, 7 b b 0, 700 Voor elke driehoek geldt: de som vn de hoeken is 80 Dus: Voorbeeld b: In bovenstnde rechthoekige driehoek is zijde = 8 en hoek = 5 Bereken de zijden b en c. Bereken ook de hoek. Voorbeeld : Een blk is onder een beplde hoek ingeklemd in de grond. An het uiteinde vn de blk hngt een gewicht, welke met een verticle krcht F vn 50 newton n die blk trekt (zie onderstnde figuur). Deze krcht F mkt een hoek vn 50 met de blk. De krcht F kunnen we ontbinden in componenten: een krcht F X, welke lngs de blk vlt, en een krcht F Y, welke loodrecht op de blk stt. Bereken de grootte vn deze componenten. Bereken ook de grootte vn de hoek. F X 50 F Y F 77

79 Oplossing: cos50 FX FX 0,68 FX F 0, ,68 60,7 F F newton sin 50 FY FY 0,7660 FY F 0, ,7660 9,5 F F newton Voorbeeld b: Een voorwerp wordt met een snelheid V vn m/sec weggeschoten onder een hoek vn 65 (zie onderstnde figuur). Deze snelheid kunnen we ontbinden in componenten: Een horizontle snelheid V X en een verticle snelheid V Y. Bereken de grootte vn deze componenten. V Y V V 65 V X 0. Goniometrie en de rekenmchine We beschouwen de uitdrukking y sin 0. We kunnen de wrde vn y berekenen met de rekenmchine m.b.v. de sin-knop (rekenmchine instellen op grden!): y = 0,0 Bij deze vrg is de hoek bekend, en moet de onbekende sinus-wrde worden berekend. Beschouw nu de uitdrukking sin 0,658 We kunnen de wrde vn de hoek berekenen met de rekenmchine m.b.v. de sin - - knop Als we de rekenmchine instellen op grden, dn vinden we de hoek = 8,7 Bij deze vrg is de sinus-wrde bekend, en moet de onbekende hoek worden berekend. Deze ltste vrg is het omgekeerde probleem (of inverse probleem) vn de eerste vrg. Het beplen vn de onbekende hoek uit de vergelijking sin 0,658 gebeurt dus met de sin - -knop vn de rekenmchine. Als je dit wilt opschrijven, dn kun je dit ls volgt noteren: sin 0,658 = sin - 0,658 = 8,7 78

80 Voorbeeld : Bepl de grootte vn de hoek in grden vn:. sin 0, 78 b. cos 0,678 c. tn,58 d. sin 0,59 cos 0,59 Merk op, dt hier nu geldt: 90 Voorbeeld : In onderstnde rechthoekige driehoek is zijde = en zijde c = 7 Bereken de hoek en de zijde b. c b α Oplossing: sin sin 0, 86 sin 0, 86 5, c 7 b b b cos cos 5, 0,90 b 7 0,90 6, c 7 7 Voorbeeld b: In bovenstnde rechthoekige driehoek is zijde = en zijde c = Bereken de hoek en de zijde b. 0. Eenheden voor een hoek Een hoek kun je ngeven in grden, bijvoorbeeld α = 5. De eenheid grden behoort niet tot het SI-stelsel. Een ndere eenheid voor de hoek is de rdil, fgekort met rd. Bijvoorbeeld = 0,8 rd. Deze eenheid behoort wel tot het SI-stelsel. Het begrip rdil hngt smen met het begrip middelpuntshoek. Definitie: Een middelpuntshoek is een hoek wrvn het hoekpunt in het middelpunt M vn een cirkel ligt. M B A In nevenstnde figuur is hoek α zo n middelpuntshoek. De cirkelboog AB wordt de booglengte genoemd. 79

81 Definitie rdil: Een middelpuntshoek α heeft de grootte vn rdil, ls de bijbehorende booglengte even lng is ls de strl R vn de cirkel. In nevenstnde figuur is de booglengte AB even lng ls de strl R vn de cirkel. Dus: hoek α = rd M R α R B A Het verbnd tussen grden en rdilen: Bij een volledige rondgng lngs een cirkel behoort een driingshoek vn 60. De middelpuntshoek α is dus 60. De bijbehorende booglengte komt dn overeen met de omtrek R vn de cirkel. De middelpuntshoek α komt dus ook overeen met rdilen. Zodt: 60 rdilen 60 rdil grden 80 rdil grden Hieruit kunnen we berekenen, dt: rdil 57, grden Evenzo kunnen we concluderen: grd 80 rdilen Voorbeeld : Onderstnde hoeken zijn gegeven in grden. Zet deze hoeken om in rdilen: 0 0 rd rd , , rd rd Voorbeeld b: Onderstnde hoeken zijn gegeven in grden. Zet deze hoeken om in rdilen:

82 Voorbeeld : Onderstnde hoeken zijn gegeven in rdilen. Zet deze hoeken om in grden: rd rd , 7 rd 0, 7,8 Voorbeeld b: Onderstnde hoeken zijn gegeven in rdilen. Zet deze hoeken om in grden: rd 5 rd,6 rd Opmerking: Als een hoek in rdilen is gegeven, dn moet bij gebruik vn de rekenmchine deze stn ingesteld op rdilen!! Voorbeeld : rd sin sin 0,866 0,67 rd cos cos 0,67 0,78 Voorbeeld b: rd sin sin 0, 7 7,09 rd tn tn,09,97 0. De grfiek vn de functies sin en cos Hiernst stt de grfiek vn de f functie sin Deze grfiek is getekend tussen = 0 en = Veel golfverschijnselen zijn te beschrijven m.b.v. een sinus-functie. f sin 8

83 Als we de grfiek vn de functie f sin tekenen tussen = - en = 5, dn zien we: f sin We zien dt de grfiek zich steeds herhlt. We spreken dn vn een periodieke functie. De periode ervn is. De mimle uitslg ( de mplitude ) vn de golf is. Hiernst stt de grfiek vn de f functie cos Deze grfiek is getekend tussen = 0 en = Veel golfverschijnselen zijn dus ook te beschrijven m.b.v. een cosinus-functie. f cos Als we de grfiek vn de functie f cos tekenen tussen = - en = 5, dn zien we: f cos We zien dt de grfiek zich steeds herhlt. Ook dit is dus een periodieke functie. De periode ervn is. De mimle uitslg ( de mplitude ) vn deze golf is ook. 8

84 0.5 De sinusregel en cosinusregel De sinus, cosinus en tngens behndeld in prgrf 0. kunnen lleen gebruikt worden bij een rechthoekige driehoek. Voor ndere driehoeken kunnen we o.. de sinus- en cosinusregel gebruiken. Wnneer gegevens bekend zijn, kunnen ook de overige onbekenden berekend worden. Hieronder stt de schemtische weergve vn een driehoek, met lle bijbehorende symbolen. b C γ A α c B Sinusregel: b sin sin b c sin sin c sin sin of kortweg: b c sin sin sin Cosinusregel: b c b c c b bc cos ccos bcos Mk bij de volgende voorbeelden steeds gebruik vn de schemtische weergve vn een driehoek (getekend n het begin vn deze prgrf). Voorbeeld : Gegeven: Bepl de zijde b. Oplossing: b sin sin 8 b sin 57 sin8 8 b sin sin 57 8

85 Voorbeeld : Gegeven: b 6 c 88 Bepl de zijde. Oplossing: b c bccos 6 6cos Oefening : Gegeven: 5 b 9 c 5 Bepl hoek. Oefening : Gegeven: 6 b 6 Bepl hoek. Oefening : Gegeven: b c 59 Bepl hoek. Oefening : Gegeven: 7 95 Bepl de zijde b. 8

86 0.6 VRAAGSTUKKEN 0.6. Serie. Bepl de grootte vn de hoek in grden:. sin 0,79 b. cos 0, 78 c. tn 6,8. Bepl de grootte vn de hoek in rdilen:. sin 0, 79 b. cos 0,68 c. tn,98. Onderstnde hoeken zijn gegeven in grden. Zet deze hoeken om in rdilen:. 8 b. 90 c. 66. Onderstnde hoeken zijn gegeven in rdilen. Zet deze hoeken om in grden:. rd 6 b. 5 rd 8 c. 0,86 rd 5. We gn uit vn onderstnde rechthoekige driehoek: c b α. Als gegeven is: zijde = 8 en hoek = 8 Bereken dn: zijden b en c, en de hoek in grden b. Als gegeven is: zijde c = 0 en hoek rd Bereken dn: zijden en b, en de hoek in rdilen 85

87 c. Als gegeven zijn: zijde = 5 en zijde c = 9 Bereken dn: hoek in grden en de zijde b d. Als gegeven zijn: zijde = 6 en zijde b = 8 Bereken dn: hoek in rdilen en de zijde c 6. Een blk is onder een hoek = 60 ingeklemd in de grond. An het uiteinde vn de blk hngt een gewicht, welke met een verticle krcht F vn 00 newton n die blk trekt (zie onderstnde figuur). De krcht F kunnen we ontbinden in componenten: een krcht F X, welke lngs de blk vlt, en een krcht F Y, welke loodrecht op de blk stt. Bereken de grootte vn deze componenten. F X F Y F 86

88 ANTWOORDEN serie :.. 6,8 b. 7,9 c. 80,8.. 0, 8 rd b. 0,89 rd c.,5 rd.. 0, 89 rd b.,57 rd c.,5 rd.. 0 b.,5 c. 9, 5.. b 6, c, b. 5 b 8,7 6 0,5 rd c.,7 b 7,5 d. 0,97 rd c 0 6. F X = 6, N F Y = 00 N 87

89 0.6. Serie. We gn uit vn onderstnde rechthoekige driehoek: c b α. Als gegeven is: zijde b = en hoek = 8 Bereken dn: zijden en c, en de hoek in grden b. Als gegeven is: zijde c = 7 en hoek rd 6 Bereken dn: zijden en b, en de hoek in rdilen c. Als gegeven zijn: zijde b = en zijde c = 5 Bereken dn: hoek in grden en de zijde d. Als gegeven zijn: zijde = 5 en zijde b = 8 Bereken dn: hoek in rdilen en de zijde c. Een voorwerp wordt met een snelheid V vn 6 m/sec weggeschoten onder een hoek vn 50 (zie onderstnde figuur). Deze snelheid kunnen we ontbinden in componenten: Een horizontle snelheid V X en een verticle snelheid V Y. Vrg: Bereken de grootte vn deze componenten. V Y V V 50 V X 88

90 . Gegeven is driehoek ABC. De lijn CD stt loodrecht op AB. Verder geldt: hoek = 65, BD = 6 en CD = 5 Vrg: Bereken hoek in grden, en bereken de lengte vn BC en vn AB. C A D B 89

91 H. Differentilrekening Een vn de meest toegepste onderwerpen in de wiskunde is de differentilrekening en in het verlengde hiervn de integrlrekening. In deze cursus beperken we ons tot de differentilrekening. Toepssingen hiervn vinden we o.. in de ntuurkunde, bijvoorbeeld bij het berekenen vn de snelheid of versnelling vn een voorwerp, in de elektriciteitsleer bij het beschrijven vn stroom- of spnningsverloop in elektrische schkelingen of gewoon bij het onderzoek vn het verloop vn functies (grfisch).. Rklijn en fgeleide Grfieken vn veel functies hebben in het lgemeen een gld verloop. Als voorbeeld kijken we nr de grfiek vn de functie: f ( ) We nemen een willekeurig vst punt op deze grfiek, A(, ), en een verderop gelegen punt B. Voor dit punt B nemen we eerst het punt B(, 8) en kijken nr de richting vn het lijnstuk (de koorde ) AB: groeit vn = nr = ; dit noteren we ls =. Als groeit vn = nr =, dn groeit y vn y = nr y =8. Dit noteren we ls y = f() = 8- = 6. De reltieve verndering vn y ten gevolge vn de verndering in is y en dit noemen we het differentiequotiënt vn de functie f(), hier dus y 6 Het differentiequotiënt geeft de rico n vn het lijnstuk AB In de meest linker figuur hieronder hebben we dit zichtbr gemkt. Als we het punt B nu gndeweg dichter nr A schuiven op de grfiek, dn vlt de richting vn het lijnstuk AB uiteindelijk smen met de rklijn in A(, ) n de grfiek (in meest rechter figuur). Fig... A(,) en B(,8) met B(,) met B(.5,.75) B vlt smen met A 90

92 Dit proces vn een steeds kleinere ngroeiing vn nemen (B steeds dichter bij A) is in onderstnde tbel nog wt gedetilleerder zichtbr gemkt. X X y y 6,5 0,5 0,75,5, 0, 0,,, 0, 0,,,0 0,0 0,00,0,00 0,00 0,0000,00 Als de ngroeiing erg klein wordt, ofwel tot nul ndert, y y dn ndert het differentiequotiënt tot. Nottie: Op het moment dt dy Nottie: d y precies wordt noteren we dit i.p.v. y dy ls d. y Opmerking : de formele nottie is : lim 0 We noemen dy het differentilquotiënt vn de functie f() in het punt A(, f()). d De meetkundige betekenis hiervn is, dt het differentilquotiënt de richting ngeeft vn de rklijn in het punt A(, f()) n de kromme.(zie fig...) Het berekenen vn het differentilquotiënt op deze mnier voor steeds ndere punten A op de grfiek vn f() zou erg omslchtig zijn. Drom gebruiken we een ntl regels om het differentilquotiënt vn een functie f() te beplen. We noemen dit proces differentiëren of de fgeleide functie beplen. Andere nmen voor de fgeleide functie zijn: - de fgeleide - de eerste fgeleide - het differentilquotiënt Voor de fgeleide vn de functie f y gebruiken we de volgende symbolen: - f '( ) of df - y ' of df d d of dy d gebruiken we ls de functie is gegeven ls: f... gebruiken we ls de functie is gegeven ls: y... 9