Formulekaart VWO 1. a k b n k. k=0

Transcriptie

1 Formulekrt VWO 1 Formulekrt VWO Knsrekening Tellen n! = n (n 1) ! = 1 ( ) n n! = k k!(n k)! Binomium vn Newton: ( + b) n = n k=0 ( ) n k b n k k Knsrekening Voor toevlsvribelen X en Y geldt E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Voor onfhnkelijke toevlsvribelen X en Y geldt σ(x + Y ) = σ (X) + σ (Y ) n-wet: bij een serie vn n onfhnkelijk vn elkr herhlde experimenten geldt voor de som S en het gemiddelde X vn de uitkomsten X: E(S) = n E(X) σ(s) = n σ(x) E( X) = E(X) σ( X) = σ(x) n Binomile verdeling Voor de binomil verdeelde toevlsvribele X wrbij n het ntl experimenten is en p de kns op ( succes ) per keer geldt: n P (X = k) = p k (1 p) n k, met k = 0, 1,,..., n k Verwchting : E(X) = np Vrintie : Vr(X) = np(1 p) Stndrdfwijking : σ(x) = Vr(X) = np(1 p) Normle verdeling Voor een toevlsvrible X die norml verdeeld is met gemiddelde µ en stndrdfwijking σ geldt: Z = X µ is stndrd norml verdeeld en σ ( P (X g) = P Z g µ ) ( ) g µ = Φ σ σ Hierin is Φ de cumultieve verdelingsfunctie vn de stndrdnormle verdeling.

2 Formulekrt VWO Algebr en verbnden Vergelijkingen vergelijking oplossing voorwrde x + bx + c = 0 x = b + D of x = b D met D = b 4c 0, D 0 x n = c x = c 1 n = n c x > 0, c > 0, n > 0 g x = x = g log = log log g > 0, g > 0, g 1 g log x = b x = g b x > 0, g > 0, g 1 e x = x = ln > 0 ln x = b x = e b x > 0 Mchten en logritmen regel voorwrde n = 1 n > 0 1 n = n > 0, n > 0 p q = p+q > 0 p : q = p q > 0 ( p ) q = pq > 0 (b) p = p b p, b > 0 g log log = p log g g > 0, g 1, > 0, p > 0 p 1 g log + g log b = g log b g > 0, g 1, > 0, b > 0 g log g log b = g log b g > 0, g 1, > 0, b > 0 g log p = p glog g > 0, g 1, > 0

3 Formulekrt VWO 3 Verbnden lineir verbnd H = b + t exponentieel verbnd H = b g t hrmonische trilling H = d + sin b(t c) of H = d sin b(t c) b is beginwrde en is helling of richtingscoëfficiënt b is beginwrde en g is groeifctor d is evenwichtstnd, (c, d) is beginpunt, π is de periode, is de mplitude en > 0, b > 0 b Somformules voor rijen Voor de som S vn de rekenkundige rij, + v, + v,..., + (n 1)v geldt: S = n eerste term+ltste term Voor de som S vn de meetkundige rij, r, r, r 3,... r n 1 geldt: n 1 S = r k = 1 rn (r 1) 1 r k=0 Voor de som S vn de meetkundige rij, r, r, r 3,... met 1 < r < 1 geldt: S = r k = 1 1 r k=0 Differentievergelijkingen recursievergelijking directe formule u(n + 1) = u(n) + b u(n) = b ( 1 + u(0) b ) n 1 of met beginvoorwrde u(0) u(n) = U + n (u(0) U) met U = b exponentiële groei u(n + 1) = u(n) logistische groei u(n + 1) = u(n) + c u(n) (G u(n)) wrin G de grenswrde is 1 Als 1 < < 1, dn is lim u(n) = b n 1 u(n) = u(0) n

4 Formulekrt VWO 4 Differentiëren nm vn de regel functie fgeleide constnte mlf g(x) = c f(x) g (x) = c f (x) somregel s(x) = f(x) + g(x) s (x) = f (x) + g (x) productregel p(x) = f(x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f(x) g (x) quotiëntregel q(x) = f(x) g(x) q (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) (g(x)) kettingregel k(x) = f(g(x)) k (x) = f (g(x)) g (x) of dk dx = df dg dg dx stndrdfuncties f(x) = c f (x) = 0 f(x) = x n f(x) = e x f (x) = n x n 1 f (x) = e x f(x) = g x f (x) = g x ln g metg > 0 f(x) = ln x f (x) = 1 x f(x) = g log x f (x) = 1 x 1 ln g f(x) = sin x f (x) = cos x f(x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tn x f (x) = 1 cos x = 1 + tn x Lineire bendering vn f in : L(x) = f() + f () (x ) Integreren functie primitieve f(x) = x n F (x) = 1 n + 1 xn+1 + c(n 1) f(x) = 1 F (x) = ln x + c x f(x) = e x F (x) = e x + c f(x) = g x F (x) = 1 ln g gx + c f(x) = ln x F (x) = x ln x x + c f(x) = g log x F (x) = 1 (x ln x x) + c ln g f(x) = sin x F (x) = cos x f(x) = cos x F (x) = sin x Lengte vn de grfiek vn f op het intervl [, b] : L = b 1 + (f (x)) dx Inhoud vn een omwentelingslichm dt ontstt door de grfiek vn een functie f op het intervl [, b] om de x-s te wentelen : I = π b (f(x)) dx

5 Formulekrt VWO 5 Goniometrie cos t + sin t = 1 sin( t) = sin t sin( π t) = cos t sin(π t) = sin t tn t = sin t cos t sin t = sin t cos t sin(t + u) = sin t cos u + cos t sin u sin(t u) = sin t cos u cos t sin u cos(t + u) = cos t cos u sin t sin u cos(t u) = cos t cos u + sin t sin u cos( t) = cos t cos( π t) = sin t cos(π t) = cos t cos t = cos t sin t = cos t 1 = 1 sin t sin α = sin β geeft α = β + k π α = π β + k π cos α = cos β geeft α = β + k π α = β + k π sin t + sin u = sin t+u sin t sin u = sin t u cos t + cos u = cos t+u cos t cos u = sin t+u cos t u cos t+u cos t u sin t u Prmeterkrommen Als (x(t), y(t)) de positie in het Oxy-vlk geeft vn een bewegend punt op tijdstip t, dn wordt de snelheidsvector op tijdstip t gegeven door (x (t), y (t)). De snelheid vn het punt op tijdstip t wordt gegeven door v(t) = (x (t)) + (y (t)) en de lengte vn de fgelegde weg tussen de tijdstippen t = en t = b door b v(t) dt = b (x (t)) + (y (t)) dt Eenprige cirkelbeweging met middelpunt (m, n), strl r en hoeksnelheid ω: { x(t) = r cos ω(t t0 ) y(t) = r sin ω(t t 0 ) met ω = π T wrbij T de omlooptijd is. Differentilvergelijkingen differentilvergelijking oplossingen exponentiële groei of vervl dy dt = c y begrensde groei dy = c (K y) met c > 0 dt logistische groei y(t) = y(0) ect y(t) = K + (y(0) K) e ct dy dt = c y (G y) y(t) = G 1 + e cgt wrin G de grenswrde is en = G y(0) y(0)

6 Formulekrt VWO 6 Meetkunde De cursief gedrukte termen mogen ls verwijzing in een bewijs gebruikt worden. Rekenen in cirkels lengte omtrek cirkel πr r is strl cirkelboog met middelpuntshoek α(rd) αr r is strl oppervlkte oppervlkte cirkel πr r is strl 1 cirkelsector met middelpuntshoek α(rd) αr r is strl Rekenen in driehoeken Stelling vn Pythgors: Als driehoek ABC een rechte hoek in C heeft, dn geldt + b = c Omgekeerde stelling vn Pythgors: Als in driehoek ABC geldt + b = c, dn is hoek C recht. Cosinusregel: In elke driehoek ABC geldt c = + b b cos γ Sinusregel: In elke driehoek ABC geldt sin α = b sin β = c sin γ Meetkundige pltsen De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee gegeven punten A en B is de middelloodlijn vn het lijnstuk AB (middelloodlijn). De verzmeling vn lle punten binnen een hoek die dezelfde fstnd hebben tot de benen vn die hoek, is de deellijn (bissectrice) vn die hoek. (deellijn). De verzmeling vn lle punten die fstnd r tot een gegeven punt M hebben, is de cirkel met middelpunt M en strl r (cirkel). De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee elkr snijdende lijnen, is het deellijnenpr (bissectricepr) vn die twee lijnen (deellijnenpr). De verzmeling vn lle punten die dezelfde fstnd hebben tot twee evenwijdige lijnen, is de middenprllel vn dt lijnenpr (middenprllel). De verzmeling vn lle punten die gelijke fstnd hebben tot een punt F en een lijn l is een prbool. P op prbool met brndpunt F en richtlijn l d(p, F ) = d(p, l) P op ellips met brndpunten F 1 en F d(p, F 1 ) + d(p, F ) = constnt P op hyperbool met brndpunten F 1 en F d(p, F 1 ) d(p, F ) = constnt

7 Formulekrt VWO 7 Hoeken, lijnen en fstnden De overstnde hoeken bij twee snijdende lijnen zijn gelijk (overstnde hoeken). Als twee evenwijdige lijnen gesneden worden door een derde lijn, dn zijn de F-hoeken en Z-hoeken gelijk (F-hoeken, Z-hoeken). Als twee lijnen in twee verschillende punten gesneden worden door een derde lijn, wrbij er een pr gelijke F-hoeken of Z-hoeken optreedt, dn zijn die twee lijnen evenwijdig (F-hoeken, Z-hoeken). Een rechte hoek is 90, een gestrekte hoek is 180. De som vn de hoeken vn een driehoek is 180 (hoekensom driehoek). De fstnd (kortste verbinding) vn een punt tot een lijn is de lengte vn de loodlijn neergelten vnuit dt punt op die lijn (fstnd punt tot lijn). Als drie punten A, B, C niet op één lijn liggen, dn geldt AB + BC > AC (driehoeksongelijkheid). Driehoeken Gelijkbenige driehoek Als in een driehoek twee hoeken gelijk zijn, dn zijn de tegenoverliggende zijden ook gelijk (gelijkbenige driehoek). Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dn zijn de tegenoverliggende hoeken ook gelijk (gelijkbenige driehoek). Gelijke driehoeken Twee driehoeken zijn gelijk (congruent) ls ze gelijk hebben: Een zijde en twee nliggende hoeken. (HZH ) Een zijde, een nliggende hoek en de tegenoverliggende (ZHH ) hoek. Twee zijden en de ingesloten hoek. (ZHZ ) Alle zijden. (ZZZ ) Twee zijden en de rechte hoek tegenover een vn die zijden. (ZZR) Gelijkvormige driehoeken Twee driehoeken zijn gelijkvormig ls ze gelijk hebben: Twee pren hoeken. (hh) Een pr hoeken en de verhouding vn de omliggende zijden. (zhz) De verhouding vn de zijden. (zzz) Een pr rechte hoeken en de verhouding vn twee nietomliggende (zzr) zijden. Vierhoeken De som vn de hoeken vn een vierhoek is 360 (hoekensom vierhoek). Equivlente definities en eigenschppen vn een prllellogrm. Er zijn twee pren evenwijdige zijden. Er zijn twee pren gelijke overstnde zijden. Twee overstnde zijden zijn gelijk en evenwijdig. De digonlen delen elkr middendoor.

8 Formulekrt VWO 8 Equivlente definities en eigenschppen vn een ruit. Het is een prllellogrm met vier gelijke zijden. Het is een prllellogrm wrin een digonl een hoek middendoor deelt. Het is een prllellogrm wrin de digonlen elkr loodrecht snijden. Equivlente definities en eigenschppen vn een rechthoek. Het is een vierhoek met vier rechte hoeken. Het is een prllellogrm met een rechte hoek. Het is een prllellogrm met gelijke digonlen. Rklijneigenschppen De rklijn in een punt P vn een prbool mkt gelijke hoeken met de lijn die P verbindt met het brndpunt en de lijn door P loodrecht op de richtlijn (rklijneigenschp prbool). De rklijn in een punt P vn een ellips of hyperbool mkt gelijke hoeken met de lijnen die P verbinden met de beide brndpunten (rklijneigenschp ellips of hyperbool). Cirkeleigenschppen Bij gelijke bogen behoren gelijke koorden (boog en koorde). De loodlijn vnuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor (loodlijn op koorde). Een rklijn n een cirkel stt loodrecht op de verbindingslijn vn middelpunt en rkpunt (rklijn). Stelling vn Thles: Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dn is ACB recht. Omgekeerde stelling vn Thles: Als hoek C in driehoek ABC recht is,dn ligt C op de cirkel met middellijn AB. Stelling vn de omtrekshoek: Elke omtrekshoek is hlf zo groot ls de bijbehorende middelpuntshoek. De hoek tussen een rklijn en een koorde is gelijk n de bij die koorde behorende omtrekshoek (hoek tussen koorde en rklijn). Als punt C over de cirkelboog AB tussen de punten A en B beweegt, dn verndert de grootte vn ACB niet (stelling vn de constnte hoek). Als punt D n dezelfde knt vn AB ligt ls punt C en ADB = ACB, dn liggen C en D op dezelfde cirkelboog AB (omgekeerde stelling vn de constnte hoek). Koordenvierhoekstelling: Als ABCD een koordenvierhoek is, dn is de som vn elk pr overstnde hoeken 180. Omgekeerde koordenvierhoekstelling: Als in een vierhoek de som vn een pr overstnde hoeken 180 is, dn is het een koordenvierhoek. Een rklijn n een cirkel stt loodrecht op de verbindingslijn vn middelpunt en rkpunt (rklijn).