Faculteit Ingenieurswetenschappen. Formules Wiskunde. Egon Geerardyn. revisie 3.6 (22 januari 2007)

Transcriptie

1 Fculteit Ingenieurswetenschppen Formules Wiskunde Egon Geerrdyn revisie.6 ( jnuri 007)

2 Formules wiskunde revisie.6 pgin Voorwoord Deze uitgve is geen officiële uitgve vn de Vrije Universiteit Brussel, slechts een formulrium gemkt door een student. Mogelijk stn er hier of dr nog fouten in, indien u er tegenkomt, stuur gerust een miltje nr egon.geerrdyn@vub.c.be. De source code ( L A TEX) is vrij beschikbr op nvrg. Mogelijk is er reeds een nieuwe versie beschikbr op Referenties 0. e.., Vn Bsis Tot Limiet 5/6 (... ), Die Keure Ph. Cr, Lineire Algebr Volume I, Dienst uitgven Vrije Universiteit Brussel Ph. Cr, Lineire Algebr Volume II, Dienst uitgven Vrije Universiteit Brussel S. Cenepeel, Anlyse I, Dienst uitgven Vrije Universiteit Brussel S. Cenepeel, Anlyse II, Dienst uitgven Vrije Universiteit Brussel 006.

3 Formules wiskunde revisie.6 pgin Inhoudsopgve Goniometrie. Formules Vergelijkingen Cyclometrie Hyperbolische functies Tbellen Vlkke meetkunde 6. Rechthoekige driehoeken Willekeurige driehoeken Regelmtige Veelhoeken Cirkel Anlyse 8. Logritmen Tylorreeksen Algemene benderende reeksen Specifieke Tylor/McLurin-reeksen Afgeleiden Differentilen Integrtie Frequente integrlen Toepssingen Lineire Algebr 4. Vectorruimte Lineire Afbeeldingen Eigenwrden en eigenvectoren Complexe Getllen Vectoren 4 6 Ruimtemeetkunde 5 6. Vergelijkingen vn rechten Vergelijkingen vn vlkken Loodrechte en evenwijdige stnd Afstnden en hoeken Bollen Knsrekening 9 7. Combintieleer Rekenregels voor knsen

4 Formules wiskunde revisie.6 pgin Goniometrie. Formules Hoofdeigenschp en fleidingen sin α + cos α = + tn α = sec α + cot α = csc α Som en verschilformules sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β tn(α ± β) = Verdubbelingsformules tn α ± tn β tn α tn β sin α = sin α cos α = tn α + tn α Formules vn Simpson (product nr som) sin α cos β = sin(α + β) + sin(α β) cos α cos β = cos(α + β) + cos(α β) sin α sin β = cos(α β) cos(α + β) cos α sin β = sin(α + β) sin(α β) Formules vn Simpson (som nr product) sin p + sin q = sin p + q sin p sin q = cos p + q cos p + cos q = cos p + q cos p cos q = sin p + q cos p q sin p q cos p q sin p q cos α = cos α sin α = sin α = cos α = tn α + tn α tn α = tn α tn α t-formules ( t = tn α ) sin α = t + t cos α = t + t tn α = t t Productformules sin α = sin α 4 sin α cos α = 4 cos α cos α sin α = cos α = cos α + cos α

5 Formules wiskunde revisie.6 pgin 4. Vergelijkingen sin x = sin α x = α + k π x = π α + k π cos x = cos α x = α + k π x = α + k π met k Z met k Z tn x = tn α x = α + k π cot x = cot α x = α + k π met k Z met k Z. Cyclometrie rgsin x = α sin α = x α [ π, π ] rgcos x = α cos α = x α [0, π] ] rgtn x = α tn α = x α π, π [ rgcot x = α cot α = x α ]0, π[.4 Hyperbolische functies sin cos tn cot rgsin x x x x x x rgcos x x x x x x rgtn x +x +x x x rgcot x x +x +x x x x x x cosh x = ex + e x sinh x = ex e x tnh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x Hoofdeigenschp cosh α sinh α = Som- en verschilformules sinh (x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y cosh (x ± y) = cosh x cosh y sinh x sinh y Symmetrie vn Hyperbolische functies sinh cosh tnh coth beschrijving x sinh x cosh x tnh x coth x tegengesteld

6 Formules wiskunde revisie.6 pgin 5 Omzettingstbel sinh (x) cosh (x) tnh (x) coth (x) sinh (x) = sinh (x) ± cosh tnh(x) (x) ± tnh (x) coth (x) cosh (x) = + sinh (x) cosh (x) tnh (x) coth(x) coth (x) tnh (x) = coth (x) = sinh(x) +sinh (x) ± +sinh (x) sinh(x) ± cosh(x) cosh (x) cosh (x) cosh(x) tnh (x) coth(x) tnh(x) wrin ± overeenkomt met het teken vn x coth (x).5 Tbellen Frequente wrden rdilen grden sin α cos α tn α cot α π 6 0 π 4 45 π 60 π π 0 π 4 5 5π 6 50 π π 6 0 5π 4 5 4π 40 π 70 5π 00 7π 4 5 π π Verwnte hoeken sin cos tn cot beschrijving α + k π sin α cos α tn α cot α gelijk α sin α cos α tn α cot α tegengesteld π α sin α cos α tn α cot α supplementir π + α sin α cos α tn α cot α nti-supplementir π π α cos α sin α cot α tn α complementir + α cos α sin α cot α tn α nti-complementir

7 Formules wiskunde revisie.6 pgin 6 Vlkke meetkunde. Rechthoekige driehoeken In een rechthoekige driehoek ABC met Â = 90 geldt: sin B = cos B = overstnde zijde schuine zijde nliggende zijde schuine zijde = b = c tn B sin B overstnde zijde = = cos B nliggende zijde = b c cot B = nliggende zijde = tn B overstnde zijde = c b sec B = cos B = schuine zijde nliggende zijde = c csc B = sin B = schuine zijde overstnde zijde = b = b + c Stelling vn Pythgors. Willekeurige driehoeken Sinusregel sin Â = Cosinusregel (wrbij r de strl vn de omgeschreven cirkel is) b sin B = c sin Ĉ = r = b + c bc cos Â Tngensregel + b b A+B tn = tn A B Algemene formules in een willekeurige driehoek ABC : + b + c = p + b c = (p c) Cosinus vn de hlve hoek cos Â p (p ) = b c Sinus vn de hlve hoek sin Â (p b) (p c) = b c

8 Formules wiskunde revisie.6 pgin 7 Tngens vn de hlve hoek tn Â = (p b) (p c) p (p ) Lengte vn de hoogtelijnen h in een driehoek h A = b sin Ĉ = c sin B Lengte vn de bissectrices d in een driehoek d A = bc cos Â b + c Oppervlkteformules (S) S = bc sin Â S = p (p ) (p b) (p c) (Formule vn Heroon). Regelmtige Veelhoeken In een regelmtige n hoek met strl r geldt de middelpuntshoek α n α n = π n α n = π n de lengte vn de pothem n n = r cos π n de lengte vn de zijde z n z n = r sin π n de omtrek O O = n z n = n r sin π n de oppervlkte S S = n z n n = n r sin π n cos π n.4 Cirkel In een cirkel met strl r en een gegeven middelpuntshoek α geldt voor de lengte d vn de bijhorende koorde d = r sin α de lengte d vn het middelpunt tot de bijhorende koorde d = r cos α

9 Formules wiskunde revisie.6 pgin 8 Anlyse. Logritmen log x = y x = y x = log x log ( x n i i b log x = ) = n i log x i log x log b b log = log b. Tylorreeksen.. Algemene benderende reeksen Tylor-reeks bendering vn f (x) in x = vn grd n P n (x) = n f (n) () n! (x ) n McLurin-reeks bendering vn f (x) in x = 0 vn grd n P n (x) = n f (n) (0) x n n!.. Specifieke Tylor/McLurin-reeksen x : e x x n = n! = x + x + x 6 + x4 4 + x5 0 + x x < : ln( + x) = x : sin x = x : cos x = x < π : sec x = x < : rgsin x = ( ) n n + xn+ = x x + x x ( ) n (n + )! xn+ = x x 6 + x5 0 x ( ) n (n)! xn = x x + x4 4 x x : rgtn x = ( ) n E n x n = + x (n)! + 5x x x (n)! 4 n (n!) (n + ) xn+ = x + x 6 + x x7 + 5x ( ) n n + xn+ = x x + x5 5 x7 7 + x

10 Formules wiskunde revisie.6 pgin 9 x : sinh (x) = x : cosh (x) = x < π : tnh (x) = (n + )! xn+ = x + x 6 + x5 0 + x x (n)! xn = + x + x4 4 + x x n= B n 4 n (4 n ) x n = x x (n)! + x5 5 7x x

11 Formules wiskunde revisie.6 pgin 0. Afgeleiden Definitie f (x) f () D x f () = lim = df x x dx Richtingsfgeleide Rekenregels volgens u D u f ( ) = lim h 0 f ( + h u) f ( ) h Dα = 0 Dx = D (αf ± βg) = α Df ± β Dg D (f g) = f Dg + g Df ( ) f g Df f Dg D = g g Dx n = nx n Df m = m f m Df met m Q 0 Kettingregel D [(g f) (x)] = Dg [f (x)] Df (x) dy dx = dy du du dx met u = f (x) Afgeleide vn de inverse functie Df = dx dy = Df (f (x)) ( ) dy dx D (sin x) = cos x D (cos x) = sin x D (tn x) = cos x = sec x D (cot x) = D (rgsin x) = D (rgcos x) = sin x = csc x x x D (rgtn x) = + x D (rgcot x) = + x D (sinh x) = cosh x D (cosh x) = sinh x D (tnh x) = cosh x D (coth x) = sinh x D (rgsinh x) = D (rgcosh x) = + x x D (rgtnh x) = x D (rgtnh x) = x Frequente vormen De x = e x D x = x ln D (ln x) = x D ( log x) = x ln D (f g ) = f g ( Dg ln f + f g Df )

12 Formules wiskunde revisie.6 pgin.4 Differentilen df (x) = df dx dx = D x (f) dx Totle differentil vn een functie f (x,..., x N ) df = N i= f x i dx i Kettingregel df m dt = i= f x i dx i dt

13 Formules wiskunde revisie.6 pgin.5 Integrtie.5. Frequente integrlen dx = x + c x n dx = xn+ n + + c met n R { } x dx = x dx = ln x + c e x dx = e x + c f n (x) f (x) dx = f n+ (x) n + f (x) f(x) dx = ln f(x) + c + c f n (x)f (x) dx = f n+ (x) + c met n R { } n + f(x) dg(x) = f(x)g(x) g(x) df(x) + c x dx = x ln + c sin x dx = cos x + c cos x dx = sin x + c sec x dx = csc x dx = cos x = tn x + c sin x = cot x + c dx = rgtn x + c = rgcot x + c + x dx = rgsin x + c = rgcos x + c x sinh x dx = cosh x + c cosh x dx = sinh x + c cos x dx = sin x dx = x + sin x cos x x sin x cos x + c + c tn x dx = ln cos x + c = ln sec x + c cot x dx = ln sin x + c dx + x = rgtn x + c dx + x = rgsin x + c

14 Formules wiskunde revisie.6 pgin.5. Toepssingen Inhoud vn een omwentelingslichm bepld door wenteling vn f(x) om de x-s begrensd door en b V = π b [f(x)] dx Booglengte vn een kromme bepld door f(x) tussen en b b ( ) df L = + dx dx Booglengte vn een prmeterkromme bepld door x = f(t) en y = g(t) tussen en b L = b ( ) dx + dt ( ) dy dt dt L = b ds met ds = dx + dy + dz Mnteloppervlkte vn een omwentellingslichm en b b S = π f(x) + [f (x)] dx bepld door wenteling vn f(x) om de x-s begrensd door S = π b 4 Lineire Algebr 4. Vectorruimte f(x) ds met ds = dx + dy + dz Euclidische Ruimte Sclir Product: is een reële vectorruimte uitgerust met, b Symmetrisch Bilineir Positief Definiet: x 0 : x, x > 0 Pre-Hilbert-ruimte is een complexe vectorruimte uitgerust met Sclir Product:, b Symmetrisch Sequilineir Positief Definiet: x 0 : x, x > 0

15 Formules wiskunde revisie.6 pgin 4 4. Lineire Afbeeldingen 4.. Eigenwrden en eigenvectoren Krkteristieke veelterm det (A λi n ) = 0 4. Complexe Getllen z = + bi r = + b θ = rgtn b z = r (cos θ + i sin θ) z = r e iθ 5 Vectoren AB = B A Rekenregels : o = 0 = o o : =, b : b = b, b o : b b = 0 sclir product, b = b, ) u, v o : u v = u v cos ( u, v = Vectoriëel Product u x u y u z b = x y z b x b y b z Gemengd product ( ) b c = Differentilopertoren c x c y c z x y z b x b y b z Differentilopertor vn de Eerste Orde ( = x, y, ) z n u i v i i=

16 Formules wiskunde revisie.6 pgin 5 Grdiënt grd (f) = f = Divergentie ( f x, f y, f ) z div ( v) = v = v x x + v y y + v z z Rottie rot ( v) = v = u x u y u z x y z v x v y v z Differentilopertor vn de Tweede Orde (Lplcin) (f) = div (grd (f)) = ( ) f = f = f x + f y + f z 6 Ruimtemeetkunde 6. Vergelijkingen vn rechten Rechte bepld door een punt P (x, y, z ) en richtingsvector R(, b, c) vectoriële vergelijking P = P + k R met k R prmetervoorstelling x = x + k y = y + k b z = z + k c crtesische vergelijking of x y z = x y z + k b c x x = y y b = z z c met, b, c R 0 Rechte bepld door twee punten P (x, y, z ) en P (x, y, z ) vectoriële vergelijking P = P ( + k P P ) met k R prmetervoorstelling x = x + k (x x ) y = y + k (y y ) z = z + k (z z ) of x y z = x y z + k x x y y z z crtesische vergelijking x x x x = y y y y = z z z z

17 Formules wiskunde revisie.6 pgin 6 Richtingsgetllen (, b, c, ) vn de snijlijn vn twee vlkkenα en β { ([ ]) u x + v d y + w z + t = 0 u v wrbij r w = u x + v y + w z + t = 0 u v w = k v w v w en b = k u w u w en c = k u v u v 6. Vergelijkingen vn vlkken Algemene vergelijking vn een vlk ux + vy + wz + t = 0 met (u = v = w = 0) Vergelijking vn bsisvlkken vlk yz: x = 0 vlk xz: y = 0 vlk xy: z = 0 Vlk bepld door één punt P (x, y, z ) en twee richtingsvectoren R (, b, c ) en R (, b, c ) vectoriële vergelijking P = P + k R + m R prmetervoorstelling x = x + k + m y = y + k b + m b of z = z + k c + m c x y z = x y z + k b c + m b c crtesische vergelijking x y z x y z b c 0 = 0 of b c 0 x x y y z z b c b c = 0 Vlk bepld door drie niet-collineire punten P,P en P vectoriële vergelijking P = P ( + k P P ) ( + m P P ) prmetervoorstelling x = x + k (x x ) + m (x x ) y = y + k (y y ) + m (y y ) z = z + k (z z ) + m (z z ) x y z = x y z + k x x y y z z + m x x y y z z

18 Formules wiskunde revisie.6 pgin 7 crtesische vergelijking x y z x y z x y z = 0 x y z Vergelijking vn een vlk op de ssegmenten vlk α snijdt x, y, z in P (, 0, 0), P (0, b, 0), P (0, 0, c) α x + y b + z c = Vergelijking vn de vlkkenwier door d { u x + v d y + w z + t = 0 u x + v y + w z + t = 0 k (u x + v y + w z + t ) + m (u x + v y + w z + t ) = 0 met k, m R en (k = m = 0) 6. Loodrechte en evenwijdige stnd Evenwijdigheid rechten e en f met richtingsgetllen (, b, c ) en (, b, c ) e//f k R 0 : = k b = kb c = kc Evenwijdigheid vlkken α u x + v y + w z + t = 0 en β u x + v y + w z + t = 0 α//β k R 0 : u = ku v = kv w = kw Evenwijdigheid rechte d met richtingsgetllen (, b, c) en het vlk α u x + v y + w z + t = 0 d//α u + vb + wc = 0 Loodrechte stnd vn rechten e en f met richtingsgetllen (, b, c ) en (, b, c ) e f + b b + c c = 0 Loodrechte stnd vn een rechte e met richtingsgetllen (, b, c) en een vlk α ux + vy + wz + t = 0 e α = k u b = k v c = k w met k R 0 Loodrechte stnd vn twee vlkken α u x + v y + w z + t = 0 en β u x + v y + w z + t = 0 α β u u + v v + w w = 0 Normlvector vn een vlk N (u, v, w) is een normlvector vn het vlk α ux + vy + wz + t = 0 Stelsel vergelijkingen vn de loodlijn m uit P (x, y, z ) op het vlk α ux + vy + wz + t = 0 m x x u = y y v = z z w met u, v, w R 0 Vergelijking vn het loodvlk α uit P (x, y, z ) op een rechte e met richtingsgetllen (, b, c) α (x x ) + b (y y ) + c (z z ) = 0

19 Formules wiskunde revisie.6 pgin Afstnden en hoeken Afstnd tussen de punten A (x, y, z ) en B (x, y, z ) d (A, B) = AB = (x x ) + (y y ) + (z z ) Afstnd vn een punt A (x, y, z ) tot het vlk α ux + vy + wz + t = 0 d (A, ) = ux + vy + wz + t u + v + w Hoek vn twee rechten met richtingsgetllen (, b, c ) en (, b, c ) ) + b b + c c cos (âb = + b + c + b + c De hoek vn een rechte en een vlk α is het complement vn de hoek gevormd door de rechte en de loodlijn m op dt vlk. met stel richtingsgetllen (, b, c) en α ux + vy + wz + t = 0 cos (âm) = u + vb + wc + b + c u + v + w en âα = 90 âm Hoek vn vn twee vlkken α u x + v y + w z + t = 0 en β u x + v y + w z + t = 0 is de hoek vn twee loodlijnen op de respectievelijke vlkken ( ) u u + v v + w w cos αβ = u + v + w u + v + w 6.5 Bollen Middelpuntsvergelijking vn een bol B (M (x, y, z ), r) (x x ) + (y y ) + (z z ) = r Algemene vergelijking vn een bol x + y + z + x + by + cz + d = 0 ls + b + c d 0 met middelpunt M (, b, c) en strl r = + b + c d

20 Formules wiskunde revisie.6 pgin 9 7 Knsrekening 7. Combintieleer V p n = V p n = n! n! (n p)! P n = Vn n = n! n! P,,...,i n =!!... i! C p n = V p n P p = n! p! (n p)! C n = C p n+p = V p n+p (n + p )! = P p p! (n )! C p n+ = Cp n + C p n formule vn Stifel-Pscl n ( + b) n = Cn k n k b k k=0 binomium vn Newton opgve volgorde vn belng? j Herhling mogelijk? j Antl herhlingen bepld? j nee nee nee p = n j nee Herhling mogelijk? j nee P,,..., i n V p n P n V p n C p n C p n oplossing 7. Rekenregels voor knsen Verschilregel P (A \A ) = P (A ) P (A A ) Stelling vn Boole P (A A ) = P (A ) + P (A ) P (A A ) Productregel vn onfhnkelijke gebeurtenissen P (A en B ) = P (A B ) = P (A ) P (B )