Formularium goniometrie

Transcriptie

1 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Formulrium goniometrie sin α cos α Definities : tn α cot α secα cscα cos α sin α cos α sin α Gevolg : tn α cot α cot α tn α Hoofdformule : cos sin Gevolg : tn sec cot csc α α α α α α Gelijke hoeken Tegengestelde hoeken Anticomlementire hoeken ( ) ( ) ( ) cos( α k ) cos α, k cos( α ) cosα cos α sin α sin( α k ) sin α, k sin( α ) sin α sin α cosα tn( α k ) tn α, k tn( α ) tn α tn α cot α cot( α k ) cot α, k cot( α ) cot α cot α tn α Sulementire hoeken Comlementire hoeken Antisulementire hoeken ( ) ( ) ( ) cos( α ) cos α cos α sin α cos( α ) cosα sin( α ) sin α sin α cosα sin( α ) sin α tn( α ) tn α tn α cot α tn( α ) tn α cot( α ) cot α cot α tn α cot( α ) cot α Bijzondere wrdentel α cos α sin α tn α n.g. n.g. cot α n.g. n.g. Bsisvergelijkingen sin met, α k of α k, k sin k, k cos met, α k of α k, k cos k, k tn α k, k

2 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Som- en verschilformules cos( αβ ) cosα cosβ sin α sinβ cos( α β ) cosα cosβ sin α sinβ sin( αβ ) sin α cosβ cosα sinβ sin( α β ) sin α cosβ cosα sinβ tn α tn β tn α tnβ tn( αβ ) tn( α β ) tn α tn β tn α tnβ Formules voor de duele hoek sin α sin α cosα cos cos sin α α α cos cos cos cos α α α α cos sin cos sin tn α α α α tnα α tn α Formules vn Simson : eerste vorm sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin Formules vn Simson : tweede vorm sin cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos cos Formulrium nlyse f f f is fleidr in indien lim een reeel getl is. De fgeleide vn f in is de wrde vn deze limiet. Meetkundige etekenis vn de fgeleide vn een functie in een unt De fgeleide vn een functie f in een unt is de richtingscoefficient vn de rklijn t in het unt A met coordint, f n de grfiek vn f. A A Vergelijking t : y f f ( ) Rekenregels om de fgeleide functie te elen Stellen we g u, h v en k w, dn kunnen we de fgeleide functie f vn f elen door te steunen o :. f c f c. f f

3 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u. f f, Ql \{ } Ql \{ } f u f u u, u u u 4. f f u f u f u u u u 5. f u v f u v u v u v f u v f u v u v u v 6. f u v f u v u v u v u v u v ( ) f u v w f u v w u v w u v w 7. f cu f cu cu cu u u v u v u u v u v 8. f ( ) f ( ) v v v v 9. f sin f cos sin cos f sin u f cos u u sin u cos u u. f cos f sin cos sin f cos u f sin u u cos u sin u u. f ( ) tn f ( ) ( tn ) cos cos f( ) tnu u u f ( ) ( tnu ) cos u cos u. f ( ) cot f ( ) ( cot ) sin sin f ( ) cot u u u f ( ) ( cot u) sin u sin u. f ( ) gsin f ( ) ( gsin ) u u f ( ) gsin u f ( ) ( gsin u) u u

4 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u 4. f ( ) gcos f ( ) ( gcos ) u u f ( ) gcos u f ( ) ( gcos u) u u 5. f ( ) gtn f ( ) ( gtn ) u u f ( ) gtn u f ( ) ( gtn u) u u De regel vn de lhositl Als voor lr lim g lim h, g gedefinieerd is in een verminderde sisomgeving vn, h g lim gedefinieerd is, h g g dn geldt : lim lim h h De regel vn de lhositl geldt ij de oneldheid. Men kn ntonen dt deze eigensch ook geldt voor de oneldheden,, en. De regel geldt ook voor linker- en rechterlimieten. Cyclometrische functies gsin sin, gcos ( cos [, ]) gtn tn, dom gsin, dom gcos, dom gtn lr er gsin, er gcos [, ] er gtn, [, ]:gsin sin en, [, ]: gsin sin en, [, ]: gcos cos en, [, ]: gcos cos en, lr : gtn tn en, R : gtn tn en, l 4

5 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Eonentiële en logritmische functies Definitie { } In symolen : lr \, l R : log y e log log log ln y Eigenschen en rekenregels voor logritmen. y log y log. log. log 4., y lr : log y log log y 5., y lr : log log log y y r 6. lr, r lr : log r log log log log log log log ln log ln 5

6 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Verdere rekenregels om de fgeleide functie te elen 6. f e f e e e u u u u f e f e u e e u 7. f f ln ln u u u u f f ln u ln u 8. f ( ) ln f ( ) ( ln ) u u f ( ) lnu f ( ) ( ln u ) u u 9. f ( ) log f ( ) ( log ) ln ln u u f ( ) logu f ( ) ( log u) u ln u ln Hyerolische functies e e De functie sinh : : noemen we de hyerolische sinus. e e De functie cosh : : noemen we de hyerolische cosinus. De functie sinh tnh : : noemen we de hyerolische tngens. cosh We tekenen de grfiek vn deze functies. dom sinh er sinh dom cosh er cosh [, [ dom tnh ] [ er tnh,. f sinh f cosh f sinh u f cosh u u. f cosh f sinh f cosh u f sinh u u u. f ( ) tnh f ( ) f ( ) tnh u f ( ) cosh cosh u 6

7 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Fundmentele elde integrlen Formulrium ij WPP 6. Anlyse. d 6. d tn cos r r. d met r R \{, } 7. d [ cot ] r l sin. d ln 8. d gtn f. d ln f 9. d gsin gcos f 4. sin d cos. e d e 4. sin d cos. e d e n 5. cos d sin. d met R \ ln {} l m m n 5. cos d sin. d met R \ ln Oervlkte vn vlkdelen m m Als f continu is in,, dn geldt :S grfiek vn f, de -s en de verticlen en. V n n l { } f d, met V het vlkdeel egrensd door de De oervlkte egrensd door y f, y g, de verticlen : en : is gelijk n f g d. g t Voor een kromme met stelsel rmetervergelijkingen met t [, ], y h t h continu en ositief in, en g fleidr in, geldt : h t ls de kromme de grfiek is vn een functie f die wrden nneemt in, met g en g,dnis f d g t dt. Deze eigensch kn geruikt worden om oervlkten vn vlkdelen te elen. 7

8 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Goniometrische sustitutie Volgende sustituties leveren soms resultt o: l rcosu met u, Vorm in de integrnd : r met r R Sustitutie : r sin u met u, of l Vorm in de integrnd : r met r R Sustitutie : r tn u met u, l sec u met u, ls > en u, ls < Vorm in de integrnd : r met r R Sustitutie : r Prtiële integrtie Formules : u dv u v v du ; u dv u v vdu Inhoud vn een lichm Stel L een lichm dt ligt tussen en. Als de oervlkte vn een loodrechte doorsnede o de -s vn L en α gelijk is n S met S continu, dn is de inhoud I vn L n gelijk n lim S( ci ), of nog, n n Δ i Inhoud vn een omwentelingslichm Sd. Als f continu is in het intervl [, ], dn is de inhoud vn het omwentelingslichm ontstn door het wentelen om de -s vn het vlkdeel egrensd door de grfiek vn f, de -s en de d. rechten en gelijk n f ( ) Lengte vn een kromme Als f continu is in,, dn is de lengte L vn de grfiek vn f in, gelijk n f d. Veronderstel dt f een functie is wrij f continu is in,. g t De grfiek vn f in [, ] is een kromme met rmetervoorstelling y h t met g en g en g, h continu in, of,. ( ) ( ) ( ) ( ) Dn is L g t h t dt indien < en L g t h t dt indien >. 8

9 Jr 6 : Formulrium 6u en 7u Zijdelingse oervlkte vn een omwentelingslichm Als f continu is in [, ], dn is de zijdelingse oervlkte vn het omwentelingslichm verkregen. door de grfiek vn f te lten wentelen om de -s in [, ] gelijk n: L ( ) ( ) f f d Veronderstel dt f een functie is wrij f ositief en f continu is in,. g t De grfiek vn f in [, ] is een kromme met rmetervoorstelling y h t met g en g en g, h continu in, of,. Dn is ZO h t g t h t dt. < De verltsing vn een voorwer dt rechtlijnig en continu eweegt in het tijdsintervl t v t dt. [t, t ] is t De totle fgelegde weg vn een voorwer dt rechtlijnig en continu eweegt in het tijdsintervl t v t dt. [t, t ] is t De snelheidsverndering tussen de tijdstien t en t is gelijk is n t t dt. Als een voorwer lngs de -s eweegt in de ositieve zin vn tot en er in elk unt tussen en een continue krcht f uitgeoefend wordt o het voorwer, dn is de verrichte reid om het voorwer vn nr te ewegen gelijk n: W t f d. Als de roductie wordt verhoogd vn nr eenheden dn is de kostenverhoging MK d. Hierij is MK de mrginle kostenfunctie. 9