Dit dictaat bevat een serie uitgewerkte voorbeeldopgaven. Deze zijn naar onderwerp geordend, waarvan de volgorde overeenkomt met die van het boek.

Transcriptie

1 Beste studenten Dit dictt bevt een serie uitgewerkte voorbeeldopgven Deze zijn nr onderwerp geordend, wrvn de volgorde overeenkomt met die vn het boek De keuze vn de onderwerpen is tot stnd gekomen n studenten in 009 gevrgd te hebben met welke onderwerpen zij de meeste problemen hebben gehd bij het volgen vn de cursus De bedoeling is je met behulp vn deze uitwerkingen houvst te geven bij het mken vn opgven uit je cursusboek De schrijvers vn dit dictt wensen je heel veel succes met deze cursus Sjos Frissen & Theo vn Pelt Jnuri 00 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

2 De verzmeling reële getllen P Het omzetten vn een repeterend deciml getl in en breuk Voorbeeld 0, 0, Oplossing: 0, 0, ; omdt 0, een repeterend rtionl getl is bestnde uit een herhling vn twee cijers, en, vermenigvuldig je de gelijkheid links en rechts met 00, dn 00, 0, ; 99 ; dn 99 Het omzetten vn een breuk in een repeterend deciml getl Voorbeeld 7 7 /, \ 0, Uit de strtdeling blijkt dt 0, 4857 Als je de strtdeling toepst 7 op de breuk, dn geldt voor deze breuk 0, 8574 Dt resultt 7 7 vind je ook ls je bedenkt dt 7 7 0,4857 0,4857 0, 8574 Het gebruik vn een dergelijk verbnd kun je ook toepssen op de breuken 7, 7 4, enz TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

3 0, , Opmerking: het resultt vn de vermenigvuldiging 0,4857 krijg je ls volgt: Reële getllen visuliseren op een getllenlijn Gee het intervl 5 weer op een getllenlijn Het betret hier een eindig intervl en wel een hl open intervl, 5 Op de getllenlijn kun je dit intervl ls volgt weergeven: 5 Gee het intervl weer op een getllenlijn Nu gt het om een oneindig intervl, Op de getllenlijn wordt dit intervl ls volgt weergegeven: Het oplossen vn ongelijkheden Los op 5 ; een lineire ongelijkheid Oplossing met een berekening: je pst dezelde regels toe ls bij het oplossen vn vergelijkingen 5 ; ik wil de en links en de getllen zonder rechts vn het ongelijkteken; tel links en rechts vn het ongelijkteken erbij, dn verdwijnt de n de rechterknt 5 5; trek nu links en rechts er, dn verdwijnt n de linkerknt 5 6 ; links en rechts delen door ; let op het ongelijkteken KLAPT OM; TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

4 6 Oplossing met een griek Teken de grieken vn y en y 5 Bereken de coördint vn het snijpunt door op te lossen de vergelijking 5 ; je hoet per slot lleen de op te lossen Voor de oplossing vn de vergelijking vind je = Voor ligt de griek vn y op en boven de griek vn y 5 de wrden wrvoor de griek vn y boven die vn y 5 Los op 0 ; een gebroken ongelijkheid Oplossing met berekening: Je kunt de breuk wegwerken door de ongelijkheid links en rechts te vermenigvuldigen met Hierbij moet je twee gevllen onderscheiden en wel 0 In het ltste gevl klpt het ongelijkteken om owel en 0 owel Gevl : 0 ; vermenigvuldig met en, dn 0 o Gevl : 0 0 o en dus Smen de voorwrde oplossing geet dit ls ; vermenigvuldig met en, dn 0 o 0 owel en dus ; er geldt, dus oplossing Gevl en Eindoplossing: o TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 4

5 Alterntieve oplossing: mk er één breuk vn en mk gebruik vn een tekenschem Eén breuk mken: Verwerk de ongelijkheid in een tekenschem: Niet gedeinieerd Uit het tekenschem is de eindoplossing te lezen Eindoplossing: o De verzmeling reële getllen P Herleid een gegeven vergelijking in en y tot die vn een cirkel Theorie: 4 kwdrtische relties tussen en y: y b r, een cirkel met middelpunt b, en strl r y 4 p, een prbool met brndpunt F 0, p y p ; Voorbeeld zie iguur y en richtlijn 8, dn F = (0, ) en de richtlijn is y =, y 8 y b, een ellips met centrum de oorsprong, de lnge s vn, 0 tot, 0 en de korte s vn b, 0 tot b, 0; TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 5

6 y 4 b y y symptoten die voldoen n de vergelijkingen 0 en 0 b b Een opgve:, een hyperbool met centrum de oorsrpong, door de punten, 0 en, 0 en Kies het type De vergelijking is vn het type y by p Splits kwdrten ; y y ; y 4 6y y 49 ; y 44 y 6y9 5 De vergelijking hoort bij een cirkel met middelpunt (, ) en strl 5 Goniometrische uncties P7 Etr ondersteuning bij studie, toegelicht bij het onderwerp goniometrie; bepl sin, cos, en tn zonder tbel Bepl cos 4 Mk een schets vn de situtie; zie pltje 4 4 cos 4 cos 4 Merk op cos cos ; vertling 4 4 situtie e kwdrnt nr situtie e kwdrnt Gebruik tbel blz 49 vn situtie e kwdrnt: X TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 6

7 sin cos tn 4 Dus cos cos Opmerking: in plts vn de griek vn cos() kun je ook gebruik mken vn de eenheidscirkel Je herleidt dn de hoek nr een hoek in het eerste kwdrnt: 4, 4 4, 4 Bepl sin Mk een schets vn de situtie Merk op: sin sin Anlyseer: Je kunt nu niet zonder meer de tbel vn blz 49 gebruiken behoort niet tot de stndrdwrden 0,,,,, uit deze tbel 6 4 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 7

8 4 Je moet nu proberen te schrijven ls het 5 verschil o de som vn de stndrdwrden uit genoemde tbel Met de verschil o somormules op blz 50 kun je dn het gevrgde beplen Gebruik het resultt uit 4 smen met de verschilormule voor de sin: sin sin sin cos cos sin Je kunt nu de tbel vn blz 49 gebruiken: 0 sin cos tn Zet 6 4 sin om in sin in het eerste kwdrnt 6 4 Met de eenheidscirkel, zie iguur: sin sin sin Met de verschilormule: 07rd sin sin cos sin cos sin sin 0 cos TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 8

9 Opgve tn cot {gebruik tn cot sin cos tn en cos } cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin sin Opmerking: Vereenvoudigen vn goniometrische uitdrukkingen cos sin Vereenvoudig de uitdrukking tot tn sin cos cos {Als in de noemer vn de vereenvoudigde uitdrukking + cos stt, is het de moeite wrd sin in de oorspronkelijke vorm teller en noemer te vermenigvuldigen met + cos } cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos {In de vereenvoudigde vorm sin cos tn is men overgestpt op de hlve hoek; dus is het verstndig de *) sin cos en cos cos cos sin ormules over de dubbele hoek te rdplegen; merk op: tn Merk op: sin sin sin cos cos sin sin cos {gebruik sin cos sin cos sin tn cos cos Dus *) wordt: } TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 9

10 Grieken tekenen Teken de griek vn sin y Als gegeven is y b c d sin, dn is y = de evenwichtsstnd, b is de mplitude (de vermenigvuldigingsctor tov de evenwichtsstnd), de periode is en d geet de horizontle c verschuiving n Dus in onze situtie geldt: y = is de evenwichtsstnd De mplitude is De sinusgriek begint op de evenwichtsstnd in (0, ) Snijpunten met de evenwichtsstnd voor = 0, π en π De periode is Snijpunten met de evenwichtsstnd voor = 0, en π TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 0

11 Verschuiving horizontl: nr rechts Type Gegeven sin p, bepl cos en tn Gegeven tn = Bepl cos en tn, voor in, 0 y Volgens de deinitie geldt: tn Dit geldt in de eenheidscirkel voor y = en = o voor y= en = De ltste situtie is niet vn toepssing, omdt dn in ligt in een rechthoekige driehoek met schuine zijde 5 y sin 5 en cos 5 schuine zijde 5 5 schuine zijde 5 5, In het eerste gevl C Het berekenen vn zijden en/o hoeken in een rechthoekige driehoek b = =? Gegeven een rechthoekige driehoek ABC, zie iguur, met b = en B A c =? B Bereken en c TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

12 b is de overstnde rechthoekszijde vn B Dus met sin B kun je de schuine zijde berekenen sin B sin Dus geldt b 4 4 Hieruit volgt Nu je weet en de grootte vn B bekend is kun je met cos B de lengte vn AB = c berekenen c cos B cos 4 Dn c c 4 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

13 De middelwrdestelling De middelwrdestelling zegt: Als de unctie continu is op het gesloten en eindige intervl [, b] en de unctie is dierentieerbr op het open intervl, b, dn bestt er een getl c in, b zodt: b c b Meetkundig betekent dit dt de rc vn de verbindingslijn vn de punten, en b b, gelijk is n de rc vn de rklijn in het punt c, c, zie iguur Bepl het punt in het gegeven open intervl, wrin de rklijn n de griek vn de gegeven unctie evenwijdig loopt met de griek vn de verbindingslijn tussen, en, Je gt de richting beplen vn de verbindingslijn AB, zie iguur Om de richting te beplen g je beplen en Dus 4 4 De richting vn de verbindingslijn is dn 4 Los op Deze vergelijking is gelijkwrdig met 4 0 met ls oplossing en Bepl het punt in het gegeven open intervl, wrin de rklijn n de griek vn de gegeven unctie evenwijdig loopt met de griek vn de verbindingslijn tussen, en, Toegit: TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

14 4 stijgt o dlt Onderzoek wr de unctie Bepl de geleide vn Los op Dn o 0 o Tekenverloop Griek : dlend Stijgend Dlend Stijgend Dus griek stijgend voor in, 0 en in, Griek is dlend voor in, en in 0, Toon n dt cos in 0, en door gebruik te mken vn het resultt vn voorbeeld door de middelwrdestelling toe te pssen op de unctie Toon tenslotte ook n dt de ongelijkheid geldt voor < 0 cos voor Oplossing: de middelwrdestelling toegepst op cos voor in, 0 geet cos 0 volgt 0 cos 0 cos c sin c c () Uit voorbeeld sin c c sin c en dus sin c c 0 voor > 0 Dit sin voor > 0 Dus c cos cos resultt gekoppeld n resultt () geet sin c c 0 0 omdt > 0 volgt hieruit cos 0 en dus cos voor > 0 Omdt cos een even unctie is,, geldt de ongelijkheid ook voor < 0 ; TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 4

15 Controle Een pltje doet je vermoeden dt de ongelijkheid klopt G n op welk intervl de unctie sin stijgt en wr deze dlt Oplossing: het stijgen en dlen vn een unctie kun je chterhlen met behulp vn de geleide unctie cos Voor het tekenverloop vn de geleide bepl je eerst de nulpunten cos 0 cos De oplossing hiervn is, ziet er ls volgt uit: k o k Het tekenverloop vn de geleide voor in dlend stijgend dlend stijgend dlend Dus lgemeen: is dlend voor in k, k en stijgend voor in k, k TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 5

16 De inverse unctie Toon n dt voor de unctie een op reltie bestt; bepl vervolgens de inverse vn en het domein en het bereik vn en Er moet gelden en Uit de op reltie volgt dt Er geldt Dus een inverse heet Er geldt y y Druk y uit in y Het domein en bereik vn uit is elke wrde uit Dn domein en bereik vn is elke wrde Controle: Er moet gelden Toon n dt voor de unctie een op reltie bestt; bepl vervolgens de inverse vn en het domein en het bereik vn en ;, dn en dus Uit de op reltie volgt dt een inverse heet Er geldt y y Druk y uit in y y Het domein en bereik vn uit is elke wrde uit Dn domein en bereik vn is elke wrde TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 6

17 Controle: Er moet gelden G n o de unctie, 0 een op reltie heet en bepl in dt gevl de inverse, 0 Oplossing: Op 0 herleiden geet 0 geet 0 Linkerlid ontbinden Dn 0 en dus o 0 welke ltste vergelijking geen oplossing heet De discriminnt vn deze vergelijking is kleiner dn 0:, 4 Dus er is een op reltie Voor de eerste deelunctie De tweede deelunctie Ook in dit gevl is er een op reltie De inverse vn de eerste deelunctie : De inverse vn Links en rechts de derdemcht nemen: y y y voor 0 : y y y, voor < 0 Dus, 0, 0 Controle TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 7

18 Met behulp vn een schets vn en in de lijn y = Met een Uit de schets is op te mken dt de grieken elkrs gespiegelde zijn berekening: Er moet gelden Dus Dus in beide gevllen is n de eigenschp voldn TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 8

19 Logritmische uncties Vereenvoudigen vn uitdrukkingen Opgve 6 log log 4 log 8 4 {kies het grondtl } 8 8 log4 log log Alterntieve oplossing: In deze oplossing mk je gebruik vn log log b b log log Schrij 8 ls mcht vn 4, dus 4 In de wiskunde gebruiken we liever in plts vn 8 Dus zoek wrvoor geldt 4 Deze vergelijking kun je herleiden tot Dit is 8 een eponentiële vergelijking met links en rechts hetzelde grondtl Uit de vergelijking volgt dn en dus log 8 Dus log log 4 4 In deze lterntieve oplossing mk je dus gebruik vn log log Opgve log log log y log log y y y log log log log log Het is nmelijk rier niet ls grondtl in de logritme te lten stn log TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 9

20 Je hebt toegepst: en log, logy log log y b log log b log Bereken met een rekenpprt door gebruik te mken vn 0 0 en log : Voorbeeld: bereken Stel 0, dn log 0 log 0 log 0 Dus 0 log, 0 Oplossen vn vergelijkingen Voorbeeld: log 5 Oplossing: log log 5 Volgens de deinitie geldt: 5 ; 5 en 5, voldoet niet wnt grondtl is niet negtie Voorbeeld: log 6 Oplossing: log log 6 Volgens de deinitie geldt: 6 64 Controle: log 64 log 6 6 Bewijzen vn de eigenschppen vn logritmen met behulp vn de eigenschppen vn eponenten TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 0

21 Voorbeeld log y log log b y Oplossing: log log y y u log u Stel, dn ; stel vervolgens u uv u log log Dn v y, zodt y v log y v, dn u v log v y log y Voorbeeld log logb / log b Lstige opgve!!! Oplossing: log logb / log b is gelijkwrdig met de vergelijking log b b log log Stel b log p, dn p b en b log q, dn q b Nu volgt de truc: de uitdrukking log ontstt door in een vergelijking de log het rechter en linkerdeel vn deze vergelijking te nemen vn p p Uit het voorgnde weet je dt b De uitdrukking b kun je schrijven ls b b q p p q q p q b, wnt Je hebt nu de vergelijking log dn krijg je b p p q p q b p log log log b q log Neem nu vn het linker en rechterdeel vn de vergelijking de Berekenen vn limieten Voorbeeld lim log 0 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

22 Oplossing: log lim log lim log lim lim log 0 log nr 0 geldt nu lim log lim log Omdt log nr gt voor Controle: log log 05 00E E E E E E E E In de tbel zie je dt de wrde vn log, weliswr lngzm, nr 0 gt Oplossen vn vergelijkingen Voorbeeld: Los op uit log log log log9 0 is gelijkwrdig met de vergelijking log log 0 Je gt er een logrtimische vergelijking vn mken met hetzelde grondtl en lles chter het logteken gepltst: log 0 log 0 log log 0 log log log Deze ltste vergelijking is weer gelijkwrdig met log 0 8 In de slotregel heb je toegepst: log y y, p p q p q q 0 Controle: TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

23 log8 9 log8 log Ntuurlijke logritme ln en de eponentiële unctie e Vereenvoudigen vn uitdrukkingen Voorbeeld ln e e Oplossing: ln ln ln e e e e 6 ln lncos sin Voorbeeld e e lncos sin lncos Oplossing: e ln e e sin cos sin Je hebt gebruik gemkt vn de volgende ormules: y y log log log ; Oplossen vn vergelijkingen Voorbeeld 9 ; cos sin Oplossing: () schrij links en rechts vn het = teken mchten met hetzelde grondtl 9 ; () stel de eponenten n elkr gelijk;, dus Controle: TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde

24 Dus de uitkomst klopt! Het domein beplen Voorbeeld: Bepl het domein vn ln Oplossing: de ln unctie bestt ls 0 (*) ; ; dus en Bepl eerst de nulpunten: De vergelijking hoort bij een dlprbool Deze ligt boven de s voor > o voor < De oplossing voor ongelijkheid (*) is dus > o < Je kunt ntuurlijk met behulp getllenlijnen ook tot een oplossing komen Controle: vul een willekeurig getl groter dn in de buurt vn : bijvoorbeeld =, dn 9 4 Deze wrde is positie en behoort tot het domein vn de ln unctie Vul in een willekeurig getl kleiner dn bijvoorbeeld = dn 4 weer! Klopt Ongelijkheden oplossen TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 4

25 Los op ln ln Oplossing: Eerst het domein beplen!!! Merk op: 0 N de nulpunten bepld te hebben kom je tot het volgende domein o Bovendien volgt uit ln dt 0 Combintie vn de twee domeinen geet o Nu ps begin je n de oplossing vn de ongelijkheid Omdt de grondtllen vn beide logritmen groter zijn dn, e, geldt owel 0 Hiervn is de oplossing Toets je deze oplossing n het domein vn, dn kom je tot de oplossing Controle: neem een getl tussen en, bijvoorbeeld 6, en vul deze wrde in: ln 6 ln De rechterknt v de ongelijkheid wordt ln Klopt! Globler en zonder rekenpprt: ln6 ln ; ln6 0 Dus ongelijkheid klopt voor Dierentiëren vn logritmische en eponentiële uncties Los op y e Oplossing: y e ; je pst de product en verschilregel toe: e e y ; eventueel vereenvoudigen: y e Los op y e Oplossing: u u e y e ; dit is een smengestelde unctie en wel vn de uncties g u en TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 5

26 In een pltje weergegeven: g u g u u e u Volgens de kettingregel verloopt het dierentiëren nu ls volgt: g u u y u g e ; llesomzetten in : y e u e Los op y ln y ; smengestelde unctie, g u en u ln u Oplossing: ln Pltje: Kettingregel: g u gu u ln u g u y u u g u u ; lles omzetten in : y Dierentiëren vn logritmische en eponentiële uncties met logritmisch dierentiëren y cos cos Los op cos y cos Er geldt hier: y Oplossing: Beide uncties cos en cos hebben ls kenmerk dt het grondtl en de eponent uncties zijn vn Mk gebruik vn de techniek logritmisch dierentiëren en ps die techniek prt op beide termen vn de trekking toe G in dit gevl ls volgt te werk: y cos cos Neem eerst de log vn beide delen vn de vergelijking y cos cos g ; g Dierentieer beide leden; Los y op door deze uit ls unctie vn uit te drukken ; wnt er geldt TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 6

27 Uitwerking eerste deel: cos ln ln cos lncos ; Dn links en rechts dierentiëren Merk op dt het linkerdeel een smengestelde unctie is Het rechterdeel is een product met ls e ctor een smengestelde unctie: sin lncos sin lncos lncos tn ; cos cos Uit lncos tn volgt ln cos tn cos lncos tn Uitwerking tweede deel: cos g ln g cos ln cos ln ; g g sin ln cos ; cos sin ln cos g g sin ln cos Eindresultt: y cos g cos lncos tn sin ln cos Prtieel integreren Hieronder tre je een schem n dt je steun kn bieden bij het kiezen vn de juiste integrtietechniek Het prtieel integreren komt uitgebreid n de orde omdt studenten hebben ngegeven hiermee het meeste moeite te hebben TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 7

28 Gevrgd een integrl te berekenen Is het een stndrdintegrl o een combintie vn stndrdintegrlen j nee Integrnd is vn het type Elementry integrls o een combintie ervn; ps rekenregels toe Is integrnd een product vn ctoren, wrbij de ene ctor een smengestelde unctie is en de geleide is en de nder de geleide vn het smenstellende deel j nee Voorbeeld: e d e d product met is de geleide vn d u u herleid tot een stndrdintegrl edu e C e C Integrnd is vn het type g gd Integrnd is vn het type gd g g Het integrnden vn het type n n n cos, sin, ln, óók ln g g g 0 Voorbeeld: e d e e d e e e d e e e C 4 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 8

29 De ormule is Bij het prtieel integreren mk je gebruik vn de volgende ormule : gd g gd gebseerd op de productregel vn het dierentiëren g g g De integrnd is dus een product vn twee uncties wrvn de ene de geleide voorstelt Het is zk dt je de integrnd ls zodnig herkent Toch kun je de integrnden wrop het prtieel integreren vn toepssing is n n n nduiden Het betret nmelijk de typen: cos, sin, ln, óók ln = ln, e sin b, e cosb g g g g g Bereken e sind Oplossing: e sin d e sin e cos d e sin e cos d = g g g g sin cos -sin sin cos e e e d e e e sind g g g Er geldt nu 9 e sind e sin e cos e sind Dus 4 4 e sind e sin e cos en dus e sind e sin e cosc 4 4 Opmerking: ntuurlijk kun je prtieel integreren door gebruik te mken vn de methode chter het d teken dg d d dg brengen Deze verloopt dn ls volgt: d g g d o d d g d g d d d d e sind e sind d e sin d e sin d d e sin e cosd e sin d d e cos d e sin e cos e d d cosd e sin e cos 4 4 Enz, zie regel Er geldt nu e sin d e sin e 4 9 cos 4 e sin d TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 9

30 Bereken de oppervlkte ingesloten door de grieken vn y =, y = ln en de rklijn n y = ln in het punt met = Je strt met het mken vn een pltje vn de grieken vn y =, y = ln = () en de rklijn in =, zie iguur Je ziet direct dt het gebied G n de bovenknt begrensd wordt door een gebroken lijn Dt betekent dt je de oppervlkte in twee deelgebieden moet splitsen: Het gebied n de bovenknt begrensd door de rklijn en n de onderknt door de griek vn y = ln ; Het gebied n de bovenknt begrensd door de griek vn y = en n de onderknt door de griek vn y = ln Voor het opstellen vn de twee integrlen Rklijn n griek horende bij de oppervlkten vn de twee deelgebieden heb je de vergelijkingen nodig vn y = ln vn de grenslijnen en de integrtieintervllen y De ontbrekende vergelijking is die vn de G rklijn De vergelijking is y ln y y b te vinden coordinte met n vn punt A De coördinten vn A zijn (, 0) en Dus de vergelijking vn de rklijn is y b Invullen vn de coördinten levert: 0 b b Vergelijking rklijn is y Nu de integrtie intervllen Voor het eerste deelgebied vn zijn de integrtiegrenzen A en B ( de oplossing vn ) Voor het tweede integrtiegebied zijn de grenzen B en C e (de oplossing vn ln ) e De oppervlkte vn G is nu ln d ln d ln e ln ln 0 e e e ln 0,4 0,05 0, 9 TUE Etr ondersteuning bsiswiskunde 0