Integralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:

Transcriptie

1 Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige constnte is. Dus, de oneplde integrl vn f() = is d = + C. We zullen de volgende formules voor primitieven geruiken: n I. n d = + C, wr n - n II. cf()d = c f()d, wr c een constnte is III. [f() + g()]d = f()d + g()d VOORBEELD 5 () 5 d = + C = 5 () d = d = [ + C, + C ] = + C, mr ls we C de nm C geven, dn stelt C nog steeds een willekeurige constnte voor; dus kunnen we eenvoudigweg schrijven dt d = + C. (c) d = d = + C= + C d (d) = - d = + C= + C (e) ( )d = 5 d + d + d = d = C OPPERVLAKTE DOOR INTEGREREN. Beschouw de oppervlkte A egrensd door de kromme y = f(), de s, en de wrden = en =, wrij >. ALS WE DEFINIËREN DAT f ( )d (lees: de eplde integrl vn f() tussen = en = ) stt voor

2 INTEGRATIE [HFST. 8 f ( )d = F ( ) = F() -F(), (F' () = f()) dn wordt de oppervlkte egrensd door y = f(), de s, en de wrden = en =, wrij ( > ) gegeven door A = f ( )d Opgeloste Vrgstukken. () d = / / d = + C = / + C / () ( + 5)d = + 5+ C (c) ( )d = C 7 (d) ( )d = - + / + C. Bepl de oppervlkte egrensd door de rechte y =, de s, en de wrden = en = 5. Hier is y op het intervl 5. Dn A = 5 d = 5 = 5 oppervlkte-eenheden. Merk op dt we de oppervlkte gevonden heen vn een rechte driehoek wrvn de enen 5 en (lengte-)eenheden zijn. Zie Fig. 8-. De oppervlkte is (5)()/ = 5 oppervlkte-eenheden. Fig. 8-. Bepl de oppervlkte egrensd door de prool y = en de s. De stukken onderschept op de s zijn = - en = ; y op het intervl -. Zie Fig. 8-. Dus A = (8 - ) d = 8 - ( ) = ( 8. - ) ( 8.( ) ( ) - ) = oppervlkte-eenheden. Fig. 8-. Bepl de oppervlkte egrensd door de prool y = + -, de -s, en de wrden = - en =. Op het intervl -, y. Hier

3 HFST. 8] INTEGRALEN A = ( - ) d = - ( ) = [ ( ) - ( ) ] = -/ Het minteken duidt erop dt de oppervlkte volledig onder de -s ligt. De oppervlkte is / oppervlkte-eenheden. Zie Fig Fig. 8-5 Anvullende vrgstukken. 5. Bepl de volgende oneplde integrlen. () d = + C (e) ( + ) d = ( + ) + C () ½d = / + C (f) ( - ) ( + )d = / + / - + C (c) ( + - 5)d = + d C (g) = - + C (d) ( - )d = - + C (h) d = + + C. Bepl de oppervlkte egrensd door de s, de gegeven kromme, en de ngeduide wrden. () y = tussen = en = Antw. 5/ opp. eenh. () y = - tussen = - en = Antw. opp. eenh. (c) y = / tussen = en = 9 Antw. 8 opp. eenh. (d) y = - - tussen = en = Antw. / opp. eenh. (e) y = tussen = - en = Antw. 8 opp. eenh. (f) y = - tussen = - en = Antw. / opp. eenh.

4 INTEGRATIE [HFST. 8 BEREKENING VAN HET ZWAARTEPUNT IN EENVOUDIGE GEVALLEN We erekenen ijvooreeld het rtepunt vn de letter "E" zols gegeven in de figuur. De oppervlkte ervn is =. Het rtepunt A vn de ovenste rechthoek is (,5 ; 9), terwijl B de coördinten (; 5) heeft, C (,5 ; 5), en D(,5 ; ). De momenten vn deze rechthoek ten opzichte vn de -s zijn het product vn de oppervlkte ervn met de fstnd tot de -s, dus: 9, 5, 5 en. Het totl is M = 7. Anloog is M y =,5 + +,5 +,5 = 7. De -coördint vn het rtepunt is dus = M y /Opp = 7/, terwijl y = M /Opp = 7/ = 5. Deze werkwijze is gekend uit ndere cursussen. Smengevt wordt ze en y,i Oppi,i Oppi Oppi Totle Opp y,i Oppi y,i Oppi. Opp Totle Opp i Deze uitdrukkingen kunnen worden herschreven m..v. het teken, door te doen lsof het teken in verndert (en dit is historisch gezien ook zo geweest, vermits het teken een uitgetrokken s-teken is): d y y d f ( ) d = M y /Opp. d y y d f ( ) d y y d y y d = M /Opp. d y y d Hierin zijn M en M y de zogenmde momenten om de -s en om de y-s. OEFENINGEN. De momenten vinden ten opzichte vn de coördintssen vn het oppervlk in het tweede kwdrnt egrensd door y = 9.

5 HFST. 8] INTEGRALEN My = ( y. d)., wnt is de fstnd vn het rtepunt vn die rechthoek tot de y-s, en de oppervlkte vn de rechthoek is y.d, wnt is negtief, en dus komt er een minteken om een fstnd te ekomen. Dus My =.( 9) d = 8/. Anloog M = ( y. d). y vermits nu y/ de fstnd is tot de -s. En dus M = y d = ( 9) d =. 5. Het rtepunt vinden vn de oppervlkte in het eerste kwdrnt egrensd door de prool y =. We erekenen eerst de oppervlkte A = yd = ( ) d =. De elementire rechthoek heeft een rtepunt met coördinten (, y/) en een oppervlkte yd zodt M = 8 y.yd = ( ) d = 5 en My =.yd = ( ) d =. 8 / 5 8 De coördinten vn het rtepunt zijn dus = = en y = =. / / 5. Bepl het rtepunt vn het oppervlk egrensd door de gegeven krommen: ) y =, = - en =. Antw. (, 7/). ) y = -, y =. Antw. (, 8/5). c) = ( - y), y =. Antw. (, /5).