Oefeningen Analyse I

Transcriptie

1 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Ademiejr ste semester 11 jnuri 00 Oefeningen Anlyse I 1. Bereken de volgende ieten d n x(ln x ) x 0 x 0 e x os x ln( 1+x 1 x ) x x 3 y 4 (x,y) (0,0) x + y n 5n + ( 3) n ( 4n + 1 4n + 3). Op een epld ogenlik neemt het volume vn een ol toe met 5 m3 s en de strl met m s. Hoe snel verndert de oppervlkte vn de ol op dt ogenlik? 3. Toon n met ehulp vn de middelwrdestelling ln(1 + ) < rgsh(1, 5) < ln(1 + ) + 4. De twee wijzers vn een klok zijn respetievelijk 3m en 4m lng. Wt is de fstnd tussen de uiteinden vn de twee wijzers op het moment dt deze twee uiteinden het snelst nr elkr toeewegen? 8 Puntenverdeling: vr.1: pt; vr.: 4pt; vr.3: 7 pt; vr.4: 8 pt.

2 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Ademiejr de semester 10 juni 00 Oefeningen Anlyse II 1. Los de volgende (stelsels) differentilvergelijkingen op: (x 1)y y (y ) = 0 y 4y + 4y = ex x x y z = 0 x z = 0 x + y + z = 0. Is de volgende reeks divergent of (soluut of reltief) onvergent? k (3k + )(3k + 3) ( 1) (3k + 4)(3k + 5) k=0 3. Bepl het onvergentiegeied vn de volgende reeks. n + 1(ln x 1 ) n n= (ln n)e n 4. Bereken de flux vn het vetorveld door het oppervlk V (x, y, z) = (x, xy, xz) G = {(x, y, z) R 3 x + y + z = 4, x 0, z 0} HINT: Als je het oppervlk eshouwt ls deel vn een goed gekozen, gesloten oppervlk, kn je misshien één vn de integrlstellingen toepssen.

3 5. Bereken de volgende integrlen x(ln x) dx dx h x( + sh x) x 1 6. Een epiyloïde is de n eshreven door een punt op een irkel met strl terwijl deze irkel, lngs uiten en zonder glijden, rolt over een ndere irkel met strl R. In dt gevl zijn de prmetervergelijkingen vn de epiyloïde { x(θ) = (R + ) os θ os(( R+ )θ) y(θ) = (R + ) sin θ sin(( R+)θ) Bereken de lengte vn de epiyloïde ls R = De Commissie Stdsplnning is op zoek nr lokties voor een nieuwe luhtzuiveringsinstlltie en een nieuw hospitl. De eonomie vn de std is zwr fhnkelijk vn twee frieken die nogl in het entrum gelegen zijn. Beide frieken stoten vuile deeltjes uit en de resulterende luhtvervuiling heeft invloed op de eslissing vn de ommissie. De onsensus in de ommissie is dt de instlltie in de meest vervuilde zone moet komen en het hospitl op de minst vervuilde plek, mr op ten hoogste km vn het stdsentrum. 3 Het stedelijk geied heeft de vorm vn een rehthoek die 10 kilometer lng is vn oost nr west en 6 km lng vn noord nr zuid. Het stdsentum is ook het midden vn deze rehthoek. Friek 1 ligt 1 kilometer ten westen en 1 km ten noorden vn het entrum. Friek ligt 1 kilometer ten oosten vn het entrum. De vervuiling (in miljoen deeltjes per vierknte km) ten gevolge vn de uitstoot vn Friek 1 in een punt is gegeven door P 1 = 00 3d 1 met d 1 de fstnd tot Friek 1 in km. Anloog, de vervuiling ten gevolge vn de uitstoot vn Friek is P = 350 3d. Wr moet de luhtzuiveringsinstlltie komen? Wr moet het hospitl komen? x dx x Wt is de gemiddelde vervuiling in het stedelijk geied? Puntenverdeling: vr.1: ++pt; vr.: pt; vr.3: 3pt; vr.4: 5pt; vr.5: 1+1+1pt vr.6: pt; vr.7: 1++1pt.

4 1ste Kndidtuur Burgerlijk Ingenieur Ademiejr de zittijd ugustus 00 Oefeningen Anlyse 1. Bereken de volgende ieten ( 1 x x 1 x ) + n (n n+1 n 4 )n x 3y 3 + 6y 4 (x,y) (0,0) x + 3y 3 + 6y 4. Een fruitproduent heeft een oomgrd perenomen. Hij wil zijn fruit geplukt en verkoht zien op het idele moment, i.e. het meest winstgevende moment. Als hij ze nu plukt, krijgt hij 0 ent voor een kilo, wrij elke oom nu gemiddeld 90 kilo peren oplevert. Evenwel, voor elke week dt hij wht met plukken groeit de oprengst per oom met 7 kilo, mr op de veiling zl hij ent per kilo minder kunnen krijgen. Wnneer moet hij de peren lten plukken en hoeveel geld levert elke oom hem op? 3. G n of de etrekking x + 4xy + y = 0 y ls impliiete funtie vn x eplt in een omgeving vn (, 1). Bepl dn y en y. x x Bepl ook de vergelijking vn de rklijn in het punt (, 1) n de kromme met vergelijking x + 4xy + y = 0 4. Bereken de volgende integrl x 3 + 4x 7x + x 4 + 6x 3 + 9x 4x 1 dx 5. Bereken de lijnintegrl vn V (x, y) = (x + y, xy + y ) lngs de gesloten kromme Γ wrij Γ de punten A, B, C verindt met A(0, 0), B(5, 0), C(0, 0). AB is een lijnstuk, evenls CA en BC is het kortste stuk vn de ellips 4x + 5y = 100.

5 6. Gegeven het geied G R 3 tussen de twee oppervlkken { z = 9 x + y z = x +y 9 9 en het vetorveld V (x, y, z) = (y, z x, x z). Bereken de flux vn V doorheen het oppervlk S dt G omsluit. 7. Bepl het onvergentiegeied vn de volgende reeks n=0 ln(n + 1) n 3n + (x 1) n 8. Los de volgende (stelsels) differentilvergelijkingen op: y y + 4y 4y = e x + sin x x x + z z = 0 x + y z z = 0 y + z y = 0