1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde

Transcriptie

1 1 Vlmse Wiskunde Olympide : Tweede ronde De eerste ronde estt uit 0 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt: per goed ntwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een lnco ntwoord ezorgt hem of hr 1 punt en een foutief ntwoord wordt ls 0 ngerekend De voorziene ntwoordduur edrgt uur 11 De prolemen 1 Welk getl moet men ij teller en noemer vn 1 4 optellen om de reuk n n + 1 te ekomen? (A) 1 n (B) 1 n (C) n 1 (D) n (E) n 1 Als de reële getllen u, v, w voldoen n u < v < w < 0, welke uitsprk is dn fout? (A) vw < uw (B) vu < wv (C) u + w < v + w (D) 0 < w u (E) 0 < uw Beschouw,, 4, ( ) 8, 8 Hoeveel verschillende getllen zijn er in het totl gegeven? (A) 1 (B) (C) (D) 4 (E) 5 4 Twee concentrische cirkels (cirkels met zelfde middelpunt) zijn 8 cm vn elkr verwijderd Een koorde in de grote cirkel rkt de kleine cirkel en is 40 cm lng De strlen vn de cirkels, in cm, zijn (A) 1 en 18 (B) en 15 (C) 5 en 17 (D) 7 en 19 (E) 9 en 1 5 Een tennistornooi wordt georgniseerd met n deelnemers In de eerste ronde zijn er n wedstrijden: elke deelnemer speelt juist één keer tegen een ndere speler Op hoeveel verschillende mnieren kunnen de pren voor de eerste ronde worden smengesteld? (A) n (B) n(n 1) (C) n(n 1)(n ) 1 (D) (n 1)(n ) 1 (E) (n 1)(n ) 1 6 Een verpleegster heeft 10 cc nodig vn een geneesmiddel dt 15,5% vn een zekere stof A evt Om dit te ereiken mengt ze x cc vn een oplossing met 0% vn A en y cc vn een oplossing met 5% vn A Over x weten we dt (A) x 6,5 (B) 6,5 < x 6,8 (C) 6,8 < x 7 (D) 7 < x 7, (E) 7, < x 0 c Vlmse Wiskunde Olympide vzw 001 1

2 7 Twee meisjes en een jongen mogen één of meerdere gekjes kiezen Er zijn 8 verschillende soorten gekjes, zeker 4 vn elke soort Op hoeveel mnieren kn dit geeuren ls de jongen er twee kiest en de meisjes elk één? (A) 04 (B) 048 (C) 840 (D) 51 (E) 40 8 Gegeven een ruit met digonlen 6 en 8 en de ingeschreven cirkel C 1 De hoekpunten vn de ruit zijn de middens vn de zijden vn een rechthoek, die ingeschreven is in een cirkel C Wt is dn de verhouding vn de strlen vn de cirkels C 1 en C? (A) minder dn 0,48 (B) 0,48 (C) 0,56 (D) 0,64 (E) meer dn 0,64 9 De grootste gemene deler vn en is (A) (B) 9 (C) 7 (D) (E) Als sin x = cos x, dn is sin x cos x gelijk n (A) 1 6 (B) 1 5 (C) 9 (D) 1 4 (E) Voor = 4 is de wrde vn de reuk ( + )x + 1 x + 18 onfhnkelijk vn x De ndere wrde of wrden vn wrvoor dit het gevl is ehoren tot het intervl (A) ], [ (B) [, 0[ (C) [0, [ (D) [, 4[ (E) [4, + [ 1 Als sin α + cos α = k, dn is sin α cos α gelijk n (A) k (B) k (C) k (D) k (E) k 1 Als een reële functie f voor elke x R voldoet n f(x) + x f(1 x) = x, dn is f() gelijk n (A) 4 (B) 5 4 (C) 6 5 (D) 7 6 (E) In ijgnde figuur, opgeouwd met congruente prllellogrmmen is x + y gelijk n x y o (A) (B) (C) (D) (E) +

3 15 Hoeveel procent vn de gegeven rechthoek werd gerceerd? (A) (B) 45 (C) 50 (D) 55 (E) Beschouw in een rechthoekig ssenkruis de grfieken vn de functies f(x) = 1 + x, g(x) = x, h(x) = (x ) + 1, k(x) = x 1 + x Hoeveel vn deze grfieken heen een verticle symmetries? (A) 0 (B) 1 (C) (D) (E) 4 17 We definiëren n-fculteit en we noteren dt ls n! : n! = n (n 1) 1 met n N 0 Vooreeld: 5! = = 10 Voor hoeveel wrden vn n is 1! +! +! + + n! het kwdrt vn een ntuurlijk getl? (A) 0 (B) 1 (C) (D) (E) meer dn 18 Het quotiënt 6,8888,4444 is gelijk n (A), (B), (C) (D) 17 6 (E) Welk is de grootst mogelijke grootste gemene deler vn 6 verschillende ntuurlijke getllen vn cijfers? (A) 1 (B) 15 (C) 16 (D) 18 (E) 0 In het inwendige vn een driehoek ABC eschouwen we drie punten X, Y en Z, zo- C dt geen enkel pr vn de lijnstukken [AX], [AY ], [BY ], [BZ], [CZ], [CX] elkr uiten de genoemde punten ontmoeten We ekomen een onregelmtige driepuntige ster Be- Z X Y pl de grootste ondergrens en de kleinste ovengrens vn de som vn de zes ngeduide hoeken Â, ˆB, Ĉ, ˆX, Ŷ, Ẑ (zie figuur) A B (A) (π, 4π) (B) (π, 5π) (C) (π, 4π) (D) (π, 5π) (E) zijn niet lleei smen te eplen

4 1 Gegeven een kuus met rie vn lengte De fstnd vn een rie tot een ruimtedigonl, die geen punt met de gegeven rie gemeen heeft, is gelijk n (A) (B) (C) (D) (E) Boer Teun heeft zijn rechthoekig stuk lnd verdeeld in 9 vierknte stukken zols op de figuur hiernst Het kleinste stuk heeft een oppervlkte vn 1 m De oppervlkte vn het op één n kleinste vierknt is gelijk n? (A) 9 m (B) 1,5 m (C) 16 m (D) 0,5 m (E) 5 m Rozemieke zit in een trein met 49 wgons in volgorde genummerd vn 1 tot 49 Ze merkt op dt de som vn de nummers lger dn het nummer vn hr wgon gelijk is n de som vn de nummers hoger dn het nummer vn hr wgon In welke wgon zit Rozemieke? (A) 1 (B) (C) (D) 4 (E) 5 4 Ri en An spelen een spel wrij ze om de eurt 1, of lucifers vn een stpeltje moeten nemen; wie de ltste lucifer neemt, verliest An mg ls eerste spelen, mr Ri mg het eginntl lucifers in het stpeltje kiezen Met hoeveel lucifers in het stpeltje kn Ri hr overwinning verzekeren? (A) 11 (B) 1 (C) 1 (D) 14 (E) 15 5 Op welk cijfer eindigt het getl ? (A) 1 (B) (C) 5 (D) 7 (E) 9 4

5 6 Mohmmed en René wonen in dezelfde wijk Toen Mohmmed vorige zomer 8 weken op reis ging, voederde René elke dg de vissen vn Mohmmed Hij kon drij elke dg een ndere route, zonder omweg, volgen vnf zijn huis R nr het huis vn Mohmmed Mohmmed woont in R vijver D B E C wrenhuis A (A) A (B) B (C) C (D) D (E) E 7 Een scherphoekige driehoek met zijden, en c met < < c wordt in de ruimte gewenteld rond elk vn zijn zijden zodt omwentelingslichmen ontstn Wnneer is de inhoud het grootst? (A) Als we wentelen rond de zijde met lengte (B) Als we wentelen rond de zijde met lengte (C) Als we wentelen rond de zijde met lengte c (D) De drie inhouden zijn gelijk (E) Dit is niet priori te eplen 8 Twee wezens evinden zich op tegenoverliggende hoekpunten A en B vn een plneet in de vorm vn een regelmtig twintigvlk met rie 1, zols op de figuur is ngegeven De kortste fstnd lngs het plneetoppervlk vn A tot B is gelijk n A B (A) + 1 (B) 7 (C) (D) (E) 5

6 9 Zijn O, A en B drie punten in het vlk met = OA, = OB en > Beschouw een cirkel met middelpunt O en vernderlijke stl r De grfiek vn de functie die de som vn de fstnden vn A en B tot deze cirkel uitdrukt ls functie vn r, is + (A) (B) + (C) + (D) + (E) 0 Een eerste doos evt zwrte en groene lpennen en een tweede doos evt 4 groene en 6 rode lpennen Men neemt uit de tweede doos een willekeurige lpen en legt ze in de eerste en drn neemt men uit de eerste doos een willekeurige lpen en legt ze in de tweede Wt is hiern de kns dt de dozen terug hun oorspronkelijke kleurensmenstelling heen? (A) 50% (B) 6% (C) 4% (D) 18% (E) 1% 6