Platte en bolle meetkunde

Transcriptie

1 Hoofdstuk I Pltte en olle meetkunde F. vn der lij Dit hoofdstuk evt een door de redctie gemkte ewerking vn een in Utrecht op 6 oktoer 1993 gegeven Kleidoscoop college vn F. vn der lij. Grg willen we professor vn der lij hrtelijk dnken voor het eschikr stellen vn zijn ntekeningen. Inleiding Een vn de oudste en meest ekende stellingen vn de meetkunde zegt, dt de som vn de hoeken vn een driehoek 180 grden is. Hierin worden de hoeken in grden gemeten. Dt kn ook nders; een hoek kn je ook meten door het hoekpunt ls middelpunt vn een cirkel met strl 1 te nemen. De enen vn de hoek sluiten dn een stukje cirkeloog in, en de lengte drvn levert een mt voor de hoek. Dit geeft dus gewoon de grootte vn een hoek in rdilen. Met dit egrip krijgen we dn Stelling. De som vn de hoeken vn een driehoek is π. In dit hoofdstuk gn we ruimtemeetkunde edrijven. De rol vn de driehoek gt dn vervuld worden door het viervlk. D We zien vier hoekpunten. De Hoek ij zullen we, in nlogie met gewone hoeken in rdilen, meten door ls middelpunt vn een ol met strl 1 te nemen. De vlkken, D en D snijden de ol in drie cirkels (deze heen strl 1 en middelpunt ). Het geied innen de Hoek correspondeert 1

2 2 F. VN DER LIJ dn met een oldriehoek op onze ol. Dit is een figuur egrensd door drie stukken vn de gegeven cirkels op de ol. D De grootte vn de Hoek definiëren we ls de oppervlkte vn deze oldriehoek. We zullen hier lleen oldriehoeken ekijken wrvn de cirkelogen kleiner dn een hlve cirkel zijn. Het is wel duidelijk, hoe we met onze definitie de grootte vn een gewone kmerhoek kunnen eplen. Immers, de ijehorende oldriehoek vormt precies een chtste deel vn het oloppervlk. De oppervlkte vn een ol met strl r is 4πr 2, dus deze oldriehoek heeft oppervlkte π/2. Een gewone rechte Hoek heeft dus, net ls in het vlk, grootte π/2. Het is l minder eenvoudig de grootte vn een Hoek vn een regelmtig viervlk te erekenen. De vrg, die de genoemde stelling plus de zojuist gegeven definitie oproept, is de volgende. Hoe groot is de som vn de Hoeken vn een willekeurig viervlk? Intermezzo 1 In het gewone pltte vlk is de som vn de hoeken vn een driehoek gelijk n π. Hoe wordt dit eigenlijk ewezen? Misschien geeft het ewijs vn het vlkke gevl ons inspirtie voor de erekening in het driedimensionle gevl. Hels is het een moeilijke zk. De stelling over de som vn de hoeken vn een driehoek is nmelijk fhnkelijk vn het l dn niet gelden vn het xiom over de evenwijdige lijnen vn Euclides. Dit xiom zegt, dt gegeven een lijn en een punt dt niet op die lijn ligt, er precies één lijn door dt punt gt die evenwijdig is n de eerste lijn. Het stndrdewijs geruikt zo n lijn door de top vn de driehoek evenwijdig n de sis. Met het principe vn verwisselende innenhoeken volgt dn vrij eenvoudig de te ewijzen ewering. Er zijn frie vrinten en (schijn)ewijzen. ijvooreeld kn je uitgn vn een etegeling vn het vlk met lleml onderling congruente driehoeken:

3 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 3 Een nog mooier schijnewijs krijg je door onderstnde figuur vn een vrij grote fstnd te ekijken: Het lijkt dn dt de drie gemerkte hoeken smen 2π zijn. De hoeken vn het driehoekje zijn hier nevenhoeken vn (dt wil zeggen, de nvulling tot π). lle 6 hoeken smen zijn dus 3 π, en derhlve is de som vn de hoeken vn de driehoek 3π 2π = π. oldriehoeksmeting Voor het meten vn onze Hoeken moeten we de oppervlkte vn oldriehoeken erekenen. Zo n oldriehoek heeft drie zijden, dt zijn ogen vn cirkels op de ol. Verder heen ze drie hoeken, dt zijn de hoeken tussen de rklijnen in een hoekpunt n de twee ogen door dt hoekpunt. De hieroven ngegeven ewijzen voor de stelling over de som vn de hoeken vn een vlkke driehoek helpen niet direct. Uiteindelijk zijn we geïnteresseerd in de som vn de Hoeken vn een viervlk. Mr we gn ons eerst ezig houden met de som vn de hoeken vn een oldriehoek. Zou er een vernd tussen die twee prolemen zijn? Voor het estuderen vn de som vn de hoeken in een oldriehoek, werken de pltjes met etegelingen of met evenwijdige lijnen niet zo goed. We gn dus mr wt oldriehoeksmeting opzetten. Voor de rdigheid ontwikkelen we de vlkke-driehoeksmeting en de ol-driehoeksmeting nst elkr.

4 4 F. VN DER LIJ γ γ α β c α c β We herinneren er nog even n dt de zijden vn een oldriehoek ogen vn cirkels met strl 1 zijn. De lengte vn zo n oog is de grootte vn de hoek met ls hoekpunt het middelpunt vn de ijehorende cirkel, met de enen door de eindpunten vn de oog. In het ijzonder kn je dus heel goed prten over de sinus enzovoort vn een zijde vn een oldriehoek. We eginnen met een pr elementire formules voor rechthoekige driehoeken. c β c β α α In zo n rechthoekige (ol-)driehoek geldt: α + β = π/2; = c sinα; sin = sin c sin α; = c cosα; sin = (sin c/ cos ) cos α; =c 2 ; cos cos = cos c. Voor het gevl vn de oldriehoek geven we nu eerst een ewijs voor deze uitsprken. De oldriehoek hoort ij een Hoek M vn een viervlk M P RQ. Dit viervlk kn zo gekozen worden, dt MP Q = MRQ = π/2.

5 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 5 Q M α R P Merk op, dt M =, M = en M = c. Omdt we een rechthoekige oldriehoek heen, is P RQ = π/2. Tenslotte is de rklijn in n de oog evenwijdig met P Q en evenzo de rklijn in n de oog evenwijdig met P R. Dus QP R = α. Nu gn we nr een ntl rechthoekige driehoeken kijken. Ten eerste zien we in driehoek MP Q dt P Q = MQ sin c. Evenzo volgt met driehoek MRQ, dt QR = MQ sin. Deze QR is ook nog met ehulp vn driehoek P RQ nders te schrijven, nmelijk QR = P Q sin α. omineren we deze formules, dn lijkt MQ sin = P Q sin α = MQ sin c sin α, en hieruit volgt sin = sin c sin α hetgeen we wilden ewijzen. Voor de tweede formule eginnen we met de driehoeken MP R en MRQ. Drmee zie je dt P R = MR sin = MQ cos sin. Op eenzelfde wijze lijkt met hulp vn de driehoeken P RQ en MP Q dt P R = P Q cos α = MQ sin c cos α. Voor de verhouding P R/MQ heen we dn twee uitdrukkingen; ls die vergeleken worden lijkt sin = (sin c/ cos ) cos α. Tenslotte nog de gelijkheid cos cos = cos c; deze volgt door twee uitdrukkingen voor MP f te leiden: de eerste met driehoek MP Q en de ndere met chtereenvolgens de driehoeken MP R en MRQ. Hiermee is het ewijs vn de stelling compleet. We onderzoeken vervolgens, hoe de sinus en de cosinusregel luiden voor een oldriehoek. Hiertoe zetten we de situtie voor een vlkke driehoek en die voor een oldriehoek weer nst elkr.

6 6 F. VN DER LIJ h h α β p q α β p q h = sin α; sin h = sin sin α; h = sin β; sin h = sin sin β; sin α = sin β = c sin γ. sin sin α = sin sin β = sin c sin γ. Dt ws de sinusregel; we gn op eenzelfde mnier verder met de cosinusregel. 2 = h 2 + q 2 cos = cos h cos q = h 2 + (c p) 2 = cos h cos(c p) = h 2 + p 2 + c 2 2cp = cos h (cos c cos p + sin c sin p) = 2 + c 2 2cp = cos cos c + cos h sin c sin p = 2 + c 2 2c cos α. = cos cos c + sin sin c cos α. Intermezzo 2 Zouden we oldriehoeksmeting gn doen op een ol met heel grote strl in plts vn met strl 1, dn ws het verschil tussen een niet zo grote oldriehoek en een vlkke driehoek hst niet meer te zien. In diezelfde situtie komen we, door op de ol met strl 1 uiterst kleine driehoekjes te ekijken. Kortom, voor een oldriehoek met kleine zijden moeten de formules ij endering gelijk zijn n de overeenkomstige formules voor een vlkke driehoek. We kijken even hoe dit in z n werk gt. Uit de ekende limiet sin h lim h 0 h = 1 volgt dt voor kleine hoeken h geldt sin h h. Hier lezen we het symool ls ongeveer gelijk n. Er lijkt dn verder, dt cos h = 1 2 sin 2 (h/2) 1 2 (h/2) 2 = 1 h 2 /2 en tn h = sin h cos h h.

7 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 7 Met deze enderingen kijken we ijvooreeld nr de oldriehoeksformule cos cos = cos c voor een driehoek met een rechte hoek. Deze is dn ij endering (1 2 /2)(1 2 /2) (1 c 2 /2). Hieruit volgt dt c /2. Omdt en heel klein verondersteld worden, is de term 2 2 /2 verwrloosr, en zo vinden we voor een rechthoekige driehoek de stelling vn Pythgors terug! Het is een rdige oefening, de ndere formules op dezelfde mnier te ehndelen. De oppervlkte vn een oldriehoek. We eginnen met een heel eenvoudig type oldriehoek, nmelijk eentje wrin twee zijden ieder lengte π/2 heen. Schrijf ϕ voor de lengte vn de resterende zijde. Met ehulp vn een pltje is direct te zien, wt de oppervlkte vn deze oldriehoek is. M ϕ Immers, de driehoek snijdt een ϕ/(2π)de deel vn de ovenste helft vn de ol uit. Die ovenste helft heeft oppervlkte 2π, dus oldriehoek heeft oppervlkte 2π ϕ/(2π) = ϕ. Merk op, dt de som vn de hoeken vn driehoek gelijk is n π/2 + π/2 + ϕ = π + ϕ. Het overschot vn de som vn de hoeken oven π wordt het exces vn de oldriehoek genoemd. We zien, dt voor de zeer specile ovengenoemde driehoeken dit exces gelijk lijkt te zijn n de oppervlkte. Wnneer twee oldriehoeken een zijde met dezelfde lengte heen, kunnen we ze n elkr plkken tot een nieuwe driehoek. Hiervn is de oppervlkte gelijk n de som vn de oppervlkten vn de twee oorspronkelijke driehoeken. En evenzo is het exces vn de nieuwe driehoek gelijk n de som vn de excessen vn de twee oude. Dus geldt voor driehoeken die we uit stukjes vn de oven ingevoerde specile driehoeken kunnen smenstellen eveneens dt oppervlkte en exces gelijk zijn.

8 8 F. VN DER LIJ γ 1 γ 2 O 1 O 2 α ρ σ β O 1 + O 2 = O; [α + β + γ π] = [α + γ 1 + ρ π] + [β + γ 2 + σ π]. Mr het is nog veel lgemener het gevl: Stelling. Voor een willekeurige oldriehoek is de oppervlkte gelijk n het exces. We geven nu een ewijs voor deze uitsprk. egin met een willekeurige oldriehoek. De zijden hiervn zijn ogen op drie cirkels op de ol. Geef met D het dimetrle punt vn n, evenzo E het dimetrle punt vn en F het dimetrle punt vn. β F γ E α D De drie genoemde cirkels zijn dus F D, F E en DE. Schrijf verder α :=, β := en γ :=. De oltweehoek (zeg mr, de schil vn een sinsppelprtje) die je krijgt door de oldriehoeken en F smen te nemen, levert je een α/(2π)de deel vn de ol. De oppervlkte vn deze oltweehoek is dus 4π α/(2π) = 2α en de conclusie is opp() + opp(f ) = 2α. Op precies dezelfde wijze vinden we evenzo opp() + opp(d) = 2β, opp() + opp(e) = 2γ. Op grond vn symmetrie ten opzichte vn het middelpunt vn de ol (dus puntspiegelen in dt middelpunt) zie je direct dt ijvooreeld opp(f ) =

9 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 9 opp(de). omineer nu de tot zover gevonden formules voor oppervlkten, dn stt er 2α+2β+2γ = 2opp()+opp()+opp(DE)+opp(D)+opp(E). De ltste vier termen hierin leveren smen precies de oppervlkte vn de voorste helft vn de ol, dus 2π. N nog de hele formule door 2 te delen stt er dn α + β + γ = opp() + π, en dt is precies wt ewezen moest worden. Voor een pr specile types oldriehoeken leiden we ook een formule voor de oppervlkte in termen vn de lengten vn de zijden f. Rechthoekige oldriehoeken. Voor een oldriehoek met γ = π/2 ls hier getekend, geldt opp = α + β π/2. α c Hieruit volgt β sin(opp) = sin(α + β π/2) = cos(α + β) = sin α sin β cos α cos β = sin sin c sin sin c sin sin c sin cos cos sin c 1 cos c = sin sin 1 cos 2 c, wrij een pr eerder fgeleide formules voor het vernd tussen hoeken en zijden in een rechthoekige oldriehoek zijn geruikt. Er volgt dus voor onze driehoek dt sin sin sin(opp) = 1 + cos c. Gelijkzijdige oldriehoeken. De ol-cosinusregel levert voor het gevl vn een gelijkzijdige oldriehoek met zijden en hoeken α dt cos α = cos 1 + cos. De oppervlkte is zols voor lle driehoeken gelijk n het exces, en dt is hier 3α π. Voor de oppervlkte geldt drom cos(opp) = cos(3α π) = cos(3α).

10 10 F. VN DER LIJ We wensen een formule in termen vn en niet vn α. Hiertoe drukken we cos(3α) eerst uit in cos(α) en vervolgens geruiken we de regel die deze weer in cos omschrijft. Het resultt is cos(opp) = 3 cos + 6 cos2 cos 3 (1 + cos ) 3. De som vn de Hoeken vn een viervlk Met het tot dusver ontwikkelde mteril keren we terug nr ons nvnkelijke proleem: hoe groot is de som vn de Hoeken in een viervlk? We eginnen met een specile klsse vn viervlkken, nmelijk de regelmtige driezijdige pyrmiden. D Hierin is = = = en D = D = D =. Eerst gn we onze intuïtie proeren te geruiken. We houden vst en stellen ons voor dt (dus de hoogte vn de pyrmide) vrieert. We eginnen dn met hoogte 0 (hetgeen zou corresponderen met = 3/3). ls heel dicht ij die wrde ligt, dn zijn de drie Hoeken n de sis vrijwel 0 geworden. De tophoek is drentegen ngenoeg een hlve ol, dus 2π. Voor dit soort regelmtige driezijdige pyrmiden zl de som vn de hoeken dus in de uurt vn 2π liggen. Nu het gevl dt heel groot is. Dn is de tophoek ongeveer 0. Voor een Hoek n de sis stt de verticle rie ongeveer loodrecht op de eide horizontle, en die horizontlen heen een onderlinge hoek ter grootte vn π/3 (immers, de sis vn de pyrmide is een gelijkzijdige driehoek). Zols we l eerder zgen, is de grootte vn een dergelijke Hoek ongeveer 2π (π/3)/(2π) = π/3. De som vn lle hoeken vn zo n pyrmide is dus ongeveer π. Nu het gevl vn een regelmtig viervlk, dus =. Elke Hoek heeft dn ls grootte de oppervlkte vn een gelijkzijdige oldriehoek. De zijden hiervn zijn in ons gevl gelijk n π/3. De ol-cosinusregel geeft dn, zols we l in het voorgnde zgen, dt de hoek α vn deze oldriehoek voldoet n cos α = cos(π/3)/(1 + cos(π/3)) = 1/3. Het exces vn onze gelijkzijdige oldriehoek is dus 3 rccos(1/3) π. Dit is dn tevens de oppervlkte, en dus de grootte vn een Hoek. De conclusie is, dt voor een regelmtig viervlk de som vn de Hoeken 12 rccos(1/3) 4π 2,20514

11 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 11 edrgt. Dit is minder dn π. Je gt dus vermoeden, dt wnneer we vn een heel hoge nr een heel pltte driezijdige pyrmide gn, eerst de Hoekensom fneemt, en dn lter weer toeneemt. Huiswerk voor de lezer: Is op dit trject de Hoekensom miniml voor het regelmtige viervlk? Intermezzo 3 We heen weliswr l een uitdrukking voor de som S vn de Hoeken vn het regelmtige viervlk fgeleid. Hier volgen een pr ndere mnieren om dit ntwoord op te schrijven. Uit de formule cos 3ϕ = 4 cos 3 ϕ 3 cos ϕ volgt voor een hoek α = rccos(1/3) dt cos(3α) = 4/27 1 = 23/27. De estudeerde gelijkzijdige oldriehoek heeft ls oppervlkte opp = 3α π, dus we vinden cos(opp) = cos(3α) = 23/27. Deze oppervlkte is gelijk n een Hoek vn het regelmtige viervlk, dus zo n Hoek is rccos(23/27) 0, Dit levert voor de som S vn de Hoeken S = 4 rccos(23/27). Om nog een ndere uitdrukking hiervoor te krijgen, geruiken we Dit geeft ins ons gevl cos 4ϕ = 2 cos 2 (2ϕ) 1 = 8 cos 4 ϕ 8 cos 2 ϕ + 1. cos S = 8 (23/27) 4 8 (23/27) = /531441, en drmee S = rccos( /531441). We gn verder met ons proleem, en estuderen nog enkele ndere specile viervlkken. Drtoe eginnen we met een kuus met grondvlk D. Het middelpunt vn de kuus noemen we M, en we eschouwen het viervlk met grondvlk en top M.

12 12 F. VN DER LIJ M De hele kuus kunnen we precies opdelen in twlf vn deze viervlkken. ls we drom lle Hoeken vn l deze twlf viervlkken optellen, vinden we de som vn de cht Hoeken vn de kuus plus in het middelpunt nog een volle Hoek (dus 4π). De Hoeken vn de kuus zijn ieder π/2. De totle som vn lle Hoeken vn lle twlf viervlkken is dus 4π + 8 π/2 = 8π. De som vn de Hoeken vn viervlk M is hier een twlfde deel vn, dus 2π/3 2, Dit is even schrikken; immers, het is minder dn de uitkomst ij een regelmtig viervlk. Lten we drom nog een nder vooreeld ezien. Neem een gewone kmerhoek D, met D = D = D = π/2 en D = D = D. D De Hoek ij D is dn π/2, en de ndere drie Hoeken zijn gelijk. ij zo n nder Hoek hoort een rechthoekige oldriehoek wrvn de zijden gelijk zijn n de hoeken D, D en. Deze zijden zijn dus π/4, π/4 en π/3. Met onze formule voor de oppervlkte vn een rechthoekige oldriehoek in termen vn de zijden, volgt dt onze Hoek gelijk is n rcsin ( sin 2 (π/4)/(1 + cos(π/3)) ) = rcsin(1/3).

13 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 13 De som vn de hoeken vn dit kmerhoek-viervlk is drmee 3 rcsin(1/3) + π/2 2,5903. Dit is meer dn het tot nu toe gevonden minimum, en zelfs meer dn de uitkomst ij het regelmtige viervlk. Mr ls we vervolgens onze kmerhoek spiegelen in het vlk D, dn vormen origineel en spiegeleeld smen een nieuw viervlk. En voor dit viervlk is de som vn de Hoeken gelijk n tweeml de som vn de hoeken vn origineel en spiegeleeld, verminderd met de ijdrgen ij D. Kortom, we krijgen een Hoekensom 6 rcsin(1/3) + π π 2, Dit is de lgste tot hiertoe gevonden som! Zou het nog kleiner kunnen worden? De Hoekensom lijkt inderdd nog kleiner te kunnen worden, en om dt in te zien volstt het volgende vooreeld. Neem een viervlk D met = = D = D = p en = D = q. q p p p p D q We houden in zo n viervlk p vst en proeren q te vriëren. Je ziet dn dt voor groter wordende q het viervlk steeds pltter wordt. Dit lijft zo doorgn tot het viervlk is ontrd in een plt figuur D. Dit pltte figuur is een vierknt; immers, het is een ruit, wnt de zijden heen lleml lengte p, en de eide digonlen zijn even lng (lengte q). Voor dit vierknt geldt q = p 2. we zien dus, dt we lleen dn een viervlk krijgen, wnneer 0 < q < p 2. Schrijf drom q/(2p) =: λ; dn is 0 < λ < 2/2, en l deze λ s horen ij zekere viervlkken. We gn nu de som vn de hoeken in termen vn λ eplen. Hiervoor is het voldoende, één Hoek vn zo n viervlk te eplen. Immers, de vier Hoeken zijn lle gelijk (ze zijn lleml de tophoek vn een pyrmide met eenzelfde gelijkenige sis en dezelfde rien vnuit de top nr die sis). De oldriehoek die hoort ij een Hoek vn ons viervlk, heeft twee zijden met lengte := D = en een zijde met lengte := D. Met ehulp vn de gelijkenige driehoek D zien we, dt cos = q/(2p) = λ. Evenzo levert driehoek D dt ook sin(/2) = λ. Omdt cos = λ, volgt verder dt sin = 1 λ 2. Evenzo geldt vnwege sin(/2) = λ, dt cos(/2) = 1 λ 2

14 14 F. VN DER LIJ en dus sin = 2 sin(/2) cos(/2) = 2λ 1λ 2. Tenslotte is cos 2 = 1 sin 2 = 1 4λ 2 (1 λ 2 ) = (2λ 2 1) 2, dus, omdt cos > 0 en 0 < λ < 2/2, levert dit cos = 1 2λ 2. In onze oldriehoek noemen we de hoek wr twee zijden met lengte smenkomen, ψ en een ndere hoek ϕ. De ol-cosinusregel levert de formules ϕ λ = λ(1 2λ 2 ) + 1 λ 2 2λ 1 λ 2 cos ϕ, wruit volgt cos ϕ = λ 2 /(1 λ 2 ), en verder cos = cos 2 + sin 2 cos ψ, dus cos ψ = (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ). Hiermee heen we de hoeken vn de oldriehoek epld. De oppervlkte is het exces, en dt edrgt rccos ( (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ) ) + 2 rccos ( λ 2 /(1 λ 2 ) ) π. De Hoekensom vn viervlk D is vier ml deze wrde, dus 4 rccos ( (1 3λ 2 )/(1 λ 2 ) ) + 8 rccos ( λ 2 /(1 λ 2 ) ) 4π. Voor λ 0 is dit ongeveer 4 rccos rccos 0 4π = 0. Evenzo is voor λ 2/2, dus λ 2 1/2, de Hoekensom ongeveer 4 rccos( 1)+8 rccos 1 4π = 0. Kortom, de Hoeken vn ons viervlk kunnen we willekeurig klein mken! De tot zover gevonden Hoekensom leken we willekeurig dicht onder 2π te kunnen krijgen, en ook willekeurig dicht oven 0. Door viervlkken lngzm in elkr over te deformeren, komen we hiermee tot de volgende conclusie. Stelling. De Hoekensom vn een viervlk kn iedere wrde tussen 0 en 2π heen. (Zou de Hoekensom meer dn 2π kunnen zijn?) Slotopmerking Onder de stndhoek tussen twee niet evenwijdige vlkken in de ruimte verstn we de hoek tussen twee snijdende lijnen in deze vlkken, die eide loodrecht op de snijlijn stn. De stndhoek vn twee loodrecht op elkr stnde vlkken is dus π/2. ij een oldriehoek is de hoek tussen twee zijden gelijk n de stndhoek op de rie, die nr het etreffende hoekpunt vn de oldriehoek gt.

15 I. RDSE MEETKUNDE EN RUIMTEPROLEMEN 15 D De Hoek ij het hoekpunt is gelijk n het exces vn de ijehorende oldriehoek. Dit exces is de som vn de hoeken vn de oldriehoek verminderd met π, en zols we zojuist zgen is dit ook de som vn de stndhoeken op de etreffende drie rien. Het optellen vn de vier Hoeken leidt drom tot het volgende resultt. Stelling. De Hoekensom vn een viervlk is twee ml de som vn de stndhoeken op de zes rien, verminderd met 4π. Voor het regelmtige viervlk is eenvoudig in te zien dt de stndhoek op elke rie gelijk is n rccos(1/3). Hiermee vinden we dus opnieuw de Hoekensom vn een regelmtig viervlk. Voor de liefheer Wie zelf nog meer onderzoek wil doen n Hoekensommen of n (vrinten vn) de technieken die hier n de orde kwmen, kn misschien putten uit het volgende. Wt is te zeggen over de Hoekensom vn veelvlkken met meer dn vier vlkken? ereken de Hoekensom vn de regelmtige veelvlkken. Het viervlk en het zesvlk kwmen hier l n de orde; hoe zit het met het cht, het twlf en het twintig-vlk? In een vlkke driehoek kn een cirkel eschreven worden. De oppervlkte vn de driehoek is het produkt vn de strl vn deze cirkel en de hlve omtrek vn de driehoek. Is er iets nloogs voor een oldriehoek? In een vlkke driehoek geldt ij de sinus-regel de extr gelijkheid / sin α = / sin β = c/ sin γ = 2R, wrij R de strl vn de omgeschreven cirkel n de driehoek is. Is er een nlogon voor de oldriehoek? Onderzoek voor de oldriehoek de nlog vn klssieke stellingen over de hoogtelijnen, zwrtelijnen en hoekdeellijnen vn een driehoek. Tenslotte nog een pr heel ndere vrgen. Een ruimtelijke veelhoek noemen we hlfregelmtig ls lle hoeken onderling gelijk zijn en evenzo lle rien. Welke hlfregelmtige ruimtelijke n-hoeken estn voor n = 3, 4, 5, 6, 7?

16 16 F. VN DER LIJ Een ruimtelijke veelhoek n 1 n noemen we regelmtig ls n 1 n = n 1 n 1 = n 1 2 = Welke regelmtige ruimtelijke n-hoeken estn er? Het ntwoord op deze ltste twee vrgen kn de lezer vinden in de tweede referentie hieronder. Litertuur 1..G. vn sch, F. vn der lij, Hoeken en hun mt, msterdm: WI syllus 29, F. vn der lij, Regulr Polygons in Eucliden Spce, Liner lger nd its pplictions 226/228 (1995), George Gmov, Meneer Tompkins en het kloppende heell, vertling door Govert Schilling, d Jnssen en Kls Schonenerg, msterdm: nnex, J. vn den rink, olmeetkunde (informtieoek), Utrecht: Freudenthl Instituut.