Moderne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B

Transcriptie

1 Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen dit chterwege te lten, de vrijgekomen ruimte is enut voor etr verdieping over Riemnnsommen. In de eindtermen komt het erekenen vn een zwrtepunt voor ls een toepssing vn het integreren. Het gt hierij niet om het kennen vn het ntuurkundige egrip zwrtepunt, of het opstellen vn de integrl, mr om het kunnen erekenen vn een eplde integrl. In de fgelopen jren is er één keer ij een emen een vrg geweest over het zwrtepunt ( VWO B, B, 8-II). De etreffende opdrcht stt hieronder.. Ook hier ligt de ndruk niet op het opstellen vn de integrl mr op een (reltief eenvoudige) erekening. In de ementriner vn Moderne wiskunde vwo B is er ook ndcht voor het zwrtepunt. Deze informtie is toegevoegd. Voor eventuele ls etr oefening is er over dit onderwerp mteril uit MW8 eschikr wt nog iets verder gt.

2 Opdrcht emen vwo B, B, 8-II Een zwrtepunt Vn een cirkelschijf met middelpunt (, ) en strl is het kwrt getekend dt in het eerste kwdrnt ligt. De cirkeloog is de grfiek vn de functie f die gegeven is door f ( ) = op het domein [, ]. We wentelen het kwrt vn de cirkelschijf om de -s. Het omwentelingslichm dt dn ontstt is een hlve ol. Het zwrtepunt vn de hlve ol ligt op de positieve -s. Voor de -coördint z vn dit zwrtepunt M geldt: z = V met M = ( f( )) d en V is de inhoud vn de hlve ol. De inhoud vn een ol met strl r is gelijk n Bereken z ect. r. Emen vwo B, B, 8-II

3 Moderne wiskunde Ementriner vwo wiskunde B CE Slim Slgen Wim Doekes Hielke Peereoom Noordhoff Uitgevers

4 De elngrijkste onderwerpen slim uitgelegd Herhlen Vooreeld Bereken de lengte vn de grfiek vn f( ) = ln tussen de punten met = en = e. Geef het ntwoord in één deciml nuwkeurig. e = = + e f ( ) L d = + d Benderen op de rekenmchine: TI8/8: Y = (+/X ), dn CALC, optie 7, lower limit, upper limit e, geeft L 79,. Csio: Y = (+/X ), GSolv, d, lower:, upper e, geeft L 79,. Vooreeld = cost Bereken de lengte vn de kromme K met = cost die hieronder is getekend voor t = tot t =. L = (( f ()) t + ( g ( ))) dt = (( sin t) + ( sin t)) dt = (sin t + sin t) dt Op TI8/8: Y = (((sin(x)) +(sin(x)) ), dn CALC, optie 7, lower limit, upper limit, geeft L 8,. Op Csio: Y = (((sin(x)) +(sin(x)) ), GSolv, d, lower:, upper e, geeft L 8,. t = t = Zwrtepunt Het zwrtepunt vn een lichm kn met integreren worden epld, ls het lichm overl dezelfde dichtheid heeft en de inhoud met een integrl kn worden erekend. A( ) d Ten opzichte vn een gekozen oorsprong geldt: Z = A ( ) d wrij A( ) de oppervlkte is vn de doorsnede loodrecht op de -s. Vooreeld Bereken het zwrtepunt vn de hlve ol met strl. Op fstnd vn de oorsprong geldt r + = r = dus A ( ) d = ( ) d = [ ] = ( 7) = A( ) d = ( ) d = ( ) d = [ 8 ] = ( 8 ) =. 9 Hieruit volgt Z = = =. - z Noordhoff Uitgevers v

5 Hoofdstuk Anlse_ Omwentelingslichmen _ Toegepste nlse Als een geied, ingesloten door de grfiek vn een functie f en de -s, om de -s wordt gewenteld dn ontstt een ruimtelijke figuur wrvn lle verticle doorsneden cirkelvormig zijn. Hoe ereken je de inhoud vn deze figuur? Gegeven is de functie f met domein,. Het geied ingesloten door de grfiek vn f en de -s wordt om de -s gewenteld. Bij, is in het omwentelingslichm een cirkel getekend. Leg uit dt de strl vn deze cirkel gelijk is n f,. Leg uit dt ij elke wrde vn de oppervlkte vn de ijehorende cirkel gelijk is n f c Je kunt de inhoud vn het omwentelingslichm enderen met de Riemnn-som Bender de inhoud voor, d Leg uit dt de ecte inhoud vn de ruimtelijke figuur gelijk is n d e Bereken de ecte inhoud vn het omwentelingslichm. O f, T H E O R I E Als een geied, ingesloten door de grfiek vn een functie f, de-s en de lijnen en, omde-s wordt gewenteld ontstt een omwentelingslichm. De inhoud vn dit lichm ereken je met de integrl f d f Vooreeld Het geied ingesloten door de grfiek vn de functie f met f() =, de lijnen = en = en de -s wordt gewenteld om de -s. Bereken ect de inhoud vn het omwentelingslichm. Oplossing (f()) d = ( ) d = d = = 8 = 7 O oppervlkte cirkel = (f()) 8

6 Toegepste nlse Hoofdstuk Anlse_ 7 Gegeven is de functie f Plot de grfiek vn f en ereken ect de nulpunten. Het geied dt wordt ingesloten door de grfiek vn f en de -s wordt gewenteld om de -s. Bereken ect de inhoud vn het omwentelingslichm. 8 Het geied, ingesloten door de grfiek vn de functie g sin met domein, en de -s, wordt gewenteld om de -s. Stel de integrl op wrmee je de inhoud vn het omwentelingslichm kunt erekenen. Lt zien dt sin cos c Bereken ect de inhoud vn het omwentelingslichm. 9 Gegeven zijn de functie f en de lijnen en. Als het rode geied wordt gewenteld om de -s ontstt ook een omwentelingslichm. Om de inhoud drvn te erekenen moet je de figuur spiegelen in de lijn met vergelijking. Welke functie g hoort ij het spiegeleeld vn de grfiek vn f? Leg uit dt het integrtie-intervl, wordt. c Bereken ect de inhoud vn het omwentelingslichm uit opdrcht. 8 O f = g Een omwentelingslichm ontstt door het geied egrensd door de grfiek vn f ln, de-s en de lijn te wentelen om de -s. Om de inhoud te erekenen wordt de tekening gespiegeld in de lijn en wordt het nieuwe geied om de -s gewenteld. De functie g hoort ij het spiegeleeld vn de grfiek vn f. Neem de pijlenkettingen over, vul deze in en stel het functievoorschrift vn g op. Wt wordt het integrtie-intervl? c Stel de integrl op voor de inhoud en ereken de inhoud. + g() ln f() Het geied ingesloten door de grfiek vn de functie h, de -s, de -s en de lijn wordt gewenteld om de -s. Bereken de inhoud vn het omwentelingslichm. 9

7 Hoofdstuk Anlse_ Zwrtepunt _ Toegepste nlse In veel ntuurkundige erekeningen kun je de mss vn een figuur vervngen door een puntmss. Wt is de plts vn die puntmss? Het moment M vn een puntmss ten opzichte vn een vst punt is het product vn de krcht die op de mss werkt en de fstnd vn de mss tot het vste punt. In de figuur hiernst evinden zich op de -s drie puntmss s. De fstnden zijn in meters. Lt met een erekening zien dt het totle moment M vn deze drie puntmss s ten opzichte vn de oorsprong Nm is. Deze drie puntmss s kunnen worden vervngen door één puntmss wrop een krcht vn 9 N werkt. Deze puntmss ligt op de -s op een fstnd vn de oorsprong, zodnig dt deze puntmss hetzelfde moment M oplevert. Bereken. c Toon met een erekening n dt de plts vn de puntmss gelijk lijft ls de momenten erekend worden ten opzichte vn het vste punt,. O N N N Gegeven zijn de functies f eng Het geied V wordt ingesloten door de grfieken vn f en g, de -s en de lijn. Het geied V wordt opgedeeld in rechthoekjes met reedte. De oppervlkte vn zo n rechthoekje is ij endering gelijk n. f.. Vt elk rechthoekje vn het geied op ls een puntmss op de -s wrop een krcht werkt die even groot is ls de oppervlkte vn het rechthoekje. Het moment ten opzichte vn de oorsprong is. f. De totle krcht K is dn. f. d. Het totle moment M vn het geied ten opzichte vn de oorsprong is dn. f. d Bereken ect K en M. Het geied kn vervngen worden door één puntmss op de -s wrop krcht K werkt en met moment M. De plts vn dt punt op de -s heet het zwrtepunt. Bereken de plts vn het zwrtepunt. f O g

8 Toegepste nlse Hoofdstuk Anlse_ De pirmide hiernst heeft een vierknt grondvlk met zijde, de hoogte is 8. Het zwrtepunt ligt op de smmetries TN. Neem n dt een eenheidskuus een krcht vn N uitoefent nr rechts. Deel de pirmide op in plkjes met dikte. Op hoogte geldt voor de oppervlkte O, de inhoud I en het moment M vn zo n plkje chtereenvolgens: O, I. en M.. 8 De totle krcht is K d 8 Het totle moment is M d Bereken K en M. De pirmide kn vervngen worden door één puntmss op de s TN wrop krcht K werkt en met moment M. Deze plts op de s TN is het zwrtepunt. Bereken de plts vn het zwrtepunt. D A T N B C T H E O R I E Ruimtelijke figuren met een smmetries kun je opdelen in stukjes wrvn het zwrtepunt op een smmetries ligt. In zo n gevl kun je het totle moment M ten opzichte vn een vst punt erekenen met een integrl. De figuur kn dn vervngen worden door een puntmss wrop dezelfde totle krcht K werkt. Het zwrtepunt ligt zodnig dt het moment vn de puntmss gelijk is n het totle moment M vn de figuur. Als het zwrtepunt op een fstnd d vn de oorsprong ligt geldt: d M K Een kegel heeft een grondcirkel met strl, de hoogte is. Neem n dt een eenheidskuus een krcht vn N uitoefent nr rechts. Bereken de plts vn het zwrtepunt. Controleer dt het zwrtepunt op deel vn de hoogte ligt. De grfieken vn f, g en de lijn met sluiten een geied V in. Neem en ereken de plts vn het zwrtepunt vn V. Voor welke wrde vn ligt het zwrtepunt vn V op fstnd vn de oorsprong? c De fstnd vn het zwrtepunt tot de oorsprong is d. Druk d uit in. 7 Het geied uit de opdrcht wordt om de -s gewenteld. Onderzoek met erekeningen of de plts vn het zwrtepunt gelijk is n de plts vn het zwrtepunt in opdrcht.

9 Uitwerkingen ij _ Omwentelingslichmen De strl vn de cirkel is gelijk n de verticle fstnd vn de -s tot het punt op de grfiek vn f met =,. Deze fstnd is gelijk n f(,), dus de strl vn de cirkel is f(,) opp. cirkel = r met r = f() =. Dn is opp. cirkel = ( ) c Neem vn - tot en met met stpgrootte,. Dn is de Riemnn-som gelijk n ( ( ) ), + ( (,8) ), + ( (,) ), + + ( () ), Dit levert op: (, +,9, +, 9, + +,) =,, d Het omwentelingslichm evt lle cilindertjes met dikte d die tussen = en = vllen. Elk vn deze cilindertjes heeft inhoud e Eerst: Dn is ( ) = ( )( ) = + ( ) d = + = + ( ) d ( ) d ( ) 8 8 Dit geeft = 7 nulpunten: = ( ) = = = = = + 9 (f()) d ( ) d ( ) d Dit geeft 9 9 ( + ) = = 8 (f()) d = (sin) d Met ehulp vn de verduelingsformule voor cos: cos = (sin ) (sin ) = cos (sin ) = cos c = = (sin ) d ( cos) d ( sin) Dn is de inhoud ( ) ( ) = vwo B deel Anlse_ Toegepste nlse

10 9 Omdt = geldt =. De functie g is dn g() = loopt vn tot. Omdt = loopt dn vn tot. c (f()) d = ( ) d = ( ) d = 9 7 De inhoud is dn = + ln f() g() g() = e Vn = tot = dus [, ] c (g()) d = (e ) d = (e e + ) d Dn e ( e e + ) = ( e e + ) ( + ) = ( e e + ) Er geldt: = = = + Spiegel de grfiek vn f in de lijn g() = +. De grenzen zijn = en =. Dn: =, dn krijg je dus de grfiek vn (g()) d = ( + ) d = ( + + ) d De inhoud is dn ( + + ) = ( ) () = vwo B deel Anlse_ Toegepste nlse

11 Uitwerkingen ij _ Zwrtepunt M = N m = Nm, M = N m = Nmen M = N m = Nm Dn is het totle moment M = Nm 9 = = m = m 9 9 c Dn is M = N m = 9 Nm, M = N m = Nm en M = N m = Nm 8 Dn is M = 8 Nm en = m = m. 9 9 Omdt dit ten opzichte vn het punt (, ) is, lijft de plts dezelfde, nmelijk m rechts vn de oorsprong O. 9 K = f() d = ( + ) d = ( + ) d Dit geeft + = 8 = 8 M = f() d = ( + ) d = ( + ) d Dit geeft + = 7 = 7 M = d K 7 = d 8 d = = 7 8 Het punt (, ) is het zwrtepunt. Eerst: ( ) = ( )( ) = Dn: K = ( ) d = ( + ) d 8 en dn volgt K = + = = Vervolgens: ( ) = ( + ) = + dus 8 8 M = ( + ) d = 8 + = 8 = 8 M = d K 8 = d d = TN = 8 dus het zwrtepunt ligt op = 8 vn de hoogte vn de pirmide. opp. odem = r = = Dn is K = I = G h = = Als h = is r = en ls h = is r =. Dus ls h met toeneemt, neemt r met f. Ofwel: ls h met toeneemt, neemt r met = f. Dn is r = h. Vervolgens: vwo B deel Anlse_ Toegepste nlse

12 8 M = h ( h) dh = h ( h) dh = h ( h + h ) dh 9 M = (h 8 h + h ) dh = (8h 8 h + h ) = 9 = M = d K 9 = d d = = dus het zwrtepunt ligt op hoogte. De hoogte vn de kegel is, dus het zwrtepunt ligt inderdd op = deel vn de hoogte. Om te eginnen: =, en = opp. V f() d,, Dn: K = f() d = d = (7, ),9,, M = f() d = d = (, ),7,7 Dn is d = =, het zwrtepunt ligt op fstnd vn de oorsprong.,9,,,, K = f() d = d = = = M = f() d = d = = =,,,, M Als d = geldt = M = K K,, Dn is = Deel links en rechts door = = = =, dn volgt,,,, M c K = en M = (zie onderdeel ). Dn is d = = = =,, K 7 K = (f()) d = ( + ) d = ( + + 9) d Dit geeft ( =, =, M = (f()) d = ( + ) d = ( + + 9) d Dit geeft ( +, +, = 988 = Nu is d =,8. De plts vn het zwrtepunt is nu nders., vwo B deel Anlse_ Toegepste nlse