Zwaartepunt en traagheid

Transcriptie

1 Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve uteur HC hugocleys@icloud.com

2 Inhoudsopgve 1 wrtepunt Inleiding wrtepunt vn een lichm Momentenstelling Symmetriessen en symmetrievlkken Het wrtepunt vn lijnen wrtepunt vn een vlkke gebroken lijn lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een vlkke kromme wrtepunt vn de omtrek vn een driehoek wrtepunt vn een cirkelboog Het wrtepunt vn oppervlkken lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een vlkke figuur wrtepunt vn de oppervlkte een driehoek wrtepunt vn de oppervlkte vn een trpeium wrtepunt vn een cirkelsector Het wrtepunt vn lichmen lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een lichm lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een homogeen lichm wrtepunt vn een pirmide wrtepunt vn een kegel wrtepunt vn een omwentelingslichm wrtepunt vn een bolsegment Stellingen vn Guldin Eerste stelling vn Guldin Tweede stelling vn Guldin Enkele toepssingen op de stellingen vn Guldin Voorbeeld 1: de oppervlkte vn een torus Voorbeeld 2: de inhoud vn een torus Sttisch momenten Inleiding Sttisch moment vn een oppervlk

3 3.3 Sttisch moment vn een rechthoek Sttisch moment vn een volume Oppervlktetrgheidsmomenten Inleiding Lineir oppervlktetrgheidsmoment vn een vlkke figuur Trgheidsstrl vn een vlkke figuur Polir oppervlktetrgheidsmoment vn vlkke figuur Verndering vn oppervlktetrgheidsmoment bij verschuiving vn de ssen Centrifuglmoment vn een vlkke figuur Trgheidsssen Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn enkele eenvoudige figuren Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een rechthoek Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een driehoek Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een cirkel

4 Lijst vn figuren 1.1 Momentenstelling vn een vlkke figuur wrtepunt vn een vlkke gebroken lijn wrtepunt vn een vlkke kromme wrtepunt omtrek driehoek wrtepunt cirkelboog wrtepunt vn vlkke figuur wrtepunt driehoek wrtepunt trpeium wrtepunt cirkelsector wrtepunt omwentelingslichm wrtepunt bolsegment Stelling 1 vn Guldin Stelling 2 vn Guldin Doorsnede vn torus Sttisch moment vn een oppervlk Sttisch moment vn een rechthoek Oppervlktetrgheidsmomenten vn een vlkke figuur Oppervlktetrgheidsmoment vn rechthoek Oppervlktetrgheidsmomenten vn driehoek Oppervlktetrgheidsmomenten vn cirkel

5 Hoofdstuk 1 wrtepunt 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm Een lichm kn men beschouwen ls bestnde uit een oneindig ntl elementire mssdeeltjes die llen fonderlijk onderhevig ijn n de wrtekrcht. De wrtekrcht is de ntrekkingskrcht die de rde uitoefent op een mss. lle wrtekrchtvectoren komen smen in het middelpunt vn de rde. Mr we mogen de wrtekrchten die inwerken op lle elementire mssdeeltjes vn een voorwerp ls evenwijdig beschouwen. De resultnte vn dee elementire krchten is de wrtekrcht vn het lichm. Het ngrijpingspunt vn de wrtekrcht noemen we het wrtepunt. De wrtekrcht op rde noemen we het gewicht G vn een lichm. 1.2 Momentenstelling Indien op een lichm meerdere krchten inwerken dn kn men dee krchten vervngen door de resultnte ervn. Wil men dt de resultnte hetelfde effect heeft op het lichm ls de meerdere krchten smen dn moet men er org voor drgen dt het moment hetelfde blijft. Het ngrijpingspunt vn de resultnte wordt bepld met behulp vn de momentenstelling. Stel dt ons voorwerp uit vele deeltjes bestt met gewichten G 1, G 2,... met resp. coördinten ( 1, y 1, 1 ), ( 2, y 2, 2 ). Indien G de resultnte is vn G 1, G 2,... en de coödinten vn G ijn (, y, ) dn egt de momentenstelling: G = G G Gy = G 1 y 1 + G 2 y G = G G

6 De figuur 1.1 verklrt de momentenstelling voor een vlkke figuur. Ik heb de figuur opgedeeld in twee rechthoeken, die resp. het gewicht G 1 en G 2 hebben. G = G 1 +G 2. Het ngrijpingspunt vn G is, het ligt op de -s op. De momentenstelling ten opichte vn het punt O: = G G 2 2 G [m] O 1 2 G2 G 1 G Figuur 1.1: Momentenstelling vn een vlkke figuur 1.3 Symmetriessen en symmetrievlkken Het wrtepunt l steeds op de symmetries of in het symmetrievlk liggen. ls gevolg hiervn kunnen we stellen dt: Het wrtepunt vn een recht lijnstuk in het midden ervn ligt. Het wrtepunt vn een cirkel- en ellipsomtrek in hun middelpunt ligt. Het wrtepunt vn een vierknt, rechthoek, ruit of prllellogrm (oppervlkken) op het snijpunt vn de digonlen ligt. Het wrtepunt vn een cirkel en ellips (oppervlkken) in hun middelpunt ligt. Het wrtepunt vn een bol in ijn middelpunt ligt. 5

7 1.4 Het wrtepunt vn lijnen wrtepunt vn een vlkke gebroken lijn ie figuur 1.2: l 1, l 2 en l 3 ijn de lengten vn de drie lijnstukken vn one gebroken lijn. Ik stel hun resp. gewichten gelijk n hun resp. lengten. E( 1, 1 ), F ( 2, 2 ) en G( 3, 3 ) ijn de resp. middens (wrtepunten) vn de drie lijnstukken. Het ijn de punten wr hun gewichten ngrijpen. (, ) is het wrtepunt vn de gebroken lijn. F l 2 G E l 3 l 1 Figuur 1.2: wrtepunt vn een vlkke gebroken lijn Op bsis vn de momentenstelling ijn: = l l l 3 3 l 1 + l 2 + l 3 = l l l 3 3 l 1 + l 2 + l 3 [m] [m] lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een vlkke kromme Het wrtepunt vn een vlkke kromme, gelegen in het vlk vn de -ssen, die voldoet n de vergelijking = f() en met een lengte s (ie figuur 1.3) heeft op bsis vn de vergelijkingen 6

8 voor het wrtepunt vn een vlkke gebroken lijn de coördinten: ds = s ds = s [m] (1.1) [m] (1.2) ds B Figuur 1.3: wrtepunt vn een vlkke kromme wrtepunt vn de omtrek vn een driehoek ie figuur 1.4. We hebben de driehoek BC. Het gewicht vn de ijde B grijpt n in F en is evenredig met de lengte c. Het gewicht vn de ijde C grijpt n in E en is evenredig met de lengte b. De resultnte vn dee twee krchten grijpt n in J. De ligging vn het punt J vind ik met de vergelijking : JE b = JF c D is het wrtepunt vn ijde BC. Volgens de meetkunde is DJ de bissectrice vn EDF. De resultnte vn de krchten in J (het gewicht vn ijden B + C) en D (het gewicht vn ijde BC) is het totl gewicht vn de driehoek en moet op de lijn JD liggen (het wrtepunt moet dus op JD liggen). Ik ps nu deelfde redenering toe voor de ijden B en BC. Dit levert mij de bissectrice EG vn F ED. Het snijpunt vn beide bissectrices moet het wrtepunt ijn. 7

9 F c J b E G B D C Figuur 1.4: wrtepunt omtrek driehoek wrtepunt vn een cirkelboog ie figuur 1.5. ds β r α O Figuur 1.5: wrtepunt cirkelboog r is de strl vn de cirkelboog en O is de oorsprong. Ik leg ons ssenstelsel in de oorsprong vn de cirkelboog en org dt de -s op symmetrielijn ligt. α is de hlve hoek in rdilen. Ik moet lleen berekenen wnt het wrtepunt ligt op de symmetrielijn en dit is one -s. Ik verdeel de boog in elementire segementjes met lengte ds. Het wrtepunt vn een 8

10 elementir segementje ligt op hoogte. Ik kies β ls vernderlijke. Nu ijn: s = r(2α) ds = r dβ = r cos β ds = s Dee ltste vergelijking is het wrtepunt vn een vlkke kromme (ie prgrf ). Ik los eerst ds op: ds = α α r cos β r dβ α = r 2 cos β dβ α = r 2 [sin α sin( α)] = 2r 2 sin α Dus voor een cirkelboog is: = 2r2 sin α r(2α) = r sin α α Voor een hlve cirkelboog is α = π/2, dus = 2r π [m] (1.3) [m]. 1.5 Het wrtepunt vn oppervlkken lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een vlkke figuur Figuur 1.6 toont een vlkke figuurbcd met oppervlkte gelegen in het vlk vn de -ssen. Bovendien heb ik de -s lten smenvllen met de de rechte ijde CD. Het wrtepunt vind ik door de figuur op te delen in elementire rechthoekjes met ls bsis d en hoogte. Voor dee elementire rechthoekjes geldt: = = d 2 d [m] (1.4) [m] (1.5) 9

11 Figuur 1.6 mkt duidelijk wrom ik /2 moet gebruiken 1. d B /2 D C Figuur 1.6: wrtepunt vn vlkke figuur Omdt de -s smenvlt met de rechte bsis vn de vlkke figuur BCD is d = d. De bovenstnde lgemene vergelijkingen worden dn: = d d [m] (1.6) = d d [m] (1.7) wrtepunt vn de oppervlkte een driehoek ie figuur 1.7. Het wrtepunt vn een driehoek ligt op het snijpunt vn de wrtelijnen D, BE en CF. Dit ijn de lijnen die een hoekpunt verbinden met het midden vn de tegenover liggende ijde. Het wrtepunt ligt op h/3 (h wordt ltijd loodrecht op de ijde genomen). 1 d is een rechthoek met hoogte. 10

12 F E 2h/3 h/3 B D C Figuur 1.7: wrtepunt driehoek wrtepunt vn de oppervlkte vn een trpeium ie figuur 1.8. Ik leg de -s op de bsis vn het trpeium BCD. M is het midden vn ijde B en N is het midden vn ijde CD. Het wrtepunt moet wegens scheve symmetrie op MN liggen. b M B F 1 h 2 E b D N C Figuur 1.8: wrtepunt trpeium De lijn BD deelt het trpeium in twee driehoeken, met resp. de wrtepunten 1 en 2. Het wrtepunt ligt op de snijpunt vn de lijnen MN en 1 2. Op bsis vn de momentenstelling vn de driehoeken BD en BCD ten opichte vn de -s kn ik schrijven 11

13 dt: = = [ bh 2 2h 3 bh 2 + h 2 h(2b + ) 3( + b) ] [ h + 2 h 3 ] [m] (1.8) In de meetkunde wordt beween dt de lijn EF de lijn MN snijdt in het wrtepunt wrtepunt vn een cirkelsector ie figuur 1.9. Ik leg het ssenstelsel in de oorsprong O vn de cirkelsector en leg de -s op de symmetrielijn. α is de hlve hoek in rdilen. r is de strl vn de cirkelboog. Ik moet lleen berekenen wnt het wrtepunt ligt op de symmetrielijn. B C D r α 2r/3 O Figuur 1.9: wrtepunt cirkelsector Ik verdeel de cirkelsector in elementire cirkelsectoren. Die kn ik beschouwen ls driehoeken. Nu ligt het wrtepunt vn een driehoek op 2h/3 vn de top. In ons gevl is h = r. De wrtepunten vn lle elementire driehoeken vormen de cirkelboog CD met strl 2r/3. Het wrtepunt vn de cirkelboog CD is het wrtepunt vn de cirkelsector OB. Het wrtepunt vn een cirkelboog ligt volgens prgrf 1.3 op: = ( 2 r) sin α 3 2r sin α = α 3α [m] (1.9) 12

14 Voor een hlve cirkel is α = π/2, dus = 4 3π r [m]. 1.6 Het wrtepunt vn lichmen lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een lichm Met behulp vn de momentenstelling kn ik de coördinten vn het wrtepunt berekenen. Doe ik dit op bsis vn de mss m vn het lichm dn is: dm = m y dm y = m dm = m [m] (1.10) [m] (1.11) [m] (1.12) lgemene vergelijkingen vn het wrtepunt vn een homogeen lichm Wnneer een voorwerp homogeen is (dit wil eggen de dichtheid ρ = cte) dn kn ik in plts vn mss ook het volume V gebruiken wnt dm = ρ dv en m = ρv. De bovenstnde vergelijkingen worden: dv = V y dv y = V dv = V [m] (1.13) [m] (1.14) [m] (1.15) wrtepunt vn een pirmide Eerst bepl ik het wrtepunt vn het grondvlk. Vervolgens teken ik vnuit dit wrtepunt een lijn nr de top. Op dee wrtelijn ligt het wrtepunt op een hoogte h/ wrtepunt vn een kegel Ook hier ligt het wrtepunt op hoogte h/4 op de wrtelijn (dit is de lijn die het middelpunt vn het grondvlk verbindt met de top). 2 Loodrecht gemeten op het grondvlk. 13

15 1.6.5 wrtepunt vn een omwentelingslichm ie figuur d B b Figuur 1.10: wrtepunt omwentelingslichm Ik lt de kromme B rond de -s wentelen. Het wrtepunt ligt op de -s (de -s is symmetrie-s). Een elementir cilindertje heeft een volume dv = π 2 d en het wrtepunt ervn ligt op vn de oorsprong. Het wrtepunt vn het gnse lichm ligt dn op: = dv dv (1.16) = b b 2 d 2 d [m] (1.17) wrtepunt vn een bolsegment ie figuur Mijn ssenstelsel gt door het middelpunt vn de bol. De vergelijking vn een cirkel met middelpunt in de oorsprong is = r 2 wruit 2 = r 2 2. Het wrtepunt vn een omwentelingslichm ligt volgens prgrf 1.6.5) op: = b b 2 d 2 d [m] 14

16 r O b Figuur 1.11: wrtepunt bolsegment Ik los eerst de teller op: T = = r r 2 d (r 2 2 ) d = r4 4 r Nu los ik de noemer op: N = = r r 2 d (r 2 2 ) d = 2r3 3 r odt n substitutie en uitwerking: = 3 4 (r + )2 2r + [m] (1.18) Voor een hlve bol is = 0 odt = 3 8 r [m]. 15

17 Hoofdstuk 2 Stellingen vn Guldin 2.1 Eerste stelling vn Guldin Een vlkke lijn beschrijft bij het wentelen om een s die in hr vlk ligt mr hr niet snijdt een oppervlk wrvn de oppervlkte gelijk is n het product vn de lengte vn de lijn en omtrek beschreven door het wrtepunt. ie figuur 2.1. s ds B Figuur 2.1: Stelling 1 vn Guldin Het wrtepunt vn de vlkke lijn ligt volgens prgrf op: = B s ds 16

18 Wruit ik fleid: B ds = s De oppervlkte bij omwenteling rond de -s vn een elementir lijnstuk ds is: d = 2π ds Wruit ik fleid: B = 2π ds = 2π s [m 2 ] 2.2 Tweede stelling vn Guldin Een vlkke lijn beschrijft bij het wentelen om een s die in hr vlk ligt mr hr niet snijdt een omwentelingslichm wrvn de inhoud gelijk is n het product vn de oppervlkte vn de vlkke figuur en omtrek beschreven door het wrtepunt. 1 2 b Figuur 2.2: Stelling 2 vn Guldin In de figuur 2.2 heb ik twee functies 1 : 1 = f 1 () en 2 = f 2 () begrensd door = en = b. Bij het wentelen rond de -s krijg ik een omwentelingslichm dt ik kn beschouwen ls het verschil vn twee omwentelingslichmen. De lgemene vergelijkingen voor het wrtepunt vn een vlkke figuur is volgens prgrf 1.5.1: = d d [m] 1 Ik hd het eenvoudiger kunnen houden door slechts één functie te nemen... mr het besluit blijft hetelfde. 17

19 In ons gevl wordt dee vergelijking: = = 2 = 1 2 b b b 1 2 d 1 2 ( ) d 2 ( ) d b 2 2 d Nu is het volume: Dus: V = π b ( ) d V = 2π [m 3 ] 2.3 Enkele toepssingen op de stellingen vn Guldin Voorbeeld 1: de oppervlkte vn een torus r R O Figuur 2.3: Doorsnede vn torus De oppervlkte vn een torus of ronde ring is eenvoudig te berekenen met de eerste stelling vn Guldin: = 2πr 2πR = 4π 2 rr [m 2 ] 18

20 2.3.2 Voorbeeld 2: de inhoud vn een torus ie figuur 2.3. De inhoud vn een torus bereken ik met de tweede stelling vn Guldin: V = 2πR πr 2 = 2π 2 r 2 R [m 3 ] 19

21 Hoofdstuk 3 Sttisch momenten 3.1 Inleiding Bij sterkteberekeningen op buiging, wringing en of knik doen we beroep op sttische momenten en trgheidsgrootheden vn oppervlkken 1. Het gt in dee twee hoofdstukken voorl over sttische grootheden vn een doorsnede (dus vn een oppervlk). 3.2 Sttisch moment vn een oppervlk Definitie: Het sttisch moment vn een oppervlk ten opichte vn een s is het product vn het oppervlk en de fstnd vn hr wrtepunt tot de s. De lgemene vergelijking voor het sttisch moment vn een oppervlk ten opichte vn de -s is (ie figuur 3.1): L y = Of uitgewerkt: d [m 3 ] (3.1) L = y [m 3 ] (3.2) L y = [m 3 ] (3.3) 1 Oppervlktetrgheidsmoment is de correcte benming verwr dit niet met msstrgheidsmoment. De oppervlktetrgheidsmomenten komen n bod in het volgend hoofdstuk. 20

22 y d y o Figuur 3.1: Sttisch moment vn een oppervlk Wnneer de s door het wrtepunt gt dn is het sttisch moment vn het oppervlk L = 0 m Sttisch moment vn een rechthoek ie figuur 3.2. y Y b y 2 h y 1 O X o 1 2 Figuur 3.2: Sttisch moment vn een rechthoek Ik beschouw eerst het ssenstels y. De coödinten vn het wrtepunt ijn (, y ). De 21

23 bsis vn de rechthoek is b en de hoogte h. Ik g het sttisch moment ten opichte vn de y-s fleiden: dl y = d L y = = h h d d [ ] 2 2 = h 2 1 = h ( ) = bh 2 ( ) [m 3 ] Het ssenstels XY vlt smen met twee ijden vn de rechthoek. Ik bepl nu het sttisch moment ten opichte vn de Y -s. In dit gevl ijn de wrden vn 1 = 0 en 2 = b wrdoor: L Y = b2 h 2 [m 3 ] (3.4) 3.4 Sttisch moment vn een volume Definitie: Het sttisch moment vn een volume ten opichte vn een s is het product vn het volume en de fstnd vn hr wrtepunt tot de s. Dit levert ons de lgemene vergelijking : S = V [m 4 ] (3.5) Wnneer de s door het wrtepunt gt dn is het sttisch moment vn het volume S = 0 m 4. 22

24 Hoofdstuk 4 Oppervlktetrgheidsmomenten 4.1 Inleiding We mken onderscheid tussen lineire en polire oppervlktetrgheidsmomenten vn vlkke figuren. 4.2 Lineir oppervlktetrgheidsmoment vn een vlkke figuur Y y y y d r b o α O X Figuur 4.1: Oppervlktetrgheidsmomenten vn een vlkke figuur 1. Gegeven: Een ssenstelsel y met oorsprong o (ie figuur 4.1). 23

25 Een vlkke figuur 1 heeft een oppervlkte (m 2 ) Definitie: Het lineir oppervlktetrgheidsmoment vn een elementir oppervlkte element d ten opichte vn de -s is: di = y 2 d. Hierin is y de fstnd vn het wrtepunt vn het oppervlkte element d ten opichte vn de -s. Ten opichte vn de y-s is het: di y = 2 d. 3. Voor het gnse oppervlk: I = I y = y 2 d [m 4 ] (4.1) 2 d [m 4 ] (4.2) 4.3 Trgheidsstrl vn een vlkke figuur De trgheidsstrl i vn een vlkke figuur ten opichte vn een s is: i = I [m] (4.3) I is het lineir oppervlktetrgheidsmoment vn de vlkke figuur ten opichte vn de gekoen s Polir oppervlktetrgheidsmoment vn vlkke figuur 1. Gegeven: ie figuur 4.1. Een ssenstelsel y. De oorsprong vn het ssenstelsel vlt smen met de oorsprong o vn de poolcoördinten. De poolcoördinten vn een elementir oppervlk d ijn r (m) en α (rd). De vlkke figuur heeft een oppervlk (m 2 ). 2. Definitie: Het polir oppervlktetrgheidsmoment vn een oneindig klein oppervlk d ten opichte vn de oorsprong o is di p = r 2 d. Met r de fstnd vn het wrtepunt vn d ten opichte vn de oorsprong. Nu is r 2 = 2 + y 2. 1 In de sterkteleer l dit de doorsnede vn een voorwerp ijn. 2 In de sterkteleer gebruikt men meestl cm 2 ls eenheid. 24

26 3. Het polir oppervlktetrgheidsmoment voor het gnse oppervlk: I p = r 2 d [m 4 ] (4.4) I p = I + I y [m 4 ] (4.5) 4.4 Verndering vn oppervlktetrgheidsmoment bij verschuiving vn de ssen 1. Gegeven: ie figuur 4.1. De ssenstelsels y en XY. De coördinten vn de oorsprong o vn het ssenstelsel y in het ssenstelsel XY ijn (, b). 2. Het lineir oppervlktetrgheidsmoment vn het elementir oppervlk d tov de X-s is: di X = Y 2 d = (y + b) 2 d = y 2 d + b 2 d + 2by d. y d is het sttisch moment vn het oppervlk d ten opichte vn de -s. Voor het gnse oppervlk is het sttisch moment tov de -s y. Met y de fstnd vn het wrtepunt vn de vlkke figuur ten opichte vn de -s. 3. Voor het gnse oppervlk. N oplossen vn het bovenstnde vergelijkingen krijg ik: I X = I + b 2 + 2by [m 4 ] (4.6) I Y = I y [m 4 ] (4.7) 4. Indien de y-s door het wrtepunt vn het oppervlk ou gn, dn ijn = y = 0 en de vergelijkingen 4.6 en 4.7 worden dn: I X = I + b 2 [m 4 ] (4.8) I Y = I y + 2 [m 4 ] (4.9) Hieruit blijkt dt het oppervlktetrgheidsmoment ijn kleinste wrde heeft ls het ssenstelsel door het wrtepunt gt. 5. lgemene vergelijking voor oppervlktetrgheidsmomenten bij verschuiving vn de ssen: is I het lineir oppervlktetrgheidsmoment ten opichte vn een s door het wrtepunt, dn is het trgheidsmoment ten opichte vn een s evenwijdig met de s die door het wrtepunt gt en op een fstnd ervn ligt: I = I + 2 [m 4 ] (4.10) 25

27 4.5 Centrifuglmoment vn een vlkke figuur 1. Gegeven: ie figuur Definitie: Het centrifuglmoment vn een elementir oppervlkte element d ten opichte vn de -s en de y-s is dc y = y d. Met (, y) de coördinten vn het wrtepunt vn d. Voor het gnse oppervlk is: C y = y d [m 4 ] (4.11) 3. Verndering vn het centrifuglmoment bij verschuiving vn de ssen: Het centrifuglmoment vn het elementir oppervlk d tov het XY-ssenstelsel is dc XY = XY d = ( + )(y + b) d = y d + b d + b d + y d. Hierin ijn d en y d de sttische momenten vn d ten opichte vn resp. de - en y-s. Voor het gnse oppervlk ijn de sttische momenten resp. en y. N integrtie krijg ik: C XY = C y + b + b + y [m 4 ] (4.12) Lt ik de de - en y-s door het wrtepunt vn het oppervlk gn dn ijn = y = 0 en de vergelijking 4.12 wordt: C XY = C y + b [m 4 ] (4.13) 4. lgemene formule voor centrifuglmoment bij verschuiving vn de ssen: is C het centrifuglmoment tov een ssenstelsel door het wrtepunt, dn is het centrifuglmoment voor een ssenstelsel evenwijdig met dit ssenstelsel en op een fstnd (, b) ervn: C b = C + b [m 4 ] (4.14) 4.6 Trgheidsssen Door ieder punt vn een figuur kn een ssenstelsel getekend worden wrvoor het centrifuglmoment nul is en de lineire oppervlktetrgheidsmomenten resp. minimum en mimum ijn. Hoofdtrgheidsssen: is het ssenstelsel die door de punten met minimum en mimum trgheidsmomenten gt. 26

28 Centrle hoofdtrgheidsssen: ijn de hoofdtrgheidsssen die door het wrtepunt gn. 4.7 Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn enkele eenvoudige figuren Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een rechthoek One rechthoek heeft een bsis b en een hoogte h. De -s is evenwijdig met de bsis en gt door het wrtepunt. ie figuur 4.2. lgemeen is: I = I = h 2 h 2 y 2 d = h 2 h 2 [ ] h 1 y 2 2 b dy = b 3 y3 h 2 De oplossing is: I = bh3 12 [m 4 ] (4.15) y dy h y b Figuur 4.2: Oppervlktetrgheidsmoment vn rechthoek Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een driehoek One driehoek heeft een bsis b en een hoogte h. De -s is evenwijdig met de bsis en gt door de top T. ie figuur

29 y T dy h y b Figuur 4.3: Oppervlktetrgheidsmomenten vn driehoek lgemeen is: I T = I = h 0 y 2 d = h 0 y 2 dy Met = b y krijg ik n uitwerking: h I T = I = bh3 4 Ik verschuif de -s nr het wrtepunt: I = I ( ) 2h 2 = bh (4.16) Toemt: vlt de -s smen met de bsis dn is het verbnd tussen en y: b (h y) h Nu is: I = = h 0 h 0 = bh3 12 y 2 d y 2 b (h y) dy h 28

30 Ik hd de opdrcht ook kunnen oplossen met: I = I + 2. I heb ik reeds berekend en ( ) h 2 2 bh = 3 2 = bh3 18. Ik kom terug uit op I = bh Oppervlktetrgheidsmomenten ten opichte vn het wrtepunt vn een cirkel y R dr r Figuur 4.4: Oppervlktetrgheidsmomenten vn cirkel Gegeven is een cirkel met strl R of dimeter d. De -s gt door het wrtepunt. ie figuur 4.4 Het polire trgheidsmoment ten opichte vn het middelpunt (wrtepunt) is: I p = R 0 r 2 d = R 0 r 2 2πr dr = πr4 2 = πd4 32 Nu is I p = I +I y en bovendien is voor een cirkel I = I y ls de beide ssen door het middelpunt gn, odt: I = πd4 64 (4.17) 29