Over de tritangent stralen van een driehoek

Transcriptie

1 Over de tritngent strlen vn een driehoek Dick Klingens mrt 004 Inleiding. Het bijvoeglijk nmwoord 'tritngent' gebruiken we ls we spreken over de incirkel (ingeschreven cirkel) en de uitcirkels (ngeschreven cirkels) vn een driehoek. Deze cirkels noemen we de tritngent cirkels vn de driehoek. De uitcirkel die rkt n de zijde, wordt wel ngegeven met A-uitcirkel; enz. De tritngent strlen zijn de strlen vn deze cirkels, ngegeven met: r : strl vn de incirkel; r, r b, r c : strlen vn opvolgend de A-uitcirkel, B-uitcirkel, C-uitcirkel. We gebruiken verder nog de volgende fkortingen: F : de functie die de oppervlkte vn een figuur beplt; O : de oppervlkte vn de bsisdriehoek; s : de hlve omtrek vn de bsisdriehoek; dus s + b + c; R : de strl vn de omcirkel vn de bsisdriehoek; h, h b, h c : de hoogtelijnen vn de bsisdriehoek; M, I : het middelpunt vn de omcirkel en het middelpunt vn de incirkel; I, I b, I c : de middelpunten vn de ncirkels. O Stelling. r s O F( ABC) F( ABI) + F( BCI) + F( CAI ) r + rb + rc r( + b+ c) rs Wruit de stelling volgt. O Stelling. r s, enz. O F( ABC) F( ABI ) + F( ACI ) F( BCI ) rc+ rb r r ( c+ b ) r ( c+ b+ ) r ( s ) Wruit de stelling volgt. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ ]

2 Lemm (Formule vn Heron; e eeuw v. Chr., Egypte). O s( s )( s b)( s c) Wegens de gelijkheid vn de rklijnstukken uit A, B, C n cirkel (I) is: AB' + BC' + CB' s Dus: BC' s b en (evenzo) AC' s. Op nloge wijze vinden we bij cirkel (I ): AC" s en BC" s c Uit de gelijkvormigheid vn AC'I en AC"I leiden we f dt: IC' : I C" AC' : AC". Zodt: (i) r : r (s ) : s De gelijkvormigheid vn IC'B en BC"I levert dn: IC' : BC" BC' : I C". Zodt: (ii) r : (s c) (s b) : r Vermenigvuldiging vn de leden vn (i) en (ii) geeft dn: r : r (s c) (s )(s b) : sr Zodt r s (s )(s b)(s c) wruit we vinden r s s(s )(s b)(s c) en dus met O rs (zie Stelling ): O s( s )( s b)( s c) Gevolg. Uit Stelling en Lemm volgt O 4 4 O O rrr brc O, zodt: ss ( )( s b)( s c) O rrrr b c Gevolg ( s ) + ( s b) + ( s c) 3 s ( + b+ c) s + + r r r O O O r b c Stelling r h hb hc O rs h bhb chc, of: s: ( + b+ c): + + r h hb hc En wegens s + b + c volgt druit de stelling. rs s: : b: c:, zodt: r h h h b c Gevolg 3. Met Gevolg vinden we uit Stelling 3: r rb rc h hb hc Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ ]

3 Stelling 4. Het midden vn het lijnstuk I I ligt op de omcirkel vn driehoek ABC. A' is het (vn A verschillend) snijpunt vn I I met de omcirkel. Nu is BIA' een buitenhoek vn driehoek ABI, zodt: BIA' IAB + IBA Driehoek BIA' is dus gelijkbenig, zodt in de rechthoekige driehoek BI I geldt: IA' I A' Wrmee de stelling bewezen is. Stelling 5. De binnen- en buitenbissectrice vn een hoek vn een driehoek snijden de overstnde zijde in punten die hrmonisch liggen met de hoekpunten op die zijde. b. De puntenpren (A, D') en (I, I ) zijn hrmonische puntenpren op de lijn AI ; drbij is D' het snijpunt vn de lijn AI met de zijde BC.. D' en D" zijn opvolgend de snijpunten vn de binnen- en buitenbissectrice vn hoek A met de lijn BC. Volgens de bissectricestelling hebben we: BD' : CD' BA : CA BD" : CD" BA : CA Zodt: BD' : BD" CD' : CD" en dus: BD'/BD" : CD'/CD" (D'D"BC) - De pren (D', D") en (B, C) zijn dus hrmonische puntenpren. b. In driehoek ABD' zijn BI en BI de binnen- en buitenbissectrice vn hoek B. Volgens Stelling 5 zijn de puntenpren (A, D') en (I, I ) hrmonisch. Wrmee de stelling bewezen is. Stelling 6. Als op een lijn l ter weerszijden vn een punt D lijnstukken worden fgezet ter grootte vn r en r, dn is de lengte vn het lijnstuk AD wrbij A het vierde hrmonische punt is bij het punt D en het puntenpr dt gevormd worden door de vn D verschillende eindpunten vn die lijnstukken gelijk n de lengte vn de hoogtelijn h vn de bsisdriehoek. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 3 ]

4 In de hiernst stnde figuur is (AD'II ) - (volgens Stelling 5b). Door loodrechte projectie op de lijn l door A loodrecht op BC hebben we: (ADI'I ') - en drbij is I'D r en I' D r. Wrmee de stelling bewezen is. Gevolg 4. Uit (ADI'I ') - (zie Stelling 6) volgt direct: h r h + r r r r h rr rh + rr h( r r) rr zodt we vinden: h r rr r IA IA, of ID I D Stelling 7. In driehoek ABC wrin de bissectrice vn hoek A de omcirkel tevens snijdt in het punt A' en wrin M het midden is vn BC, geldt: AM ' ( r r) Zijn X, X, X b, X c opvolgend de projecties vn I, I, I b, I c op de lijn BC. De lijn door I evenwijdig met BC snijdt A'M in A''' en I X in het punt J. A'M snijdt de omcirkel ook nog in A", welk punt ook ligt op de lijn I b I c ; immers AA'A" is een Thles-driehoek wrdoor AA" loodrecht stt op de bissectrice vn hoek A en dus buitenbissectrice vn die hoek is. A' is het midden vn I I (zie Stelling 4). Dus: A'A''' ½ JI ½ (I X + X J) ½ (r + r) en ook: A'A''' A'M + r Zodt A'M + r ½ (r + r) wruit volgt: A'M ½ (r r) Hetgeen bewezen moest worden. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 4 ]

5 Gevolg 5. A" is het midden vn I b I c (zie Appendix, Stelling A), zodt in het rechthoekige trpezium I b I c X c X b geldt: M A" ½ (r b + r c ) Dn hebben we verder (zie Stelling 7): R A'A" A'M + M A" ½ (r r) + ½ (r b + r c ) ½ (r + r b + r c ) ½ r Zodt 4R r + r b + r c r Stelling 8 (Formule vn Euler; , Zwitserlnd). d R R r ( ) wrbij IM d. Voor de mcht m vn het punt I tov. vn de omcirkel geldt: (i) m R d (ii) m AI A'I Nu is, zols we in Stelling 4 hebben gezien: A'I A'B wrdoor (ii) smen met (i) overgt in: (iii) R d AI A'B De rechthoekige driehoeken AXI en A"BA' zijn gelijkvormig, zodt AI : A"A' XI : BA' Hieruit volgt voor (iii), omdt XI r: R d r R Wruit het gestelde volgt. Afstnden tot de rkpunten. We geven de projecties vn I, I, I b, I c op de zijde BC n met opvolgend: X, X, X b, X c (ls in Stelling 7), en we gebruiken de letters Y en Z bij projecties op opvolgend de zijden CA en AB. Stelling 9. AZ AY s BZ BX s b CX CY s c AZ AY s BX b BZ b s CX CY s BX BZ s c CX CY s b en nloog voor de ndere zijden vn de driehoek. AZ + AY AB + AC + BC s AZ AY, BZ BX, CX CY Nu is: AZ + AY AB + AC BZ CY AB + AC BX CX AB + AC BC s Dus: AZ AY s Enzovoorts. En ook: AZ AY, BX BZ, CX CY Dn is: AZ + AY AB + AC + BZ + CY AB + AC + BX + CX Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 5 ]

6 En dus: AZ AY s En verder geldt dn: BX BZ AZ AB s c en CX CY AY AC s b Wrmee de stelling bewezen is. Definitie. Twee punten P en P' op dezelfde zijde vn een driehoek, met midden M z, zijn isotomische punten ls PM z P'M z. Gevolg 6. De rkpunten vn de in- en uitcirkel n dezelfde zijde vn een driehoek zijn isotomische punten. b. De rkpunten n een zijde vn twee uitcirkels n de beide ndere zijden zijn isotomische punten. c. In dit ltste gevl is de fstnd tussen die rkpunten gelijk n de som vn de lengtes vn die beide ndere zijden.. Dit volgt direct uit BX s b en CX s b. b. Dit volgt direct uit BX c s en CX b s. c. X b X c X b C + BC + BX c (s ) + + (s ) b + c Stelling 0. In onderstnde figuur is: A A4 A A3 A ( ) 3 B C D B C hierbij zijn AD' en AD" de binnen- en buitenbissectrice vn hoek A, is K het vn A verschillend eindpunt vn de middellijn vn de omcirkel en is AD de hoogtelijn uit A. B bg( AC) AKC B AKC bg( AC) A 90 B A A4 A4 90 B A A34, zodt ook A A3 Verder geldt nu: Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 6 ]

7 A3 A (90 B) A 80 + B A 80 + B+ B+ C C B C En A5 90 A ( A+ B+ C) A ( B+ C), wruit: D B A B B C ( B C) 5 Gevolg 6. IIJ ( ) b c B C, omdt I c J // BC. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 7 ]

8 Appendix Stelling A. De omcirkel vn driehoek ABC is de negenpuntscirkel vn driehoek I I b I c. De binnenbissectrices vn ABC zijn de hoogtelijnen vn driehoek I I b I c ; immers de zijden vn I I b I c zijn de buitenbissectrices vn ABC. ABC is dus de voetpuntsdriehoek vn I I b I c. De omcirkel vn driehoek ABC is dn de negenpuntscirkel vn I I b I c. Gevolg A. De omcirkel vn driehoek ABC gt door de middens A", B", C" vn de lijnstukken I b I c, I c I, I I b. Het gevolg vn Stelling A wordt ook bewezen in de volgende stelling. Stelling B. Twee tritngent middelpunten zijn de eindpunten vn een middellijn vn een cirkel die gt door de hoekpunten vn de bsisdriehoek, wrbij die hoekpunten niet collineir zijn met de beschouwde middelpunten.. Beschouw de punten I en I. Nu is IBI C een koordenvierhoek (zie de rechte hoeken bij B en bij C). Het middelpunt vn de omcirkel vn de koordenvierhoek is dn het midden vn I I. Omdt de cirkel ook door B en C gt ligt dt middelpunt ook op de middelloodlijn vn BC. Het middelpunt is dus het punt A', het tweede snijpunt vn de bissectrice vn hoek A met de omcirkel vn driehoek ABC (zie ook Stelling 4). b. Beschouw de punten I b en I c. De vierhoek I b I c BC is eveneens een koordenvierhoek. Het middelpunt noem het even X is het midden vn het lijnstuk I b I c. Omdt de omcirkel vn de koordenvierhoek ook door B en C gt ligt X eveneens op de middelloodlijn vn BC. Mr XAA' 90, zodt X smenvlt met het punt A", het tweede snijpunt vn de middellijn A'M met de omcirkel vn driehoek ABC. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 8 ]

9 Gevolg B. De vier tritngent middelpunten vn een driehoek liggen op zes cirkels die gn door de pren hoekpunten vn de driehoek. De middelpunten vn die cirkels zijn de middens vn de bogen die worden opgespnnen door de bijbehorende zijde vn de driehoek en diens omcirkel. Gevolg B. Als een driehoek een vste bsis heeft en een vste omcirkel, dn bestt de meetkundige plts vn de tritngent middelpunten uit twee cirkels die door de vste hoekpunten gn en die de eindpunten vn de middellijn vn de omcirkel die loodrecht stt op de vste zijde, ls middelpunt hebben. Dit lles ls het derde (vribele) hoekpunt de omcirkel doorloopt. Tritngent strlen (vs..3; pril 005) [ 9 ]