Integralen en de Stelling van Green

Transcriptie

1 Integrlen en de Stelling vn Green Les Functies vn twee vernderlijken Les ubbelintegrl Les 3 Lijnintegrl Les 4 Stelling vn Green en toepssingen Rob e Stelen sptie Een ster genereert mgnetische velden door turbulente inwendige convectie. eze fbeelding toont de mgnetische veldlijnen in de convectiezone vn een snel roterende ster, met kleuren (rood positief, bluw negtief, wit neutrl) die de richting ngeven.

2 Voorwoord Het wetenschpssensibiliseringsproject UniMth is een cretie vn de UGent en wordt ondersteund door de Vlmse Overheid lngs Vlnderen in Actie (ViA) en Wetenschp mkt knp. Het project Integrlen en de Stelling vn Green bouwt verder op de geziene kennis vn de nlyse in het middelbr onderwijs. Finl komen het bewijs vn de Stelling vn Green en toepssingen n bod. Hiervoor worden verschillende concepten ontwikkeld: functie vn meer vernderlijken, vectorveld, dubbelintegrl, lijnintegrl. Het is niet de bedoeling vn dit project om gestrengheid (o.. de correcte voorwrden wronder stellingen geldig zijn) n te streven en/of over te brengen. Het beoogt een ndere kijk op wiskunde te geven (schoonheid, toepsbrheid,...) en meer lgemeen de wetenschppelijke snr vn studenten te rken. e -oefeningen doorheen de tekst zijn beperkt gehouden lsook eenvoudig. Er is steeds ruimte voorzien om het ntwoord te noteren. Er zijn ook K -oefeningen die niet in de les behndeld worden. eze oefeningen zijn iets moeilijker en kunnen dienen ls voorbereiding op de Slothppening n de UGent. eze hppening verzmelt lle deelnemers n UniMth op cmpus e Sterre vn de UGent om elkr te ontmoeten, uit te dgen en meer. Er is ook fculttieve uitbreiding voorzien in de tekst, ngeduid met U en een lichtrode kntlijn. Voor meer info, de dtum vn de slothppening, foto s, en interessnte links surf je zeker eens nr Rob e Stelen 9 december, Gent

3 Functies vn twee vernderlijken Tot nu toe heb je enkel met functies y = f (x ) vn één vribele x gewerkt, bv. y = x it is een functie f : : x y = f (x), die met een getl x een getl y lt overeenkomen, gegeven door het verbnd f. Niets belet je om vertrekkende vn twee reële getllen x en y een getl z = f (x,y ) te construeren. us f : : (x,y ) z = f (x,y ), is een functie vn twee vribelen x en y. x y Figuur : e grfiek vn z = x + y 4. Zols een functie vn één vernderlijke een kromme in het vlk beplt, beplt een functie vn twee vernderlijken een oppervlk in de ruimte. Wij zullen hoofdzkelijk met continue functies werken. Een functie f (x,y ) is continu in (,b) dom f wnneer lim f (x,y )=f (,b). (x,y ) (,b) Merk op dt het punt (,b) in het vlk dikwijls lngs oneindig veel pden benderd moet kunnen worden. Beschouw de functie xy ls (x,y ) (,) f : : (x,y ) x + y. elders Toon n dt f discontinu is in de oorsprong door n te tonen dt de limiet niet bestt. e limiet vn f verschilt immers volgens de kromme K, bv. de rechte y = mx, wrmee nr (, ) genderd wordt, i.e. K lim f (x,y )=lim f (x,mx)=g(m). (x,y ) (,) x

4 3 Oplossing K lim (x,y ) (,) mx f (x,y )=lim x x + x m = m + m = m = Herinner je ook de fgeleide f (x )= d f f (x + h) f (x ) = lim. dx h x h In het gevl vn een functie vn twee vernderlijken beschouwen wij prtiële fgeleiden f x = f f (x + h,y ) f = lim, x h h f y = f y f (x,y + h) f = lim. h h Bij het prtieel fleiden wordt de ndere vribele dus ls constnt gezien. Men noteert deze smen in een vector ls f =(f x, f y );degrdiënt vn f (dit is een voorbeed vn een vectorveld, zie p.). Voorbeeld Beschouw de functie z = 3x + 5sin(xy). e prtiële fgeleiden zijn z z = 3 + 5y cos(x y ), = 5x cos(x y ). x y e betekenisenis vn een prtiële fgeleide is nloog n die vn een fgeleide. Hij geeft informtie over de lokle vernderingvnvn de functieineen in een punt. Voor een functie vn twee vribelen geldt dit nog steeds, mr dn bij constnt houden vn de ndere vribele. Figuur : e grfiek vn z = 4x y en de uitsnijding met de vlkken x = eny =.

5 4 Voorbeeld Beschouw de functie z = 4x y en het punt (,). e prtiële fgeleiden zijn z x = 8x, z y = y. Om de richtingscoëfficiënt vn de rklijn n de uitgesneden krommen te weten, evlueren wij de prtiële fleiden in (,) en bekomen resp. 8en 4. (i) Bepl de prtiële fgeleiden nr x en y vn z = ye x 3x + y 4 in (,) en vn z = ln(x y ) xy in (,). (ii) Wnneer een punt een (lokl) extremum is vn de functie z = f (x,y ), wt kn je dn zeggen over f x en f y? En omgekeerd? Oplossing (i) Er geldt dt (ye x 3x + y 4 ) x = ye x 3, (ye x 3x + y 4 ) y = e x + 4y 3, z (,)=(,5); (ln(x y ) xy) x = y /x y, (ln(x y ) xy) y = lnx x, z (,)=(, ). (ii) Wnneer een (lokl) extremum is vn de functie z = f (x,y ),is f x =f y =. Omgekeerd is dit niet het gevl, bv. een zdelpunt. Voorbeeld Met behulp vn prtiële fgeleiden tonen wij n n dt x p p + y q q en p + =. Er geldt q xy wnneer x,y > f (x,y )= x p p + y q q xy = f x = x p y. Zodt f x = gelijkwrdig is met x = y p en voor vste y het punt (y p,y ) het minimum is vn f met wrde f (y p,y )=. e ongelijkheid geldt in het minimum, derhlve geldt zij overl.

6 5 oor een prtiële fgeleide ls functie nogmls prtieel f te leiden, bekomen wij (gemengde) tweede-orde prtiële fgeleiden; f xx = f = f x x (x,y x, f yy = f = f ) (x,y y y ) (x,y y, ) f xy = f = f x x, f yx = f = f x x y. y (x,y y ) (x,y y ) e functies f xy en f yx zijn doorgnsverschillend. Eenvoldoende voorwrde voor gelijkheid in een punt, is de inhoud vn volgende stelling.. Stelling (Clirut, ). Zij f :. Zijn de functies f xy en f yx continu in een omgeving vn het punt dom f dn is f xy =f yx. Beschouw de continue functie xy x y ls (x,y ) (,) f : : (x,y ) x + y. elders K Is de gemengde tweede-orde prtiële fgeleide f xy continu in de oorsprong? Gebruik een softwrepkket om de berekeningen te mken. Wt is de meetkundige betekenis? e directionele fgeleide u f (r) vn f in r = in de richting u is de snelheid wrmee f in r verndert in de richting u; f (r + hû) f (r) u f (r)=lim = û f, û = u h h u.. Stelling (Mximle vernderingssnelheid). e mximle snelheid vn verndering vn f in r is f (r) en geschiedt in de richting f (r). U Bewijs. Er geldt dt mx u u f (r)=mx u û f (r) = mx θ û f (r) cos(θ )= f (r) mxcos(θ )= f (r), θ met θ = (u, f (r)). it mximum treedt op bij θ = dus u f (r). e Euleropertor E geeft de directionele fgeleide vn f met ls richting deze bepld door het beschouwde punt proportioneel met r, i.e. E[f ](r) = r r f (r). Een functie is homogeen vn grd d wnneer f (t r)=t d f (r). Toon n dt E[f ]=df wnneer f homogeen is vn de grd d door f (t r)=t d f (r) f te leiden nr t en gebruik te mken vn de kettingregel; d dv F (h (v ),h (v )) = F dh x dv + F dh y dv. K

7 6 ubbelintegrl Wij bekijken eerst opnieuw het gevl vn een functie vn één vernderlijke. e integrl vn f over een intervl [,b] berekenden wij door een prtitie Π=(x,x,...,x n ) vn het intervl [,b] te beschouwen en b f (x )dx = lim n n f (x )Δx i i, x ]x i i x i [, Δx i = x i x i. i = Figuur 3: Prtitie vn een functie vn één vernderlijke.. Stelling (Hoofdstelling vn de Anlyse, FTC). Zij f een functie op het intervl [, b]. Heeft f een continue fgeleide op [,b], dn is b f (x )dx = f (b) f ( ) & d dx x δ f (t )dt = f (x), δ dom f. Om de integrlvn eenfunctie vntweevernderlijkenteconstrueren,gnw vernderlijken te wij nloog te werk door het beplen vn het volume onder het oppervlk S. e rechthoekjes h worden nu blkjes. Beschouw in het xy-vlk een rechthoek R =[,b] [c,d ] zols op onderstnde figuur. Kiezen wij prtities Π x =(x,x,...,x n ) en Π y =(y,y,...,y m ) vn de intervllen [,b] en [c,d ], dn is de dubbelintegrl vn f over R n m f (x,y )ds = lim lim f (x,y )Δx n m i j i Δy j, (x,y ) ]x i j i x i [ ]y j y j [. R i = i = Men schrijft ook dx dy i.p.v. ds. Mr hoe berekenen wij nu een dubbelintegrl?. Stelling (Fubini, ). Is f continu over R =[,b] [c,d ], dn is b d d b f (x,y )ds = f (x,y )dy dx = f (x,y )dx dy, R een zogenmde opeenvolgende integrl. c c

8 7 Figuur 4: Prtitie vn een functie vn twee vernderlijken over een rechthoek. Voorbeeld Wij berekenen eenvoudig dt 4 6xy ds = 6xy dy dx = [,4] [,] 4 xy 3 dx = 4 4x dx = 84. Bepl met de Stelling vn Fubini (x + y ) ds en [,] [,] [,] [,] (x + 3y ) ds.

9 8 Oplossing Er volgt dt [,] [,] [,] [,] (x + y ) ds = (x + 3y ) ds = (x + y ) dy dx = (x + 3y ) dy dx = (x + y )3 dx = 6 3 3, }{{} 3 [(x +)3 (x +) 3 ] 6x + 9y }{{} 6x+8 + 6x+9 dx = ln(5/4). 6 Wt ls het integrtiegebied geen rechthoek is? Het klssieke recept is het gebied op te delen in rechthoekjes en een limietovergng te beschouwen. Wij gn hier verder niet op in, mr geven hieronder twee vk voorkomende gebieden, zgn. projecteerbre gebieden, en hoe hierover te integrerenen wnneer f continu is. Integrlen over de resp. x -en Figuur 5: Links = {(x,y ) x b, g (x) y g (x )} een x-projecteerbr gebied. Rechts = {(x,y ) c y d,h (y ) x h (y )} een y -projecteerbr gebied. y -projecteerbre gebieden definiëren wij ls b f (x,y )ds = en g (x ) g (x ) d h (y ) f (x,y )dy dx, f (x,y )ds = f (x,y )dx dy. c h (y ).3 Stelling (Lineriteit en dditiviteit vn de integrl). Zijn f en g continue functies op dn geldt dt (lin.) (dd.) [λf (x,y )+μg (x,y )]ds = λ f (x,y )ds = f (x,y )ds + f (x,y )ds + μ g (x,y )ds, met λ,μ ; f (x,y )ds, met =.

10 9 Voorbeeld Zij = {(x,y ) y,y x y 3 }, dn is e x y ds = y 3 y e x y dx dy = ye x y y 3 dy = e 4 4e. y }{{} ye y ye Bepl (4xy y 3 )ds met het gebied tussen de krommen y = x en y = x 3. Oplossing Het gebied = {(x,y ) x,x 3 y x} zodt x (4xy y 3 )ds = (4xy y 3 )dy dx = x 3 (xy y 4 /4) x x 3 }{{} (x x /4) (x 7 x /4) dx = Stelling (Oppervlkte). Er geldt dt ds = opp() de oppervlkte vn oplevert. Bewijs. Is =[,b] [c,d ] een rechthoek, dn is b d ds = dy dx =(b )(d c)=opp(). c Het lgemene gevl volgt door het opdelen vn een willekeurige gebied in rechthoekjes en een limietovergng te beschouwen. Wnneer het gebied niet begrensd is, bv. is het hele vlk, dn wordt de oneigenlijke dubbelintegrl vn f over gedefinieerd ls de limiet vn de dubbelintegrlen over de begrensde gebieden i met = i = i op voorwrde dt deze limiet bestt; f (x,y )ds = lim f (x,y )ds, i i U én onfhnkelijk is vn de gekozen i.isf continu over dn is de (Cuchy-)hoofdwrde vn f de oneigenlijke dubbelintegrl vn f berekend met een specifieke i, i.e. f (x,y )ds = lim i [ i,i ] [ i,i ] f (x,y )ds.