Resultatenoverzicht wiskunde B

Transcriptie

1 Resulttenoverzicht wiskunde B In dit document zijn door dpt Wiskunde lle resultten vn het VWO-eindexmenprogrmm beknopt smengevt m.u.v. het domein Voortgezette Meetkunde. Kijk voor meer informtie op: A Getllen Ntuurlijke getllen (N): {0,1,,...} Gehele getllen (Z): {..., 1,0,1,...} Rtionle getllen (Q): { b }, met,b Z b 0 Reële getllen (R): lle mogelijke wrden op een getllenlijn (, π, etc.) Hierbij geldt: N Z Q R B Rekenregels voor herleiden B1 Volgorde elementire operties 1. Hkjes wegwerken. Mchtsverheffen en worteltrekken 3. Vermenigvuldigen en delen 4. Optellen en ftrekken B Elementire implicties A B = 0 A = 0 B = 0 A B = A C A = 0 B = C A = B A = B A = B B3 Merkwrdige producten (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B B4 Wortels A B = AB, voor A 0 B 0 A A B = B, voor A 0 B > 0 B5 Breuken Voor B 0, C 0 D 0 en n N geldt: A C + B = A+BC C A C B = A BC C A C B D = A B C D A B C = AB C = A C B = A B 1 C A C BD = A D C B ( ) A n B = A n B n B6 Mchtsfuncties en exponentiële functies Lt bij mchtsfuncties een vribele zijn en p, q R en bij exponentiële functies juist R en p, q vribelen. Dn geldt voor 0: 0 = 1 p q = p+q 1 = 1 p = 1 p p q = p q ( p ) q = p q = 1, voor 0 q p = p q, voor > 0 q 0 B7 Logritmische functies Voor g > 0, g 1, > 0 b > 0 en p > 0 p 1 geldt: g g log() = g log(g ) = g log()+ g log(b) = g log(b) g log() g log(b) = g log ( ) b n g log() = g log ( n) g log() = p log() p log(g) 1 g log() = g log() A = A 1 All rights reserved - dpt Wiskunde c

2 B8 Goniometrische functies Voor C 1 π + k π, met k Z geldt: sin( A) = sin(a) cos( A) = cos(a) tn(c) = sin(c) cos(c) tn( C) = tn(c) sin(π + A) = sin(a) cos(π + A) = cos(a) sin(π A) = sin(a) cos(π A) = cos(a) sin(a) = cos( 1 π A) sin(a) = cos(a 1 π) cos(a) = sin( 1 π A) cos(a) = sin(a + 1 π) sin (A) + cos (A) = 1 sin(a) = sin(a)cos(a) cos(a) = cos (A) sin (A) cos(a) = cos (A) 1 cos(a) = 1 sin (A) sin(a)cos(a) = 1 sin(a) cos (A) = cos(a) sin (A) = 1 1 cos(a) sin(a + B) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) sin(a B) = sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) cos(a + B) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a B) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a) + sin(b) = sin( A+B A B )cos( sin(a) sin(b) = sin( A B A+B )cos( cos(a) + cos(b) = cos( A+B A B )cos( cos(a) cos(b) = sin( A+B A B )sin( C Rekenregels differentilrekening Lt f (x), g(x) en h(x) lle continu differentieerbre functies zijn en h(x) 0. Dn geldt: f (x) = g(x) + h(x), geeft f (x) = g (x) + h (x) f (x) = c g(x), geeft f (x) = c g (x) f (x) = g(x) h(x), geeft f (x) = g (x) h(x) + g(x) h (x) f (x) = g(x) h(x), geeft f (x) = g (x) h(x) g(x) h (x) ( ) h(x) f (x) = g ( h(x) ), geeft f (x) = g ( h(x) ) h (x) Voor de stndrdfgeleiden geldt voor k Z: f (x) = c f (x) = 0 f (x) = x n f (x) = n x n 1 f (x) = g x f (x) = g x ln(g), voor g > 0 g 1 f (x) = e x f (x) = e x f (x) = ln(x) f (x) = g log(x) f (x) = 1 x, voor x > 0 f (x) = 1 xln(g), voor g > 0 g 1 x > 0 f (x) = sin(x) f (x) = cos(x) f (x) = cos(x) f (x) = sin(x) f (x) = tn(x) f (x) = 1 cos (x), voor x 1 π + k π D Rekenregels primitiveren Lt f (x), g(x) en h(x) lle continue functies zijn en F (x) = f (x),g (x) = g(x) en H (x) = h(x). Dn geldt: f (x) = g(x) + h(x), geeft F(x) = G(x) + H(x) +C f (x) = c g(x), geeft F(x) = c G(x) +C f (x) = g(x + b), geeft F(x) = 1 G(x + b) +C, 0 Voor de stndrdprimitieven geldt: f (x) = x n F(x) = 1 n+1 xn+1 +C, voor n 1 f (x) = 1 x F(x) = ln( x ) +C, voor x 0 f (x) = g x F(x) = 1 ln(g) gx +C, voor g > 0 g 1 f (x) = e x F(x) = e x +C f (x) = ln(x) F(x) = xln(x) x +C, x > 0 f (x) = g log(x) F(x) = 1 ln(g) (xln(x) x) +C, voor g > 0 g 1 x > 0 f (x) = sin(x) F(x) = cos(x) +C f (x) = cos(x) F(x) = sin(x) +C All rights reserved - dpt Wiskunde c

3 E Toepssingen vn de differentilrekening Lt f (x) en g(x) beide tweeml continu differentieerbre functies zijn. Dn geldt: E1 Differentiequotiënt De gemiddelde verndering vn de functiewrden tussen de punten A(x A,y A ) en B(x B,y B ) is gegeven door het differentiequotiënt: y x = y B y A x B x A = f (x B) f (x A ) x B x A E Differentilquotiënt De helling vn grfiek vn f (x) in een punt A(x A,y A ) is gegeven door het het differentilquotiënt: [ ] { } dy f (xa + x) f (x A ) = lim dx x=x x 0 A x E3 Extrem beplen 1. Bepl f (x). Zet f (x) = 0 en los op nr x 3. y = f (x ), met x een oplossing vn stp 4. Controleer n de hnd vn een tekenschem (zie voorbeeld hieronder) of y een mximum, minimum of buigpunt betreft f (x) f (x) min buigpt. mx 4. Mk gebruik vn de tweede fgeleide: - y is een mximum ls geldt: f (x) < 0 in een omgeving vn x - y is een minimum ls geldt: f (x) > 0 in een omgeving vn x - Voor f (x) = 0 kn men geen conclusie trekken E4 Rklijn opstellen Voor de rklijn k : y = x + b die rkt n de grfiek vn f (x) in het punt A(x A,y A ) geldt: y A = f (x A ) = f (x A ) k : y = f (x A )x+ f (x A ) f (x A )x A b = y A x A E5 Functienlyse f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) > 0 toenemend stijgend fnemend dlend f (x) < 0 fnemend stijgend toenemend dlend f (x) = 0 constnt stijgend constnt dlend F Toepssingen Integrlrekening Lt f (x) en g(x) beide continue functies zijn en F (x) = f (x) en G (x) = g(x), het vlkdeel V zijn ingesloten door f (x), y = 0, x = en x = b en tenslotte het vlkdeel W zijn ingesloten door f (x), g(x), x = en x = b. Dn geldt: b f (x)dx = F(b) F() O(V ) = b f (x) dx, ls f (x) 0 O(V ) = b f (x) dx, ls f (x) 0 O(W) = b ( ) f (x) g(x) dx, ls f (x) g(x) O(W) = b ( ) g(x) f (x) dx, ls g(x) f (x) Voor de lengte l(m) vn grfiekstuk m op [,b] geldt: b 1 + ( f (x)) dx Voor de inhoud I(L) vn het omwentelingslichm dt ontstt bij het wentelen vn V om de x-s geldt: I(L) = π b ( ) f (x) dx Voor de inhoud I(M) vn het omwentelingslichm dt ontstt bij het wentelen vn W om de x-s geldt: I(M) = π b ( ) f (x) dx π b ( ) g(x) dx, ls f (x) g(x) I(M) = π b ( ) g(x) dx π b ( ) f (x) dx, ls g(x) f (x) Lt het vlkdeel Y zijn ingesloten door f (x), y =, y = b en x = 0 en f 1 (y) de inverse functie vn f (x) zijn. Dn geldt voor de inhoud I(N) vn het omwentelingslichm dt ontstt bij het wentelen vn Y om de y-s: I(N) = π b ( f 1 (y) ) dy Lt de snelheid op t gegeven zijn door een continue functie v(t) en de fgelegde weg tussen t = en t = b gegeven zijn door een continu en differentieerbre functie s(t;, b). Dn geldt: s(t) = b v(t) dt Lt R L (,b), R M (,b), R R (,b) respectievelijk de linker, midden en rechter Riemnnsom zijn gegeven een stpgrootte x en n = b x. Dn geldt: R L (,b) = n i=1 f (x i) x, met x i = +(i 1) x R M (,b) = n i=1 f (x i) x, met x i = +(i 1 x R R (,b) = n i=1 f (x i) x, met x i = + i x 3 All rights reserved - dpt Wiskunde c

4 G Vergelijkingen oplossen G1 Kwdrtische vergelijkingen Voor 0 geldt: x d = d x = x = d, voor d 0 x + bx = 0 x = 0 x = b x + bx + c = 0 x = b D x = b+ D, voor D 0, met D = b 4c, mogelijkerwijs te vinden m.b.v. ontbinden in fctoren G Hogeregrds vergelijkingen Lt p even en geheeltllig en q niet even en niet noodzkelijk geheeltllig zijn en bovendien p 0, q 0, n 0, r 0, n N en r R. Dn geldt: x p = c x = p c x = p c, voor c 0 x q = c x = c 1 q, voor c > 0 x n+ + bx n+1 + cx n = 0 x = 0 x + bx + c = 0 G6 Exponentiële vergelijkingen Voor g > 0 g 1, c > 0, A 0 en B 0 geldt: g x = c x = g log(c) e x = c x = ln(c) g A = g B A = B e A = e B A = B G7 Logritmische vergelijkingen Voor g > 0 g 1, c > 0, A 0 en B 0 geldt: g log(x) = c x = g c ln(x) = c x = e c g log(a) = g log(b) A = B ln(a) = ln(b) A = B G8 Goniometrische vergelijkingen x r + bx r + c = 0 u + bu + c = 0, met u = x r G3 Wortelvergelijkingen Vergelijkingen met een wortel behoren middels de volgende drie stppen te worden opgelost: 1. Isoleer. Kwdrteer 3. Controleer G4 Gebroken vergelijkingen A B = 0 A = 0 B 0 A B = C A = BC B 0 A B = C D AD = BC B 0 D 0 A B = A C A = 0 B = C B 0 C 0 G5 Modulusvergelijkingen A = B, met B 0 A = B A = B A = B, met B < 0 A = geen oplossingen Lt α een punt op de eenheidscirkel zijn zodt sin(α) de bijbehorende wrde op de y-s is en cos(α) de bijbehorende wrde op de x-s is en A en B in rdilen. Dn geldt: sin(a) = sin(α) A = α + k π A = π α + k π cos(a) = α A = α + k π A = α + k π sin(a) = sin(b) A = B + k π A = π B + k π cos(a) = cos(b) A = B + k π A = B + k π 4 All rights reserved - dpt Wiskunde c

5 dhr. R. de Punder & dhr. S. Thijssen H Grfieken stndrdfuncties H1 Mchtsfuncties De functies f (x) = xn, met n =, 3, 4,... en 6= 0 hebben ls plot: () n is even, > 0 (b) n is even, < 0 (c) n is oneven, > 0 (d) n is oneven, < 0 H Bijzondere mchtsfuncties Een ntl bijzondere gevllen vn de functies f (x) = xr, met r R en 6= 0 heeft ls plot: () f (x) = x (b) f (x) = 1 x (c) f (x) = 1x H3 Exponentiële en logritmische functies De functies f (x) = gx, met g > 0 g 6= 1 (merk op: e, 7) hebben ls plot: () 0 < g < 1 (d) f (x) = x De functies f (x) = g log (x), met g > 0 g 6= 1 (merk op: e, 7) hebben ls plot: (b) g > 1 (c) 0 < g < 1 (d) g > 1 H4 Goniometrische functies De goniometrische stndrdfuncties hebben ls plot: () f (x) = sin(x) (b) f (x) = cos(x) (c) f (x) = tn(x) 5 All rights reserved - dpt Wiskunde c

6 I Meetkunde I1 Rechthoekige driehoek Lt een rechthoekige driehoek ( ABC) rechthoekszijden en b en schuine zijde c hebben en noem bovendien ABC = α. Dn geldt: + b = c sin(α) = c cos(α) = b c tn(α) = b I Oppervlkte D-figuren Lt z een willekeurige zijde zijn vn een willekeurige driehoek ( ABC) en h loodrecht stn op z en door de overstnde hoek vn z gn. Lt verder een cirkel c gegeven zijn met middelpunt M en strl r. Dn geldt: Oppervlkte ABC = 1 z h Omtrek c = π r Oppervlkte c = π r I3 Inhoud 3D-figuren Voor onderstnde bol met middelpunt M en strl r en het bolsegment met strl r 1, r en hoogte h geldt: Inhoud pirmide = 1 3 l b h Inhoud kegel = 1 3 π r h Inhoud cilinder = π r h J Notties J1 Gebruikte wiskundesymbolen symbool betekenis f (x) g(x) f (x) is bij bendering gelijk n g(x) voor lle bevt in / niet bevt in A B geldt A dn ook B A B geldt A dn ook B en omgekeerd gt willekeurig dicht nr b lim b J Intervlnottie intervl nottie lterntief x <, (,) x >, (, ) x,] (,] x [, [, ) < x < b,b (,b) < x b,b] (,b] x < b [,b [,b) x b [,b] - lle x behlve,, x R\{} lle x, x R J3 Verschillende notties voor de fgeleide functie ( ) f (x) = d f (x) dx = d ( ) dx f (x) = dy dx = d dx (y) Inhoud bol = 4 3 π r Inhoud bolsegment = 1 6 π h( 3r 1 + 3r + h) Voor een pirmide met een grondvlk met breedte b en lengte l en een kegel en cilinder met een grondvlk met middelpunt M en strl r, lle met hoogte h geldt: J4 Vk voorkomende Griekse letters α lf δ delt Delt β bèt ε epsilon Π Pi γ gmm π pi Σ Sigm 6 All rights reserved - dpt Wiskunde c