Formularium Wiskunde

Transcriptie

1 Formulrium Wiskude Te gebruike bij exme Ileidig tot de Hogere Wiskude Trscedete fucties. Goiometrische fucties t x = tg x = si x cos x cot x = cotg x = cos x si x sec x = cos x cosec x = si x cos( ± b) = cos cos b si si b si( ± b) = si cos b ± cos si b t ± t b t( ± b) = t t b si 2 x + cos 2 x = cos(2x) = cos 2 x si 2 x si p + si q = 2 si( 2 (p + q)) cos( 2 (p q)) si p si q = 2 cos( 2 (p + q)) si( 2 (p q)) cos p + cos q = 2 cos( 2 (p + q)) cos( 2 (p q)) cos p cos q = 2 si( 2 (p + q)) si( 2 (p q)) si(2x) = 2 si x cos x 2 cos 2 (x) = + cos(2x) 2 si 2 (x) = cos(2x) dom bgsi = [, ] dom bgcos = [, ] dom bgt = R.2 Expoetiële fuctie e Logritme e x+y = e x e y l(xy) = l x + l y e x y = e x /e y l(x/y) = l x l y e xy = (e x ) y l(x y ) = y l x x = e x l log x = l x l.3 Hyperbolische fucties sih x = ex e x 2 cosh x = ex + e x 2 th x = sih x cosh x = ex e x e x + e x cosh 2 x sih 2 x = bgsih x = l(x + x 2 + ) bgcosh x = bgsih ( x 2 ) = l(x + x 2 ) bgth x = 2 l + x x

2 2 ifferetilrekeig 2. Rekeregels efiitie: f(x) = f (x) = df dx = lim f(x + h) f(x) h 0 h ) = f g fg (f ± g) = f ± g (fg) = f g + fg ( f g g 2 Kettigregel: (f g) (x) = f (g(x))g (x) Afgeleide v iverse fuctie: ( f ) (x) = f (f (x)) 2.2 Overzicht v fgeleide y = f(x) dy/dx = f (x) y = f(x) dy/dx = f (x) x x 0 x x l e x e x log x l x x l x si x cos x cos x si x t x cos 2 x = + t2 x cot x si 2 x = cot2 x sec x sec x t x cosec x cosec x cotg x sih x cosh x cosh x sih x th x cosh 2 bgsi x x x 2 bgcos x 3 Itegrlrekeig 3. Rekeregels Als f cotiu is e F = f, d Substitutieregel: b Prtiële itegrtie: x 2 b g(f(x))f (x)dx = bgt x f(x)dx = F (b) F () f(b) f() g(u)du f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx + x 2 2

3 3.2 Overzicht v itegrle y = f(x) f(x)dx y = f(x) f(x)dx x ( + ) x + + C si x cos x + C x l x + C cos x si x + C e x e x + C t x l cos x + C x log x x l + C x l x x l + C sec x cosec x l sec x + t x + C l t( 2 x) + C l x x l x x + C sih x cosh x + C 2 + x 2 (/)bgt (x/) + C 2 + x 2 l x x 2 + C 2 2 x x 2 l ( + x)/( x) + C bgsi (x/) + C cosh x bgsi x bgcos x bgt x sih x + C xbgsi x + x 2 + C xbgcos x x 2 + C xbgt x 2 l( + x2 ) + C 3.3 Goiometrische itegrle e itegrl R(cos x, si x)dx met R(x, y) ee rtiole fuctie wordt herleid tot ee itegrl v ee rtiole fuctie door middel v de substitutie t = t( 2dt x) dx = 2 + t 2 cos(x) = t2 + t 2 si(x) = 2t + t 2 e i de tbel gegeve substitutie leidt tot ee itegrl v ee rtiole fuctie i cos x e si x: R(x, x 2 + )dx x = t θ dx = dθ cos 2 θ R(x, x 2 )dx x = si θ dx = cos θdθ R(x, x 2 )dx x = dx = si θ cos θ cos 2 θ dθ 3.4 Oeigelijke itegrl 0 dx covergeert ls p < e divergeert ls p xp 3

4 dx covergeert ls p > e divergeert ls p xp 3.5 Legte, oppervlkte e volume e legte v ee kromme K is gegeve door: b β α b + (f (x)) 2 dx ls K : y = f(x), x b [f (t)] 2 + [g (t)] 2 dt ls K : x = f(t), y = g(t), t b r(θ) 2 + [r (θ)] 2 dθ ls K : r = r(θ), α θ β e oppervlkte S v ee deel v het vlk igeslote door de kromme r = f(θ) e strle θ = e θ = b is S = 2 b [f(θ)] 2 dθ. e oppervlkte S e het volume V v het omweteligslichm dt otstt door y = f(x), x b te wetele rod de x-s zij S = 2π b f(x) + (f (x)) 2 dx V = π b f 2 (x) dx 4 Complexe getlle Crtesische voorstellig: z = + bi C met = Re z R e b = Im z R Poolvoorstellig: z = re iθ = r(cos θ + i si θ) met bsolute wrde r = z = rgumet θ = rg z, t θ = b/ Complex toegevoegde: z = bi = re iθ = r(cos θ i si θ) Verbd tusse goiometrische fucties e complexe e-mcht: 2 + b 2 e Rekeregels: si x = 2i (eix e ix ) cos x = 2 (eix + e ix ) e x+iy = e x (cos y + i si y) ( + bi) ± (c + di) = ± c + i(b ± d) ( + bi)(c + di) = (c bd) + i(d + bc) (r e iθ )(r 2 e iθ 2 ) = (r r 2 )e i(θ +θ 2 ) + bi (c + bd) + i(bc d) = c + di c 2 + d 2 r e iθ r 2 e iθ 2 = r r 2 e i(θ θ 2 ) 4

5 5 Reekse 5. Specile reekse Biomium v Newto: (x + y) = Meetkudige reeks: Twee bijzodere reekse: ( ) x k y k, wri k ( ) = k r k = r+ r, e voor r < : r k = r k= 5.2 Covergetiekemerke k = ( + ) e 2 k=! k!( k)! k 2 = ( + )(2 + ) 6 Als u covergeert, covergeert u ook. Als lim u 0 divergeert u. Ee ltererede reeks wrv de terme i bsolute wrde mootoo tot 0 dere is coverget (Leibiz). Als f dled is e f(x)dx < d covergeert f(). e reeks = is coverget ls p > e diverget ls p. p Als 0 u Cv met C > 0, e v covergeert, d covergeert u ook. Weer L gegeve wordt door L = lim u of door L = lim u + u, d is diverget ls L > e coverget ls L <. u, d is ρ de cover- 5.3 Mchtreekse Weer ρ gegeve wordt door ρ = lim c of door ρ = lim getiestrl v c x. Voorbeelde v mchtreekse e x = 5.4 Tylorreekse Formule v Tylor: k! xk si x = f(x) = f() + f ()(x ) + f () 2! ( ) k (2k + )! x2k+ cos x = c c + ( ) k (2k)! x2k. (x ) f () () (x ) + R + (x)! 5

6 x (x t) Restterm: R + (x) = f (+) (t)dt! x + Afschttig: R + (x) mx f (+) (t) wrbij het mximum geome wordt ( + )! voor t tusse e x Tylorreeks: Voorbeelde l( + x) = bgt x = ( + x) s = f (k) () (x ) k k! ( ) = =0 x ls x ], ] ( ) x2+ ls x [, ] 2 + ( ) s x ls x ], [ wri =0 6 Fucties v meer verderlijke ( ) s s(s ) (s + ) =! 6. Vectore ( Norm: x = i= x 2 i Sclir product: x y = ) /2 x i y i = x y cos θ i= Cuchy Schwrz: x y x y met θ de hoek tusse x e y 6.2 Vectorfuctie Vectorfuctie c : I R R : t c(t) = (c (t), c 2 (t),..., c (t)) Afgeleide vectorfuctie (vectoriële selheid): Legte v kromme geprmetriseerd door c : [, b] R : 6.3 Afgeleide L = Prtiële fgeleide r x k : b c (t) dt = b v(t) = c (t) = (c (t), c 2 (t),..., c (t)) ( c (t) 2 + c (t) 2) /2 dt f f(x,..., x k, x k + h, x k+,..., x ) f(x,..., x ) ( x) = lim x k h 0 h f( x + h e k ) f( x) = lim h 0 h ( f Grdiët v f: grd f = f =,..., f ) x x 6

7 Richtigsfgeleide i richtig 0: f = grd f d Kettigregel: dt (f c)(t) = grd f( c(t)) c (t) Rkvlk iveuoppervlk v f door p: ( x p) grd f( p) = 0 Rkvlk grfiek v f i ( p, f( p): 6.4 Extrem x + = f( p) + ( x p) grd f( p) Ee cotiue fuctie f bereikt op ee geslote e begresd deel S v R ee globl mximum e ee globl miimum. Kdidte voor extrem:. Pute wr f iet differetieerbr is, 2. Pute wr grd f = 0, 3. Pute v de rd v S. Hessi v f: ( 2 ) f H = x i x j. i,j=,..., Extremum v f oder evevoorwrde h = 0 k gevode worde ls kritiek put v met Lgrge multiplictor λ. 6.5 Meervoudige itegrle L(x,..., x, λ) = f(x,..., x ) λh(x,..., x ) Als = {(x, y) x b, φ (x) y φ 2 (x)}, d [ b ] φ2 (x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dy dx φ (x) Als = {(x, y) c y d, ψ (y) x ψ 2 (y)}, d [ d ] ψ2 (x) f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dy Oppervlkte v R 2 : dxdy c ψ (x) Als = {(x, y, z) x b, φ (x) y φ 2 (x), ψ (x, y) z ψ 2 (x, y)}, d [ b [ φ2 (x) ] ] ψ2 (x,y) f(x, y, z)dxdydz = f(x, y, z)dz dy dx φ (x) 7 ψ (x,y)

8 Volume v R 3 : dxdydz Trsformtie (u, v) (x, y) = (x(u, v), y(u, v)) f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, v)) J(u, v) dudv met Jcobi: J(u, v) = det ( ) (x, y) (u, v) = det x u y u x v y v Poolcoördite (x, y) = (r cos θ, r si θ): J(r, θ) = r 7 ifferetilvergelijkige 7. Scheidig v verderlijke Als dx dt = f(x)g(t), d f(x) dx = g(t) dt + C. 7.2 Lieire eerste orde differetilvergelijkig x (t) + (t)x(t) = f(t) heeft oplossig x(t) = x P (t) + x H (t) = u(t)v(t) + Cu(t) met ( ) f(t) u(t) = exp (t)dt e v(t) = u(t) dt 7.3 Tweede orde liere differetilvergelijkig met costte coëfficiëte Homogee vergelijkig: x (t) + bx (t) + cx(t) = 0 Krkteristieke vergelijkig: λ 2 + bλ + c = 0 met oplossige λ e λ 2 Als λ, λ 2 R, d x H (t) = Ae λ t + Be λ 2t Als λ = λ 2 R, d x H (t) = (A + Bt)e λ t Als λ,2 = µ ± iω R, d x H (t) = e µt (A cos(ωt) + B si(ωt)) Niet-homogee vergelijkig: Oplossig: x(t) = x H (t) + x P (t) x (t) + bx (t) + cx(t) = f(t) Prticuliere oplossig x P (t) probere de hd v tbel 8

9 Rechterlid f(t) Probeer x P (t) Veelterm v grd c 0 t + c t + + c e µt Ce µt cos(ωt) of si(ωt) A cos(ωt) + B si(ωt) t e µt (c 0 t + c t + + c )e µt t cos(ωt) of t si(ωt) ( 0 t + t + + ) cos(ωt) +(b 0 t + b t + + b ) si(ωt) e µt cos(ωt) of e µt si(ωt) Ae µt cos(ωt) + Be µt si(ωt) 9