1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s)

Transcriptie

1 1 WGAM: overzicht definities, eigenschappen en stellingen. (Nuttig voor de WPO s) 1.1 Hoofdstuk 1: eeksen efinitie Gegeven een rij (a n ) van reële getallen, dan noemen we een uitdrukking van de vorm a 1 + a 2 + a a n +... een reeks. Het getal a n wordt de n-de term van de reeks genoemd. e rij (s n ) gedefinieerd door n s n = a 1 + a a n = is de partieelsommenrij van de reeks en het getal s n heet de n-de partieelsom. Indien de rij der partieelsommen convergeert naar een reëel getal L, dan zeggen we dat de reeks convergeert (naar L) en we noemen L de som van de reeks. In dat geval schrijven we ook k=1 a k a 1 + a 2 + a a n +... = a n = L n=1 Indien de rij der partieelsommen van de reeks niet convergeert naar een reëel getal, zeggen we dat de reeks divergeert. Eigenschap Een reeks convergeert als en slechts als er een K N 0 bestaat zodat de reeks convergeert. n=1 n=k efinitie Een meetkundige reeks of geometrische reeks is een reeks van de vorm a n a n a + ar + ar ar n = n=1 ar n 1 met a en r vaste reële getallen en a 0. Elke term van dergelijke reeks wordt bekomen door de vorige term met het vast getal r te vermenigvuldigen. Het getal r wordt de ratio (in het Nederlands ook wel reden of quotiënt) van de meetkundige reeks genoemd. Eigenschap Beschouw een meetkundige reeks a +ar +ar ar n Indien r < 1 dan convergeert de reeks naar a/(1 r) en indien r 1 dan divergeert de reeks. 1

2 Eigenschap Indien een reeks n=1 a n convergeert, dan convergeert de rij der algemene termen naar 0: a n 0 Stelling Indien a n = A en b n = B twee convergente reeksen zijn, dan gelden: 1. Somregel (an + b n ) = A + B 2. Verschilregel (an b n ) = A B 3. Veelvoudregel (kan ) = ka (k ) Eigenschap Een reeks n=1 a n met positieve termen convergeert enkel en alleen indien de partieelsommenrij van boven begrensd is. Eigenschap e integraaltest Veronderstel dat f : + een positieve, dalende functie is met [1, + [. Beschouw verder de reeks n=1 a n met a n = f (n) (n N 0 ). an convergeren de reeks a n en de oneigenlijke integraal n=1 beide ofwel divergeren ze beide. Eigenschap e hyperharmonische reeksen e hyperharmonische reeks 1 n p n=1 + 1 f (x)dx met p een reële constante convergeert als p > 1 en divergeert als p 1. Eigenschap Vergelijkingstest Zij n=1 a n een reeks met positieve termen. 1. de reeks n=1 a n convergeert indien er een convergente reeks n=1 c n bestaat met a n c n voor alle n N de reeks n=1 a n divergeert indien er een divergente reeks n=1 d n bestaat met positieve termen en met a n d n voor alle n N 0. Eigenschap e limiet vergelijkingstest Veronderstel dat n=1 a n en n=1 b n reeksen met positieve termen zijn en dat b n > 0 voor alle n N 0. a 1. Indien lim n n + b n = c met c en c > 0 dan geldt voor de reeksen a n en b n dat ze beide convergeren of beide divergeren. 2

3 2. Indien lim n + a n b n = 0 en b n convergeert, dan convergeert ook a n. 3. Indien lim n + a n b n = + en b n divergeert, dan divergeert ook a n. Eigenschap Verhoudingstest Indien n=1 a n een reeks is met strikt positieve termen en indien de rij a n+1 a n convergeert in of convergeert naar +, dan geldt met 1. de reeks convergeert indien ρ < 1, a n+1 lim n + a n = ρ 2. de reeks divergeert indien ρ > 1 of indien ρ = +. Eigenschap e Worteltest Als n=1 a n n een reeks is met positieve termen en als de rij a n convergeert in of convergeert naar +, dan geldt met 1. de reeks convergeert indien ρ < 1, lim n + n an = ρ 2. de reeks divergeert indien ρ > 1 of indien ρ = +, Stelling Test voor Alternerende eeksen of Stelling van Leibniz e reeks ( 1) n+1 u n = u 1 u 2 + u 3 u n=1 convergeert indien aan elk van de volgende voorwaarden voldaan is: 1. de getallen u n zijn positief: u n 0 voor alle n, 2. de rij u n is dalend: u n+1 u n voor alle n N 0, 3. de rij u n convergeert naar 0: u n 0. Eigenschap Als de alternerende reeks n=1 ( 1)n+1 u n voldoet aan de drie voorwaarden uit de Stelling van Leibniz en u n 0 voor alle n, dan benadert elke partieelsom s n = u 1 u ( 1) n+1 u n de reekssom L met een fout waarvan de absolute waarde strikt kleiner is dan u n+1, de absolute waarde van de eerste ongebruikte term van de reeks. Verder heeft de rest L s n hetzelfde teken als de eerstvolgende ongebruikte term. efinitie We zeggen dat een reeks a n absoluut convergeert (of absoluut convergent is) indien de corresponderende reeks van absolute waarden a n convergeert. 3

4 Eigenschap Als een reeks a n absoluut convergent is, dan is ze ook convergent. efinitie We noemen een reeks conditioneel convergent indien de reeks convergeert maar niet absoluut convergeert. Eigenschap Indien n=1 a n een absoluut convergente reeks is en indien de rij b 1, b 2,..., b n,... ontstaat door de termen van de rij a 1, a 2,..., a n,... anders te ordenen, dan convergeert de reeks n=1 b n ook absoluut en deze reeks heeft dezelfde som als n=1 a n: a n = n=1 efinitie Een machtreeks rond x = a is een reeks van de vorm c n (x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n +... (1) n=0 met (c n ) n een rij reële getallen. Bij een machtreeks rond x = a wordt het getal a het centrum van de machtreeks genoemd. Eigenschap Indien de machtreeks n=0 c n(x a) n = c 0 + c 1 (x a) + c 2 (x a) c n (x a) n +... convergeert voor een waarde x = q a, dan convergeert de machtreeks absoluut voor alle x met x a < q a. Indien de reeks divergeert voor een waarde x = d, dan divergeert de reeks voor alle x met x a > d a. Stelling Voor de convergentie van een machtreeks c n (x a) n zijn er de volgende drie mogelijkheden: 1. Er is een strikt positief getal zodat de machtreeks divergeert voor alle x met x a > en absoluut convergeert voor alle x met x a <. In elk van de randpunten x = a en x = a + is de reeks mogelijk maar niet noodzakelijk convergent. n=1 2. e reeks convergeert absoluut voor alle reële x-waarden. 3. e reeks convergeert in x = a en divergeert voor alle andere reële x-waarden. Eigenschap Term per term afleiden van een machtreeks Indien de machtreeks c n (x a) n een strikt positieve convergentiestraal heeft (eventueel is = + ), dan definieert deze machtreeks een functie f op ]a, a + [ door f (x) = c n (x a) n n=0 b n a < x < a + e functie f is op het interval ]a, a + [ willekeurig dikwijls afleidbaar en de afgeleiden worden bekomen door de machtreeks term per term af te leiden: f (x) = nc n (x a) n 1 a < x < a + n=1 4

5 f (x) = n(n 1)c n (x a) n 2 n=2 a < x < a + enzovoort. Elk van deze reeksen bekomen door term per term afleiden convergeert absoluut in elk inwendig punt van het convergentie-interval van de oorspronkelijke reeks. Eigenschap Term per term integreren van een machtreeks Indien de machtreeks c n (x a) n een strikt positieve convergentiestraal heeft (eventueel is = + ), dan definieert deze machtreeks een functie f op ]a, a + [ door f (x) = c n (x a) n n=0 e machtreeks n=0 c n (x a) n+1 n + 1 convergeert voor a < x < a + en er geldt op ]a, a + [. f (x)dx = n=0 c n (x a) n+1 n C (C ) efinitie Zij f een functie die afgeleiden van elke orde heeft in een punt a, dan noemen we Taylorreeks van f in a de machtreeks n=0 f (n) (a) n! (x a) n = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2! Als a = 0, dan wordt de Taylorreeks n=0 f (n) (0) n! x n = f (0) + f (0)x + f (0) 2! van f in het punt a = 0 ook wel de Maclaurinreeks van f genoemd. (x a) f (n) (a) (x a) n +... n! x f (n) (0) x n +... (2) n! efinitie Taylorveeltermen of -polynomen van orde n Zij f een functie die minstens n keer afleidbaar is in een punt a. We noemen de Taylorveelterm of Taylorpolynoom van f van orde n (n N) in het punt a de veelterm T n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2! (x a) f (k) (a) k! (x a) k f (n) (a) (x a) n n! Eigenschap Zij f een functie die minstens n keer afleidbaar is in een punt a. e enige veelterm P (x) die voldoet aan de voorwaarden 1. P (x) is van graad ten hoogste n, 5

6 2. in x = a vallen de functiewaarde en de eerste n afgeleiden samen voor de functie f (x) en de veelterm P (x) is de Taylorveelterm T n (x) van f in a. Stelling e Stelling van Taylor Veronderstel dat een functie f op een open interval I afgeleide functies f, f,...,f (n) en f (n+1) heeft. an bestaat er voor elke twee verschillende punten a en b van I een getal c strikt gelegen tussen a en b zodat f (b) = f (a) + f (a)(b a) + f (a) 2! (b a) f (n) (a) n! (b a) n + f (n+1) (c) (b a)n+1 (n + 1)! Stelling Als een functie f n + 1 afgeleide functies heeft op een open interval I dat a bevat, dan geldt voor elke x I \ {a}: met f (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2! voor een getal c x strikt gelegen tussen a en x. (x a) f (n) (a) (x a) n + n (x) (3) n! n (x) = f (n+1) (c x ) (n + 1)! (x a)n+1 (4) Stelling Veronderstel dat een functie f onbeperkt differentieerbaar is in een open interval I, veronderstel dat a I en beschouw de Taylorreeks van f in het punt a. Voor een punt x I \ {a} zijn de volgende uitspraken equivalent: 1. de functiewaarde van f in x valt samen met de som van de Taylorreeks in x, 2. lim n + n (x) = 0 6

7 1.2 Hoofdstuk 2: Afgeleiden in meerdere variabelen efinitie We noemen een (reëelwaardige) functie van n reële variabelen (n N 0 ) een functie f : waar een deelverzameling is van n = {(x 1, x 2,..., x n ) x 1, x 2,... x n } We noemen het beeld van een functie de verzameling die bestaat uit reële getallen die een functiewaarde zijn van een n-tupel uit het domein. ikwijls wordt een voorschrift van de functie gegeven, een formule of uitdrukking die toelaat voor elk n-tupel uit het domein de functiewaarde te bepalen of berekenen. ikwijls stelt men een voorschrift voor in de vorm w = f (x 1, x 2,..., x n ) of aangevuld met een voorwaarde z = f (x 1, x 2,..., x n ) (x 1, x 2,..., x n ) Hierbij stelt het n-tupel (x 1, x 2,..., x n ) een element van het domein van de functie voor. In het geval n = 2 gebruiken we voor koppels meestal de notatie (x, y) in plaats van (x 1, x 2 ) en in het geval n = 3 gebruiken we voor drietallen meestal de notatie (x, y, z) in plaats van (x 1, x 2, x 3 ). efinitie Een punt (x 0, y 0 ) van een deelverzameling van 2 noemen we een inwendig punt van indien er een open schijf met middelpunt (x 0, y 0 ) bestaat die volledig binnen ligt of, in symbolen, r > 0 : S((x 0, y 0 ), r) We noemen een punt (x 0, y 0 ) van 2 een randpunt van indien elke open schijf met (x 0, y 0 ) als middelpunt zowel punten van als punten buiten bevat: r > 0 : S((x 0, y 0 ), r) en S((x 0, y 0 ), r) ( 2 \ ) Merk op dat in het algemeen een randpunt van zowel in als buiten kan liggen. Het inwendige van een gebied in 2 is de verzameling van alle inwendige punten van en de rand van is de verzameling van alle randpunten van. We noemen open indien alle punten van inwendige punten zijn. We noemen gesloten indien alle randpunten van tot behoren. efinitie Een gebied in 2 noemen we begrensd als het omvat is in een vaste open schijf. We noemen een gebied onbegrensd als het niet begrensd is. 7

8 efinitie e verzameling van punten (x, y, f (x, y)) in de ruimte noemen we de grafiek van f, dit is de verzameling {(x, y, z) 3 (x, y), z = f (x, y)} We noemen deze grafiek ook wel het oppervlak z = f (x, y). efinitie Als c een reëel getal is, dan noemen we de verzameling van alle punten in het domein waarin de functiewaarde gelijk is aan c een hoogtelijn van f : dit is de verzameling {(x, y) f (x, y) = c} We noteren deze hoogtelijn ook wel aan door f (x, y) = c. e doorsnede van de grafiek met het vlak z = c evenwijdig met het xy-vlak, noemen we een niveaukromme of ook wel een contourkromme. e loodrechte projectie van deze contourkromme op het xy-vlak geeft de hoogtelijn f (x, y) = c. efinitie Als c een reëel getal is, dan noemen we de verzameling van alle punten in het domein waarin de functiewaarde gelijk is aan c een niveauoppervlak van f ; dit is de verzameling {(x, y, z) f (x, y, z) = c} We duiden dit niveauoppervlak ook wel aan door f (x, y, z) = c. efinitie Een punt (x 0, y 0, z 0 ) van een deelverzameling van 3 noemen we een inwendig punt van indien er een open bol met middelpunt (x 0, y 0, z 0 ) bestaat die volledig binnen ligt of, in symbolen, r > 0 : B((x 0, y 0, z 0 ), r) We noemen een punt (x 0, y 0, z 0 ) van 3 een randpunt van indien elke open bol met (x 0, y 0, z 0 ) als middelpunt zowel punten van als punten buiten bevat: r > 0 : B((x 0, y 0, z 0 ), r) en B((x 0, y 0, z 0 ), r) ( 3 \ ) Merk op dat in het algemeen een randpunt van zowel in als buiten kan liggen. Het inwendige van een deelverzameling van 3 is de verzameling van alle inwendige punten van en de rand van is de verzameling van alle randpunten van. We noemen open indien alle punten van inwendige punten zijn. We noemen gesloten indien alle randpunten van tot behoren. efinitie We zeggen dat een functie f : met domein 2 limiet L heeft als (x, y) nadert naar (x 0, y 0 ) indien voor elke ε > 0 er een δ > 0 bestaat zodat voor alle punten (x, y) van het domein geldt 0 < (x x 0, y y 0 ) < δ f (x, y) L < ε In dat geval schrijven we lim f (x, y) = L (x,y) (x 0,y 0 ) 8

9 Eigenschap Veronderstel dat L, M en k reële getallen zijn en dat an gelden: lim f (x, y) = L en lim (x,y) (x 0,y 0 ) g(x, y) = M (x,y) (x 0,y 0 ) indien M 0. lim (f (x, y) ± g(x, y)) = L ± M (x,y) (x 0,y 0 ) lim (f (x, y) g(x, y)) = L M (x,y) (x 0,y 0 ) lim kf (x, y) = kl (x,y) (x 0,y 0 ) f (x, y) lim (x,y) (x 0,y 0 ) g(x, y) = L M Eigenschap Veronderstel dat en dat lim f (x, y) = lim h(x, y) = L (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) f (x, y) g(x, y) h(x, y) voor alle punten (x, y) (eventueel uitgezonderd voor (x 0, y 0 )) uit een zekere open schijf met middelpunt (x 0, y 0 ). an geldt ook lim g(x, y) = L (x,y) (x 0,y 0 ) Eigenschap Voor een functie van twee variabelen f geldt lim f (x, y) = 0 lim f (x, y) = 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Eigenschap Veronderstel dat f : een functie van twee variabelen is en h : A een functie van één variabele zodat de samenstelling h f gedefinieerd is. f A Indien lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) = L en lim t L h(t) = b, dan geldt lim h(f (x, y)) = b (x,y) (x 0,y 0 ) h 9

10 Eigenschap Veronderstel dat f : een functie van twee variabelen is en r : I 2 een vectoriële functie met parametervoorstelling x = x(t) (t I) y = y(t) waarvan het beeld volledig binnen ligt en het punt (x 0, y 0 ) niet bevat. Indien lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) = L en indien lim t t0 r(t) = (x 0, y 0 ), dan geldt lim f (x(t), y(t)) = L t t 0 efinitie Als 2 en (x 0, y 0 ) is een punt van, dan noemen we een functie f : continu in (x 0, y 0 ) indien lim (x,y) (x0,y 0 ) f (x, y) bestaat en indien lim f (x, y) = f (x 0, y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) We noemen f continu indien f continu is in elk punt (x 0, y 0 ) van. Eigenschap Als 2, als f : een functie is die continu is in (x 0, y 0 ), en als g : J een functie is met domein f () J zodat g continu is in f (x 0, y 0 ), dan is de functie g f : : (x, y) g(f (x, y)) continu in (x 0, y 0 ). Eigenschap Veronderstel dat f : continu is in een inwendig punt (x 0, y 0 ) van 2 en dat f (x 0, y 0 ) 0. an bestaat er een open schijf met middelpunt (x 0, y 0 ) binnen zodat f (x, y) in alle punten (x, y) van de open schijf hetzelfde teken heeft als f (x 0, y 0 ). efinitie Als de limiet lim h 0 f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) h bestaat in, zeggen we dat de functie f partieel afleidbaar is in (x 0, y 0 ) naar x en noemen we deze limiet de partiële afgeleide van f naar x in het punt (x 0, y 0 ). We noteren deze limiet in dat geval f x efinitie Als de limiet lim h 0 (x0,y 0 ) f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) h bestaat in, zeggen we dat de functie f partieel afleidbaar is in (x 0, y 0 ) naar y en noemen we deze limiet de partiële afgeleide van f naar y in het punt (x 0, y 0 ). We noteren deze limiet in dat geval f y (x0,y 0 ) 10

11 Stelling e Stelling van Clairaut Indien een functie f en haar partiële afgeleiden f x, f y, f xy en f yx bestaan op een open deel dat een punt (x 0, y 0 ) bevat en indien deze vijf functies continu zijn in (x 0, y 0 ), dan geldt f xy (x 0, y 0 ) = f yx (x 0, y 0 ) efinitie We noemen een functie f differentieerbaar in (x 0, y 0 ) als de volgende voorwaarden vervuld zijn: de partiële afgeleiden van f in (x 0, y 0 ) bestaan, er bestaan twee functies ε 1 en ε 2 van twee variabelen die voldoen aan lim ε 1( x, y) = 0 en ( x, y) (0,0) lim ε 2( x, y) = 0 ( x, y) (0,0) en zodat de verandering z bij elke verplaatsing vanuit (x 0, y 0 ) naar een naburig punt (x, y) = (x 0 + x, y 0 + y) gegeven wordt door z = f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y + ε 1 ( x, y) x + ε 2 ( x, y) y (5) Eigenschap Indien een functie f differentieerbaar is in (x 0, y 0 ), dan is f continu in (x 0, y 0 ). Eigenschap Als de eerste orde partiële afgeleiden f / x en f / y van een functie van twee variabelen f beide bestaan en continue functies zijn op een open deel, dan is f differentieerbaar in alle punten van. efinitie Indien f differentieerbaar is in (x 0, y 0 ), dan noemen we linearisatie van f in (x 0, y 0 ) of standaard lineaire benadering van f in (x 0, y 0 ) de eerstegraadsfunctie van twee variabelen L (x0,y 0 )(x, y) = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) (6) Eigenschap Indien f differentieerbaar is in (x 0, y 0 ), dan geldt f (x 0 + x, y 0 + y) L (x0,y lim 0 )(x 0 + x, y 0 + y) = 0 ( x, y) (0,0) x 2 + y 2 efinitie Als een functie f (x, y) differentieerbaar is in een punt (x 0, y 0 ), dan noemen we het vlak met cartesische vergelijking z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) het raakvlak in (x 0, y 0, f (x 0, y 0 )) aan de grafiek van f. 11

12 Stelling e kettingregel voor functies van twee variabelen Indien x = x(t) en y = y(t) differentieerbaar zijn in t = t 0 en indien f een functie is van twee variabelen die differentieerbaar is in het punt P 0 (x(t 0 ), y(t 0 )), dan is de samengestelde functie w = f (x(t), y(t)) differentieerbaar in t 0 en de afgeleide in t 0 van deze samengestelde functie wordt gegeven door met x 0 = x(t 0 ) en y 0 = y(t 0 ). dw dt (t 0) = f x (x 0, y 0 ) dx dt (t 0) + f y (x 0, y 0 ) dy dt (t 0) Eigenschap Veronderstel dat F (x, y) een functie van twee variabelen is die differentieerbaar is in alle punten van de hoogtelijn H = {(x, y) F (x, y) = 0} van F. Veronderstel dat een open rechthoek is met een open interval I op de x-as als basis en dat H de grafiek is van een differentieerbare functie f : I. Beschouw een punt x 0 I, en stel y 0 = f (x 0 ). an geldt F x (x 0, y 0 ) + F y (x 0, y 0 ) df dx (x 0) = 0 (7) efinitie Voor een functie f : van twee variabelen, voor een inwendig punt P 0 = (x 0, y 0 ) van en voor een eenheidsvector u = u 1 e 1 + u 2 e 2 noemen we de limiet f (x 0 + su 1, y 0 + su 2 ) f (x 0, y 0 ) lim s 0 s als hij bestaat in de afgeleide van f in P 0 in de richting van u. We noteren ( ) df ds of u,p 0 ( u f ) P0 voor deze limiet en we spreken van een richtingsafgeleide in P 0 in de richting van u. efinitie Als de partiële afgeleiden van een functie f bestaan in een punt P 0 = (x 0, y 0 ), dan noemen we de vector f x e 1 + f y e 2, waarbij de partiële afgeleiden staan voor de partiële afgeleiden in P 0, de gradiënt of de gradiëntvector van f in P 0. eze gradiënt vector wordt genoteerd als ( f ) P0. Er geldt dus: ( f ( f ) P0 = x (x 0, y 0 ), f ) y (x 0, y 0 ) 12

13 Eigenschap Scalair veelvoud regel 2. Som- en verschilregel 3. Productregel 4. Quotiëntregel (kf ) = k f (k ) (f ± g) = f ± g (f g) = f g + g f ( ) f = g g f f g g 2 Eigenschap Als f differentieerbaar is een punt P 0 = (x 0, y 0 ) en als u een eenheidsvector is, dan is de richtingsafgeleide van f in P 0 in de richting van u het inproduct van de gradiënt van f in P 0 met u: ( ) df = ( f ) P0 u ds u,p 0 Eigenschap Veronderstel dat f differentieerbaar is in P 0 = (x 0, y 0 ) en dat ( f ) P0 verschilt van de nulvector. e vector ( f ) P0 (resp. ( f ) P0 ) geeft de richting weer vanuit het punt P 0 waarin de functiewaarden van f het snelste stijgen (resp. dalen). Als u een eenheidsvector is die loodrecht staat op ( f ) P0, dan geeft u een richting met verandering 0 van de functiewaarden van f. Eigenschap Veronderstel dat f differentieerbaar is en dat het punt P 0 = (x 0, y 0 ) op de hoogtelijn f (x, y) = c ligt. Als de hoogtelijn f (x, y) = c een kromme is die een reguliere parametrisatie r heeft, dan staat de gradiënt ( f ) P0 in P 0 loodrecht op de hoogtelijn. Eigenschap Voor een differentieerbare functie f (x, y, z) geldt: 1. in elk punt P 0 geeft de gradiënt f de richting in de ruimte waarin, vanuit P 0, de functiewaarden van f het snelste stijgen, 2. in elk punt P 0 geeft de vector f de richting in de ruimte waarin, vanuit P 0, de functiewaarden van f het snelste dalen, 3. in elk punt P 0 staat de gradiënt f loodrecht op het niveauoppervlak waartoe P 0 behoort. 13

14 Stelling e Stelling van Taylor voor functies van twee variabelen Veronderstel dat een functie f op een open verzameling G partiële afgeleiden tot en met orde 2 heeft en dat deze partiële afgeleiden continue functies op G zijn. Veronderstel ook dat (a, b) een punt van G is. an bestaat er voor elk punt (x, y) G \ {(a, b)} een punt (c 1, c 2 ) op het lijnstuk dat (a, b) met (x, y) verbindt, verschillend van de eindpunten, zodat f (x, y) = f (a, b) + f f (a, b)(x a) + (a, b)(y b) x y }{{} T 1 (x,y) + 1 ( ) 2 f 2 x (c 1, c 2 2 )(x a) f x y (c 1, c 2 )(x a)(y b) + 2 f y (c 1, c 2 2 )(y b) 2 }{{} 1 (x,y) Eigenschap Indien de eerste en tweede orde partiële afgeleiden van een functie f bestaan en continu zijn op een open verzameling G en voldoen aan f xx N, f yy N en f xy N dan geldt voor de fout in elk punt (x, y) van G E(x, y) = f (x, y) T 1 (x, y) E(x, y) 1 N( x a + y b )2 2 efinitie Zij 2, f : een functie en (a, b) een punt van. We zeggen dat 1. f een lokaal maximum bereikt in (a, b) indien f (a, b) f (x, y) voor alle punten van in een zekere open schijf met middelpunt (a, b), 2. f een strikt lokaal maximum bereikt in (a, b) indien f (a, b) > f (x, y) voor alle punten van in een zekere open schijf met middelpunt (a, b), 3. f een lokaal minimum bereikt in (a, b) indien f (a, b) f (x, y) voor alle punten van in een zekere open schijf met middelpunt (a, b), 4. f een strikt lokaal minimum bereikt in (a, b) indien f (a, b) < f (x, y) voor alle punten van in een zekere open schijf met middelpunt (a, b), 5. f een lokaal extremum bereikt in (a, b) indien f in (a, b) een lokaal minimum of een lokaal maximum bereikt, 6. f een (globaal) maximum op bereikt in (a, b) indien f (a, b) f (x, y) voor alle punten van, 14

15 7. f een (globaal) minimum op bereikt in (a, b) indien f (a, b) f (x, y) voor alle punten van. Eigenschap Zij 2. Indien een functie f : een lokaal extremum bereikt in een inwendig punt (a, b) van waar de beide partiële afgeleiden bestaan, dan geldt f (a, b) = o. efinitie We noemen een stationair punt van een functie f : met 2 elk inwendig punt van waar de beide partiële afgeleiden f x en f y bestaan en beide nul zijn. efinitie Als f differentieerbaar is in een stationair punt (a, b), dan noemen we (a, b, f (a, b)) een zadelpunt van f als f geen lokaal extremum bereikt in (a, b). Eigenschap e tweede partiële afgeleide test voor lokale extrema Veronderstel dat (a, b) behoort tot een open verzameling G en dat de functie f en haar eerste en tweede orde partiële afgeleiden continue functies zijn op G, en veronderstel dat (a, b) een stationair punt is van f, dan gelden: 1. f bereikt een strikt lokaal maximum in (a, b) indien zowel f xx (a, b) < 0 als f xx (a, b)f yy (a, b) f 2 xy(a, b) > 0, 2. f bereikt een strikt lokaal minimum in (a, b) indien zowel f xx (a, b) > 0 als f xx (a, b)f yy (a, b) f 2 xy(a, b) > 0, 3. f heeft een zadelpunt in (a, b, f (a, b)) indien f xx (a, b)f yy (a, b) f 2 xy(a, b) < 0. eze test geeft geen informatie over de aard van het stationair punt (a, b) indien f xx (a, b)f yy (a, b) fxy(a, 2 b) = 0. In dergelijk geval moeten we het gedrag van f in (a, b) op een andere manier onderzoeken. Eigenschap Veronderstel dat een functie f differentieerbaar is op een open deel G en dat een kromme C met reguliere parametrisatie r(t) = g(t) e 1 + h(t) e 2 (a t b) volledig omvat is binnen G. Veronderstel dat de functie f in een punt P 0 = r(t 0 ) op C (met a < t 0 < b) een lokaal maximum of een lokaal minimum aanneemt tussen alle waarden van f in punten van C, dan geldt in het punt P 0 dat de gradiënt van f loodrecht staat op de kromme. Stelling e methode van de Lagrange multiplicatoren Veronderstel dat de functies f en ϕ differentieerbaar zijn op een open deel en dat de hoogtelijn ϕ(x, y) = c in van ϕ een kromme C is met een reguliere parametrisatie. Veronderstel verder dat de gradiënt ϕ van ϕ verschillend is van de nulvector in alle punten (x, y) van C. Als de functie f in een punt P 0 van C een lokaal maximum of een lokaal minimum aanneemt tussen alle punten van C, dan bestaat er een reëel getal λ zodat in P 0 geldt f = λ ϕ 15

16 1.3 Meervoudige integralen efinitie Als f continu is op de rechthoek en beschouwt men voor elke n het bijhorend rechthoekig grid op, dan definiëren en s n = S n = n f ( c ij ) A n i,j=1 n f i,j=1 ( d ij ) A n de rijen (s n ) en (S n ) van onder- en bovensommen. Hierbij is c ij resp. d ij een punt in ij waarin f haar minimale resp. maximale waarde op ij aanneemt. e dubbelintegraal van f op wordt gedefinieerd als de gemeenschappelijke limiet van de rijen (s n ) en (S n ) van onder- en bovensommen. Men noteert f (x, y)da of f (x, y)dxdy voor de dubbelintegraal zodat f (x, y)dxdy = lim s n = n + lim n + S n e rechthoek noemt men het integratiegebied. e dubbelintegraal ligt voor elke n tussen de ondersom s n en de bovensom S n s n f (x, y)dxdy S n en de dubbelintegraal is het enige getal dat voor elke n tussen s n en S n ligt. Indien f slechts positieve waarden aanneemt op, dan definieert de dubbelintegraal het volume V van het driedimensionaal gebied met verticale zijvlakken, met als grondvlak en met de grafiek van f als bovenvlak. Eigenschap Constant veelvoud: voor elk reëel getal c geldt (cf (x, y))da = c 2. Som en verschil: (f (x, y) + g(x, y))da = en (f (x, y) g(x, y))da = 16 f (x, y)da f (x, y)da + f (x, y)da g(x, y)da g(x, y)da

17 3. Positiviteit: als f (x, y) 0 op dan geldt f (x, y)da 0 4. Vergelijking: als f (x, y) g(x, y) op dan geldt f (x, y)da g(x, y)da 5. Absolute waarde: f (x, y)da f (x, y) da 6. Additiviteit: als de unie is van 1 en 2 en als 1 en 2 elkaar niet overlappen, dan geldt f (x, y)da = f (x, y)da + 1 f (x, y)da 2 Stelling Stelling van Fubini Als f een continue functie is op een rechthoek : a x b, c y d, dan kan de dubbelintegraal f (x, y)da uitgerekend worden als of als d c b a ( b a ( d c ) f (x, y)dx dy ) f (x, y)dy dx Beide integratievolgordes geven dus hetzelfde resultaat. efinitie Een gebied in 2 noemt men van Type I indien er een gesloten interval [a, b] bestaat en twee continue functies zodat φ 1, φ 2 : [a, b] = { (x, y) 2 a x b en φ1 (x) y φ 2 (x) } Een gebied in 2 noemt men van Type II indien er een gesloten interval [c, d] bestaat en twee continue functies ψ 1, ψ 2 : [c, d] zodat = { (x, y) 2 c y d en ψ1 (y) x ψ 2 (y) } Een gebied in 2 noemt men van Type III indien het zowel van Type I als van Type II is. 17

18 efinitie Beschouw een continue functie f op een gebied van Type I of II en een rechthoek die het gebied omvat. Beschouwt men voor elke n het grid op, geïnduceerd door een grid op, dan definiëren s n = n i,j=1 ij f ( c ij ) A n en S n = n i,j=1 ij f ( d ij ) A n de rijen (s n ) en (S n ) van onder- en bovensommen. Hierbij is c ij resp. d ij een punt in ij waarin f haar minimale resp. maximale waarde op ij aanneemt. e dubbelintegraal van f op wordt gedefinieerd als de gemeenschappelijke limiet van de rijen (s n ) en (S n ) van onder- en bovensommen. Men noteert f (x, y)da of f (x, y)dxdy voor de dubbelintegraal zodat f (x, y)dxdy = lim s n = n + lim n + S n Het gebied noemt men het integratiegebied. Indien f slechts positieve waarden aanneemt op, dan geeft deze dubbelintegraal het volume V van het driedimensionaal gebied met verticale zijwanden, met als grondvlak en met de grafiek van f als bovenvlak. Eigenschap Constant veelvoud: voor elk reëel getal c geldt (cf (x, y))da = c 2. Som en verschil: (f (x, y) + g(x, y))da = en (f (x, y) g(x, y))da = 3. Positiviteit: als f (x, y) 0 op dan geldt f (x, y)da 0 18 f (x, y)da f (x, y)da + f (x, y)da g(x, y)da g(x, y)da

19 4. Vergelijking: als f (x, y) g(x, y) op dan geldt f (x, y)da g(x, y)da 5. Absolute waarde: f (x, y)da f (x, y) da 6. Additiviteit: als de unie is van 1 en 2 en als 1 en 2 elkaar niet overlappen behalve op hun randen, dan geldt f (x, y)da = f (x, y)da + 1 f (x, y)da 2 efinitie e oppervlakte van een gebied in het vlak is het getal O = 1dA = da efinitie e gemiddelde waarde van een continue functie f van twee variabelen op een gebied is het getal 1 f da O met O de oppervlakte van. efinitie Voor een dunne platte plaat met massadichtheidsfunctie δ, gelegen op een gesloten en begrensd gebied, definiëren we: 1. de massa van de plaat: M = δ(x, y)da 2. het massacentrum van de plaat is het punt met coördinaten x = M y M en y = M x M waarbij men de grootheden M x = yδ(x, y)da en M y = xδ(x, y)da de eerste momenten van de plaat t.o.v. de x-as resp. t.o.v. de y-as noemt. efinitie Een transformatie T : 2 met 2 heet injectief op indien voor alle koppels (u, v), (u, v ) geldt T (u, v) = T (u, v ) u = u en v = v 19

20 Eigenschap Als een transformatie T : 2 met 2 injectief is, dan is elk punt (x, y) van T ( ) het beeld van juist één punt (u, v) van. Eigenschap Als A een 2 2-matrix is, dan is de lineaire transformatie injectief als en slechts als det(a) 0. efinitie Een transformatie L A : 2 2 T : 2 heet injectief op het inwendige van indien geen twee verschillende inwendige punten van door T op eenzelfde punt worden afgebeeld. Eigenschap Als het gebied in het xy-vlak de sector is tussen de cirkels met middelpunt in de oorsprong en stralen ρ 1 en ρ 2 (0 ρ 1 < ρ 2 ) en tussen de stralen θ = α en θ = β (0 α < β < 2π) en als f continu is op, dan geldt f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdθdr (8) Hierbij is de rechthoek in het θr-vlak. = [α, β] [ρ 1, ρ 2 ] Eigenschap Als het gebied in het xy-vlak begrensd is door de stralen θ = α en θ = β (0 α < β < 2π) en tussen de krommen met poolvergelijkingen r = g 1 (θ) en r = g 2 (θ) (0 g 1 (θ) < g 2 (θ)) en als f continu is op, dan geldt f (x, y)dxdy = f (r cos θ, r sin θ)rdθdr (9) Hierbij is het gebied = {(θ, r) α θ β, g 1 (θ) r g 2 (θ)} in het θr-vlak. Eigenschap Constant veelvoud: voor elk reëel getal k geldt kf dv = k f dv 20

21 2. Som en verschil: (f ± g)dv = f dv ± gdv 3. Positiviteit: als f (x, y, z) 0 op dan geldt f dv 0 4. Vergelijking: als f (x, y, z) g(x, y, z) op dan geldt f dv gdv 5. Additiviteit: als de unie is van 1 en 2 en als 1 en 2 elkaar niet overlappen behlave in hun randen, dan geldt f dv = f dv + 1 f dv 2 efinitie Een gebied in 3 noemen we van Type i of regulier t.o.v. de z-as indien het van de vorm = { (x, y, z) 3 (x, y), ϕ1 (x, y) z ϕ 2 (x, y) } is met een gebied van Type I of II in het xy-vlak en ϕ 1 en ϕ 2 continue functies op. Een gebied in 3 noemen we van Type ii of regulier t.o.v. de x-as indien het van de vorm = { (x, y, z) 3 (y, z), ψ1 (y, z) x ψ 2 (y, z) } is met een gebied van Type I of II in het yz-vlak en ψ 1 en ψ 2 continue functies op. Een gebied in 3 noemen we van Type iii of regulier t.o.v. de y-as indien het van de vorm = { (x, y, z) 3 (x, z), η1 (x, z) y η 2 (x, z) } is met een gebied van Type I of II in het xz-vlak en η 1 en η 2 continue functies op. Eigenschap e drievoudige integraal van een continue functie f op een regulier gebied t.o.v. de z as kan als volgt uitgerekend worden als de geïtereerde integraal: ( ) ϕ2 (x,y) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dz da ϕ 1 (x,y) e binnenste integraal is een enkelvoudige integraal in de variabele z waarbij (x, y) een vast punt van voorstelt. e drievoudige integraal van een continue functie f op een regulier gebied t.o.v. de x as kan als volgt uitgerekend worden als de geïtereerde integraal: ( ) ψ2 (y,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dx da 21 ψ 1 (y,z)

22 e binnenste integraal is een enkelvoudige integraal in de variabele x waarbij (y, z) een vast punt van voorstelt. e drievoudige integraal van een continue functie f op een regulier gebied t.o.v. de y as kan als volgt uitgerekend worden als de geïtereerde integraal: ( ) η2 (x,z) f (x, y, z)dv = f (x, y, z)dy da η 1 (x,z) e binnenste integraal is een enkelvoudige integraal in de variabele y waarbij (x, z) een vast punt van voorstelt. efinitie e gemiddelde waarde van een continue functie f over een gebied in de ruimte wordt gedefinieerd als 1 f (x, y, z)dv V waarbij V het volume van is. Eigenschap Veronderstel dat de functie f van twee variabelen continu is op een gebied in het xy-vlak en dat een transformatie T gegeven door vergelijkingen { x = g(u, v) y = h(u, v) een gebied in het uv-vlak omzet naar het gebied = T ( ) en dat de transformatie injectief is op het inwendige van. Indien g en h continue partiële afgeleiden hebben op een open deel dat omvat en indien de zgn. Jacobiaan of Jacobiaanse determinant g g J(u, v) = u h u v h v verschillend is van 0 in alle inwendige punten (u, v) van, dan geldt f (x, y)dxdy = f (g(u, v), h(u, v)) J(u, v) dudv (10) 22

23 1.4 Lijn- en oppervlakteintegralen efinitie Een kromme in 3 is de beeldverzameling K r = { r(t) t [a, b]} van een continu differentieerbare vectoriële functie r : [a, b] 3 die injectief is op [a, b[. e punten r(a) en r(b) noemen we het beginpunt resp. het eindpunt van de kromme en we noemen K r een kromme van r(a) naar r(b). We noemen parametrisatie van de kromme K elke dergelijke functie r waarvan K de beeldverzameling is. Indien r(a) = r(b) noemen we de kromme gesloten. Eigenschap Twee parametrisaties bepalen dezelfde kromme K indien met r 1 : [a, b] 3 r 2 : [c, d] 3 r 2 = r 1 h h : [c, d] [a, b] een strikt stijgende of strikt dalende bijectie die differentieerbaar is en waarvan de afgeleide functie h : [c, d] [a, b] continu is. e parametrisaties r 1 en r 2 bepalen dezelfde georiënteerde kromme indien h strikt stijgend is en ze bepalen dezelfde kromme maar met tegengestelde oriëntatie indien h strikt dalend is. efinitie Een parametrisatie r van een kromme K heet regulier indien de afgeleide vector nergens de nulvector is: t [a, b] : r (t) o Een kromme K heet glad indien ze een reguliere parametrisatie r heeft. efinitie Een kromme K heet stuksgewijs glad indien ze een aaneensluiting K = K 1 K 2... K n van gladde krommen K i is, waarbij het eindpunt van K i voor 1 i < n het beginpunt van K i+1 is. 23

24 Eigenschap Voor een kromme K en een continue functie f hangt de integraal b niet af van de gekozen parametrisatie van K. a f ( r(t)) r (t) dt r : [a, b] 3 efinitie e lijnintegraal van een scalaire functie f langs een kromme K is de integraal b waarbij de parametrisatie a f ( r(t)) r (t) dt = b a f (x(t), y(t), z(t)) r (t) dt r : [a, b] 3 : t x(t) e 1 + y(t) e 2 + z(t) e 3 van K willekeurig mag gekozen worden. eze integraal wordt ook genoteerd als f ds of f (x, y, z)ds Eigenschap Indien een kromme K K K = K 1 K 2... K n ontstaat door een eindig aantal bij elkaar aansluitende krommen K 1, K 2,..., K n samen te voegen, dan is de lijnintegraal van een continue functie f langs K de som van de lijnintegralen over de verschillende krommen: f (x, y, z)ds = f (x, y, z)ds + f (x, y, z)ds f (x, y, z)ds K 1 K 2 K n K Eigenschap Voor een kromme K en een vectorveld F hangt de integraal b a F ( r(t)) r (t) dt in de volgende zin af van de gekozen parametrisatie r van K: indien de parametrisaties en r 1 : [a, b] 3 r 2 : [c, d] 3 dezelfde oriëntatie van K bepalen, dan geldt b a F ( r 1 (t)) r 1 (t) dt = d c F ( r 2 (t)) r 2 (t) dt, 24

25 indien de parametrisaties r 1 : [a, b] 3 en r 2 : [c, d] 3 tegengestelde oriëntaties van K bepalen, dan geldt b a F ( r 1 (t)) r 1 (t) dt = d c F ( r 2 (t)) r 2 (t) dt efinitie e lijnintegraal van een vectorveld F langs een georiënteerde kromme K geparametriseerd door r : [a, b] 3 wordt gedefinieerd als de integraal b eze integraal wordt ook genoteerd als of als a K F ( r(t)) r (t) dt K F d s, F (x, y, z) d s of nog, met de componenten F 1, F 2 en F 3 van F, als F 1 dx + F 2 dy + F 3 dz K Als de kromme K gesloten is, noemt men de lijnintegraal van F langs K ook wel de circulatie van F langs K. Men gebruikt de notatie F d s voor de circulatie langs K. Eigenschap Voor de lijnintegraal van een vectorveld K F (x, y, z) = F 1 (x, y, z) e 1 + F 2 (x, y, z) e 2 + F 3 (x, y, z) e 3 langs een georiënteerde kromme K met parametrisatie x = x(t) r : y = y(t) (a t b) z = z(t) 25

26 geldt K F (x, y, z) d s = b a [F 1 (x(t), y(t), z(t))x (t) + F 2 (x(t), y(t), z(t))y (t) + F 3 (x(t), y(t), z(t))z (t)] dt Eigenschap Veronderstel dat een gebied van Type I in het xy-vlak is en dat P (x, y) continue partiële afgeleiden heeft op een open deel dat omvat. Als + de randkromme van voorstelt georiënteerd in tegenwijzerzin, dan geldt voor de circulatie van het vectorveld F (x, y) = P (x, y) e 1 langs + F (x, y) d s = + P da (11) y 2. Veronderstel dat een gebied van Type II in het xy-vlak is en dat Q(x, y) continue partiële afgeleiden heeft op een open deel dat omvat. Als + de randkromme van voorstelt georiënteerd in tegenwijzerzin, dan geldt voor de circulatie van het vectorveld F (x, y) = Q(x, y) e 2 langs + F (x, y) d s = + Q da (12) x Stelling e Stelling van Green Veronderstel dat een gebied van Type III in het xy-vlak is en dat de componenten P (x, y) en Q(x, y) van het vectorveld F (x, y) = P (x, y) e 1 + Q(x, y) e 2 continue partiële afgeleiden hebben op een open gebied dat omvat. Als + de randkromme van voorstelt, georiënteerd in tegenwijzerzin, dan geldt voor de circulatie van het vectorveld langs + ( Q F (x, y) d s = + x P ) da (13) y 26

27 Stelling e tweede vorm van de Stelling van Green Onder dezelfde voorwaarden als in Stelling kan de flux van F door + naar buiten toe als volgt uitgedrukt worden als een dubbelintegraal over : Flux = ( P x + Q ) da y Eigenschap Indien K een georiënteerde kromme is van het punt A 3 naar het punt B 3 en indien de scalaire functie f : continue partiële afgeleiden heeft op een open deel 3 dat de kromme K omvat, dan geldt voor de lijnintegraal van het vectorveld f langs K: f d s = f (B) f (A) (14) K efinitie Als een vectorveld F, gedefinieerd op een open gebied in de ruimte, de gradiënt is van een scalaire functie f met continue partiële afgeleiden op, dan noemt men f een potentiaalfunctie van F. efinitie Als F een vectorveld is gedefinieerd op een open deel in de ruimte, dan noemen we F conservatief indien voor elke keuze van twee punten A en B in de waarde van de lijnintegraal F d s K niet afhangt van de keuze van de kromme K van A naar B, zolang de kromme binnen ligt. Eigenschap Als F : 3 3 een conservatief vectorveld is, dan is F de gradiënt van een scalaire functie f : 3. Eigenschap Beschouw een vectorveld F = F 1 (x, y, z) e 1 +F 2 (x, y, z) e 2 +F 3 (x, y, z) e 3 met domein 3 waarvan de componenten F 1, F 2 en F 3 continue partiële afgeleiden hebben. an is F conservatief enkel en alleen indien F 3 y = F 2 z, F 1 z = F 3 x en F 2 x = F 1 y (15) efinitie Een oppervlak S is het beeld r() = { r(u, v) (u, v) } van een regulier gebied van Type I of II in het u, v-vlak door een parametrisatie r die injectief is op het inwendige van. Het gebied heet het parametergebied. We noemen S simpel indien r injectief is op. Als S simpel is noemen we de rand S van S het beeld r( ) van de rand van. 27

28 efinitie We zeggen dat een parametrisatie r van een oppervlak S = r() regulier is in een punt (u 0, v 0 ) indien de twee raakvectoren r u en r v in (u 0, v 0 ) lineair onafhankelijk zijn of, equivalent, indien r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) o In dat geval spannen de twee raakvectoren het raakvlak aan S in r(u 0, v 0 ) op. e vector n = r u(u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) r u (u 0, v 0 ) r v (u 0, v 0 ) noemen we de eenheidsnormaalvector op S in r(u 0, v 0 ): deze heeft lengte 1 en staat loodrecht op het raakvlak. We noemen S glad indien S een parametrisatie r heeft die regulier is in alle punten van. e oppervlakteintegraal van een scalaire functie g op S zal toelaten om g te integreren over een oppervlak S. In praktijk kan g bijvoorbeeld de plaatselijke massadichtheid (massa per oppervlakte-eenheid) geven van een gebogen dunne plaat. We veronderstellen dat S = r() een oppervlak is en dat g(x, y, z) een scalaire functie is die gedefinieerd en continu is in alle punten van S. e definitie van de oppervlakteintegraal van een scalaire functie steunt op de volgende eigenschap, die we hier zonder bewijs formuleren. e eigenschap leert hoe de dubbelintegraal g( r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) du dv (16) afhangt van de gekozen parametrisatie r : 3 van S. Eigenschap Veronderstel dat S een oppervlak is en g een scalaire functie is die continu is in alle punten van S. e dubbelintegraal (16) is gelijk voor alle parametrisaties r van S, onafhankelijk van de oriëntatie van S. efinitie e oppervlakteintegraal van een continue scalaire functie g op een oppervlak S = r() is de dubbelintegraal g( r(u, v)) r u (u, v) r v (u, v) du dv We noteren voor deze oppervlakteintegraal. S g ds e definitie van de oppervlakteintegraal van vectoriële functies steunt op de volgende eigenschap, die we hier zonder bewijs formuleren. e eigenschap leert hoe de dubbelintegraal F ( r(u, v)) ( r u (u, v) r v (u, v)) dudv (17) 28

29 afhangt van de gekozen parametrisatie r : 3 van S. Hierbij is F (x, y, z) = F 1 (x, y, z) e 1 + F 2 (x, y, z) e 2 + F 3 (x, y, z) e 3 een continu vectorveld met een domein dat het oppervlak S omvat. Eigenschap Veronderstel dat S een oppervlak is en F (x, y, z) een continu vectorveld is op S. e dubbelintegraal (17) is gelijk voor alle parametrisaties r die dezelfde oriëntatie van S bepalen. Wordt r vervangen door een parametrisatie van S die de tegengestelde oriëntatie bepaalt, dan verandert de dubbelintegraal (17) van teken. efinitie e dubbelintegraal (17) noemen we de oppervlakteintegraal van het vectorveld F op S. We noteren deze oppervlakteintegraal als F d S S efinitie Als F (x, y, z) = P (x, y, z) e 1 +Q(x, y, z) e 2 +(x, y, z) e 3 een vectorveld is waarvan de componenten P, Q en continue partiële afgeleiden hebben, dan noemt men het vectorveld ( y Q ) ( P e 1 + z z ) ( Q e 2 + x x P ) e 3 y de rotatie of de rotor van F. Men noteert de rotatie van F als curl F of rot F Stelling Stelling van Stokes voor grafieken van functies Veronderstel dat een gebied is van Type III in het xy-vlak en dat het oppervlak S = {(x, y, f (x, y)) (x, y) } de grafiek is van een functie f (x, y) die continue partiële afgeleiden op heeft. Als S georiënteerd wordt met de naar boven wijzende eenheidsnormaalvector, dan geldt ( ) F d S = F d s S S + waar S + de randkromme is van S doorlopen in tegenwijzerzin van boven bekeken. efinitie We noemen gesloten oppervlak in 3 elke rand van een gebied van Type i, ii of iii, waarbij de begrenzende oppervlakken grafieken zijn van functies met continue partiële afgeleiden. 29

30 Eigenschap Als het gesloten oppervlak de rand is van een gebied van Type i en als georiënteerd wordt volgens de hiervoor gemaakte afspraak, dan geldt voor de uitwaartse flux van een vectorveld F (x, y, z) = F 3 (x, y, z) e 3 met slechts een niet nulle component in de e 3 -richting F 3 F d S = dv (18) z + 2. Als het gesloten oppervlak de rand is van een gebied van Type ii en als georiënteerd wordt volgens de hiervoor gemaakte afspraak, dan geldt voor de uitwaartse flux van een vectorveld F (x, y, z) = F 1 (x, y, z) e 1 met slechts een niet nulle component in de e 1 -richting F 1 F d S = dv (19) + x 3. Als het gesloten oppervlak de rand is van een gebied van Type iii en als georiënteerd wordt volgens de hiervoor gemaakte afspraak, dan geldt voor de uitwaartse flux van een vectorveld F (x, y, z) = F 2 (x, y, z) e 2 met slechts een niet nulle component in de e 2 -richting F 2 F d S = dv (20) + y Stelling e Stelling van Gauss Als het gesloten oppervlak de rand is van een gebied van Type iv en als georiënteerd wordt volgens de hiervoor gemaakte afspraak, dan geldt voor de uitwaartse flux van een vectorveld F (x, y, z) = F 1 (x, y, z) e 1 + F 2 (x, y, z) e 2 + F 3 (x, y, z) e 3 met continue partiële afgeleiden op F d S = + ( F1 x + F 2 y + F ) 3 dv z 30