H19: Differentiaalvergelijkingen van eerste orde

Transcriptie

1 H19: Differentiaalvergelijkingen van eerste orde DV van de 1ste orde: oplossingen Algemene oplossing o Alle oplossingen voor een vergelijken met evenveel constanten als de orde van de vergelijking Particuliere oplossing o De bijkomende voorwaarde wordt beginvoorwaarde of randvoorwaarde genoemd. Waaruit je C kan berekenen. (Singuliere oplossing) De integraalkromme stelt de algemene oplossing van een familie krommen voor. Separabele differentiaalvergelijkingen y = f(x) g(y) dy = f(x) g(y) dx dy g(y) = f(x)dx dy g(y) = f(x)dx = F(x) + C Zie Toepassingen 19-5 tot 19-11

2 Vergelijkingen die herleid kunnen worden naar separabele DV y = f ( y x ) Men substitueert Waaruit volgt: u = y x y = u + x du dx f(u) = u + xu y = f(ax + by + c) Men substitueert u = ax + by + c Afleiden naar x: u = a + by u = a + b f(u)

3 H27: Dubbelintegraal van een functie van twee veranderlijken over een vlak gebied. Dubbelintegraal in cartesiaanse coördinaten Volume van cilindrisch lichaam met grondvlak G en met Boven vlak het oppervlak z = f(x, y). Stelling van Fubini (dubbelintegraal) is enkel geldig voor normale integratiegebieden G. Elke verticale (horizontale) heeft hoogstens 2 snijpunten met de rand van G.

4 Dubbelintegraal: praktische berekening 1 ste integratie volgorde: van onder naar boven We integreren eerst naar y bij vaste x, dan naar x. f 2 (x) f(x, y)da = ( f(x, y)dy) dx a f G 1 (x) b 2 de integratie volgorde: van links naar rechts We integreren naar x bij vaste y, dan naar y. g 2 (y) f(x, y)da = ( f(x, y)dx)dy c g G 1 (y) d

5 Dubbelintegraal in poolcoördinaten da = r dθ dr r=f 2 (θ) f(x, y)da = ( f(r cos θ, r sin θ) r dr) dθ α r=f G 1 (θ) β

6 H29 (deel) Toepassingen Oppervlakte van een vlag gebied G 1 da G Massa van een vlak gebied m = dm = ρ(x, y)da G G Massamiddelpunt (zwaartepunt) van een vlak gebied x M = G G xρ(x, y)da ρ(x, y)da y M = G G yρ(x, y)da ρ(x, y)da Traagheidsmoment t.o.v. een as I d = m. l 2 I d = l² dm = l² ρ(x, y)da G G I x = y² ρ(x, y)da G I y = x² ρ(x, y)da G Stelling evenwijdige assen I d = I d + Ma² Massa M en loodrecht afstand a

7 Gemiddelde waarde van een functie over een gebied < f(x) > = 1 b a f(x)dx < f(x, y) > = 1 f(x, y)da opp G G a b H2: Lineaire DV van 1 ste orde Structuur van de algemene oplossing lineair als y = A + By met A en B functies van x alleen standaardgedaante: y + f(x)y = g(x) storingsfunctie wanneer: g(x) = DV gereduceerd / homogeen g(x) DV niet gereduceerd / niet-homogeen f(x) = a een lineaire eerste orde DV met constante coëfficiënt STELLING: Zij y + f(x)y = g(x) een lineaire eerste orde DV. Iedere oplossing y is te schrijven als de som van y g en y p. Waarbij y g de algemene oplossing is (

8 gereduceerde DV) en y p een particuliere oplossing. y = y g + y p Oplossing van de gereduceerde lineaire DV Kan gevonden worden door scheiding van de veranderlijken. (separabel) dy dx + f(x)y = dy y = f(x)y dy y = f(x)dx ln y = f(x)dx + lnc ln y C = f(x)dx y g = K e f(x)dx met K = ±C met constante coëfficiënt: y g = K e ax

9

10 De lineaire DV van de eerste orde bepalen Methode A: Variatie van de constante we vertrekken van de A.O., we vervangen de integratieconstante door de functie K(x). We gaan na of y = K(x) e f(x)dx een oplossing kan zijn van de niet-gereduceerde DV. y = K(x) e f(x)dx y = K (x)e f(x)dx K(x)f(x) e f(x)dx substitutie van de uitdrukkingen in de DV: K (x)e f(x)dx K(x)f(x)e f(x)dx + f(x)k(x)e f(x)dx = g(x) K (x)e f(x)dx = g(x) K(x) = g(x) e f(x)dx dx we besluiten dat : y p = e f(x)dx g(x) e f(x)dx dx De algemene oplossing van de niet-gereduceerde lineaire DV van de 1 ste orde: y = y g + y p y = K e f(x)dx + e f(x)dx g(x) e f(x)dx dx y = e f(x)dx [K + g(x) e f(x)dx dx ]

11 Voorspellen ALLEEN voor DV met CONSTANE COËFICIËNT!!! De gedaante van y p is voorspelbaar, als dezelfde vorm als g(x) eventueel met toevoeging van factor x om te voorkomen dat y p een term bevat die ook voorkomt in y g. Storingslid Veeltermfunctie p n (x) C sinωx of C cosωx C e mx met m a C e mx met m = a Voorspelde y p Veeltermfunctie q n (x) Acosωx + Bsinωx A e mx Axe mx Methode B: (staat niet inde cursus vermeld zie PowerPoint voor voorbeelden) y = y g + y p in één keer bepalen. y + f(x)y = g(x) Stel µ(x) = e f(x)dx en vermenigvuldig beide leden met deze factor. µy + µf(x)y = µg(x) waarbij µ = µf(x) (µy) = µg(x) y = 1 µg(x) dx + K µ

12 Toepassingen van lineaire DV van de eerste orde Een milieuvraagstuk Gevraagd wordt na te gaan hoe de waterkwaliteit in het meer evolueert in de tijd. Instroom: Uitstroom: a [ kg l ]. R [ l x V [kg l ]. S [ l min min ]. t [min] ]. t [min] waarbij x V [kg ] de concentratie in l het water is dat naar buiten stroomt balans: x(t + t) = x(t) + instroom uitstroom x(t + t) = x(t) + a. R. t x(t). S. t V(t) x(t + t) x(t) = a. R x(t) V(t). S x(t + t) lim = a. R x(t) t x(t) V(t). S dx x(t) = ar dt V(t). S waarin V(t) = V + (R S)t Zo bekomen we de lineaire DV van de 1 ste orde: dx dt + S x = a R V + (R S)t

13 Bijzonder geval: Zowel de instroomdebiet als uitstroomdebiet zijn gelijk. (R = S) We bekomen een lineaire eerste orde DV met een constante coëfficiënt. dx dt + R V x = ar x g = Ke R V t Vermist we zitten met een constante term, voorspellen: We zitten met een storingsfunctie van het type veeltermfunctie van de de graad: x p = A + R V A = ar A = x p = av Invullen van de beginvoorwaarden nl x() = x(t) = Ke R V t + av Uiteindelijke DV: K = av x(t) = av (1 e R V t )

14 De differentiaalvergelijking van Bernoulli Sommige niet-lineaire DV kunnen door substitutie worden teruggebracht tot een lineaire DV. Met gedaante: y + p(x)y = q(x)y n met n of 1 via substitutie van z = 1 y n 1 y y n + 1 p(x) = q(x) yn 1 z = dz dx = dz dy. dy dx = (1 n)y n. y = (1 n) y y n dus y y n = z (1 n) z + (1 n)p(x)z = q(x) Logistische groei dp dt omzetten naar een DV van het Bernoulli-type: We hebben dus te maken met een Lineaire DV: = ap bp2 dp ap = bp2 dt 1 dp P 2 dt a 1 P = b z + az = b z g = Ke at We mogen z p voorspellen: Stel z p = A A = z p = b a dus 1 P = z = Ke at + b a beginvoorwaarde: P() = P K = 1 P b a uiteindelijke DV:

15 P(t) = ap bp + (a bp )e at

16 H22: Lineaire differentiaalvergelijkingen van de tweede orde Structuur van de algemene oplossing y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = g(x) Oplossing van de gereduceerde lineaire DV van tweede orde (y g ) y + f 1 (x)y + f 2 (x)y = Belangrijke eigenschap: voor elke 2 oplossingen y 1 en y 2, ook elke lineaire combinatie een oplossing is, nl y = C 1 y 1 + C 2 y 2, staat bekend als het lineair superpositieprincipe. Als deze 2 oplossingen lineair onafhankelijk basisoplossingen zijn dan geldt ook het omgekeerde. lin. afh. C 1 y 1 + C 2 y 2 = C 1 = C 2 = Nagaan door de determinant van Wronski: W(y 1, y 2 ) = y 1 y 2 y 1 y 2 We beperken ons tot DV van de tweede orde met constante coëfficiënten. y + ay + by = we laten ons inspireren door de oplossing bij een DV van de eerste orde, dus door substitutie in de DV toont dat e λx slechts een oplossing kan zijn als λ voldoet aan de volgende bewerking, de karakteristieke vergelijking: λ² + aλ + b =

17 geval 1: twee verschillende reële wortels λ 1 criterium van de wronskiaan: en λ 2 y 1 = e λ 1x en y 2 = e λ 2x e λ 1x e λ 2x λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2x = e λ 1x. λ 2 e λ 2x e λ 2x. λ 1 e λ 1x = e λ 1x. e λ 2x (λ 2 λ 1 ) De A.O. is dus van de vorm: y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x geval 2: dubbel getelde wortels λ 1 = λ 2 = a 2 criterium van de wronskiaan: y 1 = e λx en y 2 = xe λx e λx xe λx λe λx xλe λx + e λx = e λx. (λxe λx + e λx ) xe λx. λe λx = e (λx)2 ( λx + 1 λx ) De A.O. is dus van de vorm: y = C 1 e λx + C 2 xe λx geval 3: twee complex toegevoegde wortels λ 1 y 1 = e (α+jβ)x en y 2 = e (α jβ)x = α + jβ en λ 2 = α jβ formule van Euler: e ±jx = cosx ± jsinx e (α+jβ)x + e (α jβ)x = e αx (cosβx + j sinβx) + e αx (cosβx jsinβx) = 2e αx (cosβx) en e (α+jβ)x e (α jβ)x = e αx (cosβx + j sinβx) e αx (cosβx jsinβx) = 2je αx (sinβx) e αx (cosβx) e αx (sinβx) αe αx (cosβx) e αx β(sinβx) αe αx (sinβx) + e αx β(cosβx) = e αx (cosβx). (αe αx (sinβx) + e αx β(cosβx)) e αx (sinβx). ( αe αx (cosβx) e αx β(sinβx)) = e 2αx (( (cosβx). (α(sinβx) + β(cosβx)) (sinβx). ( α(cosβx) β(sinβx))) = βe 2αx (cos 2 β + sin 2 β) = βe 2αx De A.O. is dus van de vorm: y = C 1 e αx cosβx + C 2 e αx sinβx

18 voorspellen van de particuliere oplossing (y p ) Storingslid Voorspelde y p Veeltermfunctie p n (x) Veeltermfunctie q n (x) En nul is geen wortel van de kar. vgl. C sinωx of C cosωx Acosωx + Bsinωx C e mx met m a A e mx C e mx met m = a Axe mx nog aan te vullen!!!!

19 H23: De laplacetransformatie Definitie + L {f(t)} = F(s) = e st f(t)dt Uitgewerkte belangrijke functies zie bijlage Eigenschappen Schaalverandering L {f(at)} = 1 a F (s a ) Eerste verschuivingseigenschap (verschuiving in het t-domein) (verschuiving naar rechts) L {f(t a). u(t a)} = e as F(s) Tweede verschuivingseigenschap (verschuiving in het s-domein) L {e at f(t)} = F(s a) Afgeleide van de laplacegetransformeerde (niet zo belangrijk) d n ds n F(s) = L {( 1)n t n f(t)} Integraal van de laplacegetransformeerde (niet zo belangrijk) + F(x)dx s = L { f(t) t } Laplacegetransformeerde van een afgeleide L {f (t)} = s L {f(t)} f( + ) L {f (t)} = s² L {f(t)} sf( + ) f ( + )

20 De inverse laplacetransformatie L 1 {F(s)} Rechtstreeks (basisformules) Partiële breuksplitsing convolutiestelling Lineariteitseigenschap Verschuivingseigenschappen L 1 {F(s) + G(s)} = L 1 {F(s) + L 1 {G(s)} L 1 {c. F(s)} = c. L 1 {F(s)} L 1 {F(s a)} = e at f(t) L 1 {e as F(s)} = f(t a). u(t a)

21 Inversie door splitsing in partieelbreuken Eerste geval: F(s) bezit n verschillende enkelvoudige polen enkel de toepassing van deze formule moet gekend zijn F(s) = K 1 s p 1 + K 2 s p K n s p n L 1 {F(s)} = L 1 { T(s) N(s) } = K i L 1 1 { } s p 1 Tweede geval: F(s) bezit meervoudige polen enkel de toepassing van deze formule moet gekend zijn n i=1 met K i = lim s pi (s p i )F(s) F(s) = K 1 s p i + K 2 (s p i ) K n (s p n ) k n = K i e p it i=1 L 1 {F(s)} = K i,j e p it k j=1 t (j 1)! + L 1 { T(s) N(s) } met K i,1 = 1 (k 1)! lim s p i d k 1 ds k 1 [(s p i) k F(s)] Opmerking: de coëfficiënten van de partieelbreuken die horen bij complex toegevoegde polen zelf toegevoegd complex zijn.

22 Inversie door convolutie t (f g)(t) = f(u)g(t u)du het convolutieproduct is commutatief 1 is geen neutraal element L {f g} = L {f} L {g} L 1 {F(s) G(s)} = L 1 {F(s)} L 1 {G(s)} = f(t) g(t)

23 Oplossen van lineaire DV met beginvoorwaarden d.m.v. de laplacetransformatie Eerste orde DV y + ay = f(t) L {f (t)} = s L {f(t)} f( + ) = sy(s) y( + ) sy(s) y() + ay(s) = F(s) Y(s) = F(s) s + a + y() s + a y(t) = L 1 { F(s) s + a } + 1 y(+ ) L 1 { s + a } y(t) = f(t) e at + y e at Tweede orde DV y + ay + by = f(t) L {f (t)} = s L {f(t)} f( + ) = sy(s) f( + ) L {f (t)} = s² L {f(t)} sf( + ) f ( + ) = s 2 Y(s) sf( + ) f ( + ) s 2 Y(s) sf( + ) f ( + ) + a[sy(s) f( + )] + by(s) = F(s) s 2 Y(s) + asy(s) + by(s) = F(s) + (s + a)f( + ) + f ( + ) F(s) Y(s) = s 2 + as + b + y s + a s 2 + as + b + y 1 s 2 + as + b y(t) = L F(s) 1 { s 2 + as + b } + y L s + a 1 { s 2 + as + b } + y L 1 1 { s 2 + as + b } y g

24 H24: Functies van twee of meer veranderlijken en partie le afgeleiden Partiële afgeleiden ( f x ) = rico van raaklijn t in (x, y, z )aan K: z = f(x, y ) ( f y ) = rico van raaklijn t in (x, y, z )aan K : z = f(x, y) Raakvlak aan oppervlak Nu bepalen de raaklijnen t en t een vlak α, het raakvlak in P aan. De vectoren: t 1 = 1 x + ( f x ) 1 z en t 2 = 1 y + ( f y ) 1 z Een normaalvector n : n = t 1 t 2 = 1 x 1 y 1 z 1 ( f x ) = ( f 1 ( f y ) x ) 1 x ( f y ) 1 y + 1 z De vergelijking van het raakvlak α in P(x, y, z ) aan : z = f(x, y)is daarom: z z = ( f x ) (x x ) + ( f y ) (y y )

25 De kettingregel voor partiële afgeleiden z = f(x(t), y(t)) Bijzonder geval van de kettingregel: z = f(x, y(x)) Partiële afgeleide van tweede orde stelling van Schwarz: dz dt = f dx x dt + f dy y dt dz dx = z x + z dy y dx x ( f y ) = y ( f x ) = 2 f x y 2 f x 2 2 f y²

26 Extrema Lokale extrema Als f een lokaal extremum bereikt in (x, y ) dan geldt: NIET OMGEKEERD! ( f x ) = ( f y ) = Als ( f ) = x ( f) = dan heet het punt in (x y, y ) een stationair punt of kritisch punt. Berekenen van de hessiaan: ²f ( x² ) (x,y )= 2 f x y 2 f x y ( ²f y² ) We trekken ons besluit op basis van het teken van de hessiaan: (x,y )> Extremum! MIN als ( ²f ) > MAX als ( ²f ) < x² x² Vergelijken met de leider (eerste rij, eerste kolom in de hess.) (x,y )< (x,y )= Geen extremum, zadelpunt Geen besluit

27 Differentiaal Totale differentiaalvorm definitie: u(x, y)dx + v(x, y)dy a. s. a. u y = v x

28 H25: Richtingsafgeleiden en gradie nt Richtingsafgeleiden van een functie Gradiënt De gradiënt van fin (x, y ) is de vector = ( f Richtingsafgeleide x ) 1 x + ( f ) 1 y y (D u f) P = (gradf) P u = ( f x ) u x + ( f y ) u y = (gradf) P cos α De richtingsafgeleide in een bepaalde richting is dus de component van de gradiëntvector in die richting. De gradiëntvector van een functie in een punt geeft de richting aan volgens dewelke de functie f het snelst verandert vanuit dat punt. De zin van de gradiëntvector is de zin van toename van f vanuit het beschouwde punt. De grootte van het maximale tempo van verandering is gelijk aan de lengte van de gradiëntvector. Meetkundige toepassing van de gradiënt Gradiëntvector is de normaalvector van de niveaukrommen van de functie. raaklijn in een punt van een kromme met impliciete cartesiaanse verg. F(x, y) = Functies van drie veranderlijken ( f x ) (x x ) + ( f y ) (y y ) = grad f(x, y, z) = ( f x ) 1 x + ( f y ) 1 y + ( f z ) 1 z Gradiëntvector is de normaalvector van de niveauoppervlakken van de functie. raakvlak in een punt van een kromme met impliciete cartesiaanse verg. F(x, y, z) = ( f x ) (x x ) + ( f y ) (y y ) + ( f z ) (z z ) =

29 H26: Gebonden extremumvraagstukken en de methode van Lagrange Gebonden extremumvraagstuk Methode 1 Uit de nevenvoorwaarde g(x, y) = y bepalen als functie van x en extrema zoeken van f(x, h(x)) Methode 2 Multiplicatorenmethode van Lagrange. φ(x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) Extremum als: φ x = φ y = φ λ = Functies van drie veranderlijken met één nevenvoorwaarde met twee nevenvoorwaarden φ(x, y, z, λ) = f(x, y, z) λg(x, y, z) φ(x, y, z, λ, μ) = f(x, y, z) λg 1 (x, y, z) μg 2 (x, y, z)

30 H28 Tripelintegraal van een functie van drie veranderlijken Tripelintegraal in cartesiaanse coördinaten Praktische berekening f(x, y, z)dv (Dit hoeft niet perse in die volgorde.) R z=f 2 (x,y) = ( f(x, y, z)dz R xy z=f 1 (x,y) ) da

31 Tripelintegraal in cilindercoördinaten x = r cos θ y = r sin θ z = z dv = r dr dz dθ Integratie volgorde Eerst naar z integreren (van onder naar boven doorlopen) Eerst naar r integreren ( radiaal doorlopen vanop de z-as evenwijdig met het xy-vlak) f(x, y, z)dv R z=f 2 (x,y) = ( f(r cos θ, r sin θ, z)r dr R xy z=f 1 (x,y) ) da

32 Tripelintegraal in bolcoördinaten x = r cos θ sin φ y = r sin θ sin φ z = z cos φ dv = r² sin φ dr dθ dφ Integratie volgorde eerst integreren naar r dan naar θ dan naar ф (lichaam wordt radiaal doorlopen vanuit de oorsprong) f(x, y, z)dv R z=f 2 (x,y) = ( f(r cos θ, r sin θ, z)r dr R xy z=f 1 (x,y) ) da Wanneer moeten we wat gebruiken? Cilindercoördinaten Bolcoördinaten Lichamen met axiale symmetrie Lichamen met centrale symmetrie

33 H29 (deel) Toepassingen Volume van een ruimtelijk gebied 1 dv = volume van R R Massamiddelpunt van een ruimtelijk gebied x M = R x ρ(x, y, z)dv ρ(x, y, z)dv R y M = R y ρ(x, y, z)dv ρ(x, y, z)dv R z M = R z ρ(x, y, z)dv ρ(x, y, z)dv R Traagheidsmoment van een ruimtelijk lichaam t.o.v. een as (analoog voor I y en I z ) I x = x M = (y 2 + z 2 ) ρ(x, y, z)dv R Massa van een ruimtelijk gebied m = dm = ρ(x, y, z)dv R R

34 Volume ruimtelijk gebied Tripelintegraal naar dubbelintegraal (cilindrisch lichaam) Volume van R = R dv z=f(x,y) = ( dz G z= ) da = f(x, y)da G Tripelintegraal naar enkelvoudige integraal (omwentelingslichaam) Volume van R = R dv = r dr dθ dz R θ=2π r=f(z) = ( r dr)dz dθ θ= θ=2π z=b z=a z=b r= = ( 1 2 [r2 ] f(z) ) dz dθ θ= z=a = 2π z=b 2 f(z)2 dz z=a = π f(z) 2 dz b a