FYSICA-BIOFYSICA : FORMULARIUM (oktober 2004)

Transcriptie

1 ste bachelor GENEESKUNDE ste bachelor TANDHEELKUNDE ste bachelor BIOMEDISCHE WETENSCHAPPEN FYSICA-BIOFYSICA : FORMULARIUM (oktober 004) Kinematica Eenparige rechtlijnige beweging : x(t) = v x (t t 0 ) + x 0 Eénparig veranderlijke rechtlijnige beweging. v x (t) = a x (t t 0 ) + v 0,x x = a x(t t 0 ) + v 0,x (t t 0 ) + x 0 vx v0,x = a x (x x 0 ) Cirkelbeweging ω z = dθ dt v = v = R ω a = dv dt e t + R ω e n Harmonische Trilling y = A sin(ω o t + φ o ) ω o = π f f = T

2 Wisselwerkingen kracht potentiële energie F g, = G o m m r r r E g p = G o m m r F zw = m g E zw p = mgz F c = q q 4πε o r r r Ep c = q q 4πε o r F e = q E E e p = qex( x -as volgens E) F v = k x E v p = k x F w = f s F n F a = ρ f g V e z F wf = µ v p e t F m = Q v B Fm = I geleider rechte geleider loodrecht op B : F m = I l B d r B Potentiaal van een elektrische lading q 0 : V (r) = 4πε o q 0 r Potentiaal van een elektrische dipool : V (r, θ) = 4πε o p cos θ r Elektrisch veld binnen en potentiaalverschil over een vlakke condensator (σ is de vlakteladingsdichtheid en d is de afstand tussen de platen) : E = σ ε o U = Ed Elektrisch veld binnen een vlakke condensator gevuld met een diëlektricum met relatieve permeabiliteit ε r : E = σ ε o.ε r

3 Mechanisch moment en energie van een elektrische dipool en een magnetische dipool (magnetisch moment m = I A e n ) M e.dipool = p E E p = p E M m.dipool = m B E p = m B Magnetisch inductieveld van een rechte draad waardoor een stroom I loopt, op een afstand a van de draad : B = µ 0 I π a Magnetisch inductieveld van een lange rechte spoel (solenoïde) (n windingen per lengte) waardoor een stroom I loopt (homogeen veld) : B = µ 0 n I Arbeid : W = r r F d r W = V V pdv Vermogen : P = F v Kinetische energie : E k,trans = m v c E k,rot = I ω Traagheidsmomenten van enkele voorwerpen (m is de massa van het voorwerp) : dunne staaf lengte L, as door massacentrum en loodrecht op staaf I = ml dunne staaf lengte L, as door een uiteinde en loodrecht op staaf I = 3 ml dunne ring met straal R, t.o.v. door middelpunt) : I = mr symmetrieas (loodrecht op ring en rechte cilinder met straal R, t.o.v. symmetrieas I = mr volle bol met straal R, as door massacentrum I = 5 mr dunne bolschil met straal R, as door massacentrum I = 3 mr 3

4 Potentiële energie en kracht E p, [ F i ] = E p, [ F i ] r Fi d r F i,x = de p[f i,x] r dx Relativistische uitdrukking voor energie : E = m(v) c Eendimensionale elastische botsingen Fluïda v,x = (m m )v,x + m v,x m + m v,x = (m m )v,x + m v,x m + m ρ A v = ρ A v A v = A v = I v dp ρdv + d F uitw dv d r = 0 p = p ρg (z z ) vloeistoffen p = p 0 e ( ρ 0 g z) p 0 gassen p + ρv + ρg z = cte F w = ηa dv dz v(u) = p p 4η L (r u ) I v = π r4 8η p p L I v = R (p p ) 4

5 Elektrische geleiding Stroom en vermogen ( n : deeltjesdichtheid, q lading ve deeltje): I = dq dt J = nq µ E I = qn A v d I = U R R = L nqµa ρ = R A L σ = α = dρ ρ ρ dt P = R I R R 0 = α R 0 (T T 0 ) Wetten van Kirchhoff : Ii = 0 ( V )i = 0 Condensator (U: spanning over condensator, Q : lading op condensator) Capaciteit : C = Q U Capaciteit van een vlakke condensator C = Aε d Elektrostatische energie(dichtheid) : E p,c = CU ; u e = ε E Schakeling van condensatoren in serie C = C + C + + C n in parallel C = C + C + + C n Magnetische energie in een inductiespoel en magnetische energiedichtheid : E p,l = L I u m = B µ o 5

6 Formule van Nernst V V = kt q U e = kt q ln( C C ) ln( C[AX] ) =,30 kt C g ne log(c[ax] ) C g RC-serieschakeling (laden van een condensator) : Q(t) = CU( e t RC ) I(t) = U R e t RC Wisselspanning spanning over condensator volgt π op stroom : U C = ωc I spanning over spoel loopt π voor op stroom : U L = ωl I spanning over weerstand is in fase met de stroom U R = R I RLC-wisselspanningskring met spanning v(t) = U sin(ωt) en stroom i(t) = I sin(ωt + φ) I = U R + (ω L ω C ) tan ( φ) = (ω L ω C ) R 6

7 Temperatuur en warmte T (K) = T ( C) + 73,5 p V = n R T pv = 3 N m o vg = U 3 δq = C dt δq = mcdt Q = mc(t T ) δq = nc m dt Q = nc m (T T ) l s = L s m l v = L v m Thermodynamica I w = λ A T T x x R = T T I w Q = U U + W δq = du + δw du = nc V dt du = mc V dt H = U + pv Q,p = H H dh = nc p dt dh = mc p dt C p = C V + R V γ p = V γ p γ = C p C V ds = δq T F = U T S S S = G = H T S () () δq T 7

8 Eigenschappen van goniometrische getallen sin( α) = sin α cos( α) = cos α sin( π cos( π α) = cos α sin(α α) = sin α cos(α π ) = cos α π ) = sin α sin(α + π ) = cos α cos(α + π ) = sin α sin(π α) = sin α sin(π + α) = sin α cos(π α) = cos α cos(π + α) = cos α sin(α + πm) = sin α (m Z) cos(α + πm) = cos α (m Z) sin α + cos α = cos(θ ± θ ) = cos θ cos θ sin θ sin θ sin(θ ± θ ) = sin θ cos θ ± cos θ sin θ cos(θ) = cos θ sin θ cos θ = [ + cos(θ)] sin sin(θ) = sin θ cos θ θ = [ cos(θ)] sin α ± sin β = sin( α ± β cos α + cos β = cos( α + β cos α cos β = sin( α + β ) cos( α β ) ) cos( α β ) ) sin( α β ) 8

9 Afgeleiden van enkele elementaire functies (x p ) = p x p (sin x) = cos x (cos x) = sin x (tan x) = cos x (ln x) = x (log a x) = ln a (e αx ) = α e αx (a x ) = (ln a) a x x Rekenregels voor het berekenen van afgeleiden (f + g) (x) = f (x) + g (x) [f(x).g(x)] = f (x).g(x) + f(x)g (x) [ f(x) g(x) ] = f (x).g(x) f(x)g (x) [g(x)] d(g(f(x)) dx = dg(y) dy df(x) dx met y = f(x) df (y) dy = [ df(x) ] dx x=f (y) 9

10 Primitieve functies (onbepaalde integralen) van enkele elementaire functies x m dx (als m ) = xm+ m + + C cos ax dx = sin ax + C a dx x = ln x + C sin ax dx = a cos ax + C dx = tanx + C cos x e ax dx = a eax + C sin x dx = tanx + C Rekenregels voor het berekenen van integralen g (f(x)).f (x)dx = g (y)).f (x)dx = g(f(x) + C met y = f(x) f(x).g (x) dx = f(x).g(x) (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b f (x)g(x) dx g(x) dx 0

11 Reeksontwikkelingen van enkele elementaire functies (nabij x = 0) ( + x) n + nx + n(n ) x +! sin x x 3! x3 + 5! x5 + (x in rad) cos x! x + 4! x4 + (x in rad) tan x x + 3 x3 + 5 x5 (x in rad) ln( ± x) ±x x ± 3 x3 e x +! x +! x + 3! x n! xn Scalair en vectorieel product van vectoren gegeven de vectoren a (a x, a y, a z ) b (b x, b y, b z ) a b = a x b x + a y b y + a z b z a b = a b cos α a b (a y b z a z b y, a z b x a x b z, a x b y a y b x ) a b is een vector loodrecht op het vlak van de vectoren a en b, de richting wordt bepaald door de rechterhandregel en de grootte is: a b = a b sin α

12 Lineaire differentiaalvergelijkingen dy dt + αy = αy d oplossing: y(t) = Ae αt + Y d dy dt + τ y = τ Y d sin ωt de stationaire oplossing is y(t) = Y r sin(ωt + ψ) met tan ψ = ωτ en Y r = Y d + (ωτ) De oplossingen van Worden gegeven door m d x dt + µdx + kx = 0 () dt. γ > ω 0 sterke demping x o (t) = C e p t + C e p t met p = γ γ ω0 en p = γ + γ ω0 constanten en γ = µ en ω k m 0 = m ; C en C zijn. γ = ω 0 kritieke demping x o (t) = (C t + C ) e γt hierin zijn C en C constanten en γ = µ m 3. γ < ω 0 zwakke demping x o (t) = A e γ t sin(ω t + φ) A en φ zijn constanten en ω = ω 0 ( γ ω 0 ) met γ = µ en ω k m 0 = m

13 m d x dt + µdx dt + kx = mω 0X d sin ωt De oplossing van bovenstaande differentiaal vergelijking is de som van één van de oplossingen x o (t) van () (uitstervend, na enige tijd verwaarloosbaar) en X r sin(ωt + ψ) (stationaire respons) met tan ψ = γ ω 0 ω ω 0 ω 0 ω X r = X d ( ( ω ω 0 ) ) + ( ω ω 0 ) ( γ ω 0 ) 3

14 Lijst van fysische constanten en karakteristieke waarden g = 9,8 m s c = 99,8 0 6 m s G o = 6,670 0 N m /kg m e = 9, 0 3 kg m p =, kg m n =, kg m u =, kg e =, C R = J 8,344 mol K N A = 6, mol k B = R N A = 3,8 0 4 J K σ = 5, W K 4 m atm =, Pa ε o = 8,854 0 F m ( C N.m ) k e = 8, ( N.m C ) µ o = Wb = 4π 0 7 ε o c A m a 0 = 5, 9 0 m 4