, met ω de hoekfrequentie en

Transcriptie

1 Opgave 1. a) De brekingsindex van een stof, n, wordt gegeven door: A n = 1 +, ω ω, met ω de hoekfrequentie en ( ω ω) + γ ω, A en γ zijn constantes. Geef uitdrukkingen voor de fasesnelheid en de groepssnelheid bij ω = ω. b) In een Fabry Perot resonator wordt licht opgeslagen in de vorm van een staande golf. Op het moment dat de amplitude van het electrisch veld overal nul is, is de energie van het electrische veld ook overal nul, immers de momentane energiedichtheid is gelijk aan 1 ε ) E( r, t. Er wordt bij een staande golf geen energie getransporteerd en er is natuurlijk sprake van energiebehoud. De vraag is dan ook: Waar blijft die energie op het moment van de nuldoorgang? c) Maak de zinnen (1-4) hieronder op de beste manier af gebruikmakend van één antwoord uit categorie A gevolgd door één antwoord uit categorie B. 1) Licht dat propageert door een plaat dubbelbrekend materiaal in een richting loodrecht op de optische as.. ) Licht dat propageert door een optisch actief medium. ) Licht dat totale interne reflectie ondergaat. 4) Licht dat externe reflectie ondergaat Categorie A antwoorden: A. ondergaat een rotatie van het vibratievlak van lineaire polarisatie B. ondergaat een verandering van lineair naar elliptische polarisatie C. ondergaat een verandering van lineaire naar circulaire polarisatie Categorie B antwoorden: D. van 9 graden. E. van 18 graden. F. in een mate die afhangt van de betrokken brekingsindici. G. in een mate die afhangt van de golflengte. H. in een mate die afhangt van zowel de golflengte als van de betrokken brekingsindici. d) In de geometerische optica worden vaak zgn. propagatiematrices gebruikt voor lenzen, spiegels en propagatie in media. Onder welke voorwaarde mogen deze matrices gebruikt worden? Waarom bestaat er geen matrix voor een diafragma? e) Wat zijn de nadelen van de Fresnel zone plaat t.o.v. een gewone positieve lens? Weet je ook in welk golflengte gebied de zone plaat vaak toegepast wordt? Waarom?

2 Antwoorden: c A a) Fase snelheid v = ω, k, n 1 ( ) nk = π ω ω n λ = + vacuum γ =, Groepssnelheid: ν group 1 1 ω ( nk) n k = = = k + n = ( nk ) ω ω ω 1 n n n 1 A( ω ω) n k n ω c n [( ω ω) + γ ] c k + = + = c ( ω = ω) n Dus bij ω zijn fase- en groepssnelheid gelijk. b) Tijdens de nuldoorgang is alle energie in de vorm van magnetische energie. c) 1: B, H : A, H : B, H 4: A, E d) Alleen bij kleine hoeken met de optische as (paraxiale benadering). De matrixtheorie gaat er van uit dat er geen stralen verloren gaan zoals bij een diafragma gebeurt. e) Enorme chromatische aberratie. Je verliest de helft van de irradiantie t.g.v. de blokkade door de ringen. Verder heeft de zone plaat meerdere focii waarin ook licht terechtkomt ten koste van het primaire brandpunt. Geen transparant medium nodig, afbeelden met röntgenstraling. 1

3 Opgave. Op een transmissietralie met spleten per mm valt een monochromatische vlakke lichtgolf met een golflengte, λ = 45nm, loodrecht in. Het tralie heeft een breedte van 5 cm en de lichtbundel heeft een breedte van 1 cm. M.b.v. een lens worden de orders op een scherm afgebeeld waarbij waargenomen wordt dat de 5 e orde afwezig is. a) Bereken de afstand tussen de spleten van het tralie en het effectief aantal spleten. b) Bereken de breedte van de spleten. c) Bewijs dat de maximale irradiantie van de nulde orde gelijk is aan N I, waarin I de bijdrage tot de flux dichtheid van iedere spleet is. d) Bereken de maximale irradiantie van de derde orde uitgedrukt in I. Oplossing: a) De afstand tussen de spleten is: a 1 = =. m spleten / mm µ. Het effectief aantal spleten volgt uit: N = 1 mm spleten / mm =. a. b) De vijfde orde mist, dus de spleetbreedte is: b = = µ m = 6. 67µ m 5 5 sin β sin Nα c) I ( θ ) = I Voor de nulde orde is β = en α =. β sinα sin β cos β lim = lim = 1 β β β 1 zodat: I ( ) = I N sin Nα N cos Nα lim = lim = N α sinα α cosα sin β d) De maximale irradiantie van de derde orde is: I = I N, met β π b β = sinθ, en sin 1 λ θ = = 4.5mrad. We vinden: λ a π 6.67e 6 β = sin 4.5e = 1.885rad, zodat 45e 9 I sin1.885 I =.91e4 = I

4 Opgave. Licht met een golflengte van 66 nm valt vrijwel loodrecht op een dunne oliefilm (index olie = 1.5) die drijft op water (index water = 1.). lucht 1 olie water a) Wat is de verandering in fase van de aan de olie gereflecteerde lichtgolf (1)? b) Wat is de fase verandering van de lichtgolf () die door de oliefilm propageert en gereflecteerd wordt aan het wateroppervlak? c) Geef de conditie voor constructieve interferentie van het gereflecteerde licht en bereken de minimale dikte die de oliefilm kan hebben. Oplossing: a) n olie > n lucht dus er is sprake van een extra faseverandering van π radialen. k nolie t b) Omdat n water < n olie is er geen extra fase verschuiving en is de fase ( ) π de dikte van de oliefilm en k = λ c) De minimale filmdikte (m=) vinden we uit de conditie voor constructieve interferentie: k n t π = mπ olie π nolie t π = mπ λ λ 66nm m = t = = = 16nm 4n olie, met t

5 Opgave 4. Een ondoorzichtig scherm met daarin kleine openingen (aangeduid met a, b en c ) wordt belicht met een monochromatische (golflengte λ=5 nm) gecollimeerde lichtbundel. Direct achter het scherm bevindt zich een lens met brandpuntsafstand f=5 mm. Op een tweede scherm (geplaatst in het brandvlak van de lens) is een interferentie patroon zichtbaar. De afstand tussen de openingen is s. De breedte van de openingen zijn veel kleiner dan de afstand s. Opening b is in het begin van het experiment GESLOTEN. De hele opstelling bevindt zich in lucht (n=1). Het volgende interferentie patroon is zichtbaar: a) Bereken de afstand tussen de openingen s. Er wordt nu een stukje glas van 1 nm (nanometers!) dik voor een van de openingen a of c geplaatst. Het interferentie patroon verschuift +1 mm.

6 b) Bereken de brekingsindex van het glas en bepaal voor welke opening a of c het glaasje geplaatst is. Opening b wordt geopend en het glaasje wordt verwijderd. Onderstaand interferentiepatroon wordt gemeten. c) Verklaar (in woorden) het gemeten interferentie patroon. d) Uit de figuur blijkt dat de verhouding van de intensiteit in het grote maxima en de intensiteit in de kleine maxima gelijk is aan 9. Verklaar met een berekening deze verhouding. Oplossing: a) Posities op het scherm van de grote maxima worden gegeven door x=m f lambda/s (Let op:s, want de interferentie is tussen de bronnen a en c ). Uit de grafiek volgt dat bij m=4 x=.5. Invullen geeft s=1-4 m. b) Interferentiepatroon schuift naar boven (positieve x-richting). Dat betekent dat voor het nulde orde maximum de golf uit opening c langer onderweg is. Om weer een faseverschil van te krijgen tussen de golven uit a en c moet dus de golf uit a vertraagt worden. Dus glas zit voor opening a. Extra padlengte voor golf c is s( x)/f. Extra padlengte golf a = (n-1)d. (d is dikte glaasje). Gelijk stellen en getallen invullen geeft n=1.4 c) Er zijn drie openingen en dus drie bronnen. Grote maxima als alle drie bronnen in fase zijn op het scherm (onderling faseverschil van m pi). Tussen de grote maxima is nog een klein maximum als a en c in fase zijn (onderling faseverschil van (m-1)pi ). De minima treden op bij onderlinge faseverschillen / pi en 4/ pi etc. d) Grote maxima: faseverschil is m pi. Bijdrage electrisch veld uit opening a = E a =E e -iθ. Dan is E b =E e -i(θ+mπ) = E e -iθ en E c =E e -i(θ+(m+1)π) = E e -iθ. Intensiteit is evenredig met de complex modulus van de som van de velden en dus I~( E e -iθ ) = 9E. Voor de kleine minima geldt dat a en b in tegenfase zijn en elkaar dus uitdoven, blijft over alleen bijdrage van c en dus I~E. Dus de

7 verhouding tussen intensiteiten in grote maxima en kleine maxima is gelijk aan 9. e) voor glaasje a. Als θ het faseverschil is tussen de openingen die optreden als gevolf van weglengte verschil dan volgt dat voor situatie dat a een extra pi faseverschil heeft: a : Intensiteit~-cos(θ); b : Intensiteit~-4cos(θ)-cos(θ); De formule voor a is gegeven in de grafiek.