Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel A2 en B, blad 1/6

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N7) deel A2 en B, blad 1/6 woensdag 9 november 211, uur Het tentamen levert maximaal 1 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Deel A2 omvat opgaven 1 en 2 en levert maximaal 4 punten op. Deel B omvat opgaven 3, 4 en 5, en levert maximaal 6 punten op. De tijd bedraagt 3 uur ongeacht of ervoor wordt gekozen deel A2 te laten vervangen door het al gemaakt deel A1 in de vorige sessie. Geef bij alle antwoorden een argumentatie. 1

2 Deel A2 (opgaven 1 en 2): 1. Een uroloog veronderstelt dat de relatie tussen het volume V van de blaas en de druk p in de blaas geschreven kan worden als: V = V + Cp waarin V en C constanten zijn. 1 pnt (a) Toon aan dat het fysisch correct is compliantie C uit te drukken in kg 1 m 4 s 2. Een onderzoeker vermoedt dat de compliantie C afhangt van Young s modulus E van het blaasweefsel, en de straal R en de wanddikte h van de blaas. 1 pnt (b) Door hoeveel groepen wordt de relatie tussen bovenstaande grootheden bepaald volgens het Buckingham Π-theorema? Doordat in deze situatie de dimensies M en T alleen in C en E voorkomen, en dan ook nog in dezelfde combinatie, zijn er toch twee onafhankelijke groepen. Zo n groep wordt beschreven door het volgende dimensieloze verband tussen C, E, R, en h: π i = C a E b R c h d met constanten a, b, c, en d. 5 pnt (c) Laat zien dat een mogelijke dimensieloze groep wordt gegeven door: π 1 = R h (d) Bepaal een tweede dimensieloze groep π 2, onder de voorwaarde d =. Het exacte verband tussen C, E, R, en h wordt gegeven door: C = π R4 Eh 1 pnt (e) Laat zien dat deze relatie in overeenstemming is met de hiervoor bepaalde dimensieloze groepen π 1 en π 2. In een patiënt wordt bij blaasdruk p = (. ±.1) kpa een volume V = (1 ± 2) ml gemeten. Bij een druk p = (5. ±.1) kpa wordt een volume V = (3 ± 2) ml gemeten. 7 pnt (f) Bereken de waarde en nauwkeurigheid van C in de vorm C ± C, met hierin het juiste aantal significante cijfers. (g) Uit de compliantie C kan na meting van R en h de Young s modulus E van de blaaswand berekend worden. Geef de absolute fout in E als functie van de fouten in de bepaling van C, R, en h. 2

3 2. Bij werkzaamheden op het dak van een huis schuift een dakpan met massa m vanaf positie A naar beneden onder invloed van de gravitatieversnelling g. Op positie B verlaat hij het dak om op positie C op de grond te belanden, zie figuur. h A m α e 2 e 1 B g H e y O e x C Tijdens de beweging van A naar B werkt op de dakpan een kinetische wrijvingskracht, gekarakteriseerd door de kinetische wrijvingscoëfficiënt µ k. We stellen het moment van verlaten van punt A op t = s. De dakpan verlaat het dak in punt B met een snelheid v B. (a) Teken in een vrije-lichaamsdiagram de krachten die op de dakpan werken. (b) Werk de tweede wet van Newton uit in componenten ten opzichte van de orthonormale basis { e 1, e 2 }, gegeven in de figuur. (c) Druk de grootte van snelheid v(t) van de dakpan als functie van de tijd t uit in g, α, µ k en t. (d) Druk de grootte van snelheid v B uit in g, α, µ k en h. We beschouwen nu de vlucht van de dakpan van punt B naar C, die we wrijvingsloos veronderstellen. Hierbij maken we gebruik van de orthonormale basis { e x, e y }. Voor de eenvoud stellen we het moment van verlaten van punt B wederom op t = s. (e) Bereken de snelheidsvector v(t) van de dakpan als functie van de tijd t. (f) Bereken de positievector x(t) van de dakpan als functie van de tijd t ten opzichte van punt O. (g) Bereken de afstand tussen punt O en punt C. 3

4 Deel B: opgaven 3, 4 en 5 3. We beschouwen de beweging van een bal met massa m in een flipperkast, zie onderstaande figuur. Het vlak van de flipperkast maakt een hoek α met het horizontale vlak. De bal wordt in de uitgangspositie in punt A gehouden door een massaloze veer met veerconstante k. De kracht in de veer is dan verwaarloosbaar klein. boven-aanzicht B A v A D O C e 2 e 1 R 4 pnt zij-aanzicht T k B d A m g l Door toepassen van een externe trekkracht F t op de massaloze trekker T wordt de bal wordt de bal over een afstand d verplaatst tot hij stil ligt in positie B. De beweging van de trekker wordt tegengewerkt door een constante wrijvingskracht met grootte F w. De bal is onderhevig aan de gravitatieversnelling met grootte g. (a) Bereken de arbeid die tijdens de beweging van A naar B wordt verricht door de conservatieve krachten. (b) Bereken de arbeid die tijdens de beweging van A naar B wordt verricht door de trekkracht F t. Op zeker moment wordt de trekker losgelaten. Bal en trekker bewegen vervolgens weer tot punt A, waar de bal met een snelheid v A los komt van de veer. (c) Druk de snelheid v A uit in de gegeven grootheden. Vanaf het moment van loskomen in punt A mag de beweging van de bal als wrijvingsloos verondersteld worden. Na een afstand l bereikt de bal punt C. Hij heeft dan een snelheid v C. (d) Druk de snelheid v C uit in onder andere v A. Vanaf punt C doorloopt de bal een cirkelvormige baan met straal R tot aan punt D. Bij de beschrijving van deze baan maken we gebruik van de Cartesische basis { e 1, e 2 }. We veronderstellen we dat α, zodat de z-positie van de bal constant verondersteld kan worden. Ten opzichte van punt O wordt de positie r(t) van de bal van punt C tot punt D beschreven door: C α r(t) = A cos(ω(t t C ) + ϕ) e 1 + A sin(ω(t t C ) + ϕ) e 2 waarin t C het tijdstip voorstelt waarop de bal zich in punt C bevindt, en A, ω en ϕ positieve constanten zijn. 4

5 5 pnt (e) Druk de constanten A, ω en ϕ uit in onder ander v C. (f) Bereken de versnelling a(t), die de bal tijdens de beweging van punt C tot punt D ondergaat. (g) Bespreek door welke kracht de versnelling a(t) wordt veroorzaakt. Hoe groot is de arbeid, die door deze kracht wordt geleverd? 4. Om het vetpercentage van een persoon met een gewicht G te bepalen wordt hij aan een touw neergelaten in bak met water. Als hij geheel onder water is, blaast hij alle lucht uit zijn longen. De spankracht in het touw, waaraan hij hangt, is dan gelijk aan T. Het water heeft een dichtheid ρ w en de gravitatie-versnelling heeft een grootte g. (a) Teken het vrije-lichaamsdiagram van de ondergedompelde persoon. (b) Druk het volume V p van de persoon uit in G, T, ρ w en g. (c) Druk de gemiddelde dichtheid van de persoon ρ p uit in V p en de overige gegeven grootheden. We nemen aan dat de persoon is opgebouwd uit vet, met een volume V v en een bekende dichtheid ρ v, en overige weefsels (spieren, botten, etc.) met een volume V o en een bekende gemiddelde dichtheid ρ o. De vetfractie van de persoon is gedefinieerd als m v /m, waarin m de massa van de persoon is en m v de massa vet in zijn lichaam. (d) Druk de vetfractie m v /m uit in ρ o, ρ p en ρ v. We volgen een hoeveelheid bloed met volume V, die door een star cilindrisch vat stroomt waarvan de straal plotseling verandert van R 1 naar R 2, zie onderstaande figuur. Voor de vernauwing is de druk gelijk aan p 1 en de snelheid gelijk aan v 1. Na de vernauwing is de druk gelijk aan p 2 en de snelheid gelijk aan v 2. We beschouwen veranderingen in een tijdsinterval t, vanaf het moment weergegeven in de linker figuur, tot het moment weergegeven in de rechter figuur. Het bloed is onsamendrukbaar en heeft een dichtheid ρ. We verwaarlozen de invloed van wrijving. R 1 R 2 p 1, v 1 p 2 V L 1 p V p 2, v 2 1 L 2 (e) Druk de snelheid v 2 uit in de snelheid v 1 en de stralen R 1 en R 2. (f) Druk de arbeid, die gedurende het interval t op het bloed wordt uitgeoefend, uit in p 1, p 2 en V. (g) Leid op grond van een arbeid- en energie-beschouwing een relatie af tussen de drukken p 1 en p 2 en de snelheden v 1 en v 2. 5

6 4 pnt 5. We beschouwen een cilindrisch stukje biologisch materiaal met diameter d en lengte l. Het materiaalgedrag wordt beschreven door de Young s modulus E en de Poisson constante ν, waarbij gegeven is dat ν =. Het materiaal wordt in lengterichting belast met een trekkracht T en krijgt daardoor een lengte l. (a) Toon aan dat de kracht T, die nodig is om de verlenging l = l l te realiseren, geschreven kan worden als T = k L en druk de constante k uit in E, l en d. We beschouwen nu een blokje van een ander biologisch materiaal. Het materiaal is onsamendrukbaar en heeft een glijdingsmodulus G. Aan het blokje, dat een massa m heeft, wordt aan boven- en onderzijde een plaatje met massa M gelijmd, waarbij geldt dat M >> m. Het geheel wordt aan het bovenste plaatje opgehangen in een statief. In deze toestand heeft het blokje afmetingen B, H en D, zoals in onderstaande figuur links is aangegeven. D M H m H M B u u(t) 1 pnt 4 pnt 7 pnt Het onderste plaatje wordt vervolgens over een afstand u naar rechts verplaatst, zie rechter figuur. De hoogte van het blokje is dan gelijk aan H. (b) Toon aan dat geldt H = H. (c) Toon aan dat de externe kracht F, die nodig is om de verplaatsing u te realiseren, geschreven kan worden als F = ku en druk de constante k uit in de eigenschappen van het blokje. Het onderste plaatje wordt nu op tijdstip t = s losgelaten en gaat een trilling uitvoeren die beschreven kan worden met de horizontale verplaatsing u(t). De zwaartekracht speelt bij deze horizontale beweging geen rol. (d) Gebruik de tweede wet van Newton om aan te tonen dat de beweging voldoet aan de trillingsvergelijking. (e) Toon aan dat de positie u(t) van het plaatje kan worden beschreven door: u(t) = A sin (ωt + ϕ) en bereken A, ϕ en ω. In veel biologische materialen treedt bij deformatie ook visceuze wrijving op. (f) Bespreek hoe de oplossing in onderdeel (e) hierdoor zal veranderen. 6

7 1. Antwoorden: (a) [C] = [V/p] = L 3 (MLT 2 /L 2 ) 1 = M 1 L 4 T 2, dus kg 1 m 4 s 2 is een correcte eenheid. (b) Er zijn 4 fysische grootheden (C, E, R, h) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er is dus volgens het Buckingham Π-theorema 4-3=1 dimensieloze groep die het probleem beschrijft. (c) Uit [C a E b R c L d ] = 1 volgt bij invullen van de dimensies: Dit geeft: 1 = (M 1 L 4 T 2 ) a (ML 1 T 2 ) b (L) c (L) d = M a+b T 2a 2b L 4a b+c+d = M L T a + b = 2a 2b = 4a b + c + d = Merk op dat hier slechts 2 onafhankelijke vergelijkingen staan. In de groep π 1 = R/h is gekozen voor a = ; b = ; c = 1 en d = 1. Deze set waarden voldoet aan bovenstaande vergelijkingen. (d) In groep π 2 is gesteld dat d =. Een mogelijke groep vinden we door de keuze a = 1 waarna volgt b = 1 en c = 3, waarna volgt: π 2 = CE R 3 (e) Herschrijf de gegeven relatie volgens: π = CEh R 4 = CE R 3 h R = π 2 π 1 (f) Voor de compliantie geldt C = V V p. De relatieve fout in C is gelijk aan de som van de relatieve fouten: C C = (V V ) V V + p p = 2ml + 2ml 2ml kP a 5kP a = 6%. We vinden daarmee C = (4. ± 2.4) ml/kpa = (4. ± 2.4) 1 9 m 3 Pa 1. (g) Uit E = π Ch R4 volgt voor de relatieve fout: E E = 4 R R + C C + h h. De absolute ( fout in E wordt daarmee E = E 4 R R + C C + h ) h 7

8 2. Antwoorden: N e 2 (a) Het vrije-lichaams-diagram: F w e 1 α (b) De tweede wet van Newton levert: F1 = mg sin α F w = ma 1 mg F2 = mg cos α + N = ma 2 = (c) Uit de tweede vergelijking volgt N = mg cos α. Er geldt ook F w = µ k N. De eerste vergelijking leidt dan tot mg sin α µ k mg cos α = ma 1, waaruit volgt a 1 = g(sin α µ k cos α). Voor de snelheid volgt dan: v(t) = v + τ a(τ)dτ = + a 1 t = g(sin α µ k cos α)t (d) De verplaatsing s(t) in de richting e 1 volgt uit: s(t) = s + τ v(τ)dτ = 1 2 a 1t 2 In B geldt s B = h/ sin α. Punt B wordt bereikt op tijdstip t B waarvoor geldt: t B = 2s B /a 1. De snelheid bedraagt dan: v B = v(t B ) = a 1 2s B /a 1 = 2s B a 1 = 2g h sin α (sin α µ k cos α) (e) Voor de snelheid geldt nu: v(t) = v + t (f) Voor de positie geldt: r(t) = r + t a(τ)dτ = v B cos α e x v B sin α e y gt e y v(τ)dτ = H e y + v B cos αt e x v B sin αt e y 1 2 gt2 e y. (g) Het tijdstip t C waarop de dakpan op de grond komt wordt bepaald door de voorwaarde y(t C ) =. Dus: H v B sin αt C 1 2 gt2 C = t C = v B sin α + vb 2 sin 2 α + 2gH g De afstand s OC tussen O en C bedraagt s OC = v B cos αt C. 8

9 3. Antwoorden: (a) Er zijn twee conservatieve krachten, de veerkracht en de gravitatiekracht. Voor de arbeid W v door de veer en W g door de gravitatiekracht geldt: W v = d ( ks) ds = 1 2 kd2 ; W g = d mg sin α ds = mgd sin α (b) De bal ligt stil in zowel punt A als punt B, dus K A = K B =. Dan geldt: W nc = W t + W w = E = U v + U g De arbeid, geleverd door de wrijvingskracht bedraagt W w = F w d. Ook geldt U v = W v en U v = W v. De arbeid, geleverd door de trekkracht bedraagt dus: W t = W v W g W w = 1 2 kd2 mgd sin α + F w d De arbeid door de trekkracht wordt dus omgezet in arbeid om de wrijving te overwinnen en de potentiële energie in de veer te vergroten. De gravitatie-kracht werkt met de externe kracht mee. (c) Er is geen trekkracht meer. Dus geldt: W nc = W w = E = U v + U g + K = W v W g + K De arbeid, geleverd door de wrijvingskracht bedraagt weer W v = F w d. De arbeid, geleverd door de veerkracht en de gravitatiekracht is tegengesteld aan de arbeid in onderdeel (a). De verandering in kinetische energie is gelijk aan K = 1 2 mv2 A. We vinden dus: 1 2 mv2 A = F w d mgd sin α kd2 ; v A = 2 F w m d 2gd sin α + m k d2 (d) Er zijn geen niet-conservatieve krachten dus geldt W nc = E = U + K =. Met U = mgl sin α en K = 1 2 mv2 C 1 2 mv2 A volgt: 1 2 mv2 C = 1 2 mv2 A mgl sin α ; v C = va 2 2gl sin α (e) Voor de hoeksnelheid ω geldt ω = v C /R. De waarden voor A en ϕ volgen uit de positie van de bal op t = t C : r(t C ) = A cos ϕ e 1 + A sin ϕ e 2 = R e 2 A = R ; ϕ = 3π/2 (f) Voor de snelheid v(t) en de versnelling a(t) geldt: v = d r dt = ωa sin(ω(t t C) + ϕ) e 1 + ωa cos(ω(t t C ) + ϕ) e 2 a = d v dt = ω2 A cos(ω(t t C ) + ϕ) e 1 ω 2 A sin(ω(t t C ) + ϕ) e 2 = ω 2 r(t) (g) De versnelling wordt veroorzaakt door de normaalkracht, die de rand C-D uitoefent op de bal. De arbeid, geleverd door deze kracht, is gelijk aan nul, aangezien kracht en verplaatsing loodrecht op elkaar staan. 9

10 4. Antwoorden: (a) In het vrije-lichaamsdiagram werken op de persoon de spankracht T en de opwaartse kracht F o naar boven en de gravitatiekracht F g naar beneden. (b) De tweede wet van Newton levert: ΣF = T + F o F g = Met F g = G en F o = V p ρ w g volgt: T + V p ρ w g G = V p = G T ρ w g (c) Er geldt G = mg = ρ p V p g en dus ρ p = G/(V p g). (d) Er geldt V p = V v + V o en m p = m v + m o en m p = ρ p V p, m v = ρ v V v, m o = ρ o V o. Voor de vetfractie volgt dan: ρ p V p = ρ v V v + ρ o V o = ρ v V v + ρ o (V p V v ) = (ρ v ρ o )V v + ρ o V p (ρ v ρ o )V v = (ρ p ρ o )V p V v V p = ρ v ρ o ρ p ρ o ; m v m p = ρ vv v ρ p V p = ρ v ρ p ρ v ρ o ρ p ρ o (e) Massabehoud levert: q 1 = q 2 v 1 πr 2 1 = v 1 πr 2 1 v 2 = v 1 R 2 1 R 2 2 (f) De kracht t.g.v. de druk p 1 levert een arbeid W 1 = p 1 πr 2 1L 1. De kracht t.g.v. de druk p 2 levert een arbeid W 2 = p 2 πr 2 2L 2. De netto arbeid is dus gelijk aan: W = W 1 + W 2 = p 1 πr 2 1L 1 p 2 πr 2 2L 2 = (p 1 p 2 )V (g) Er geldt W nc = U + K met in dit geval U = en K = 1 2 mv mv2 1. Combineren met het antwoord in (f) levert: W = (p 1 p 2 )V = 1 2 ρv (v2 2 v 2 1) p ρv2 1 = p ρv2 2 1

11 5. Antwoorden: (a) De rek in lengterichting bedraagt ϵ = l/l. Voor de spanning geldt σ = T/A = T/(πd 2 ). Er geldt d = d, aangezien ν =. Hiermee vinden we: σ = Eϵ T πd 2 = E l l T = k l met k = πed2 l (b) Op grond van volume-behoud moet gelden H = H. (c) Evenwicht van krachten in horizontale richting levert F = F s, waarin F s de schuifkracht is op de bovenkant van het plaatje. Er geldt: F = F s = τ s BD = GγBD = GBD u H F = ku met k = G BD H (d) De kracht op het plaatje is tegengesteld gericht aan de uitwijking u. De tweede wet van Newton levert dan: ΣF = ku = m d2 u dt 2 d2 u dt 2 + k m u = Vergelijking met de algemene trillingsvergelijking levert ω = k/m. (e) Bereken de tweede afgeleide van u(t) en substitueer die in de algemene trillingsvergelijking: d 2 u dt 2 = Aω2 sin(ωt + ϕ) d2 u dt 2 + k ( m u = ω 2 + k ) A sin(ωt + ϕ) = m De oplossing voldoet als ω = k/m en als voldaan is aan de beginvoorwaarden u() = u en v() =. Dit levert A = u en ϕ = π/2. (f) Door het visceuze gedrag zal de beweging gedempt worden. De oplossing voor u(t) zal dan veranderen in: u(t) = Ae bt sin(ω d t + ϕ) De amplitude neemt af volgens de term e bt en de hoekfrequentie ω d zal lager zijn dan de frequentie ω van de ongedempte trilling. 11