TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad /5 woensdag 23 januari 2008, uur Het tentamen levert maximaal 40 punten op. De verdeling is bij de vragen aangegeven.. Beantwoord de volgende vragen en geef hierbij ook een argumentatie. (a) Een cilindrisch bloedvat met lengte l en wanddikte h heeft een inwendige straal a en is vertikaal opgehangen (zie figuur). Het vat wordt door middel van een vertikale kracht F verlengd tot een lengte l + l. De inwendige straal a en de wanddikte h veranderen hierdoor niet: we verwaarlozen de invloed van dwarscontractie. We willen met behulp van deze gegevens de elasticiteitsmodulus E bepalen. Iemand bedenkt dat de fysische grootheden die een rol spelen worden gegeven door: ) de verlenging l gegeven in m 2) de oorspronkelijke lengte l gegeven in m 3) de straal a gegeven in m 4) de wanddikte h gegeven in m 5) de kracht F gegeven in N 6) de elasticiteitsmodulus E gegeven in Pa Hoeveel dimensieloze groepen beschrijven dit probleem bij deze keuze en waarom? l l + l a a + h ( N = kg m s 2, Pa = kg m s 2 ) (b) In het bovenstaande probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloze verband tussen de grootheden: Π( l, l, a, h, F, E) = 0. Laat zien dat in dat geval: l l, a h en F ahe F

2 drie mogelijke dimensieloze groepen zijn en dat dus geldt: ( l Π l, a ) h, F = 0. ahe (c) Laat zien dat, onder de aanname dat het bloedvat linear elastisch is, de relatieve verlenging wordt gegeven door: l l = π 2 + h/a F ahe, en dus voldoet aan het verband uit vraag (b). (d) Een deeltje dat zich op t = 0 op positie r 0 bevindt beweegt met een snelheid v(t) als functie van de tijd volgens: v(t) = v 0 e ( t/τ) e x + v (t/τ) 2 e y. Geef de dimensies van v 0, v en τ. (e) Op tijdstip t = τ heeft het deeltje van bovenstaande vraag een snelheid ter grootte 2v0. Wat is dan het verband tussen v 0 en v? (f) Geef voor het bovenstaande snelheidsveld (opgave (d)) uitdrukkingen voor de versnelling a(t) en de positie r(t). (g) Een waterval heeft een hoogte h. Het water met dichtheid ρ valt als gevolg van de zwaartekracht (versnelling g) wrijvingsloos naar beneden. Met welke snelheid komt het water beneden aan? (h) Onder aan de waterval wordt per tijdseenheid een hoeveelheid q 0 (m 3 /s) opgevangen en omgezet in electrische energie. Wat is het maximale vermogen dat deze electriciteitscentrale kan leveren? Druk het antwoord uit in de gegeven grootheden. (i) Een massaloze veer met veerconstante k hangt vertikaal. De zwaartekracht bedraagt g. Er wordt een object met massa m aan de veer gehangen waardoor de lengte van de veer verandert van l 0 naar l. Geef de verlenging l l 0 van de veer uitgedrukt in de gegeven grootheden. 2

3 2. We willen de viscositeit η van een lichaamsvloeistof meten en beschouwen daartoe de beweging van een slinger die wordt gedempt door de wrijving die een kogeltje met massa m straal R aan een draad L ondervindt. De wrijving die de draad zelf ondervindt is verwaarloosbaar. Het kogeltje wordt hiertoe vanuit een kleine beginuitwijking θ 0 losgelaten (zie ook de figuur). De wet van Stokes geeft de relatie tussen de wrijvingskracht en de snelheid die het kogeltje ondervindt en luidt: F w = 6πηR v. η g θ L s m (a) Geef de grootte en richting van de krachten die op het kogeltje werken uitgedrukt in de gegeven grootheden. (b) Laat zien dat uit de tweede wet van Newton volgt dat: m d2 s dt = 6πηRds mg sin θ 2 dt met s = θl de afstand van het kogeltje tot het evenwichtspunt. (c) Laat zien dat voor kleine uitwijkingen (sinθ θ) volgt dat: d 2 θ dt + 2κdθ 2 dt + g 3πηR θ = 0 met κ = L m. (d) Substitueer θ = ˆθe iωt en laat zien dat onder de voorwaarde dat g/l > κ 2 de amplitude van de uitwijking wordt gegeven door: θ max (t) = θ 0 e κt. (e) Geef aan hoe de viscositeit kan worden bepaald uit de tijd t /2 die nodig is om de amplitude van de trilling te laten halveren. 3

4 3. We beschouwen het wrijvingsloos leeglopen van een cilindervormig reservoir met diameter D en hoogte L r door een afvoerbuis met diameter d en lengte L a. We zijn geïnteresseerd in de snelheid van leeglopen als functie van de lengte van de afvoerbuis. A = 4 πd2 p a h L r L a p a A 2 = 4 πd2 v 2 De begin-hoogte h(0) bedraagt h 0 = L a + L r. De dichtheid van de vloeistof bedraagt ρ, de druk buiten het reservoir is overal en altijd p a. De stroming is wrijvingsloos en stationair (quasi statisch) zodat we de wet van Bernoulli mogen toepassen. Het oppervlak A daalt met snelheid v. Het uitstroomoppervlak van de afvoerbuis is A 2, de uitstroomsnelheid bedraagt v 2. (a) Laat met behulp van de wet van behoud van massa zien dat: v = A 2 A v 2. (b) Toon aan dat geldt: v 2 (t) = α 2gh(t) met α =. A 2 2/A 2 (c) Laat met behulp van v dh/dt zien dat de hoogte h(t) kan worden bepaald uit: dh = βdt met β = α A 2 2g. h (d) Los bovenstaande vergelijking op en toon aan dat de hoogte h(t) wordt gegeven door: h(t) = h 0 β h 0 t + 4 β2 t 2. (e) Geef een uitdrukking voor de tijd waarop het reservoir leeg is (de afvoerbuis wordt niet tot het reservoir gerekend). A 4

5 4. Een kogel met massa m is via twee draden bevestigd aan een roterende staaf (zie figuur). De draden hebben elk een lengte b en zijn op afstand b van elkaar aan de staaf verbonden. De staaf en de massa draaien met een hoeksnelheid ω. Op t = 0 bevindt de massa zich uiterst rechts (θ = 0). De zwaartekrachtsversnelling bedraagt g en werkt in negatieve z-richting. Tijdens de rotatie is de hoeksnelheid ω zo groot dat beide draden strak gespannen zijn. g ω b/2 e z O e y e x θ b m b/2 b (a) Laat zien dat geldt: r(t) = R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e y met R = 2 3b 3 pnt 4 pnt en geef tevens uitdrukkingen voor de snelheid v(t) en de versnelling a(t). (b) Maak een duidelijke schets van de krachten die op de massa werken. (c) Laat met behulp van de tweede wet van Newton zien dat voor de spankrachten T b en T o in de bovenste respectivelijk onderste draad geldt: T b = 2 mω2 b + mg en T o = 2 mω2 b mg. (d) Bij welke hoekfrequentie zal de onderste draad niet meer gespannen blijven en hoe groot bedraagt dan de spankracht in de bovenste draad? 5

6 . Antwoorden: TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Antwoorden by het tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) woensdag 23 januari 2008, uur (a) Er zijn 6 fysische grootheden ( l, l, a, h, F, E) en 3 basisdimensies (L, M, T). Er zijn dus 3=6-3 dimensieloze groepen die het probleem beschrijven. (b) Uit volgt: ofwel: [ l α l l α l a αa h α h F α F E α E ] = [] L α l L α l L αa L α h M α F L α F T 2α F M α E L α E T 2α E = L 0 M 0 T 0 L α L+α l +α a+α h +α F α E M α F +α E T 2α F 2α E = L 0 M 0 T 0. Hieruit volgt: α F = α E en α l + α l + α a + α h + α F α E = 0. Keuze van α a = α h = α E = 0 en α l = geeft α l = en dus Π = l/l. Keuze van α l = l = α E = 0 en α a = geeft α h = en dus Π 2 = a/h. Keuze van α l = l = 0 en α a = α E = geeft α h = en dus Π 3 = Eah/F. (c) Uit σ = F/A en ɛ = σ/e volgt: Dus: l l Π = = σ E = F (πa 2 + 2πah + πh 2 πa 2 )E = ππ 3 (2 + /Π 2 ). F/ah π(2 + h/a)e. (d) De uitdrukking t/τ laat zien dat [t/τ] =. Hieruit volgt dat [τ] = T. Dan volgt automatisch, omdat de dimensies links en rechts van het =-teken gelijk moeten zijn, dat [v 0 ] = [v ] = [ v] = LT. (e) Voor t = τ geldt: v = v 0 e x + v e y. Uit v = 2v 0 volgt dan:. v v 2 = 2v 2 0 v = ±v 0 6

7 (f) De versnelling wordt gegeven door: a(t) = d v dt = v 0 τ e t/τ e x + v 2t τ 2 e y. De positie volgt uit integreren van het snelheidsveld: Ofwel: r = r 0 + t 0 vdt = r 0 v 0 τe t/τ t 0 e x + v t 3 r = r 0 + v 0 τ( e t/τ ) e x + v t 3 3τ e 2 y. 3τ 2 t 0 e y. (g) Uit K + U = 0 volgt 2 mv2 = mgh v = 2gh. (h) De massa die per tijdspanne t wordt opgevangen bedraagt m = ρq 0 t. De verrichte arbeid is dan: W = ρq 0 gh t. Hieruit volgt voor het vermogen van de centrale: P = W t = ρq 0 gh. (i) Uit de tweede wet van Newton volgt: 2. Antwoorden: ΣF = 0 F v + F z = kx mg = 0 l l 0 = mg k. (a) De zwaartekracht F z = mg e z, de spankracht in de draad F s = mg cosθ in de richting van de draad en de wrijvingskracht F w = 6πηRv in tegengestelde richting van v. (b) Uit de tweede wet van Newton in de richting van s volgt: ΣF = ma mg sin θ 6πηR ds dt = md2 s dt 2. (c) Substitutie van s = θl en sin θ = θ geeft na enig rekenen het gevraagde. d 2 θ dt 2 + 2κdθ dt + g L θ = 0. (d) Substitutie van θ = ˆθe iωt geeft: Dit geeft: ω 2ˆθe iωt + 2iωκˆθe iωt + g L ˆθe iωt = 0 ω 2 2iωκ g/l = 0. ω = 2iκ ± 4κ 2 + 4g/L = iκ ± g/l κ

8 Voor ω0 2 = g/l > κ 2 en ωd 2 = ω0 2 κ 2 geeft dit: θ = ˆθe iωt = ˆθe iκ e ±iωdt. Dit is een trilling met amplitude: θ max = θ 0 e κt. (e) De amplitude is gehalveerd als: θ max = θ 0 e κt /2 = θ 2 0 κt /2 = ln( ) t 2 /2 = ln(2) κ Dan geldt: κ = ln(2) t /2 η = m ln(2) 3πRt / Antwoorden: (a) Uit de wet van behoud van massa volgt A v = A 2 v 2 en hieruit v = (A 2 /A )v 2. (b) De wet van Bernoulli geeft: p a + ρgh(t) + 2 ρv2 = p a + ρg0 + 2 ρv2 2 en dus na delen door 2 ρ: v 2 = 2gh + v2 2 ( A 2 ) 2 v2 2 A v2 2 = 2gh. Dit geeft met α = / A 2 2/A 2 het gevraagde v 2 (t) = α 2gh(t). (c) Uit de definite dh/dt = v volgt samen met v = (A 2 /A )v 2 en v 2 = α 2gh: dh dt = A 2 α 2gh A dh = α A 2 2gdt. h Dit is met β = α(a 2 /A ) 2g identiek aan het gevraagde. (d) Integreren van bovenstaande vergelijking geeft: h h h 0 2dh = β t Dit geeft na kwadrateren: h(t) = h 0 β h 0 t + 4 βt2. (e) Voor h = L a geldt: L a = h 0 βt. 2 0 A dt 2h 2 h h 0 = βt voor de tijd t geldt dan: t = 2β( h 0 L a ) = 2β( L a + L r L a ). h = h 0 2 βt. 8

9 4. Antwoorden: (a) Als beide draden gespannen zijn zal de massa een cirkelbeweging maken met een radius R die volgt uit pythagoras: b 2 = R 2 + ( 2 b)2 R 2 = 3 4 b2 R = 2 3b. Vanweg θ = 0 voor t = 0 wordt de positie wordt dan gegeven door: r(t) = R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e y. De snelheid en de versnelling volgen dan uit differentieren naar t: v(t) = ωr sin(ωt) e x + ωr cos(ωt) e y. a(t) = ω 2 r(t). (b) De krachten in de draden maken een hoek van π/6 met het horizontale vlak. 6 > 6 C (c) De tweede wet van Newton levert in radiële en verticale richting: 3 Tb 3 To = mω 2 R T b 2 T o mg = 0 Hieruit volgt dat: en analoog: T b = (2/ 3)(/2)mω 2 R + mg = 2 mω2 b + mg T o = (2/ 3)(/2)mω 2 R mg = 2 mω2 b mg (d) De draad gaat slap hangen op het moment dat 2g 2 mω2 b = mg ω = ± b Dan is de spankracht in de bovenste draad bedraagt dan: 2 m2g b b + mg = 2mg. 9