Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries)"

Josephus Willems
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries) Een niet-grafische rekenmachine mag gebruikt worden. Een formuleblad vindt u achterin. Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 5, gedeeld door Kort-antwoordvraag: alleen de antwoorden worden nagekeken. a) 2p Geef de vergelijking van de bol met middelpunt (-2,1,5) en straal 7. Antwoord b) 2p Schrijf ( 5 cos(7t) + 5 sin(7t)) in de vorm R cos(ωt α), met R > 0 en ω > 0. 5 cos(7t) + 5 sin(7t) = c) 2p Een driehoek heeft de hoekpunten A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) en C(3, 2, 1). Bereken de oppervlakte van de driehoek. d) 3p Voor de functie y(t) geldt: dy dt = 1 (y 3)(y 5), met y(0) = 0. 3 Benader de waarde van y(0.5) en y(1) met de methode van Euler. Gebruik als stapgrootte h = 1 2 en neem t 0 = 0, t 1 = 1 2 en t 2 = 1. Noem y(0) = y 0, en de benaderingen van y(t 1 ) en y(t 2 ) respectievelijk y 1 en y 2. y 1 = y 2 =

2 Opgaven 2 en verder zijn open vragen. Daarbij moet u juist duidelijk laten zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. 5p 2. Bepaal de algemene (reële) oplossing van de volgende differentiaalvergelijking voor u(t): d 2 u + 10 du + 28u = 244 cos(2t) dt 2 dt

3 4p 3. β is een positieve contante. Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking voor y(t) (met t 0): (a) dy dt = 3 ( y 400β ). (1) 100 Bepaal de algemene oplossing y(t) van (1) met de methode van scheiding van variabelen. 4p (b) Bepaal dezelfde algemene oplossing y(t) van (1), maar nu met behulp van een integrerende factor.

4 3p 4. Er is gespaard om Nora s studie van te betalen. Nora zet het geld op een bankrekening waarop ze continu 3% rente krijgt. (Continue rente wordt continu bijgeschreven en niet maar een keer per jaar. Je krijgt dus ook binnen het jaar rente-op-rente.) Nora wil uitrekenen of ze nog geld bij moet lenen. Ze rekent daarom uit hoeveel geld ze maandelijks maximaal van de rekening kan halen, zodat het saldo na 5 jaar precies op is. Noem S(t) het saldo op de rekening, met t gerekend in (studie)jaren. Nora neemt het geld in kleine beetjes tegelijk op. Neem daarom aan dat het geld ook continu wordt opgenomen, met een totaal van (een vaste) Q euro per maand. Stel de differentiaalvergelijking op voor S(t). Laat zien dat dat vergelijking (1) is uit opgave 3. Wat is β? Reken met behulp van de algemene oplossing van opgave 3 uit hoeveel Q is. Hoeveel rente zal Nora aan het eind van de 5 jaar totaal hebben ontvangen?

5 3p 5. (a) Voor de functie y(t) is het volgende beginwaardeprobleem gegeven: dy dt = 1 (y 3)(y 5), met y(0) = 0. 3 Bereken de exacte oplossing y(t) en schrijf die expliciet als een functie van t. 3p (b) De vergelijking van vlak V is: 2x + 3y + z = 5. x 1 1 Lijn l heeft als parametervoorstelling: x = y = 0 + λ 1. z 0 1 De hoek α is de hoek tussen de normaalvector van vlak V en lijn l. Bereken α. Hoek ϕ is de hoek tussen vlak V zelf en lijn l. (Anders gezegd: Alle vectoren in V hebben een hoek met lijn l. Van al deze hoeken is ϕ de kleinste.) Bereken ϕ.

6 6. f(x) = x. 3p (a) Bepaal het tweede-orde Taylorpolynoom, P 2 (x), van f(x) rond a = 100. De exacte waarde van 110 (in zeven decimalen) is Benader deze waarde door P 2 (110). 110 = 10, P2 (110) = 3p (b) De restterm R 2 (x) is gedefinieerd door: f(x) = P 2 (x) + R 2 (x). Schat met een uitdrukking voor R 2 (110) de maximale grootte af van de fout die u maakt bij de benadering van 110 door P 2 (110).

7 2p 7. Bepaal of de volgende reeksen convergent zijn of niet. ( ) n 49 (a) 50 n=0 2p (b) n=0 1 3n + 6 4p (c) n=0 arctan(n) 1 + n 2

8 FORMULEBLAD Calculus MST sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y sin 2x = 2 sin x cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y cos 2x = cos 2 x sin 2 x = 1 2 sin 2 x = 2 cos 2 x 1 cosh x = 1 2 (ex + e x ), sinh x = 1 2 (ex e x ) Standaard Taylorontwikkelingen: e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + O(x 4 ) sin x = x x3 3! + x5 5! + O(x 7 ) cos x = 1 x2 2! + x4 4! + O(x 6 ) ln(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + O(x4 ), x ( 1, 1] (1 + x) a = 1 + ax + a(a 1) 2! x 2 + a(a 1)(a 2) 3! x 3 + O(x 4 ), a IR, x ( 1, 1) arctan x = x x3 3 + x5 5 + O(x7 ) Integraaltabel: x a dx = 1 a+1 xa+1 + C (a IR\{ 1}) 1 dx = ln x + C x a x dx = e x ln a dx = 1 ln a ax + C (a IR + \{1}) sin x dx = cos x + C cos x dx = sin x + C 1 cos 2 x dx = tan x + C 1 dx = arctan x + C 1+x 2 1 dx = 1 1+x ln 1 x x 1 1 x 2 dx = arcsin x + C + C 1 dx = ln(x + x x 2 + 1) + C dx = ln x + x x C x2 dx = 1x 1 + x ln(x x 2 2 ) + C 1 x2 dx = 1 2 x 1 x arcsin x + C π 2 0 sinn x dx = π 2 0 cosn x dx = { n 1 n 3 n 5 n n 2 n 1 n 3 n 5 n n 2 3 n 4 4 n 4 5 π, voor n = 2, 4, 6,. 2, voor n = 3, 5, 7,

9 Proeftoets 3 Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y dinsdag 31 oktober 2017 Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Matliematics Naam: Groep (omcirkel): (Leids) studentnummer: A (Keijzer) / B (Kooij) / C (Weber) / D (van den Dries) Een niet-grafische rekenmachine mag gebruikt worden. Een formuleblad vindt u achterin. Het cijfer is de som van het aantal behaalde punten plus 5, gedeeld door Kort-antwoordvraag: alleen de antwoorden worden nagekeken. a) 2p Geef de vergelijking van de bol met middelpunt (-2,1,5) en straal \fï. Antwoord b) 2p Schrijf (-5 cos(7t) + 5 sin(7t)) in de vorm Rcos{Lut a), met i? > 0 en o; > 0. -5cos(7t) -F 5sin(7t) = c) 2p Een driehoek heeft de hoekpunten yl(l,l,l), 5(2,-2,2) en C(3,2,l). Bereken de oppervlakte van de driehoek. d) 3p Voor de functie y{t) geldt: = ^(2/-3)(y-5), mety(0) = 0. z Benader de waarde van y(0.5) en y(l) met de methode van Euler. Gebruik als stapgrootte /i = en neem to = 0, ti = en ^2 = 1- Noem y(0) = yo, cn de benaderingen van y(ti) en y{t2) respectievelijk yi en 2/2-1/2 = ^6" 2V

10 Opgaven 2 en verder zijn open vragen. Daarbij moet u juist duidelijlc laten zien hoe u aan de antwoorden gekomen bent. 2. Bepaal de algemene (reële) oplossing van de volgende differentiaalvergelijking voor u{ty. G?^ xt du u = 244cos(2t) (JJC (JJL (f)hté-kjyrm: -if/i -Zo/I ^Z^^ /li

11 3. (5 is een positieve contante. Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking voor y[t) (met t > 0): 4p (a) Bepaal de algemene oplossing y{t) van (1) met de methode van scheiding van variabelen. I ^ 9oö/^ -^ c e

12 Er is gespaard om Nora's studie van tc Ijctalcu. Nora zet liet geld op eea bankrekening waarop ze continu 3% rente krijgt. (Continue rente wordt "continu" bijgesclircveii en niel. maar een keer per jaar. Je krijgt dus ook binnen het jaar rente-op-rente.) Nora wil uitrekenen of ze nog geld bij moet lenen. Zc rekent daarom uit hoeveel geld ze maandelijks maximaal van de rekening kan halen, zodat het saldo na 5 jaar precies op is. Noem S{t) het saldo op de rekening, met t gerekend in (studic);/o're7;. Nora neemt het geld in kleine beetjes tegelijk op. Neem daarom aan dat het geld ook 'continu' wordt opgenomen, met ecu totaal van (een vaste) Q euro per maand. Stel de differentiaalvergelijking op voor S{t). Laat zien dat dat vergelijking (2) is uit opgave 4. Wat is,0? obt I Reken met behulp van de algemene oplossing van opgave 4 uit hoeveel Q is. ^CS") =. i/oo Q, + t^oiys'd -yoo<3j & = O Hoeveel rente zal Nora aan het eind van de 5 jaar totaal hebljen ontvangen?

13 3p 5. (a) Voor de functie y{t) is liet volgende beginwaardeprobleem gegeven: met y(0) = 0. i Bereken de exacte oplossing y{t) en schrijf die expliciet als een functie van t. < ev^^-9y _.^/^> z^;^, 3p (b) De vergelijking van vlak is: 2x - - 3y + 2 = 5. a; 1 1 X = y = 0 + A 1 z 0 1 De hoek a is de hoek tussen de normaalvector van vlak V en lijn /. Bereken a. Hoek is de hoek tussen vlak V zelf cn lijn /. (Anders gezegd: Alle vectoren in V hebben een hoek met liju /. Van al deze hoeken is ip de kleinste.) Bereken ip. 1/

14 6. f{x) - V^- 3n (a) Bepaal het tweede-orde Taylorpolj'iioom, P'zix), van f{x) rond a = 100. De exacte waarde van \/llo (in zeven decimalen) is V^HO = 10, Benader deze waarde door ^2(110). ^ «^2(110) = /o 3p (b) De restterm R^ioc) is gedefinieerd door: j{x) = Pïix) + R2{x). Schat met een uitdrukking voor i?2(110) de maximale grootte af van de fout die u maakt bij de benadering van \/TW door P2(110). ' ^' I ^^^^ é I" /é> i^iji ^ //O > I I (é /OÖOOÖ = -7 Lonookr /OöOOO

15 7. Bepaal of cle volgende reeksen convergent zijn of niet. 5^ cc7\oimtr&

Vergelijkbare documenten

Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 uur

Toets 4 Calculus 1 voor MST, 4501CALC1Y woensdag 2 november 2016; 13:30-15:30 uur Technische Universiteit Delft, Delft Institute of Applied Mathematics Naam: Volgt de lessen bij: (Leids) studentnummer: