Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.

Transcriptie

1 De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied. (b) Bepaal een expliciete uitdrukking voor de term t n van de gegeven numerieke rij. (c) Onder welke voorwaarde is + t n een convergente reeks? Bepaal in dit geval haar reekssom. (d) Onder welke voorwaarde(n) kan F geschreven worden als één negatieve machtreeks in termen van z? Bepaal deze negatieve machtreeks en haar convergentiegebied. (e) Stel t 0 = 0. Bepaal een causaal laplace-origineel f van F en bepaal tevens het corresponderende convergentiegebied. Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van de twee volgende getallen uit deze rij. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied. (b) Bepaal een expliciete uitdrukking voor de term t n van de gegeven numerieke rij. (c) Onder welke voorwaarde(n) kan F geschreven worden als één negatieve machtreeks in termen van z? Bepaal deze negatieve machtreeks en haar convergentiegebied. (d) Stel t 0 = 0. Bepaal een causaal laplace-origineel f van F en bepaal tevens het corresponderende convergentiegebied. (e) Onder welke voorwaarde(n) kan F geschreven worden als één positieve machtreeks in termen van z? Bepaal deze positieve machtreeks en haar convergentiegebied. Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. Gegeven: ( ) n+ (n + )x n Γ(n) (a) Onderzoek de betrekkelijke, absolute en uniforme puntsgewijze convergentie van de gegeven functiereeks voor x R.

2 (b) Bepaal (door termsgewijze afleiding of primitivering) de reekssomfunctie. (c) Toon aan dat n=0 2 n (n + 2)! (n + )!n! convergent is en bepaal, steunend op (a) en (b), de reekssom van deze numerieke reeks. Gegeven: n=0 ( ) n+ (n + )x n+3 Γ(n + 4) (a) Onderzoek de betrekkelijke, absolute en uniforme puntsgewijze convergentie van de gegeven functiereeks voor x R. (b) Bepaal (door termsgewijze afleiding of primitivering) de reekssomfunctie. (c) Toon aan dat n=0 (n + )! (n + 3)!n! convergent is en bepaal, steunend op (a) en (b), de reekssom van deze numerieke reeks. Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke puntsgewijze convergentie van de reeks ( ) n n tan (3x) met x ] π 2, π [ 2 (op 5pt) Bepaal de intervallen van absolute en betrekkelijke puntsgewijze convergentie van de reeks ( ) n n cot (3x) met x ]0,π[ (a) Gegeven is een functie f die voldoet aan de volgende voorwaarden: f is causaal f is continu in ],a[ [a, + [ f is continu in ], 0[ ]0,a[ ]a, + [ lim t + f(t) = 0 f is fouriertransformeerbaar met beeld F(ω)

3 Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van f en stel een formule op die het fourierbeeld van f uitdrukt met behulp van F. (b) Gegeven: f(t) = Y (t )e t met t R. Bepaal de waarde van a en ga na dat deze functie voldoet aan alle voorwaarden uit (a). (c) Beschouw opnieuw de gegeven functie f uit (b). Bepaal - steunend op (a) - het fourierbeeld van f. Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. (a) Gegeven is een functie f die voldoet aan de volgende voorwaarden: f is causaal f is continu in ],a[ [a, + [ f is continu in ], 0[ ]0,a[ ]a, + [ lim t + f(t) = 0 f is fouriertransformeerbaar met beeld F(ω) en stel een formule op die het fourier- Onderzoek de fouriertransformeerbaarheid van f beeld van f uitdrukt met behulp van F. (b) Gegeven: f(t) = Y (t 2) met t R. Bepaal de waarde van a en ga na dat deze functie e t 2 voldoet aan alle voorwaarden uit (a). (c) Beschouw opnieuw de gegeven functie f uit (b). Bepaal - steunend op (a) - het fourierbeeld van f. Doe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle. Vraag 2 (op 8pt) Waar of vals? Motiveer steeds uw antwoord aan de hand van een redenering, berekening of tegenvoorbeeld, eventueel verduidelijkt door een figuur.. (pt) Als lim x x0 f(x) = en lim x x0 g(x) = +, dan is lim x x0 f(x).g(x) =. 2. (pt) Als de functies f en g afleidbaar zijn in c, dan is fg afleidbaar in c en er geldt D[fg](c) = D[f](c)g(c) + f(c)dg(c) 3. (pt) Als de functie f primitiveerbaar is op ]a,b[ dan bestaat b f(x)dx, eventueel als a uitgebreide Riemannintegraal. 4. (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) = x 2 2 x2 4y, y(0) =

4 5. (pt) Zij f reëelwaardig en Fouriertransformeerbaar, dan geldt er dat F[f(t)]( ω) = F[f](ω) 6. (pt) Als u n een rij is van positieve getallen die naar 0 convergeert, dan convergeert de reeks + ( )n u n. 7. (.5pt) Zij f(x) stuksgewijze glad en periodiek met periode 2L, dan voldoen de complexe fouriercoëfficiënten c k van f aan L f(x) 2 dx = 2L L k= c k 2. (pt) Als lim x x0 f(x) = en lim x x0 g(x) =, dan is lim x x0 f(x).g(x) =. 2. (pt) Als de functie f afleidbaar is in c, dan is f 2 afleidbaar in c en er geldt D[f 2 ](c) = 2D[f](c)f(c) 3. (pt) Als de functie f primitiveerbaar is op ]a, b[ dan bestaat de gewone Riemannintegraal b a f(x)dx. 4. (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) = x x2 4y, y(0) = 5. (pt) Zij f reëelwaardig en Fouriertransformeerbaar, dan geldt er dat F[f]( ω) = F[f(t)](ω) 6. (pt) Als u n een rij is van negatieve getallen die naar 0 convergeert, dan convergeert de reeks + ( )n u n. 7. (.5pt) Zij f(x) reëelwaardig, stuksgewijze glad en periodiek met periode 2L, dan voldoen de reële fouriercoëfficiënten a k en b k van f aan L f(x) 2 dx = a2 0 2L L 4 + (a 2 k + b 2 2 k) k=. (pt) Als lim x c f(x) = L, dan is lim x c f 2 (x) = L (pt) De functie x 2 sin( ) is continu afleidbaar in x = 0. x 3. (pt) De Wronskiaanse determinant van twee oplossingen van de differentiaalvergelijking y x 2 y + y = 0 is oplossing van een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking.

5 4. (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) + xy (x) 2 = 0, y() = 0, y () = 2 5. (pt) De differentiaalvergelijking x 2 y + 3xy 5y = 0, x ], 0[, kan door een geschikte substitutie worden omgevormd tot een differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. 6. (pt) De functie cosh(t)y (t) is Laplacetransformeerbaar voor Re(z) >. 7. (.5pt) Zij f een functie die gedefinieerd is en stuksgewijze glad op het interval [ L,L] en daarbuiten periodiek wordt voortgezet. Als f even is en bovendien de rechte x = L 2 als symmetrie-as van haar grafiek bezit, dan is f ontwikkelbaar in een fourierreeks waarin enkel termen van de vorm cos( 2kπx ) optreden, k = 0,, 2,... L. (pt) Als lim x c f(x) = L en lim x c g(x) = M, dan is lim x c f(x)g(x) = LM. 2. (pt) De functie x sin( ) is continu afleidbaar in x = 0. x 3. (pt) De Wronskiaanse determinant van twee oplossingen van de differentiaalvergelijking y + xy + y = 0 is oplossing van een lineaire eerste orde differentiaalvergelijking. 4. (.5pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) xy (x) 2 = 0, y() = 0, y () = 2 5. (pt) De differentiaalvergelijking x 2 y + 5xy 3y = 0, x ], 0[, kan door een geschikte substitutie worden omgevormd tot een differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten. 6. (pt) De functie sinh(t)y (t) is Laplacetransformeerbaar voor Re(z) >. 7. (.5pt) Zij f een functie die gedefinieerd is en stuksgewijze glad op het interval [ L,L] en daarbuiten periodiek wordt voortgezet. Als f even is en bovendien het punt ( L, 0) als 2 punt van symmetrie van haar grafiek bezit, dan is f ontwikkelbaar in een fourierreeks waarin enkel termen van de vorm cos( (2k+)πx ) optreden, k = 0,, 2,... L. (pt) Als f(x) < g(x) voor alle x in een gepunte omgeving van c, dan is lim x c 2. (pt) Het beginvoorwaardenprobleem heeft een unieke oplossing in ],x [. f(x) < lim x c g(x) y = y 4, y(x 0 ) =

6 3. (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee oplossingen van de differentiaalvergelijking y 3x 2 y + y = 0 kan worden geschreven onder de vorm C exp(x 3 ). 4. (.5pt) De functie sin(x) x is absoluut Riemannintegreerbaar over R. 5. (pt) Zij f en f continue functies in [0, + [ en f stuksgewijze continu in elk begrensd interval; onderstel verder dat f, f en f laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt er in het beschouwde halfvlak dat L[f (t)](z) = z 2 L[f(t)](z) zf(0+) f (0+) 6. (pt) Als de functie f Fouriertransformeerbaar, reëelwaardig en oneven is, dan is haar Fourierbeeld F(ω) zuiver imaginair en oneven. 7. (pt) Als vanaf zekere rang n N geldt dat a n n r < dan is de reeks absoluut convergent. a n. (pt) Als f(x) > g(x) voor alle x in een gepunte omgeving van c, dan is lim x c 2. (pt) Het beginvoorwaardenprobleem heeft een unieke oplossing in ]x 0 3, + [. f(x) > lim x c g(x) y = y 4, y(x 0 ) = 3. (.5pt) De Wronskiaanse determinant van twee oplossingen van de differentiaalvergelijking y + 2xy + y = 0 kan worden geschreven als C exp( x 2 ). 4. (.5pt) De functie sin(x) x is Riemannintegreerbaar over R. 5. (pt) Zij f en f continue functies in R en f stuksgewijze continu in elk begrensd interval; onderstel verder dat f, f en f laplacetransformeerbaar zijn voor Re(z) > γ. Dan geldt er in het beschouwde halfvlak dat L[f (t)](z) = z 2 L[f(t)](z) 6. (pt) Als de functie f Fouriertransformeerbaar, zuiver imaginair en even is, dan is haar Fourierbeeld F(ω) zuiver imaginair en even. 7. (pt) Als vanaf zekere rang n N geldt dat a n+ a n r < dan is de reeks absoluut convergent. a n

7 . (pt) Onderstel dat in een omgeving van het punt x 0 de functies f,f,f,...,f (n) continu zijn, waarbij f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) = 0 en f (n) (x 0 ) 0. Dan geldt: als n even is en f (n) (x 0 ) > 0, vertoont f een relatief minimum in x (.5pt) Gegeven de lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde: y + a(x)y + b(x)y = 0 waarbij a(x) en b(x) continu in R zijn. Als de wronskiaan van twee oplossingen van deze differentiaalvergelijking nul is in het punt x 0 dan is deze wronskiaan nul in gans R. 3. (pt) De oplossing van de harmonische oscillator ü + 2ρ u + ω 2 0 u = 0, u(0) = u 0, u(0) = u is oscillerend gedempt voor t + als ρ < ω (pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) = x 2 2 x2 4y, y(0) = 0 5. (pt) Als f en g Riemannintegreerbaar over [a,b] zijn, dan is ook f +g Riemannintegreerbaar over [a,b]. 6. (pt) De Gamma-functie heeft oneindig veel vertikale asymptoten. z 7. (.5pt) De functie kan in het buitengebied van een gesloten schijf met straal 2 z rond z = 0 ontwikkeld worden in een NMR.. (pt) Onderstel dat in een omgeving van het punt x 0 de functies f,f,f,...,f (n) continu zijn, waarbij f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f (n ) (x 0 ) = 0 en f (n) (x 0 ) 0. Dan geldt: als n even is en f (n) (x 0 ) < 0, vertoont f een relatief maximum in x (.5pt) Gegeven de lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde: y + p(x)y + q(x)y = 0 waarbij p(x) en q(x) continu in R zijn. Als de wronskiaan van twee oplossingen van deze vergelijking van nul verschilt in het punt x 0 dan verschilt hij van nul in gans R. 3. (pt) De oplossing van de harmonische oscillator ü + 2ρ u + ω 2 0 u = 0, u(0) = u 0, u(0) = u is exponentieel gedempt voor t + als ρ > ω 0.

8 4. (pt) Het beginvoorwaardenprobleem y (x) = x x2 4y, y(0) = 0 5. (pt) Als f en g Riemannintegreerbaar over [a,b] zijn, dan is ook f +g Riemannintegreerbaar over [a,b]. 6. (pt) Voor alle waarden van p waarvoor beide leden bestaan, voldoet de Gamma-functie aan de eigenschap Γ(p + ) = pγ(p). z 7. (.5pt) De functie kan in het buitengebied van een gesloten schijf met straal 3 z 2 9 rond z = 0 ontwikkeld worden in een NMR. Gegeven: De temperatuur van een voorwerp verandert met een snelheid die op elk ogenblik recht evenredig is met het verschil tussen de temperatuur van het voorwerp en de omgevingstemperatuur. Een verse kop koffie heeft een temperatuur V graden; na m minuten in een eerste kamer met constante temperatuur K graden (K < V ) te hebben gestaan, is de temperatuur van de koffie teruggevallen op S graden. Hierna zet men het kopje koffie in een tweede kamer waar de constante temperatuur W heerst. (i) Bepaal op elk ogenblik t [0,m] de temperatuur van de koffie in de eerste kamer. (ii) Hoe hoog dient de temperatuur W in de tweede kamer te zijn, opdat na m minuten in de tweede kamer te hebben gestaan, het kopje koffie terug zijn oorspronkelijke temperatuur V zou bereiken? (iii) Schets de grafiek van het volledig temperatuursverloop van het kopje koffie in 0 t 2m in het concrete geval waar V = 70,m = 0,K = 20,S = 40. Gegeven: De temperatuur van een voorwerp verandert met een snelheid die op elk ogenblik recht evenredig is met het verschil tussen de temperatuur van het voorwerp en de omgevingstemperatuur. Een kop koffie heeft een temperatuur V graden; na m minuten in een eerste kamer met constante temperatuur K graden (K > V ) te hebben gestaan, is de temperatuur van de koffie gestegen tot S graden. Hierna zet men het kopje koffie in een tweede kamer waar de constante temperatuur W heerst. (i) Bepaal op elk ogenblik t [0,m] de temperatuur van de koffie in de eerste kamer.

9 (ii) Hoe hoog dient de temperatuur W in de tweede kamer te zijn, opdat na m minuten in de tweede kamer te hebben gestaan, het kopje koffie terug zijn oorspronkelijke temperatuur V zou bereiken? (iii) Schets de grafiek van het volledig temperatuursverloop van het kopje koffie in 0 t 2m in het concrete geval waar V = 50,m = 20,K = 90,S = 70. (a) Toon aan dat de integraal convergeert. + 0 ln ( x 2 ) x 2 dx (b) Toon aan dat de functie goed gedefinieerd is voor alle x 0. f(x) = x 0 ln ( t 2 ) t 2 dt (c) Toon aan dat de inverse functie φ = f bestaat. Bepaal haar domein en beeld. (d) Onderzoek de continuïteit en afleidbaarheid van φ. (e) Bereken φ (0). (a) Toon aan dat de integraal convergeert. + 0 ln ( x 3 ) x 3 dx (b) Toon aan dat de functie goed gedefinieerd is voor alle x 0. f(x) = x 0 ln ( t 3 ) t 3 dt (c) Toon aan dat de inverse functie φ = f bestaat. Bepaal haar domein en beeld. (d) Onderzoek de continuïteit en afleidbaarheid van φ. (e) Bereken φ (0). Gegeven: f(t) = sin(t), t [, ]

10 (a) Ontwikkel de functie f in een fourierreeks met periode 2. (b) Ontwikkel de functie g met g(t) = cos(t) in een fourierreeks met periode 2 door de fourierreeks van de functie f termsgewijs te integreren. (c) Gebruik de gevonden fourierreeks(en) en de gelijkheid van Parseval om (exact) te berekenen. (n 2 π 2 ) 2 Gegeven: f(t) = sinh(t), t [, ] (a) Ontwikkel de functie f in een fourierreeks met periode 2. (b) Ontwikkel de functie g met g(t) = cosh(t) in een fourierreeks met periode 2 door de fourierreeks van de functie f termsgewijs te integreren. (c) Gebruik de gevonden fourierreeks(en) en de gelijkheid van Parseval om (exact) te berekenen. ( + n 2 π 2 ) 2 Gegeven: f(t) = cos ( πt 2 ) + in [0, ] (a) Ontwikkel de functie f in een fourierreeks die enkel cosinustermen bevat. (b) Gebruik de gevonden fourierreeks om te berekenen. 4n 2 (c) Gebruik de gevonden fourierreeks en de gelijkheid van Parseval om te berekenen. 6n 4 8n 2 +

11 Gegeven: f(t) = cos ( πt 2 ) + 2 in [0, ] (a) Ontwikkel de functie f in een fourierreeks die enkel cosinustermen bevat. (b) Gebruik de gevonden fourierreeks om te berekenen. 4n 2 (c) Gebruik de gevonden fourierreeks en de gelijkheid van Parseval om te berekenen. 6n 4 8n 2 +