1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk

Transcriptie

1 Rijen en reeksen Oefeningen Wiskundige Analyse I 1. Toon aan dat de limiet van een convergente rij uniek is.. Toon aan dat elke deelrij van een convergente rij, convergeert naar dezelfde limiet als de rij zelf. 3. Toon aan dat elke convergente rij begrensd is. 4. Gegeven is het irrationaal getal ff. Er bestaat een monotoon dalende rij van rationale getallen die naar ff convergeert. Indien u meent dat deze laatste uitspraak waar is, geef dan een bewijs; indien u meent dat deze uitspraak vals is, geef dan een tegenvoorbeeld. 5. Toon aan dat als de rij (a n ) convergeert naar ff, de rij (ja n j) convergeert naar jffj. 6. Toon aan dat als (a n )! ff, (b n )! ff en a n» u n» b n vanaf een zekere n, dan ook (u n )! ff. 7. Toon aan dat een begrensde rij (u n ) convergeert als en slechts dan als lim u n = lim u n. 8. Toon aan dat als een rij (a n ) convergeert, dan ook elke rij die ontstaat door een permutatie van de elementen van de rij (a n ), convergeert naar dezelfde limiet. 9. (*) Onderstel dat de rij van positieve getallen (a n ) convergeert naar nul. Toon aan dat als jx n xj»ca n voor alle n>n(voor een zekere constante C) dan geldt dat (x n )! x. 10. Onderstel dat de rij (x n ) van positieve getallen convergeert naar x. Toon aan dat de rij ( p x n )! p x. 11. Gegeven: a>0. Beschouw de rij (s n ) recurrent gedefinieerd door: s 1 > 0; s n+1 = 1 (s n + a sn ). Toon aan dat (s n)! p a.

2 1. Toon aan dat de rij (e n := (1 + 1 n )n ) monotoon stijgend en naar boven begrensd is. Conclusie i.v.m. convergentie? 13. Toon aan dat er voor elk reëel getal ff een monotoon stijgende (dalende resp.) rij van rationale getallen kan worden geconstrueerd die naar ff convergeert. 14. (*) Noem H n de n-de partieelsom van de harmonische reeks: H n = nx k=1 ffl toon aan dat voor alle n: 0 <H n ln n» 1 ffl toon aan dat de rij (H n ln n) monotoon dalend is ffl concludeer dat de rij (H n ln n) convergeert [de limiet van deze rij wordt de constante van Euler-Mascheroni genoemd en genoteerd fl. 15. Onderstel dat alle termen van de rij (a n ) positief of nul zijn en dat (a n )! 0. Toon aan dat de rij ( p a n )! Onderstel dat de rij (a n )van reële getallen convergeert naar ff>0. Toon het bestaan aan van een natuurlijk getal N waarvoor a n > 0van zodra n N. 17. Bepaal, als ze bestaat, de limiet van de volgende rijen: 1 k ; (i) ((n) 1=n ); (ii) ( n n! ); (iii) ( n n! ); (iv) (n 1=n ); (v) ((n!) 1=n );

3 (vi) ( an+1 +b n+1 a n +b n ) waarbij 0 <a<b; (vii) ( p (n + a)(n + b) n) waarbij a>0enb> Onderzoek de convergentie van de volgende rijen waarbij 0 <a<1 en b>1: (i) (n a n ); (ii) ( bn n ); (iii) ( bn n! ); (iv) ( n! n n ). 19. De rijen (a n ) en (b n ) zijn convergent. Onderzoek de convergentie van de rijen (u n := maxfa n ;b n g) en (v n := minfa n ;b n g). 0. Onderzoek de convergentie van de volgende rijen gedefinieerd op recurrente wijze: (i) a 1 := 8, a n+1 := + an ; (ii) a 1 > 1, a n+1 := 1 an ; (iii) a 1, a n+1 := 1 + p a n 1; (iv) a 1 := 1, a n+1 := p +a n ; (v) a 1 := a>0, a n+1 := a n + 1 an. 1. Onderzoek nader de divergentie van de volgende rijen: (i) (1 ( 1) n + 1 n );

4 (ii) (sin nß 4 ); (iii) ( n pn+1 ); (iv) (sin p n). P +1. Onderzoek de convergentie van de reeks w n=1 n met w n = Z nß (n 1)ß t sin t 1+t dt 3. Gegeven de convergente reeks P a n met louter positieve termen. Is het waar dat: (i) de reeks P a n convergeert? (ii) de reeks P p an convergeert? (iii) de reeks P p an a n+1 convergeert? (iv) de reeks P a1+:::+an n convergeert? Aanwijzing: (i) waar, toon aan (ii) vals, geef een tegenvoorbeeld (iii) waar, toon aan (denk aan het geometrisch gemiddelde) (iv) steeds divergent, toon aan 4. Gezelligheidsoefening: Waarom heet de harmonische reeks harmonisch? (i) Het rekenkundig gemiddelde A van twee getallen a en b is A := a+b ; hun geometrisch gemiddelde G is G := p ab. Hun harmonisch gemiddelde H is minder gekend; het wordt gegeven door H := 1 a + 1 b :

5 Verifieer dat in de harmonische reeks vanaf n > 1 elke term het harmonisch gemiddelde is van de voorgaande en de volgende. (ii) Toon aan dat de omgekeerden van drie getallen die een rekenkundige progressie vormen een harmonische progressie vormen. (iii) Zoek een verband tussen A, G en H dat gelijkwaardig is met de pythagorese gulden verhouding: de eerste van twee getallen staat tot hun rekenkunidg gemiddelde als hun harmonisch gemiddelde staat tot het tweede getal. (iv) Vier collineaire punten vormen een harmonisch puntenviertal als hun dubbelverhouding gelijk is aan 1. Zoek het verband met het harmonisch gemiddelde. (v) In de 8-tonige diatonische of pythagorese muziekschaal komen intervallen overeen met eenvoudige verhoudingen van frekwenties: het octaaf correspondeert met de verhouding = 1, de kwint met 3 = 9, de kwart met 4 = 8,degrondtoon met 1 = Onderstel dat de pythagoreeërs een nieuwe toon wilden introduceren, ongeveer halverwege de grondtoon en het octaaf. Het geometrisch gemiddelde van 6en1 is irrationaal, voor hen onaanvaardbaar. Construeer deze nieuwe toon op basis van het rekenkundig en het harmonisch gemiddelde van 6 en 1. Men neemt aan dat met de term harmonich deze toon werd aangegeven die de meest harmonische verdeling van het octaaf opleverde. 5. Onderzoek de begrensdheid en de monotoniteit van de rij a n = n4 n. Besluit i.v.m. de convergentie ervan? 6. Onderzoek de convergentie van de rij gegeven door de recurrente betrekking: x 1 =8 ; x n+1 = x n 1+x n voor n =; 3;::: 7. Een lijnstuk met lengte a wordt verdeeld in n gelijke delen. Op elk deelsegment construeert men een gelijkbenige driehoek met basishoeken

6 45 graden, waardoor een gebroken lijn ontstaat die de eindpunten van het lijnstuk verbindt. Bepaal, voor elke n, de lengte a n van deze gebroken lijn; onderzoek de convergentie van de rij (a n ). 8. Bepaal de limes superior, de limes inferior en de eventuele limiet van de rijen: (i) cos nß (ii) exp 1 sin n +( 1)n nß 4 (iii) ( 1) n (sin 1 )( 1)n n + cos nß 9. Onderzoek de convergentie van de rij gedefinieerd door de recurrente betrekking: y 1 := 1 4 ; y n := y n 1 : 30. Onderzoek de convergentie van de reeks +1X k=0 ( 1) k a k ; a k = k 4 +9k k + 139k +4 Bepaal het minimum aantal termen in de partieelsom die de reekssom benadert met een fout kleiner dan 0: Bij een chemisch proces neemt gedurende een tijdsinterval fi de hoeveelheid van een bepaalde substantie toe met een hoeveelheid die evenredig is met de aanwezige hoeveelheid bij de aanvang van dit tijdsinterval en die evenredig is met de lengte fi van dit tijdsinterval. De hoeveelheid van deze substantie op het ogenblik t = 0 is Q(0). Bepaal de hoeveelheid Q n (t) op het ogenblik t als de toename gebeurt elk n-de deel van t: fi = t n. Onderzoek de convergentie van de rij (Q n (t)).