1e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari y = u sin(vt) dt. wordt voorgesteld door de matrix

Transcriptie

1 e bachelor ingenieurswetenschappen Modeloplossing examen oefeningen analyse I, januari 9. Opgave: Bereken dt ( q) als p = (, ), q = (, ) en p u+v x = e t dt T : (u, v) (x, y) : u y = u sin(vt) dt Oplossing: De differentiaal dt wordt voorgesteld door de matrix p We berekenen dus en u ( p) u ( p) u (u, v) = exp( (u + v) ), u u (u, v) = u (, ) = exp() = v (, ) = u (, ) = v (, ) = sin(vt) dt + u sin(vu), v ( p) v ( p) v (u, v) = exp( (u + v) ) u v (u, v) = sin( t) dt + sin( ) = t cos(t) dt = ( t sin(t) u t cos(vt) dt sin(t) dt De componenten van d T p ( q) vinden we met de matrixvermenigvuldiging ) = u ( p) u ( p) v ( p) v ( p) = dt ( q) = (, ). p =,. Opgave: Zij gegeven een kromme C in het eerste kwadrant (x en y ) van het x-y vlak (z = ), met als vergelijking in poolcoördinaten r = cos θ. (a) Geef een parametrisatie voor de kromme C en een cartesische vergelijking F (x, y) = in eenvoudige vorm.

2 (b) Geef de cartesische vergelijking G(x, y, z) = voor het oppervlak S dat men bekomt door de kromme C te roteren rond de x as (zie figuur). ( ) z (c) Geef een parametrisatie voor de paraboloïde S met vergelijking y + = x, x b (d) Voor welk interval van waarden voor de parameter b (, ) hebben S en S een snijkromme. Geef een parametrisatie voor het gedeelte van die snijkromme in het eerste octant (x, y en z ). Denk eerst goed na over de keuze van een geschikte parameter! Oplossing: (a) Een voor de hand liggende parametrisatie voor de kromme C is x = cos θ, θ y = cos θ en de cartesische vergelijking vinden we door eliminatie van de parameter θ, bv. y = cos 6 θ sin θ = cos 6 θ ( cos θ) = x ( x ) (b) Hieruit volgt dan ook onmiddellijk de cartesische vergelijking van het omwentelingsoppervlak S, nl. y + z = x ( x ) (c) Naar analogie met de parametrisatie voor de paraboloïde in de cursustekst (pagina ) nemen we als parametrisatie voor S x = t y = t cos u z = b t sin(u), t u (d) We zoeken de punten van S die ook voldoen aan de cartesische vergelijking van S, m.a.w. t cos u + b t sin (u) = t ( t), t cos u + b sin (u) = t ( t) Op de figuur zien we dat t = x en niet u een geschikte parameter is om het gevraagde gedeelte van de snijkromme te beschrijven. De eindpunten liggen in het x-z vlak (y = ). Zo vinden we ook de grenzen voor de parameter t, nl. y + z = x ( x ) ( ) z y + b = x y = = b x = x ( x ) b = t ( t) t = ± b

3 Om echt een snijkromme te hebben moet er gelden dat b > of b (, ). Voor de snijpunten in het eerste octant geldt dat u [, ] en dus ook dat cos u en sin u. Zo vinden we het volgende verband tussen de parameters u en t: cos u + b sin (u) = t ( t) cos u ( b ) = t t b cos u = t t b b en sin u = cos u = + t t b Substitueren we dit in de parametrisatie van de paraboloïde, vinden we zo als parametrisatie voor de gevraagde snijkromme x = t y = t t t b b z = b t +t t b, b t + b. Opgave: Beschouw D f(x, y) dx dy met D het gebied binnen de cirkel x + (y ) = en binnen de kromme 8(y x ) = y (x + y ) (zie figuur). (a) Schrijf deze dubbele integraal als een som van herhaalde enkelvoudige integralen van de vorm d c dy β(y) α(y) f(x, y) dx. Duid op een figuur duidelijk de deelgebieden van D aan die je gebruikt. De cirkel en de tweede kromme snijden elkaar in de punten (, ) en (±, ). (b) Wat wordt de integraal na transformatie naar poolcoördinaten? (c) Bereken op een efficiënte manier de oppervlakte van het gebied D, en vereenvoudig het resultaat tot een vorm k + l + m met k, l en m gehele getallen. Oplossing: We zoeken voor beide krommen de vergelijking in de vorm x = G(y) en de vergelijking in poolcoördinaten. Voor de cirkel wordt dit x + y y = = x = ± y y en r r = = r =

4 Voor de tweede kromme vinden we x = ± y (a) (zie figuur links) 8 y 8 + y en 8 (r sin θ r cos θ) = r sin θ r = r = 8(sin θ cos θ) D f(x, y) dx dy = dy y 8 y 8+y f(x, y) dx + 8 y y 8+y dy y y f(x, y) dx y y K K K K (b) Ook voor de beschrijving in poolcoördinaten moeten we het integratiegebied opsplitsen (zie figuur rechts) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy + f(x, y) dx dy D D D D = θ θ 8(sin θ cos θ) f(r cos θ, r ) r dr + θ θ f(r cos θ, r ) r dr + θ θ 8(sin θ cos θ) f(r cos θ, r ) r dr Hierin is θ = bgtg = en θ =. Inderdaad, in de onmiddellijke omgeving van de oorsprong geldt voor de kromme dat 8 y x = ± y 8 + y ±y, y (c) De oppervlakte berekenen we met f(x, y) =. Gebruik makend van de symmetrie m.b.t. de y as wordt de integraal met A(D) = 8(sin θ cos θ) r dr + r dr = (A + A ) A = 8(sin θ cos θ) r dr = 9(sin θ cos θ) sin θ

5 en = A = ( 8 9 sin θ ) r dr = = + 9 cotgθ 8 sin θ = = + 9 ( cos θ) = = + Besluit: A(D) = (A + A ) = of k =, l = 8 en m = 8.. Opgave: Zij a. Voor welke koppels (a, b) convergeert de volgende oneigenlijke integraal en voor welke koppels is er divergentie? Toon aan en wees volledig. ( ) x b cosech(ax) e x dx + x ( ) x b, Oplossing: Met f(x) = cosech(ax) e x geldt + x ( ) x b cosech(ax) e x dx = f(x) dx + + x f(x) dx De gegeven oneigenlijke integraal convergeert enkel als beide oneigenlijke integralen in het rechterlid convergent zijn. f(x) = sinh ax ex ( ) x b x b + x ax = xb a, x + De eerste oneigenlijke integraal convergeert als b > en divergeert als b. f(x) = e ax ex e ax ( ) x b e x + x e ax e ax x b e( a)x x b, x, en a > e(+a)x x b, x, en a < De tweede oneigenlijke integraal convergeert enkel in de volgende gevallen: (i) a > : a > ( a < ) en b willekeurig of a = en b > (ii) a < : a < ( + a < ) en b willekeurig of a = en b > en naar gelang het geval Besluit: De gegeven oneigenlijke integraal convergeert enkel als a > en b > of a = en b >. In alle andere gevallen is er divergentie. 5. Opgave: Een cilindervormige boei met straal R =.m, hoogte H =.m en dichtheid ρ = 5kg/m dobbert op de zee (dichtheid water: ρ w = kg/m ). Een zeemeeuw strijkt neer op de boei op tijdstip t =. De vogel schrikt op door de plotse beweging van de boei en vliegt een tijdje later reeds verder. 5

6 (a) Op de boei werkt de zwaartekracht (gravitatieversnelling g = m/sec ), een opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van de verplaatste watermassa (wet van Archimedes), een wrijvingskracht evenredig met de snelheid (evenredigheidsconstante k), en een kracht f(t) veroorzaakt door het gewicht van de zeemeeuw. Toon aan dat de beweging van de boei beschreven wordt door onderstaande differentiaalvergelijking, waarbij h(t) de diepte van het grondvlak voorstelt onder het zeeoppervlak: h (t) + k h (t) + h(t) = + f(t) (b) Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking indien k = (verwaarlozing van de wrijving) en f(t) = voor t [, ], en f(t) = voor t / [, ]. (c) Veronderstel dat de boei zich in rusttoestand bevindt net vóór het neerstrijken van de zeemeeuw. Bepaal de beginwaarden h() en h () en bereken tot op. mm nauwkeurig h() en h(). Oplossing: (a) massa versnelling = som van de inwerkende krachten: m b h (t) = m b g m w g k h (t) + f(t) met m b = R H ρ (massa boei) en m w = R h(t) ρ w (massa verplaatste water) h k (t) + R Hρ h (t) + ρ w g ρ H h(t) = g + f(t) R Hρ Invullen van de getalwaarden R =., H =., ρ = 5, g = en ρ w = geeft h (t) + k h (t) + h(t) = + f(t) (b) Met de gegeven f(t) en k = wordt de op te lossen vergelijking h (t) + h(t) = + f(t) met f(t) = voor t [, ], en f(t) = voor t / [, ]. De algemene oplossing is van de vorm h(t) = h h (t) + h p (t) + h p (t) met (i) h h (t) de algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking, nl. h h (t) = A cos(t) + B sin(t) (ii) h p (t) een particuliere oplossing van h (t)+ h(t) = : de methode van de onbepaalde coëfficiënten zoekt h p (t) = C; invullen geeft C =. (iii) h p (t) een particuliere oplossing van h (t) + h(t) = f(t): hiertoe gebruiken we de functie van Green, nl. met K(t, s) = h p (t) = t cos(s) sin(s) cos(t) sin(t) cos(s)) sin(s) = sin(s)) cos(s) K(t, s) f(s) ds sin(t) cos(s) cos(t) sin(s) (cos (s) + sin (s)) = sin (t s) 6

7 of uitgewerkt h p (t) = als t < t sin (t s) sin (t s) ds = ds = (c) Vóór het neerstrijken van de zeemeeuw (t < ) is dus cos t cos (t ) cos t als t als t > h(t) = A cos(t) + B sin(t) + en vermits een rusttoestand verondersteld wordt, betekent dit ook dat A = B = en daaruit volgend dat h() = en h () =. We berekenen dan verder h() = + h p () = h() = + h p () = + cos + cos cos 8.mm 87.5mm 6. Opgave: Zij gegeven het vectorveld F (x, y) = (G(x, y), H(x, y)) met de eigenschap dat F in ieder punt p = (x, y), evenwijdig is met de gradiëntvector van een functie f(x, y) in p. (a) Toon aan dat de niveaulijnen van f(x, y) oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking G(x, y) dx + H(x, y) dy = (b) Bepaal de vergelijking van de niveaulijn van f(x, y) door het punt (, ) als F (x, y) = (x, y yx y ) Oplossing: (a) Evenwijdige vectoren zijn op een factor na gelijk. Voor ieder punt p = (x, y) bestaat er dus een λ(x, y) zodanig dat Voor de niveaulijnen f(x, y) = C geldt dat (b) De differentiaalvergelijking G(x, y) = λ(x, y) f (x, y) H(x, y) = λ(x, y) f (x, y) f f (x, y) + (x, y) y (x) = f dy dx = (x, y) G(x, y) = (x, y) H(x, y) G(x, y) dx + H(x, y) dy = f x dx + (y yx y ) dy = 7

8 is niet exact want G H = xy Er is wel een integrerende factor P (y) als oplossing van de differentiaalvergelijking De vergelijking G(x, y) H(x, y) P (y) = P (y) = yp (y) = P (y) = e y G(x, y) x e y dx + e y (y yx y ) dy = is nu wel exact. We vinden de niveaulijnen f(x, y) = C dan op de volgende manier f = x e y f(x, y) = x e y + Z(y) f = y x e y + Z (y) = e y (y yx y ) Z (y) = y e y ( y ) en via de substitutie y = u Z(y) = y e y ( y ) dy = e u ( u) du = u e u = y e y De niveaulijnen zijn dus van de vorm e y ( x + y ) = C en voor de specifieke niveaulijn door het punt (, ) geldt dat C = e ( + ) = Het antwoord op de vraag is dus e y (x + y ) =. 7. Opgave: Een persoon van lengte L meter loopt naar boven over een baan in de vorm van de grafiek van de cubische spline s(x) = 9 i= c i N i (x), x met knooppunten t i = i en B spline coëfficiënten c i zoals gegeven in onderstaande tabel. Hij doet dit met een snelheid waarbij de horizontale component gelijk blijft aan m/sec. Zonnestralen vallen in onder een hoek van 5 graden en maken een schaduwbeeld AB vóór hem (zie figuur). Op het ogenblik t = bevindt de persoon (het punt A) zich in de oorsprong. Op het ogenblik t = heeft het schaduwpunt B een x coördinaat 5 m. (a) Hoe groot is de persoon, m.a.w. bepaal L. 8

9 5 A 6 8 x B i c i i c i (b) Bereken de horizontale en vertikale snelheidscomponent van het schaduwpunt B op het ogenblik t =. Oplossing: (a) In functie van de tijd t heeft het punt A als coördinaten (t, s(t)). Het schaduwpunt B vinden we als het snijpunt van de rechte met richtingscoëfficiënt door het punt (t, s(t)+ L) met de grafiek van de spline. Zij (X(t), Y (t)) de positie van het punt B op het ogenblik t dan geldt dus dat Y (t) = (X(t) t) + s(t) + L en Y (t) = s(x(t)) en zo vinden we na eliminatie van Y (t) de volgende impliciete vergelijking voor X(t) s(x(t)) = X(t) + t + s(t) + L () Op het ogenblik t = geldt dat X(t) = 5 en ingevuld in () of L = s(t 5 ) s(t ) + = c + c + c 6 s(5) = s() + L c + c + c 6 + =.75m (b) De gevraagde horizontale en vertikale snelheidscomponent voor het schaduwpunt B op het ogenblik t = zijn X () en Y (). Uit formule () halen we dat s (X(t)) X (t) = X (t) + + s (t) s (5) X () = X () + + s () X () = ( + s (t )) + s (t 5 ) = ( + c c ) + c c =.m/sec Vermits Y (t) = s(x(t)) bekomen we na differentiatie en substitutie t = ook dat Y (t) = s (X(t)) X (t) Y () = s (5) X () = c c. =.8m/sec 9