Vectorruimten en deelruimten

Transcriptie

1 Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie Een (reële vectorruimte is een niet-lege verzameling V van objecten die we dan vectoren zullen noemen waarop twee bewerkingen de optelling en de scalaire vermenigvuldiging zijn gedefinieerd zodat voor alle u en v in V geldt dat u + v V en λu V voor alle λ R Verder moeten deze optelling en scalaire vermenigvuldiging (vermenigvuldiging met een getal voldoen aan de volgende axioma s : u + v = v + u 5 λ(u + v = λu + λv (u + v + w = u + (v + w 6 (λ + µu = λu + µu 3 u + o = u 7 λ(µu = (λµu 4 u + ( u = o 8 u = u voor alle u v w V en voor alle λ µ R Bij 3 gaat het er om dat er een neutraal element voor de optelling bestaat Dat element (of object noemen we de nulvector van V en noteren we op de gebruikelijke wijze met o De nulvector heeft de eigenschap dat als deze wordt opgeteld bij een (andere vector die vector niet verandert Er geldt : u = o voor iedere u in V Bij 4 gaat het er om dat iedere vector u in V een tegengestelde in V heeft Deze vector wordt genoteerd als u en heeft de eigenschap dat u + ( u = o Er geldt : ( u = u voor iedere u in V Bij 8 gaat het er om dat er een neutraal element van de scalaire vermenigvuldiging bestaat Dat is natuurlijk het welbekende getal Als je een (willekeurige vector in V vermenigvuldigt met het getal dan verandert die vector niet Er zijn erg veel voorbeelden van vectorruimten te verzinnen : Ga na dat R n voor iedere n { 3 } een vectorruimte is Vectoren zijn in dit geval steeds de rijtjes getallen van de vorm v = Merk op dat R (dat is R n met n = ook een vectorruimte is De reële getallen in R zijn dan de objecten die we dus ook vectoren zullen noemen 3 De verzameling C[a b] van alle continue (reële functies gedefinieerd op het interval [a b] is ook een vectorruimte De som van twee continue functies is immers weer een continue functies enzovoorts De (continue functies in C[a b] zullen we dus ook vectoren noemen De nulvector is hier de nulfunctie : de functie die op [a b] overal is v v n

2 4 De verzameling P n van alle (reële polynomen p(t = a + a t + + a n t n a a a n R van de graad n is ook een vectorruimte De vectoren (objecten in P n zijn dus polynomen (in de variabele t bijvoorbeeld Het nulpolynoom (a = a = = a n = is hier de nulvector De graad van dit nulpolynoom is niet gedefinieerd (soms : of maar het nulpolynoom behoort volgens afspraak wel tot P n Als p(t = a (constant polynoom ongelijk aan het nulpolynoom dan is de graad van p gelijk aan 5 De verzameling M m n van alle (m n-matrices is ook een vectorruimte Dergelijke matrices (van dezelfde afmetingen kunnen bij elkaar worden opgeteld en kunnen worden vermenigvuldigd met een getal Die (m n-matrices zijn dus de vectoren uit deze vectorruimte De (m n-nulmatrix treedt hier op als de nulvector (het neutrale element van deze vectorruimte M m n Het begrip deelruimte wordt op dezelfde manier gedefinieerd als voorheen bij R n : Definitie Een deelruimte van een vectorruimte V is een deelverzameling H van V met de eigenschappen : De nulvector van V zit in H u + v H voor alle u v H 3 λu H voor alle u H en voor alle λ R Een deelruimte van V is dus een deelverzameling van V die op zichzelf een vectorruimte is De optelling en de scalaire vermenigvuldiging moeten binnen H mogelijk zijn Als dat het geval is dan gelden automatisch alle axioma s uit definitie omdat die in V al gelden Ook hiervan zijn talloze voorbeelden te bedenken : De verzameling {o} die alleen de nulvector bevat en de verzameling V zelf zijn deelruimten van de vectorruimte V Deze worden wel de triviale deelruimten van V genoemd Een lijn of een vlak door O in R 3 zijn voorbeelden van deelruimten van R 3 3 Als v v p vectoren in R n zijn dan is Span{v v p } een deelruimte van R n 4 De verzameling S := {A M A T = A} van alle symmetrische ( -matrices is een deelruimte van M de vectorruimte van alle ( -matrices 5 De verzameling {f C[a b] : f(a = f(b} is een deelruimte van de vectorruimte C[a b] van alle continue functies op het interval [a b] Meer voorbeelden volgen later Het derde voorbeeld kunnen we eenvoudig generaliseren tot : Stelling Als v v p vectoren zijn in een vectorruimte V dan is Span{v v p } een deelruimte van V Span{v v p } noemt men de deelruimte van V opgespannen of voortgebracht door de vectoren v v p Schrijf het bewijs van deze stelling zelf eens uit (aan de hand van definitie

3 Kolomruimte en nulruimte van een matrix We hebben al kennis gemaakt met de kolomruimte en de nulruimte van een matrix : Definitie 3 Als A = a a n een (m n-matrix is dan is Col A := Span{a a n } de kolomruimte van A en Nul A := {x R n Ax = o} de nulruimte van A Er geldt : Stelling Als A een (m n-matrix is dan is Col A een deelruimte van R m en is Nul A een deelruimte van R n Bewijs Dat Col A een deelruimte van R m volgt onmiddellijk uit stelling omdat Col A een opspansel is van vectoren in R m Voor Nul A geldt : o R n zit in Nul A want Ao = o R m Als u v Nul A dan geldt : Au = o en Av = o Maar dan geldt ook : A(u + v = Au + Av = o + o = o en dus ook u + v Nul A 3 Als u Nul A dan geldt : Au = o Maar dan geldt ook : A(λu = λau = λo = o en dus ook λu Nul A Hiermee is aangetoond (zie definitie dat Nul A een deelruimte van R n is Voorbeeld Door te vegen vinden we : A = We weten al dat de pivotkolommen van A een basis van Col A vormen : Col A = Span{ } is een deelruimte van R 3 Voor Nul A geldt : x = x x 4 x 3 = x 4 x en x 4 zijn vrij = x = x x x 3 x 4 = 3 x x 4 x x 4 x 4 = x + x 4

4 Hieruit volgt : Nul A = Span{ } is een deelruimte van R4 Lineaire afbeeldingen We definiëren : Definitie 4 Als V en W vectorruimten zijn dan heet een afbeelding F : V lineaire afbeelding als : F(u + v = F(u + F(v voor alle u en v in V F(λu = λf(u voor alle u V en voor alle λ R W een Definitie 5 Als V en W vectorruimten zijn en F : V W is een lineaire afbeelding dan heet Ker F := {v V F(v = o} de kern van F en Im F := {w W w = F(v voor zekere v V } de beeldruimte van F Er geldt : Stelling 3 Als V en W vectorruimten zijn en F : V W een lineaire afbeelding dan is Ker F een deelruimte van V en Im F een deelruimte van W Als A een (m n-matrix is dan is F : R n R m met F(x = Ax een lineaire afbeelding Zo n (lineaire afbeelding wordt wel een matrixafbeelding genoemd NB Elke matrixafbeelding is dus een lineaire afbeelding In het geval van een matrixafbeelding F : R n R m met F(x = Ax geldt : Ker F = Nul A en Im F = Col A ( a b Voorbeeld De afbeelding F : M R met F( afbeelding Immers : ( ( a a Stel dat A = b b en B = a 3 a 4 b 3 b 4 ( a + b F(A + B = F( a + b a 3 + b 3 a 4 + b 4 dan is = a + b + c + d is een lineaire = a + b + a + b + a 3 + b 3 + a 4 + b 4 = a + a + a 3 + a 4 + b + b + b 3 + b 4 = F(A + F(B 4

5 ( a a En als A = a 3 a 4 ( λa λa F(λA = F( λa 3 λa 4 dan volgt Voor Ker F geldt : ( a b F( ( a b Dus : A = Ker F ( ( a b b c d b = Dus : = λa + λa + λa 3 + λa 4 = λ(a + a + a 3 + a 4 = λf(a = a + b + c + d = a = b c d ( Ker F = Span{ ( = b ( Dit is een deelruimte van M Merk op dat Im F = R ( + c ( ( + d } Lineaire (onafhankelijkheid We kunnen nu de definitie van het begrip lineaire (onafhankelijkheid eenvoudig generaliseren : Definitie 6 Een verzameling vectoren {v v p } in een (willekeurige vectorruimte V heet lineair onafhankelijk als de vectorvergelijking c v + c v + + c p v p = o alléén de triviale oplossing (c = c = c p = heeft Anders heet de verzameling lineair afhankelijk Net als in R n geldt : een verzameling {v} met slechts één vector is lineair afhankelijk dan en slechts dan als v = o en een verzameling {v w} met twee vectoren is lineair afhankelijk dan en slechts dan als één van de twee vectoren een veelvoud is van de andere Voorbeeld 3 De verzameling {t sin t cos t} in C([ π] is lineair onafhankelijk want : c t + c sin t + c 3 cos t = voor alle t [ π] betekent onder andere t = : c 3 = t = π : c π c 3 = = c = c 3 t = π π = π : c + c π = = c = c = Uit c t+c sin t+c 3 cos t = voor alle t [ π] volgt dus dat c = c = c 3 = Dit betekent dat {t sin t cos t} lineair onafhankelijk is Voorbeeld 4 De verzameling { + t t t( + t} in P is lineair afhankelijk want : t( + t = t + t = ( + t ( t Oftewel : ( + t ( t t( + t = 5

6 Basis Voor het begrip basis hebben we de volgende generalisatie : Definitie 7 Als H een deelruimte is van een (willekeurige vectorruimte V dan heet een verzameling vectoren {v v p } een basis van H als : {v v p } is lineair onafhankelijk H = Span{v v p } Enkele voorbeelden : De verzameling {e e e n } met e = e = heet wel de standaardbasis van R n e n = De verzameling { t t t n } heet wel de standaardbasis van P n 3 De verzameling ( { ( ( kan gezien worden als de standaardbasis van M ( 4 De verzameling {t sin t cos t} is een basis van de deelruimte H = Span{t sin t cos t} van C[ π] want {t sin t cos t} is lineair onafhankelijk 5 De verzameling ( B := { ( ( is een basis van S de deelruimte van alle symmetrische matrices want : ( ( ( ( ( c c c + c + c 3 = = c c 3 } } ( Dus : c = c = c 3 = Dat wil zeggen dat B lineair onafhankelijk is Verder geldt : ( ( ( a b A = S A T a c a b = A = b = c b d Dus : ( a c A S A = ( Hieruit volgt dat S = Span{ Dus : B is een basis van S ( = a ( ( + c ( ( + d } 6