Eigenwaarden en eigenvectoren

Transcriptie

1 Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als Ax λx voor zekere λ R Het getal λ R heet dan e eigwaarde van A We zegg dat x o e eigvector van A is behorde bij de eigwaarde λ NB De voorwaarde x o is van wezlijk belang Zonder deze voorwaarde zou elk getal λ e eigwaarde zijn omdat Ao λo waar is voor elke λ NB 2 Voorlopig beschouw we alle reële eigwaard (λ R, maar later zull we ook complexe eigwaard (λ C toelat Voorbeeld Als A Au ( 3 Av ( 3 ( 3 (, u ( ( v ( 2 2 ( 0 4 (, dan is ( 2 ( λ Dus : u is e eigvector van A behorde bij de eigwaarde 2 v is géén eigvector van A Nu we wet dat 2 e eigwaarde van A is kunn we alle eigvector van A behorde bij de eigwaarde 2 alsvolgt vind : Ax 2x (A 2Ix o x Nul (A 2I We zoek dus alle vector x o in Nul(A 2I : ( ( ( ( 2 0 A 2I ( We noem E 2 : Nul(A 2I Span{ eigwaarde 2 ( x µ } de eigruimte van A behorde bij de Merk op, dat E 2 bestaat uit alle eigvector van A behorde bij de eigwaarde 2 plus de nulvector (om ervoor te zorg dat het e deelruimte van R 2 is Definitie 2 Als λ R e eigwaarde is van e (n n-matrix A, dan heet E λ : {x R n : Ax λx} Nul(A λi de eigruimte van A behorde bij de eigwaarde λ NB De eigruimte E λ is e deelruimte van R n

2 Stelling Voor e vierkante matrix A geldt : A is inverteerbaar dan slechts dan als A géén eigwaarde 0 heeft Bewijs Het getal 0 is e eigwaarde van A als Ax 0 x 0 voor zekere x o Echter : als A inverteerbaar is, dan volgt uit Ax 0 dat x A o o Stelling 2 Als v,, v r eigvector zijn van e matrix A behorde bij verschillde eigwaard λ,, λ r respectievelijk, dan is {v,, v r } lineair onafhankelijk Bewijs Stel dat {v,, v r } lineair afhankelijk is, dan is één van die vector te schrijv als lineaire combinatie van de andere vector Neem aan dat v p+ c v + + c p v p dat {v,, v p } lineair onafhankelijk is Dan geldt : dus Maar er geldt ook : c Av + + c p Av p Av p+ c λ v + + c p λ p v p λ p+ v p+ c λ p+ v + + c p λ p+ v p λ p+ v p+ Trekk we de laatste twee van elkaar af, dan vind we : c (λ λ p+ v + + c p (λ p λ p+ v p o Aangezi {v,, v p } lineair onafhankelijk is, kan dit alle als alle gewicht van de lineaire combinatie nul zijn Omdat de eigwaard verschilld zijn geldt dat λ i λ p+ 0 voor alle i, 2,, p Dus : c c 2 c p 0 Maar dan volgt dat v p+ c v + +c p v p o Dit kan niet omdat v p+ e eigvector van A is ( dus v p+ o Dit betekt dat de aanname, dat {v,, v r } lineair afhankelijk is, niet waar kan zijn dat {v,, v r } dus lineair onafhankelijk is Het berek van eigwaard eigvector Er geldt : Ax λx, x o (A λix o, x o Dit kan alle als de matrix A λi niet inverteerbaar dus als det(a λi 0 Dit noem we de karakteristieke vergelijking van A : Definitie 3 Als A e vierkante matrix is, dan heet det(a λi 0 de karakteristieke vergelijking van A Het polynoom det(a λi heet wel het karakteristieke polynoom van A Er geldt dus : 2

3 Stelling 3 E getal λ R is e eigwaarde van A dan slechts dan als det(a λi 0 ( Voorbeeld 2 Als A, dan volgt : 3 A λi λ 3 λ ( λ(3 λ + λ2 4λ + 4 (λ 2 2 Dus : λ 2 is de ige eigwaarde van A Omdat λ 2 e dubbel nulpunt is van het karakteristieke polynoom A λi (λ 2 2 zegt m dat λ 2 e eigwaarde van A is met (algebraïsche multipliciteit 2 De eigruimte E 2 van A behorde bij de eigwaarde λ 2 is E 2 Nul(A 2I : ( ( ( A 2I E Span{ } De dimsie van E 2 (dim E 2 noemt m de geometrische of meetkundige multipliciteit van de eigwaarde λ 2 Definitie 4 Als A e (n n-matrix is, dan is het karakteristieke polynoom det(a λi van A e n e graads polynoom in λ De nulpunt van dit polynoom zijn de eigwaard van A Het aantal keer dat zo n nulpunt voorkomt heet de (algebraïsche multipliciteit van de betreffde eigwaarde De dimsie van de bijbehorde eigruimte heet de geometrische of meetkundige multipliciteit van de betreffde eigwaarde NB Als we complexe getall zoud toelat dan heeft e (n n-matrix dus altijd precies n eigwaard, geteld met multipliciteit Immers : det(a λi (λ λ(λ 2 λ (λ n λ met λ, λ 2,, λ n C Hieruit volgt evoudig (door λ 0 te substituer dat : det A λ λ 2 λ n De determinant van A is dus gelijk aan het product van alle eigwaard van A Hierbij dit wel elke eigwaarde met (algebraïsche multipliciteit r ook r maal in het product te word opgom E onmiddellijk gevolg van stelling 3 is : Stelling 4 Als A e vierkante (bov- of onderdriehoeksmatrix is, dan zijn de diagonaalelemt van A precies de eigwaard van A E ander evoudig gevolg van stelling 3 is : Stelling 5 Als A e vierkante matrix is, dan hebb A A T polynoom dus dezelfde eigwaard hetzelfde karakteristieke Bewijs Er geldt immers : det(a T λi det(a T (λi T det((a λi T det(a λi NB De eigvector van A A T zijn in het algeme niet gelijk 3

4 Definitie 5 Als A B twee (n n-matrices zijn, dan heet A gelijkvormig met B als er e inverteerbare matrix P bestaat zodat A P BP NB Als A gelijkvormig is met B, dan is ook B gelijkvormig met A Immers : als A P BP, dan is ook B QAQ met Q P We zegg dan evoudig dat A B gelijkvormige matrices zijn Stelling 6 Als de vierkante matrices A B gelijkvormig zijn, dan hebb ze hetzelfde karakteristieke polynoom dus dezelfde eigwaard Bewijs Stel dat A P BP voor zekere inverteerbare matrix P, dan volgt : A λi P BP λp P P (B λip P B λi P B λi, want P P P P I NB Ook hier geldt dat de eigvector van A B in het algeme niet gelijk zijn Diagonaliseerbaarheid De definitie is evoudig : Definitie 6 E vierkante matrix A heet diagonaliseerbaar als A gelijkvormig is met e diagonaalmatrix, dus als er e inverteerbare matrix P e diagonaalmatrix D bestaan zodat A P DP Dit heeft de volgde consequtie : Stelling 7 E (n n-matrix A is diagonaliseerbaar dan slechts dan als A n lineair onafhankelijke eigvector heeft, met andere woord : als er e basis van R n bestaat die geheel uit eigvector van A bestaat In dat geval geldt dat A P DP met D diag(λ,, λ n P v v n zodat Av i λ i v i voor i, 2,, n De diagonaalelemt van D zijn de eigwaard van A de kolomm van P word gevormd door n lineair onafhankelijke eigvector van A behorde bij die eigwaard in de overekomstige volgorde Bewijs Stel dat P v v n e willekeurige (n n-matrix is dat D diag(λ,, λ n e willekeurige (n n-diagonaalmatrix is Dan geldt : AP A v v n Av Av n 4

5 λ λ 2 0 P D P λ v λ n v n 0 0 λ n Stel nu dat A diagonaliseerbaar is dat A P DP, dan geldt : AP P D dus Av Av n λ v λ n v n Hieruit volgt dat Av i λ i v i voor alle i, 2,, n Omdat A diagonaliseerbaar is, moet P inverteerbaar zijn De kolomm van P zijn dus lineair onafhankelijk Omgekeerd, als {v,, v n } e lineair onafhankelijke verzameling is bestaande uit eigvector van A behorde bij de eigwaard λ,, λ n respectievelijk, dan geldt : als D diag(λ,, λ n P v v n, dan volgt dat AP P D zoals hierbov Omdat de kolomm van P lineair onafhankelijk zijn is P dus inverteerbaar volgt dat A P DP dat betekt dat A diagonaliseerbaar is Om uit te zoek of e vierkante matrix A diagonaliseerbaar is, berek we eerst de eigwaard van A Vervolgs zoek we uit of er bij elke eigwaarde voldode lineair onafhankelijke eigvector bestaan Aangezi eigvector behorde bij verschillde eigwaard altijd lineair onafhankelijk zijn kan er alle e probleem optred als er eigwaard zijn met e (algebraïsche multipliciteit 2 of als er niet voldode (reële eigwaard zijn (e (n n-matrix heeft wel altijd n complexe eigwaard, geteld met multipliciteit, maar deze hoev niet allemaal reëel te zijn Dus : Stelling 8 E (n n-matrix met n verschillde (reële eigwaard is diagonaliseerbaar Stelling 9 E (n n-matrix met minder dan n (reële eigwaard, geteld met multipliciteit, is niet diagonaliseerbaar Stelling 0 E (n n-matrix met n reële eigwaard, geteld met multipliciteit, is alle diagonaliseerbaar als voor elke eigwaarde de algebraïsche multipliciteit gelijk is aan de meetkundige multipliciteit Immers, bij meervoudige eigwaard (algebraïsche multipliciteit 2 moet er voldode lineair onafhankelijke eigvector gevond kunn word om zo n basis van R n te kunn mak bestaande uit eigvector Dus : de meetkundige multipliciteit van elke eigwaarde moet gelijk zijn aan de algebraïsche multipliciteit van die eigwaarde 5

6 ( Voorbeeld 3 We hebb gezi dat de matrix A alle de eigwaarde λ 2 3 ( heeft (met algebraïsche multipliciteit 2 We hebb ook gezi dat E 2 Span{ } dus dat de meetkundige multipliciteit van de eigwaarde λ 2 gelijk is aan dim E 2 De matrix A is dus niet diagonaliseerbaar ( 0 Voorbeeld 4 Stel dat A, dan volgt : A λi 0 λ λ λ2 + Hieruit volgt dat A ge reële eigwaard heeft dus niet diagonaliseerbaar is Voorbeeld 5 Stel dat A ( , dan volgt : A λi 2 λ λ λ2 + 4λ 2 (λ 3(λ + 7 Hieruit volgt dat A twee verschillde eigwaard λ 3 λ 2 7 heeft dus diagonaliseerbaar is Om e matrix P te vind zodat A P DP met D diag(3, 7 moet we ook de eigvector van A bepal : λ 3 : λ 2 7 : ( ( ( ( Nu geldt dus bijvoorbeeld : A P DP met P geldt ook : of bijvoorbeeld A P DP met P A P DP met P ( 3 3 ( ( 3 E 3 Span{ ( E 7 Span{ 3 ( 3 3 D D D ( ( } } ( Maar er Als e vierkante matrix A diagonaliseerbaar is, dan kunn we evoudig macht van A berek Stel dat A P DP met P e inverteerbare matrix D diag(λ,, λ n, dan volgt : A k (P DP k (P DP (P DP (P DP P D k P, }{{} k factor omdat steeds P P I Verder is dan D k diag(λ k,, λk n 6

7 Voorbeeld 6 Stel dat A A λi λ λ λ, dan volgt : ( λ λ 2 0 λ ( λ2 ( + λ De eigwaard van A zijn dus λ (met algebraïsche multipliciteit 2 λ 2 (met algebraïsche multipliciteit λ : E Span{ 0, } λ 2 : Dus : A P DP met bijvoorbeeld 0 0 P 0 D 0 Hieruit volgt bijvoorbeeld dat dat E Span{ A 00 P D 00 P P IP P P I A 5 P D 5 P P DP A ( 5 3 Voorbeeld 7 Als A, dan volgt : 6 4 A λi 5 λ λ λ2 λ 2 (λ 2(λ + De eigwaard van A zijn dus λ 2 λ 2, beide met algebraïsche multipliciteit ( ( ( 3 3 λ 2 : E Span{ } ( ( ( λ : E Span{ } 2 ( ( 2 0 Dus : A P DP met bijvoorbeeld P D Hieruit volgt 2 0 bijvoorbeeld dat ( ( ( ( A 0 P D 0 P P 0 ( 0 P ( ( ( } 7