CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

Transcriptie

1 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie"

2 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, juni 00, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 63 punten te verdienen. Als T het totaal van de behaalde punten is en Q de som van de resultaten van de 6 beste quizzen, dan wordt het cijfer berekend via de volgende formules: Cijfer = 7+T 7 (onafgerond). Cijfer = Q (Cijfer ) (onafgerond). Als Cijfer 4.0 dan Cijfer=afronding(maximum(Cijfer,Cijfer )), anders Cijfer=afronding(Cijfer ).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 + α α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. (3) (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is. (3) (b) Neem α =. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = het stelsel Ax = b op. en de vectoren b = 0 0 en Vanaf nu beschouwen we α = 3. () (d) Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? (4) (e) Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Laat zien dat de vector b niet aan deze eisen voldoet. (4) (f) We kunnen wel oplossingen van het stelsel Ax = b in de zin van de kleinste kwadraten construeren. Daartoe moeten we de matrix A T A bepalen. Is de matrix A T A inverteerbaar (dit kan zonder rekenwerk!)? Wat betekent dit voor het aantal oplossingen van het stelsel Ax = b in de zin van de kleinste kwadraten (de oplossing(en) hoef je niet uit te rekenen)? Z.O.Z.

3 . Beschouw de matrix A = en x = () (a) Is b een eigenvector van A? en c? en de vectoren b = (3) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft., c = (3) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. () (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. (3) (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). 3. Beschouw de matrix A = en de vector b = (4) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (3) (b) Bepaal een basis voor Nul(A). (3) (c) Bepaal rang(a) en dim(nul(a T )). (3) (d) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). (4) (e) Bepaal die vector c in Col(A) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. 4. De afbeelding T : R R spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het resultaat vervolgens in de x as. (3) (a) Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding. (3) (b) Laat zien dat T gelijk is aan de rotatie over π radialen (dit is een rotatie tegen de wijzers van de klok in). 5. A is een 3 3 matrix met eigenwaarden λ =, λ = 0 en λ 3 =. De vectoren v = 0, v = en v 3 = zijn eigenvectoren van A bij respectievelijk λ, λ en λ 3. (3) (a) Is de matrix A symmetrisch? (Motiveer uw antwoord!) (3) (b) Is de matrix A inverteerbaar? (Motiveer uw antwoord!) We nemen de startvector x 0 = 3 en we definieren x k+ = Ax k. Dit dynamische systeem levert een rij {x k } k 0. (3) (c) Schrijf x 0 als lineaire combinatie van v, v en v 3. Wat is het gedrag van x k voor k? EINDE TENTAMEN WI37CT

4 KORTE UITWERKING. (a) Als A inverteerbaar, dan is det(a) 0. Berekening van de determinant geeft 9 α α 3 = α(9 α ). De determinant is dus nul voor α = 0, ±3. Voor alle andere waarden van α is A inverteerbaar. Zelfde conclusie kan ook worden getrokken door vegen van matrices en bestudering van pivots.. / 0 / (b) Veeg de matrix [AI] [IA ], dit geeft /4 /4 /4 / 0 (c) Aangezien A inverteerbaar is, volgt dat x = A b = b = /4. / (d) Voor α = 3 is de matrix niet inverteerbaar. Dit betekent dat er of geen oplossing is (strijdig stelsel) of dat er oneindig veel oplossingen zijn. Er kan dus niet één oplossing zijn.. (e) Stel de uitgebreide matrix 3 c 6 0 c 3 0 c3 op en veeg deze naar echelonvorm. Dit geeft 3 c 0 6 c 6 c c3 / c. Dit stelsel heeft alleen oplossingen als geldt dat c = c 3. Het is duidelijk dat b hier niet aan voldoet.

5 (f) Gebruik hiervoor TH 4, pag 49. Hier staat dat A T A alleen inverteerbaar is als de kolommen van A linear onafhankelijk zijn. We weten dat de kolommen lineair afhankelijk zijn (anders zou de matrix inverteerbaar zijn), dus A T A is niet inverteerbaar. Hieruit volgt dat de oplossing van het stelsel Ax = b niet uniek is (er zijn oneindig veel oplossingen). Je mag dit natuurlijk ook helemaal uitrekenen.. (a) gebruik de definitie van een eigenvector, Ax = λx. Je vindt nu dat Ab = 0, dus b is een eigenvector bij eigenwarde 0. Zo ook Ac = c. Dus c is een eigenvector met eigenwaarde. (b) bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je λ(λ + ) = 0, ofwel λ = 0 of λ =. (c) Voor λ = 0 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = moeten we kijken of er nog een eigenvector is, we vinden twee eigenvectoren. Dit geeft als basis {[, 3, 0] T, [, 0, 3] T }. (d) VoorP, gebruikde eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: 0 0 P = 3 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = (e) Antwoord: merk op dat A = P D P = P DP = A. Dus A x = Ax = [0, 3, 3] T. Kan ook met de hint.

6 3. (a) Veeg de matrix A naar echelon vorm. Dit geeft Alleen kolom en hebben een pivot. De basis wordt dus gegeven door {[,,, 0] T, [, 0,, ] T }. Als we nu GS toepassen zien we direct dat de vectoren loodrecht op elkaar staan. Merk op dat het niet nodig is de vectoren lengte te geven. (b) Los hiertoe op Ax = 0. We vinden dan (zie hierboven geveegde matrix) dat veelvouden van de vector [,, ] T voldoen aan deze vergelijking. Een basis voor Nul(A T ) wordt dus gegeven door {[,, ] T }. (c) De rang(a) = (het aantal lineair onafhankelijke kolommen), de dim(nul(a T )) =. Dit laatste volgt uit het feit dat Nul(A T ) = Col(A). De dimensie van Col(A) is, zijn orthogonale complement heeft dan ook dimensie (immers Col(A) R 4 ). (d) Je moet dus die P vinden waarvoor geldt dat P b de loodrechte projectie van b op Col(A) is. Er zijn verschillende manieren. De eenvoudigste manier is om de eerste twee kolommen van A te nemen en hun lengte te maken. Dit geeft U = 0 3 Bereken nu UU T, dit geeft P =

7 Als je deze uitdrukking niet meer weet, kun je uit de kk-methode afleiden dat P = A(A T A) A T, zie bijvoorbeeld pag 49 van het boek, TH4 en de tekst daaronder. Het is eenvoudiger alleen op de eerste twee kolommen van A te projecteren. We gebruiken dan  ipv A in de uitdrukking [ ] hierboven met  = Bereken nu ÂT  =. De inverse [ ] 0 hiervan wordt gegeven door. Vermenigvuldiging van links met 9 0 A en van rechts met A T geeft dan weer dezelfde P. Je kunt P ook mbv theorie pagina vinden, waarbij u en u de genormaliseerde kolomvectoren van  zijn. Bereken dan u u T + u u T. Dit geeft dezelfde projectiematrix P. (e) Gebruik eerder gevonden projectie-matrix of bereken de kleinste kwadratenoplossing expliciet. Dit geeft c = /3 7/3 /3. De afstand tot b volgt dan uit de berekening van b c = 9.

8 4. (a) Eerst een [ spiegeling ] in y = x. Dit wordt gegeven door de matrix 0 S =. Een spiegeling in de x as wordt gegeven door [ 0 ] 0 S =. De lineaire afbeelding wordt dus gegeven door S 0 S = [ ] 0. 0 (b) Volgt uit definitie van rotatie matrix. 5. (a) Ja, er zijn 3 eigenwaarden, alle eigenwaarden zijn reeel en de vectoren staan loodrecht op elkaar, dus de matrix A is symmetrisch (TH, pag 467, TH3, pag 468). (b) Nee, er is een eigenwaarde nul aanwezig. (c) x 0 = v 3 + v + v. We weten dat x k = Ax k = A k x 0 = λ k v + λ k v + λ k 3v 3. Aangezien λ en λ 3 kleiner dan één zijn, vinden we lim k A k x 0 = v. Dit betekent dat de vector x 0 naar v convergeert.

9 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, 3 augustus 00, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 45 punten te verdienen. Als T het totaal van de behaalde punten is dan wordt het cijfer berekend via de volgende formule: Cijfer= 5+T 5 (standaard afgerond).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 4 α α 3 α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. en de vectoren b = 4 en () (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is (hint: bekijk ook de rest van deze som). () (b) Neem α = 0. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = 0 het stelsel Ax = b op. () (d) Neem α =. Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? () (e) Neem weer α =. Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Z.O.Z.

10 . Beschouw de matrix A = en x = () (a) Is b een eigenvector van A? En c? () (b) Bereken de eigenwaarden van A. en de vectoren b = 0 3, c = () (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. () (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. () (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). 3. Beschouw de matrix A = en de vector b = (3) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (3) (b) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). (3) (c) Bepaal die vector c in col(a) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. () (d) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(A). () 4. (a) Vul de volgende definitie aan: Een afbeelding T : R n R m is een lineaire afbeelding als... () (b) Is de afbeelding T : R 3 R gedefinieerd door T (x, x, x 3 ) = (π x +3x, x + x 3 ) een lineaire afbeelding? (4) (c) Geef van de lineaire afbeelding T : R 4 R 3 gedefinieerd door T (x, x, x 3, x 4 ) = (x +x +x 4, x 3 +x 4, x +x +x 3 +x 4 ) de standaardmatrix voor T. Is de afbeelding T injectief (dus one-to-one )? En surjectief (dus onto )? 5. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 3x 4x x + 6x. () (a) Schrijf Q(x) in de vorm Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (3) (c) Bepaal een orthonormale basis {q[, q ]} zodat de gegeven kwadratische vorm y t.o.v. de nieuwe coördinaten y = geschreven wordt als een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal deze vorm ook. (3) (d) Maak nu een schets van de kromme 3x 4x x + 6x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. y EINDE TENTAMEN WI37CT

11 KORTE UITWERKING. (a) Als A inverteerbaar, dan is det(a) 0. Berekening van de determinant geeft α 7α + 6. De determinant is dus nul voor α = 3/ en α =. Voor alle andere waarden van α is A inverteerbaar. Zelfde conclusie kan ook worden getrokken door vegen van matrices en bestudering van pivots. Normering: Berekenen van de determinant/vegen van de matrix: punt. Conclusie: punt.. / / (b) Veeg de matrix [AI] [IA ], dit geeft /3 0 /3 / 0 / Normering: Opstellen uitgebreide matrix: punt. Rekenwerk: punt. 4 (c) Aangezien A inverteerbaar is, volgt dat x = A b = b = 0/3. 3 Normering: punt (d) Voor α = is de matrix niet inverteerbaar. Dit betekent dat er of geen oplossing is (strijdig stelsel) of dat er oneindig veel oplossingen zijn. Er kan dus niet één oplossing zijn. Normering: punt voor goede antwoord en punt voor motivatie. Er moet wel een motivatie staan!. (e) Stel de uitgebreide matrix c c c3 op en veeg deze naar echelonvorm. Dit geeft c 0 5/4 0 c /4 c c3 3/5 c + /5 c Dit stelsel heeft alleen oplossingen als geldt dat c c + 5 c = 0. Normering: Opstellen uitgebreide matrix en vegen naar echelon-vorm: punt. Conclusie: punt..

12 . (a) Gebruik de definitie van een eigenvector, Ax = λx. Je vindt nu dat Ab = 4b, dus b is een eigenvector bij eigenwaarde 4. Zo ook Ac = 6. Dit is geen veelvoud van c, dus c is geen eigenvector. 0 Normering: Per juiste conclusie / punt. (b) Bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je (λ )(λ+4)(λ 7) = 0, ofwel λ =, λ = 4 en λ = 7 zijn de eigenwaarden. Normering: Opstellen determinant-vergelijking: punt. Uitrekenen determinant: punt. (c) Voor λ = 4 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = vinden we als basis {[ 3, 6, 8] T }, en voor λ = 7 wordt de basis gegeven door {[3, 0, ] T }. Normering: Niet expliciet geven van basis: -/ punt. (d) VoorP, gebruik de eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: P = 0 6 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = Normering: Voor D en P elk punt. (e) Antwoord: Merk op dat x de som is van de eigenvector b en de eigenvector [ 3, 6, 8] T. We vinden dan dus dat A x = A ( [, 0, 3] T + [ 3, 6, 8] T ) = ( 4) [, 0, 3] T + [ 3, 6, 8] T. Normering: Het ontbinden van x in eigenvectorenen: punt, berekenen van A x punt. 3. (a) Veeg de matrix A naar echelon vorm. Dit geeft / Kolommen, en 4 hebben een pivot. De basis wordt dus gegeven door {[,, 0, ] T, [,,, 0] T, [,, 3, ]}. Nu deze basis orthogonaliseren. v = (,, 0, ), v = v (< v, v > / < v, v >)v = (,,, 0) (0/3)(,, 0, ) = (,,, 0) (kolom en staan al loodrecht op elkaar). Zo ook v 3 = (0,,, ). Merk op dat het niet nodig is de vectoren lengte te geven. Normering: Vegen matrix: punt. Pivots+basis: punten. Orthogonaliteit basis: punt.

13 (b) Je moet dus die P vinden waarvoor geldt dat P b de loodrechte projectie van b op Col(A) is. De eenvoudigste manier is om de orthogonale basis voor Col(A) te nemen en hun lengte te maken. Dit geeft de matrix U 0 U = Bereken nu UU T, dit geeft P = Normering: Opstellen U: punt. Opmerken dat P = UU T : punt. Berekenen P : punt. (c) De projectie van b op Col(A) wordt gegeven door c = P b = [, 6,, ] T. Dit kan natuurlijk ook door projectie op de georthogonaliseerde vectoren die Col(A) opspannen. Vector d wordt gegeven door b P b = (, 0,, ) T. De afstand van b tot Col(A )wordt gegeven door d = (, 0,, ) = ( ) = 3. Normering: Vinden van c: punten. Afstand: punt (d) Dit is eenvoudig, een basis wordt gegeven door {d}, met d zoals gevonden in het vorige onderdeel. 4. (a) Zie boek, pagina 93 (of pagina 77, eerdere druk). Normering: Per voorwaarde punt. (b) Nee, voldoet niet aan de voorwaarden (laat dit zien, tegenvoorbeeld is voldoende!). Normering: Naar eigen inzicht. (c) De standaard matrix afbeelding wordt gegeven door 0 A = 0 0. De kolommen van A spannen R 3 op, dus de afbeelding is onto. De kolommen van A zijn niet linear onafhankelijk, dus de afbeelding is niet one-to-one (zie theorema, pag 05 (pag 89 eerdere druk)). Normering: Opstellen A: punten. onto en one-to-one : ieder punt

14 5. (a) A = [ 3 6 ]. Normering: Opstellen A punt. (b) Bereken de eigenwaarden van A. De eigenwaarden zijn en 7, dus Q is positief definiet (zie Theorem 5, pag 477 (pag 46 eerdere druk)). Normering: Berekenen eigenwaarden: punt. Conclusie: punt. (c) De eigenvectoren met lengte zijn [, ] T / (5) bij eigenwaarde en [, ] T / (5) bij eigenwaarde 7. Nu volgt dat x = P y met [ ] P =. 5 De gezocht vorm wordt y + 7y. Normering: Vinden van de nieuwe basis: punt. Opstellen van P : punt. Nieuwe kwadratische vorm: punt. (d) Dit is een gedraaide ellips, schets als in boek, fig 3a, pagina 476 (pagina 460 eerdere druk). Normering: Naar eigen inzicht. In deze figuur moeten de nieuwe assen wel duidelijk aangegeven zijn.

15 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, 0 juni 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 8 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 9+T 9 (onafgerond).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 4 α α 3 α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. en de vectoren b = 4 en (4) (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is (hint: bekijk ook de rest van deze som). (4) (b) Neem α = 0. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = 0 het stelsel Ax = b op. (3) (d) Neem α =. Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? (4) (e) Neem weer α =. Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Antwoord (a) Bereken de determinant, deze wordt gegeven door α 3 + 7α + 5α + 9. Als deze nul is, is de matrix niet inverteerbaar: α 7α + 6 = 0. Ofwel A is inverteerbaar als α 3 en α. (b) Gebruik bijvoorbeeld methode zoals beschreven in Lay, p.40. Na stug rekenen geeft dit / / /3 0 /3 / 0 / (c) Neem de inverse uit het vorige onderdeel en reken A b uit. Dit geeft [4, 0/3, 3] T. (d) Als α =, is de determinant gelijk aan nul. Je hebt dus nooit één oplossing.

16 (e) Stel de uitgebreide matrix c c c3 op en veeg deze naar echelon-vorm: c 0 5/4 0 c /4 c c3 3/5 c + /5 c. Deze uitgebreide matrix heeft alleen een oplossing als c3 3/5 c + /5 c = Gegeven zijn de matrix A = en de vector b = 3, (3) (a) Geldt dat Col(A) = R 4? (3) (b) Bepaal een basis B voor Col(A). (4) (c) Toon aan dat C = 4 9 5, ook een basis is voor Col(A). () (d) Laat zien dat b Col(A) en bepaal de coördinaten van b t.o.v. de basis C. (4) (e) Bepaal de dimensie van Nul(A) en geef een basis voor Nul(A). Antwoord (a) Veeg de matrix naar echelon-vorm. Dit geeft Dus alleen kolom en 3 hebben een pivot. De kolomruimte heeft een basis die bestaat uit vectoren en spant dus niet R 4 op. (b) Gebruik als basis de verzameling van de kolomvectoren met pivot uit het vorige onderdeel: 0, (c) Laat zien dat de vectoren uit C lineaire combinaties zijn van de vectoren in B, en dat ze onafhankelijk zijn (dat is eenvoudig te zien, de eerste vector in C is de som van de eerste en derde kolomvector uit de matrix A, en de e het verschil van de 3e en de e). Aangezien de dimensie van Col(A) is, volgt hieruit dat C ook een basis is.

17 (d) Veeg de uitgebreide matrix Dit geeft / 0 0 0, waaruit volgt dat [b] C = [3/, /] T. (e) Een basis voor de nulruimte wordt gegeven door [ 5,, 0, 0] T, [, 0, 3, ] T, de dimensie is. 3. Beschouw de matrix 0 A = 0 en de vectoren v = 0 () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0, w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor de bijbehorende eigenruimte. (8) (d) Is A orthogonaal diagonaliseerbaar? Beargumenteer uw antwoord. Zo ja, bepaal een orthogonale diagonalisering van A, dwz geef een orthogonale matrix P en een diagonaalmatrix D zo dat A = P DP. Bepaal ook P. Antwoord (a) v is een eigenvector bij eigenwaarde λ =, w is geen eigenvector. (b) De karakteristieke polynoom wordt gegeven door λ 3 λ + 6. Stel deze gelijk aan nul en bepaal de nulpunten. Dit geeft λ = ( keer) en λ = 4 ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft voor λ = voor λ = 4 0., 0, en (d) A is symmetrisch, dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Om P te vinden, zet de eigenvectoren loodrecht op elkaar en normeer ze. Dit geeft P = ,

18 en D = Omdat P orthogonaal is, de inverse van P gelijk aan zijn getransponeerde: P = P T. 4. De matrix A en de vector b zijn gegeven door A = 0 en b = 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Is de matrix A T A inverteerbaar (Leg uit)? (6) (d) Bepaal de matrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A. () (e) Wat is de meetkundige betekenis van P x voor x R 3? Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T x. Dit heeft als oplossingen [ 0,, 3 3 0]T + s[,, ] T. Dit zijn er dus oneindig veel. (c) De matrix is niet inverteerbaar omdat de kolommen van A niet onafhankelijk zijn (zie Lay, pag 49, Th 4). (d) Volgens de theorie zou je misschien denken dat P = A(A T A) A T. Dat is echter niet zo! Omdat A namelijk afhankelijke kolommen heeft, is A T A niet inverteerbaar. Dus P kan zo niet berekend worden. Gelukkig kunnen we een matrix B met onafhankelijke kolommen bedenken waarvan de kolomruimte precies de kolomruimte van A is: we kunnen uit een lineair omhulsel een vector verwijderen die een lineaire combinatie van de anderen is, zodat bijvoorbeeld Col(A) = Span. 5. 0,, = 0 Span 0, = Col = Col(B). De matrix B heeft wél onafhankelijk kolommen, waardoor(b T B) wel bestaat en P = B(B T B) B T ook. Deze P is de gewenste en wordt gegeven door

19 /3 /3 /3 P = /3 /3 /3 /3 /3 /3 (e) Voor deze matrix geldt P x = x Col(B) = x Col(A). De meetkundige betekenis van P x is dus dat dit de orthogonale projectie van x op de kolomruimte van B en dus van A is. 5. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 3x 4x x + 6x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 3x 4x x + 6x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) [ A = 3 6 ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = en λ = 7. Deze zijn allebei positief, dus positief definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = is dit q = [, ] T, en voor λ = 7 is dit q = [, ] T. De kwadratische vorm y + 7y = 4. (d) Dit is een ellips met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. De lange as ligt op de q as. EINDE TENTAMEN WI37CT

20 NORMERING. (a) Uitrekenen determinant: pnt, oplossen + conclusie: pnt. (b) 4 pnt. (c) pnt. (d) Eigen inzicht. (e) Vegen stelsel: 3 pnt, conclusie: pnt.. (a) Vegen matrix: pnt, conclusie pnt. (b) Geen punten als niet de kolommen uit de oorspronkelijke matrix zijn genomen. Een punt aftrek als notatie niet correct is. (c) Aantonen vectoren in basis B: punten. Dimensie: punt. (d) Naar eigen inzicht. (e) Basis: 3 punten. Dimensie: punt 3. (a) punt per juist antwoord. Onafhankelijkheid: punt. (b) uitrekenen karak. vgl + oplossen 3 punten, multipliciteit: pnt. (c) pnt per correcte eigenruimte. (d) Diagonaliseerbaar: pnt, bepalen P: pnt (als niet orthogonaal, trek punt af), D: pnt, inverse van P: pnt. (e) Naar eigen inzicht. 4. (a) Vegen: pnt, conclusie: pnt. (b) Berekenen van A T A pnt, A T b pnt, oplossen pnt. (c) Eigen inzicht. (d) Bepalen van matrix B: 3 pnt. Uitrekenen van P : 3 pnt. (e) Eigen inzicht. 5. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, vorm: pnt. (d) Eigen inzicht (wel nodig: nieuwe assen correct, lange en korte as correct getekend).

21 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen + e deeltoets lineaire algebra, wi37ct Maandag, augustus 0 Tentamen uur, Deeltoets uur. HELE TENTAMEN: maak opgaven t/m 5. U kunt hierbij 68 punten verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 7+T 7.5 (onafgerond). e DEELTOETS: maak opgaven 3 t/m 6. U kunt hierbij 5 punten verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 5+T 5.7 (onafgerond). Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan.. Gegeven is de matrix A = () (a) Geef voor de verzamelingen Col A (dit is de kolomruimte van A) en Nul A (dit is de nulruimte van A) aan van welke R n ze een deelruimte zijn. () (b) (i) Behoort ( 4,,, 0) T tot Nul(A)? En ( 7,, 0, 5) T? () (ii) Behoort (0, 0, 0, 0, ) T tot Col(A)? En (0,, 6,, 8) T? () (c) Bepaal de rang van A. (3) (d) Bepaal met behulp van je antwoord op (c) de dimensies van de kolom en nulruimte van A. Bepaal deze zonder verdere veegoperaties uit te voeren. (3) (e) Bepaal bases voor de kolom en nulruimte van A. () (f) Geef een matrix B zo dat Nul A = Col B. Antwoord (a) respectievelijk van R 5 en R 4. (d) (b) (i) e eerste wel, de tweede niet (d) (ii) e eerste niet, de tweede wel (c) Rank A = 3 (d) dim Col A = 3 = dim Row A en dim Nul A = (e) Bijvoorbeeld,, 0 en is een basis voor Nul A is een basis voor Col A,

22 (f) erg veel mogelijkheden, namelijk elke matrix waarvan de kolommen veelvouden van (,,, 0) T zijn met tenminste één niet-nul kolom.. Gegeven zijn de afbeeldingen T : R R 3, gedefinieerd door en de afbeelding T : R 3 R, gedefinieerd door. T (x, x ) = (x, x x, 3x + 4x ), T (y, y, y 3 ) = (y + y 3, 3y y 3 ), () (a) Laat zien dat de afbeelding T een lineaire afbeelding is. (3) (b) Geef de standaardmatrices van T en T. Leg uit hoe u hieraan komt. () (c) Is T injectief ( one-to-one )? En is T surjectief ( onto )? (Leg uit!) (3) (d) Bepaal, indien deze bestaan, de standaardmatrix van T T (dit betekent: voer eerst T uit, en vervolgens op het resultaat van deze afbeelding T ). (4) (e) Bepaal, indien deze bestaan, de inverse afbeelding van T T. Dus vul in (T T ) (x, x ) = (...,...). Antwoord (a) Laat zien dat T (x + y, x + y ) = T (x, x ) + T (y, y ) en dat T (ax, ax ) = at (x, x ), of gebruik dat deze lineaire afbeelding een standaardmatrix heeft (onderdeel b), waaruit volgt dat T lineair is. (b) A T = en A T = [ ]. (c) T is wel onto (elk beeld heeft een origineel), maar niet one to one (niet elk beeld heeft ten hoogste origineel). Dit volgt ook uit de standaardmatrix voor T met Th., pag 05. (d) [ (T T] )(x) = T (T (x)) = T (A T x) = A T A T x. De gezochte matrix is dus A T A T = ] (e) Inverteer de matrix uit het vorige onderdeel. Dit geeft A T volgt dat T (x, x ) = 49 ( 7x 4x, 3x + 5x ). = 49 [ Hieruit

23 3. Beschouw de matrix A = 3 3 () (a) Is b een eigenvector van A? en c? en de vectoren b = () (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft., c = (3) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. (3) (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. (4) (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). Antwoord 4 en x = (a) Gebruik de definitie van een eigenvector, je vindt nu dat Ab = 0, dus b is een eigenvector bij eigenwaarde 0. Zo ook Ac = c. Dus c is een eigenvector met eigenwaarde. (b) Bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je λ(λ + ) = 0, ofwel λ = 0 of λ =. (c) Voor λ = 0 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = moeten we kijken of er nog een eigenvector is. Het op te lossen stelsel reduceert tot 3x y x = 0, dit geeft twee eigenvectoren, bijvoorbeeld [, 3, 0] T en [, 0, 3] T. De basis wordt dus gegeven door 3, (d) Voor P, gebruik de eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: P = 3 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = (e) Merk op dat A = P D P = P DP = A. Dus A x = Ax = [0, 3, 0] T. Kan ook met de hint Beschouw de matrix A = 0 4 en de vector B = (4) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (4) (b) Bepaal die vector c in Col(A) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. () (c) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). Antwoord (a) Eerst vegen, je vindt dan 3 pivots, dsu alle drie de kolommen zitten in de basis. Nu het standaard GS-proces, dit geeft v = [,,, 0] T, v = [0,,, ] T en v 3 = [0, /3, /3, 8/3] T. Ik houd niet zo van breuken, dus ik vervang v 3 door 4v 3 = [0,,, 4] T. (b) Dit kan met behulp van de projectiematrix of door c te schrijven als een lineaire combinatie van v i, ofwel c = c v + c v + c 3 v 3 met c i =< v i, b > / < v i, v i >. Dit geeft c =, c = /3 en c 3 = /3 en c = [, 4, 0, ] T. De afstand wordt gegeven door b c = [ 4,,, 0] T ) = 3 (). (c) Neem de verschilvector b c = [ 4,,, 0] T. 5.

24 (d) Deze matrix wordt gegeven door P = A(A T A) A T ook. Deze P is de gewenste matrix en wordt gegeven door /9 /9 /9 0 7 /9 / /9 / Het is natuurlijk eenvoudiger (en veel minder rekenwerk!) door de nieuwe basis uit onderdeel a te gebruiken en deze the normaliseren. Hiermee kun je de orthogonale matrix 0 0 U = / 3 / 0 construeren die dezelfde deelruimte opspant. Je vindt nu de projectiematrix door UU T uit te rekenen. 5. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 =, y 0 =. x k+ = 5x k y k y k+ = x k + 3y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk [ is aan] x k+ = Ax k, waarbij 5 x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ). 3 (3) (b) Bepaal de eigenwaarden van de matrix A. Is de oorsprong 0 een attractor of een repellor (Leg uit)? () (c) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (d) Geef nu een formule voor x k. Laat zien dat x k reëel is als x 0 reëel is. () (e) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en bespreek wat gebeurt er voor k? Antwoord [ ] 5 (a) A = 3 (b) De eigenwaarden zijn complex en worden gegeven door 4 ± I. De absolute waarde van de eigenwaarden is groter dan, dus is de oorsprong een repellor. (c) Bereken nu de eigenvectoren. De eigenwaarden zijn λ = 4 + i met eigenvector [ + i, ] T, en λ = 4 i met eigenvector [ i, ] T. De initiële vector [, ] T kun je nu schrijven als [, ] T = [ + i, ]T + [ i, ]T. (d) x k = (4 + i)k [ + i, ] T + (4 i))k [ i, ] T. Dit volgt uit het feit dat A een reële matrix is, x k+ = Ax k en x 0 een reële vector is. (e) Dit is een naar buiten spiraliserende baan. Voor k wordt x k steeds groter: de oorsprong is een afstoter. 6. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : K(x) = 5x + 4x x + x. () (a) Bepaal een symmetrische matrix A zodat K(x) = x T Ax.

25 (3) (b) Is de matrix A positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis[ Q = ] {q, q } zodat de gegeven kwadratische vorm t.o.v. y de nieuwe coördinaten [x] Q = geschreven wordt als een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal deze vorm ook. y (3) (d) Maak nu een schets van de kromme 5x + 4x x + x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is en bepaal de lengte van de lange as. Antwoord (a) 5x + 4x x + x = [ ] [ ] [ ] 5 x x x = x x T Ax. (b) A is positief definiet, want alle eigenwaarden (λ =, 6) zijn positief. {[ ]} {[ ]} [ ] [ ] (c) Basis E : en basis E 6 :. Als q = 5 en q = 5 dan [ ] is Q = {q, q } is een orthonormale basis R y. Als [x] Q = dan geldt: x = [ x x ] [ = Omdat Q een orthogonale matrix is volgt 4x x + x = x T Ax = xq [ [ y y ] Q T x = [x] T Q ] ] [ y y [ y ] = Q [x] Q = [x] Q = Q x = Q T x! En dus: x + ] [x] Q = y + 6y. (d) Het schetsen van x +4x x +x = 4 is het schetsen van y +6y = 4, oftewel y 4 + y 4 = en dit is een gewone ellips, maar wel op de scheven assen: de lijnen door q en q. Lange as: lengte 4 en korte as: 4. EINDE TENTAMEN WI37CT

26 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra II, wi57ct Maandag, juli 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 8 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 9+T 9 (onafgerond).. A is een 3 3 matrix met eigenwaarden λ =, λ = 0 en λ 3 =. De vectoren v =, v = en v 3 = 0 zijn eigenvectoren van A bij respectievelijk λ, λ en λ 3. () (a) Geef een orthogonale diagonalisatie van de matrix A. () (b) Is de matrix A symmetrisch? (Motiveer uw antwoord!) () (c) Is de matrix A inverteerbaar? (Motiveer uw antwoord!) We nemen de startvector x 0 = 3 en we definieren x k+ = Ax k. Dit dynamische systeem levert een rij {x k } k 0. (3) (d) Schrijf x 0 als lineaire combinatie van v, v en v 3, en geef een formule voor x k.. Beschouw de matrix 3 A = 0 en de vectoren v = 3 () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0, w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte. (8) (d) Geef een spectrale decompositie van de matrix A. Wat is de betekenis van de verschillende matrices in deze spectrale decompositie?.

27 3. De matrix A en de vector b zijn gegeven door A = 0 en b = 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (4) (e) Is de matrix A T A inverteerbaar (Leg uit)? 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : 5. Q(x) = x + x x + x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme x + x x + x = 3. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. EINDE TENTAMEN WI37CT

28 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen lineaire algebra II, wi57ct Maandag, 7 augustus 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 63 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 7+T 7 (onafgerond).. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 =, y 0 = 0. x k+ = x k y k y k+ = x k y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk is aan x k+ = [ Ax k, waarbij ] x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ). (4) (b) Is de oorsprong een attractor of repellor (Leg uit)? () (c) Bepaal de eigenvectoren van A. (4) (d) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A (als u de eigenvectoren in het vorige onderdeel niet heeft gevonden, gebruik dan als eigenvectoren [, ] T en [, ] T ). (4) (e) Geef nu een formule voor x k. Wat gebeurt er voor k (vergelijk met onderdeel b)? (7) (f) Bepaal reële matrices P en C, zodanig dat A = P CP. Schrijf nu de matrix C als een schalingsmatrix en een rotatiematrix. Geef ook de gevonden rotatiehoek. (Als u C niet gevonden heeft, gebruik dan de matrix A ipv de matrix C). (4) (g) Beschrijf nu het gedrag van dit dynamisch systeem kwalitatief. Schets ook de baan van het dynamische systeem x k+ = Ax k met de startwaarden x 0 =, y 0 = 0.

29 Antwoord [ ] (a) A = (b) Bereken hiertoe de eigenwaarden. In dit geval zijn de eigenwaarden gegeven door λ = ± i. We weten dat de oorsprong een attractor is als de absolute waarde van allebei de eigenwaarden kleiner dan is, anders is de oorsprong een repellor. Hier is λ =, dus de oorsprong is een repellor. (c) De eigenwaarden zijn λ = + i met eigenvector [, i] T, en λ = i met eigenvector [, i] T. (d) De initiële vector [, 0] T kun je nu schrijven als [, 0] T = [, i] T + [, i] T. (e) x k = ( +i) k [, i] T +( +i) k [, i] T. Voor k wordt x k steeds groter: de oorsprong is een afstoter. (f) Als we Lay, pag 356 gebruiken, zien we dat de matrix P gelijk aan de identiteit is en C = A. De schalingfactor is en de hoek φ = 35 deg. (g) Een van de oorsprong af linksom spiraliserende baan.

30 . De matrix A en de vector b zijn gegeven door 3 A = 0, b = en c = 5 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b en Ax = c. (3) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b en Ax = c. (4) (c) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Leg uit waarom de bij (c) gevonden basis gelijk is aan de basis van NulA T. (4) (e) Wat is de afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? En van c? (4) (f) Ligt de vector b in de kolomruimte van A? En c? (Leg uit!) Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix of probeer een lineaire oplossing te vinden. Voor de vector b is het stelsel inconsitent, de vector c is een lineaire combinatie van de eerste en tweede kolom. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [, 5] T. Voor c vin je natuurlijk weer [, ] T, het antwoord uit a. Hoef je dus niet opnieuw uit te rekenen! (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [,, 4] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [,, ] T, een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt dus gegeven door {[,, ] T }. (d) Zie Lay. (e) De kortste afstand van b is de lengte van de vector {[,, ] T }, dit is 6. De vector c ligt in het vlak en heeft dus afstand nul tot dit vlak. (f) Vector b niet (zie onderdeel a), c wel! 4.

31 3. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 8x + 8x x + x. (3) (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. (3) (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet, positief/negatief-semidefiniet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (5) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 8x + 8x x + x = 0. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) A = [ ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = 0 en λ = 0. Een eigenwaarde is nul, de andere positief, dus positief semi-definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = 0 is dit q = / 5[, ] T, en voor λ = 0 is dit q = / 5[, ] T. De kwadratische vorm wordt gegeven door 0y. (d) Schets 0y = 0. Dit zijn rechte lijnen, gegeven door y = ±. EINDE HERTENTAMEN WI57CT

32 . (a) Naar eigen inzicht. (b) Naar eigen inzicht. (c) pnt per correcte eigenvector. (d) Naar eigen inzicht. (e) Formule: 3ptn, limiet pnt. NORMERING (f) P: pnt. C: pnt. Schalingmatrix: pnt, Rotatiematrix: pnt. Hoek: pnt. (g) Naar eigen inzicht.. (a) pnt voor b en pnt voor c. (b) pnt voor b en pnt voor c. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht (uitleg wel vereist!). (e) pnt voor b en pnt voor c. (f) Eigen inzicht. 3. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, orthonormaal pnt, vorm: pnt. (d) Eigen inzicht, geef voor correcte assen iig pnt.

33 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra II, wi67ct Maandag, juli 03, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 54 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 6+T 6 (onafgerond).. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 = 6, y 0 = 5. x k+ = 0.4x k + 0.5y k y k+ = 0.4x k +.3y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk is aan x k+ = Ax [ k, waarbij ] x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ) (3) (b) Laat zien dat 0.8 en 0.9 eigenwaarden van de matrix A zijn. Is de oorsprong een attractor of een repellor (Leg uit)? () (c) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (d) Geef nu een formule voor x k. () (e) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en begint in x 0 = 6, y 0 = 5. Bespreek wat er gebeurt voor k. Antwoord [ ] (a) A = (b) λ = 0.8 met eigenvector v = (5, 4) T en λ = 0.9 met eigenvector v = (, ) T. Attractor. (c) x 0 = v + v. (d) x k = (0.8) k v + (0.9) k v 3. (e) Gaat naar de oorsprong.

34 . Beschouw de matrix A = 9 3 en de vectoren v = () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0 en w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte..

35 (4) (d) Is de matrix A diagonaliseerbaar? En orthogonaal diagonaliseerbaar? (Beargumenteer!) (4) (e) Bepaal de projectiematrix P die een willekeurige vector orthogonaal projecteert op de eigenruimte W die hoort bij de eigenwaarde met multipliciteit. P is dus de matrix die de eigenschap heeft dat P y = proj W y. Antwoord (a) v is geen eigenvector, w is een eigenvector met eigenwaarde λ =. (b) De karakteristieke polynoom geeft λ = ( keer) en λ = ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft als orthonormale basis voor λ = / 0 0 / 6 0 3/,, en voor λ = / / 6 (d) Ja; Nee. (e) Definieer de eerste vector uit de orthonormale basis van de eigenruimte van λ = als u. Bereken nu P = u u T = De matrix A en de vector b zijn gegeven door 0 A = 0 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. en b = () (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (4) (d) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [/3, 4/3, 5/3] T. (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [5,, 3, 6] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [ 3, 3, 3, 0] T. De kortste afstand is de lengte van deze vector, dit is 3 3. (d) een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt gegeven door {[ 3, 3, 3, 0] T }

36 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = x + 6x x 6x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (6) (c) Bepaal een coordinatentransformatie x = P y zo dat de kwadratische vorm in de nieuwe coordinaten (y, y ) overgaat in een vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm en geef het omgekeerde verband tussen y en x. (4) (d) Maak nu een schets van de kromme x + 6x x 6x =. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) A = [ ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = 3 en λ = 7, dus indefiniet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = 3 is dit q = [3, ] T, en voor λ = 7 [ is dit q = [, 3] ] T. De kwadratische vorm 3y 7y. De matrix P = 3/ 0 / 0 / 0 3/, de relatie tussen y en x wordt gegeven door y = P T x. 0 (d) Dit is een hyperbool met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. EINDE TENTAMEN WI67CT, deel

37 . (a) Eigen inzicht. (b) per ew, voor attractor. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht. (e) Een baan is voldoende.. (a) punt per juist antwoord. NORMERING (b) uitrekenen karak. vgl + oplossen 3 punten, multipliciteit: pnt. (c) pnt voor basis voor λ =, 3 voor λ =, met voor GS en voor basis. (d) pntn per correct (gemotiveerd!) antwoord. (e) Eigen inzicht. 3. (a) Vegen: pnt, conclusie: pnt. (b) Berekenen van A T A en A T b pnt, oplossen pnt. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht. 4. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, vorm: pnt, uitdrukking voor y: punten. (d) Eigen inzicht (wel nodig: nieuwe assen correct).

38 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen lineaire algebra II, wi67ct Maandag, augustus 03, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 54 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 6+T 6 (onafgerond).. Beschouw de matrix A = [ 4 ] () (a) Laat zien dat λ = 4 3+ i een eigenwaarde is van de matrix A met eigenvector 4 [, i] T. () (b) Geef de tweede eigenwaarde en eigenvector. (4) (c) Schrijf de matrix A als het product van een schalingsmatrix en een rotatiematrix. Het volgende discrete dynamische systeem is geassocieerd met deze matrix A: 4 4 x k+ = 4 3xk 4 y k y k+ = 4 x k + 4 3yk. Als startwaarden kiezen we x 0 =, y 0 = 0. () (d) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (e) Geef nu een formule voor x k. () (f) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en begint in x 0 =, y 0 = 0 (Hint: gebruik hierbij het resultaat van onderdeel c). Bespreek wat er gebeurt voor k. Antwoord (a) Bereken A[, i] T en laat zien dat dat gelijk is aan ( i)[, 4 i]t. (b) De complex geconjugeerde van de eerste eigenwaarde en eigenvector. (c) De schalingfactor is /, de hoek pi/6. (d) De initiële conditie is te schrijven als [x 0, y 0 ] T = [, i] T + [, i] T. (e) x k = (( i))k v + (( i))k v. (f) Gaat spiraliserend naar de oorsprong.

39 . Beschouw de matrix A = () (a) Laat zien dat λ = 0 een eigenwaarde van A is. (4) (b) Bepaal de andere eigenwaarde(n) van A. Bepaal van alle eigenwaarden hun algebraïsche multipliciteit. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden de bijbehorende eigenvectoren. Wat is de dimensie van de eigenruimten? (3) (d) Is de matrix A diagonaliseerbaar? En orthogonaal diagonaliseerbaar? (Beargumenteer!) Antwoord (a) De det van A is nul, dus de matrix A moet een eigenwaarde nul hebben. Mag natuurlijk ook mbv de karakteristieke polynoom. (b) De karakteristieke polynoom wordt gegeven door λ (λ + 3). Dit geeft geeft λ = 0 ( keer) en λ = 3 ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft voor λ = 0 3 3, en voor λ = 3 (d) Nee ; Nee. 0/ 6 / 6 0/ 6

40 3. De matrix A en de vector b zijn gegeven door 0 A = 0 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. en b = (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (3) (d) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: / Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [, 4, ] T. (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [ 9, 9, 8, 8] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [8, 8, 8, 0] T. De kortste afstand is de lengte van deze vector, dit is 8 3. (d) een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt gegeven door {[8, 8, 8, 0] T }..

41 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 9x 8x x + 3x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (5) (c) Bepaal een coordinatentransformatie x = P y zo dat de kwadratische vorm in de nieuwe coordinaten (y, y ) overgaat in een vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm en geef het omgekeerde verband tussen y en x. (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 9x 8x x + 3x = 44. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) [ A = ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = en λ =, dus positief definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = is dit q = [, ] T, en voor λ [ = is dit q = ] [, ] T. De kwadratische vorm y + y. De matrix P = / 5 / 5 / 5 /, de relatie tussen y en x wordt gegeven door y = P T x. 5 (d) Dit is een ellips met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. EINDE HERTENTAMEN WI67CT, deel